最短路问题实际案例
网络优化最短路问题
s.t.
xij
x ji
1,
i t,
j:(i, j )A
j:( j,i)A
0,
i s,t,
xij 0.
(5.1) (5.2' ) (5.3)
对偶问题为
max(ut us )
(5.4)
s.t. u j ui wij ,(i, j) A.
(5.5)
根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解
例5.4 计算如下网络(图5.4 (a))中从节点A到所有其它节点的最短路.
1 E -2
A
5
D
-1 3
4
1 1 -1
2E -2
5
4
3
4
B
1 A -1 B
1
C
3
1
5
E -2
计算过程: u1 =0,
u2 mii2n{ui wi2} =min{0+1}=1,
D
u3 mii3n{ui wi3} =min{0+(-1)}=-1,
5
w13 w14
w24
3
例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation & Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法)
大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之 间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间 完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每 一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分.
最短路问题案例(short-path problem)
三、Dijkstra算法演示：
5.选取顶点
U=V\S={A(22), B (13)}
l(B)=13, l(B)=l(C)+W(C,B)
6.选取顶点
U=V\S={A(22)}
l(A)=22, l(A)=l(F)+W(F,A)
三、Dijkstra算法演示：
1. 初始时， S只包含起点s ； U包含除s外的其他顶 点，且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离”[例. U中顶点v的距离为d(s,v)，然而s与v不相邻，故为inf]。
2. 从U中选出“距离最短的顶点w”，并将顶点w 加入到S 中；同时，从U中移除顶点w 。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。 由于上一步中 确定了w是求出最短路径的顶点，从而可以利用w来更新 其他顶点的距离。[例. (s,v)的距离大于(s,w) + (w,v)]。
l(E)=4, l(E)<l(C)+W(C,E); l(F)=9, l(F)=l(C)+W(C,F)
三、Dijkstra算法演示：
3.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), F(6), G (12)}
l( )=6, l(F)=l(E)+W(E,F)
4.选取顶点 U=V\S={A(22), B (13), G(12)}
4. 重复步骤2和3，直到遍历完所有顶点。
三、Dijkstra算法演示：
1.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (inf), C (3), E (4), F (inf), G (inf)}
2.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), E (4), F (9), G (inf)}
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
运筹学最短路问题实际应用--上课路线选择
距离矩阵摹乘法
修正之后的路线
路线
1.新区出发-西山大铁门-图书馆后面的公路 -网球场的坡地-沿着公路-励志楼（772M) 2.图书馆-学汇楼-横穿学汇楼-沿着公路-励 志楼（290.5M） 3.知行楼-路口七-德济楼-四海楼-沿着公路励志楼（332.5） 4.E1、十一舍-三食堂-电航楼-百川楼-德济 楼-四海楼-沿着公路-励志楼（482.1/422.1） 5.成教二-路口3-电航楼-百川楼-德济楼-四 海楼-沿着公路-励志楼（412.7M）
大连海事大学
新区——西山教学楼的最短路
成员：杨俊成 王红建 唐琴 李敏垚
主要内容
背景介绍 问题描述 模型建立 解决的问题
背景介绍
一、宿舍楼与教学楼的分布情况
新区的分1、B2、B3、研二宿舍楼等）
西山的分布：学汇楼，百川、德济、四海、励志、知 行、图书馆、三食堂、十一舍、计算机学院宿舍楼， （当然还有一些研究生宿舍楼这里我们忽略不计）
问题描述
宿舍楼与教学楼间的距离太远了，大量的 同学们每天要都花十多分钟在去教学楼的 路上，而不能在这段时间内做跟有意义的 事情 由于上课地点的不同，大量的同学要不停 的转换上课地点。 无论是冬天还是夏天同学们都不想自己在 寒冷的室外停留太长的时间
要达到目标
学校里的路很多，我们的目的是如何帮助 同学们选择一条或几条最短的路帮助同学 们解决耽误在路上的时间，减少在大连寒 冷的阴风中逗留的时间，增加同学们的幸 福感
不同区域同学住所的分布情况
新区宿舍楼：大二、大三、大四的学生，还 有部分的研二学生，大量的同学住在新区 宿舍楼
西山宿舍楼分布：大一的学生，E1一般都是 信息学院的学生，还有一些不被我们计算 在内的研究生宿舍，
关于最短路问题算法的一点思考
关于最短路问题算法的一点思考最短路问题，实际上是P95。
也就是我们用一个算法解决SP问题时，就是在找这个加权图G中从s到t的P（s，t）中边权之和最小的P*(s,t).由定义就可以看出，实际生活中经常有最短路问题的例子。
例如：实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。
图+矩阵实例2.如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道。
若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？图+矩阵因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。
下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。
一、把求最短路问题转化为LP问题P95二、最短路问题的原始对偶算法：Dijkstra算法Pdf最短路+课本P138综上，即为Dijkstra算法，它的有效实施体现在：P161对Dijkstra算法的一点思考：1.关于Dijkstra算法，书中的例子定义了一个使用范围，即寻求有向图中，从一固定顶点到其余各点的最短路径。
那么一个简单的推广就是在于，对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用？答案应该是肯定的。
也就是说，实例2中无论是单行道，双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。
2. 作为学习图论的一名学生，Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中，进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径.3.Dijkstra算法明确要求权（费用）非负，这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解，若出现的边权为负的情况，Dijkstra算法就要进行修改。
并且，如果我们对Dijkstra算法进行编程，即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
最短路问题
网络图中最短路问题专题研究报告报告人：张鹏学号：20090828班级：035109012011年5月12日网络图中最短路问题【问题导引】网络分析在电子导航、交通旅游、城市规划以及电力、通讯等各种管网、管线的布局设计中发挥了重要作用。
而最短路问题是网络分析中最基本、最关键的问题。
最短路径不仅指一般地理意义上的距离最短，还可以引申到其他的度量，如时间，费用等等。
这些都可以抽像为在图中找出任意两点间的一条通路，使这条通路上的权值和最小。
最短路问题作为图与网络技术研究的一个经典问题，在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有十分广泛的应用。
举例如下：【案例一】：如图的交通网络，图中的点表示交通节点，每条边表示两个节点间的一条通路，边上的数字表示路段的长度，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。
若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？【案例分析与建模】：这是实际生活中经常遇到的一类问题，首先对该问题做如下假设以便抽象为数学模型。
假设一：各路段路况相同，车辆在各路段以相同的速度行驶。
假设二：各路段均一路畅通，即不存在堵车问题。
在以上两种假设的前提下，此问题即转化为在图中选一条从节点1到节点11的通路，使得路径总长度最短，即典型的最短路问题模型。
将图抽象为距离矩阵表示，即可建立数学模型，设计算法求解。
【算法设计】：对于最短路模型，传统的Dijkstra算法和floyd算法为两种有效的求解方法。
利用Dijkstra算法求解案例一中的问题。
算法思路：采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这棵树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径。
S: 具有永久标号的顶点集;l(v): v的标记;f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;输入：输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm.1）初始化：令l(v0)=0,S=Ø; ∀v≠v0 ,l(v)= ∞;2）更新l(v), f(v)：寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u;3）重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止。
最短路问题例题
问题：求出A-F之间最短路线；（1）写出思路于算法；（2）Matlab 编程找出最短路径。
答案：A-F之间的最短路线有A-B3-D3-E1-F，A-B3-D3-E1-E2-F；A-B2-C1-D1-D2-E2-F 这三条路线的最短距离均为8。
方案一：思路：对于是否返回的分析：如图可以看出只有B端才能跨越C端的点直接到达D端的，其余的各端点都是必须按照字母顺序一路下来。
若如D端返回到C端或B端这是不可能的，因为这样无疑增加了路程，如图可以看出C端的点能到达D端的各个点，所以要求的直接命中想到达的该点；而D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E 端的各点是相通的，也没必要再返回D端；同样B端到达C端或D端的，因为B2,B2到能直接到达C端的各点，只有B1只能到达C1，但B1它到D1的距离和B1点到C1的距离同样为4但也不可能经过C1后返回B端的，因为C1也是联系D端的各点，而且你要返回B 段端，还不如在A端的时候就选择好一个理想的B点，这样距离会更加短。
所以不能进行返回。
如图将我们本来所需要的的路线分成两半，以D字母的为中间端。
后半部分：后半部分主要由D端连接到E端最后才连接到F端的,同时D端无法越过E端直接连接到F端。
更为重要的是前半部分，也必须要经过D端才能与F端相接，所以构成他们之间的枢纽定在D端是最好不过的。
首先的是先分析D端的三个点D1，D2，D3分别到点F的最短距离。
一、已经从D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E端的各点是相通的，也没必要再返回D端；二、由图可以看出E端到点F最好的路线是E2-F距离为1，除E2外的E1，E3他们到F点的方式（E1-F, E1-E2-F ,E3-F ,E3-E2-F）的距离均为2；所以如果能先到达E2则可以只考虑E2到F这条路线。
若先到达了E1，或E3、则这路线的最短路径必定变化为两条。
管理运筹学 第7章 最短路实例
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1 1 2 3 4 5 6 2 16 3 22 16 4 30 22 17 5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
管
理
运
筹
学
2
§2 最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59 22 v1 16 v2 30 41 v4 23 41 23 17 v5 31
管 理 运 筹 学
11
§4 最大流问题
二、最大流问题网络图论的解法 对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图: (a)和 (b)、(c)和(d)的意义相同。 cij cij 0 vi vi vj vj （ a） （ b） cij cij cji v j vi vi vj （cji） （ d） （c） 用以上方法对例6的图的容量标号作改进，得下图
个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
v2 3 1 4 v7 3 v6 5 2 8 v5 v3
7
v4
图11-14
v1 10
3
4
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。 “管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
年份
年初价格
1
11
2
11
3
12
4
12
5
13
设备维修费如下表 使用年数 每年维修 费用 0-1 5 1-2 6 2-3 8 3-4 11 4-5 18
管
最短路问题的实际应用论文
金华双龙洞旅游路线中最短路问题摘要：金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。
关键字：数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法一、研究背景：在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾馆脚痛的不行。
但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学模型，转化为图论的内容。
从而较为合理的制定出选择的路线（即最短路问题）。
因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：1.从景点进口到出口的最短路程。
（最短路问题）2.从景点到出口的最长路线。
3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）二、研究内容：根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽略。
问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图所示的路线图：再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。
同时也可以利用此法算出最长路程。
问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。
故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短)故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2所以，最短路程为A→C→E。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
图——最短路问题(1)
d(vs,v)=P(v) ， 而 对 每 一 个
，
d(vs,v)=T(v)。
无向图的最短路算法
对 于 赋 权 ( 无 向 ) 图 G=(V,E) ， 因 为 沿 边 [vi,vj]既可以从vi到达vj，也可以沿vj到达vi， 所 以 边 [vi,vj] 可 以 看 作 是 两 条 弧 (vi,vj) 及 (vj,vi) ， 它们具有相同的权w[vi,vj]。
最短路算法的基本思想
如果P是D中从vs到vt的最短路，vi是P中 的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi 的最短路。
vj vi
vk vt
vs
vm
事实上，如果这个结论不成立，设Q是 从vs到vi的最短路，令P′是从vs沿Q到达vi，再 从vi沿P到达vt的路，那么，P′的权就比P的权 小，这与P是从vs到vt的最短路矛盾。
用图的语言来描 述 ，从 v1到 v8的 一 条 旅行路线就是图中从 v1到v8的一条路；
最短路问题
给定一个赋权有向图，即给了一个有向 图D=(V,A)，对每一个弧a=(vi,vj)，相应地赋 予了权。
给定D中的两个顶点vs，vt。设P是D中从 vs到vt的一条路，路P的权是指P中所有弧的 权之和，记为w(P)。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
（2）每一步是去修改T标号，并且把 某一个具T标号的点改变为具P标号的点， 从而使D中具P标号的顶点数多一个，这样， 至多经过p−1步，就可以求出从vs到各点的 最短路。
例子
在 图 中 ， s=1 。 因 为 所 有 wij≥0 ， 故 有 d(v1,v1)=0。这时，v1是具P标号的点。
（2）Dijkstra方法的基本思想
短路的事例
短路的事例短路是电路中常见的问题，它可能由不正确的电线连接、破损的电线绝缘层或设备的过载引起。
当电流在电路中遇到短路时，它会找到另一条路径，绕过正常的电路，直接返回电源。
这种现象可能会导致电路瘫痪、设备损坏甚至起火。
下面，我们来看几个短路的常见事例。
第一个事例是家庭用电中的短路。
假设你正在家中做晚饭，突然灯光熄灭，电视也无法使用。
你发现整个房间的插座都没有电。
这可能是由于你在使用微波炉的同时打开了过多的电器，导致电路过载，引发了短路。
这时你需要重置电路保险丝或找电工解决问题。
第二个事例是汽车中的短路。
你正在驾驶汽车，突然车辆失去动力，仪表盘上的警示灯也亮了起来。
这可能是由于车辆电路出现了短路，导致电能无法正常传递。
这种情况可能是由于车辆电线破损或连接不良引起的。
在这种情况下，你需要将车辆停在安全的地方，检查电线是否完好，并找专业人士修复。
第三个事例是工业生产中的短路。
在一家工厂中，一台机器突然停止运行，工作人员发现有烟雾从机器内部冒出。
这可能是由于机器的电路发生了短路，导致电线过载并引发了火灾。
工作人员需要立即关闭电源，并使用灭火器或报警器进行处理，同时找专业人士维修设备。
以上事例只是短路问题的几个常见案例，但实际上短路可能出现在任何的电路中。
为了避免短路问题，我们需要注意以下几点。
首先，正确连接电线，确保电线绝缘层完好无损。
其次，合理使用电器，避免过载。
最后，定期检查电路，及时修复破损的电线或设备。
总之，短路问题在生活中是常见的，但它可能带来严重的后果。
我们应该时刻保持警惕，避免引发短路的问题。
同时，了解短路的常见事例，可以帮助我们更好地理解和解决这个问题。
最短路问题(课堂PPT)
5
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
3 2 4 1
时间
2 3 3 2
25
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
0
5
V2
3
6 5 5 V6
5
0
5
V2
3
6 6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
7
(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
实验十三 最短路问题
实验十三 最短路问题（1）实验目的：运用 Dijkstra 、Floyd 算法计算最短路.实验要求：根据实际问题写出 初始距离矩阵，建模步骤、计算相应问题。
实验内容：1. 选址问题--中心问题某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务，如图所示．问应设在哪个区，才能使它至最远区的路径最短．（1） 用Floyd 算法求出距离矩阵 D =νν⨯)(ij d ．（2）计算在各点 设立服务设施的最大服务距离)(i v S ．}{max )(1ij j i d v S ν≤≤= 1,2,,i ν= （3）求出顶点k v ，使)}({min )(1i i k v S v S ν≤≤=. 则k v 就是要求的建立消防站的地点．此点称为图的中心点．2. 选址问题--重心问题某矿区有7个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量为)(j v q （标在图的各顶点上）．现要从这7个矿点选一个来建造矿厂．问应选在哪个矿点，才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力（千吨公里）最小．（1）求距离阵D =νν⨯)(ij d ．（2）各顶点作为选矿厂的总运力)(i v mij j j i d vq v m ⨯=∑=)()(1ν 1,2,,i ν=（3）求k v 使)}({min )(1i i k v m v m ν≤≤=，则k v 就是选矿厂应选的矿点．此点称为图G 的重心或中位点．设备更新问题：企业使用一台设备，每年年初，企业领导就要确定是购置新的，还是继续使用旧的.若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用，则需支付一定的维修费用.现要制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内总的支付费用最少.已知该种设备在每年年初的价格为：第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 11 11 12 12 13构造加权有向图G 2(V ,E ).（1）顶点集V ={V V V V V V 123456,,,,,}，V i表第i 年初购置新设备的决策，V 6表第五年底. （2）弧集E ={(,)V V i j ，i=1,2,3,4,5; i <j ≤6},弧(,)V V i j 表第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初的决策，其权W (,)V V i j 表由这一决策在第i 年初到第j 年初的总费用，如W (,)V V 14=11+5+6+8=30. （3）问题转化为求V 1到V 6的最短路问题，求得两条最短路为V V V 146––，V V V 136––，权为53，与图G1(V,E)的解相同．。
短路的实例
短路的实例短路是指电路中出现的一种异常情况，当电路中的电流超过设定值时，电路将会自动中断。
这是一种保护电路和设备的重要机制，可以避免电流过大导致设备损坏或产生危险。
本文将以几个实际生活中的例子来解释短路的原理和应用。
我们来谈谈汽车电路中的短路。
当汽车电路中的导线出现断裂或损坏时，电流就会找到其他路径流动，这可能导致短路。
例如，当你的车辆中的尾灯灯泡烧坏时，电流可能会绕过灯泡并通过其他电路回到电池，导致其他灯泡也无法正常工作。
这时，短路保险丝就会起到作用，它会自动切断电路，以防止电流过大损坏电器设备。
另一个例子是家庭电路中的短路。
当你在家里使用大功率电器设备时，例如电热水壶或电炉，电流可能会超过电路的承载能力，导致短路发生。
这时，电路中的保险丝或断路器会自动切断电流，以保护电线和电器设备的安全。
短路还可以发生在插座或开关等电器设备损坏时，当设备内部的导线短路时，电流就会绕过设备并回到电源，这可能会导致火灾或电器设备损坏。
除了电路中的短路，我们还可以谈论一些其他领域中的短路现象。
例如，当我们在做数学题时，如果一个问题的解决过程中出现错误，可能会导致答案的错误。
这种情况下，我们可以说解题过程发生了短路，即出现了错误的推理或计算，导致答案的错误。
另一个例子是人际关系中的短路。
当我们与他人沟通时，如果我们的意图没有被准确地传达或理解，就可能出现误解或冲突。
这种情况下，我们可以说沟通过程发生了短路，即信息的传递和理解出现了问题。
总的来说，短路是一种常见的现象，不仅在电路中存在，在其他领域中也会出现。
短路能够保护电路和设备的安全，避免电流过大造成损坏或危险。
对于短路的理解和应用，有助于我们更好地保护设备、解决问题和改善人际关系。
因此，我们应该对短路有一定的了解，并在需要时采取相应的措施，以确保安全和顺利的运行。
短路的例子
短路的例子短路是一种在电路中发生的现象，也可以用来形容在计算机编程中发生的一种情况。
当一个电路或代码中的某个部分因为异常导致跳过其他部分而中断时，就发生了短路。
这种情况在现实生活中也有一些类似的例子。
一个常见的例子是家庭用电插座。
插座的设计通常是这样的：两个插孔分别对应两条电线，一个是零线，一个是火线。
现代家庭用电中，火线负责提供电能，而零线则是返回电流的路径。
假设在一间房间中有两个插座，A和B。
墙上的插座A上接了一台损坏的电器，导致电流无法正常通过。
另一边，插座B上插着一盏灯。
此时，如果你尝试打开开关，你会发现插座B上的灯不会亮起，尽管其他房间内的灯都正常工作。
这是因为插座A上的短路导致了整个电路的中断。
在计算机编程中，短路发生在逻辑表达式求值的过程中。
逻辑表达式通常包含与（&&）和或（||）操作符。
当使用与操作符时，如果第一个条件为假，那么整个表达式就会被短路而不再计算后面的条件。
类似地，使用或操作符时，如果第一个条件为真，整个表达式也会被短路。
考虑以下示例代码：```pythonx = 5y = 0if x > 0 and 10 / y > 2:print("条件满足")else:print("条件不满足")```在这个例子中，我们判断了两个条件：x大于0，并且对10除以y的结果是否大于2。
然而，因为y等于0，当计算10 / y时会产生一个异常。
由于Python中的与操作符（and）使用短路求值，当程序执行到10 / y时会直接抛出一个除以零的错误。
因此，打印出的结果将是"条件不满足"，我们不会看到"条件满足"。
综上所述，短路不仅仅是发生在电路中的现象，它也可以在现实生活和计算机编程中发生。
短路的例子可以帮助我们更好地理解这个概念，以及如何处理和避免短路带来的问题。
同余最短路例题
同余最短路例题
同余最短路是一类图论问题，通常涉及到在图中找到满足同余关系的最短路径。
以下是一个简单的同余最短路例题：
题目：同余最短路
给定一个有向图，每条边上标有一个正整数权值。
现在，你需要找到一条从起点到终点的路径，使得路径上所有边的权值之和在模某个整数 M 下的同余关系成立。
即，路径上所有边的权值之和与 M 取余的结果相同。
输入：
一个整数 N 表示节点数（节点编号从1到N）。
一个整数 M 表示同余关系的模数。
一张有向图，包含 E 条边，每条边由三个整数表示：起点、终点、边的权值。
输出：
如果存在一条满足同余关系的最短路径，输出该路径上所有边的起点和终点。
否则，输出 "No solution."
示例：
输入：
Copy code
5 3
1 2 2
2 3 4
3 4 5
4 5 1
1 5 7
输出：
Copy code
1 2
2 3
3 4
4 5
在这个例子中，路径上所有边的权值之和为 2 + 4 + 5 + 1 = 12，而 12 与 3 取余等于 0。
请注意，同余最短路问题可以通过修改 Dijkstra 算法来解决，其中维护一个优先队列（最小堆），每次选择最短路径。
在选择路径时，要保证路径上所有边的权值之和与给定的模数 M 同余。
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最短路问题实际案例
最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：
1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。