第三讲同余理论(精)
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第二章 同余理论
2.1 同余的概念和基本性质
【定义2.1.1】给定一个正整数m ,两个整数a 、b 叫做模m 同余,如果a -b 被m 整除,或b a m -|,记作b a
≡ ()m mod ;否则叫做模m 不同余,记作a ≠b
((mod m ))
【注】由于b a m -|等价于b a m --|,所以同余式
b a ≡ ()m mod 等价于 b a ≡()()m -mod ,
故以后总假定模1≥m
。
【例1】 7│28=29-1,故29≡1(mod 7);
7│21=27-6,故27≡6(mod 7); 7│28=23-(-5),故23≡-5(mod 7);
同余运算的相关性质:
【性质1】设m 是一个正整数,a 、b 是两个整数,则a ≡b (mod m )⇔存在整数k ,使得a =b +km 。
(证)a ≡b (mod m ) ⇔ b a m -|
⇔ 存在k ,使得 a -b =km ,即a =b +km
【性质2】同余是一种等价关系。即 自反性:a ≡a (mod m )
对称性:a ≡b (mod m )⇒ b ≡a (mod m )
传递性:a ≡b (mod m )且b ≡c (mod m )⇒ a ≡c (mod m ) (证)(i )m │0=a -a ⇒ a ≡a (mod m )
(ii )a ≡b (mod m )⇒ m │a -b ⇒ m │b -a =-(a -b) ⇒ b ≡a (mod m ) (iii )a ≡b (mod m ),b ≡c (mod m )⇒ m │a -b ,m │b -c
⇒ m │(a -b)+ (b -c)=a -c ⇒ a ≡c (mod m )
【性质3】(等价定义)整数a 、b 模m 同余⇔a 、b 被m 除的余数相同。 (证)由欧几里得除法,存在q ,r ,q ',r ',使得
a =qm +r ,
b =q 'm +r '
即 a -b =(q -q ')m +(r -r ') 或 (r -r ')=(a -b)- (q -q ')m
故 m │(a -b) ⇔ m │(r -r ')
但 0≤│r -r '│<m 且m │(r -r ')⇔ r -r '=0 故 m │(a -b) ⇔ r -r '=0,即r =r '
【性质4】设m 为正整数,a 、b 、c 、d 为整数,若 a ≡b (mod m ), c ≡d (mod m )则 (i ) a +c ≡b +d (mod m ); (ii )
ac ≡bd (mod m )。
(证)已知a ≡b (mod m )且 c ≡d (mod m )
⇒ a =b +hm 且c =d +km
⇒ a +c =(b +hm)+( d +km)=b +d +(h +k)m ,
ac =(b +hm)( d +km)=bd +(hd +kb +hkm)m
⇒ 由性质1即得结论。
一般情形:i i b a ≡ (mod m )(i =1,2,…,k ),则 (i ) ∑∑==≡k
i i k i i b a 11 (mod m ) (ii )
∏∏==≡k
i i k i i b a 1
1
(mod m )
【推论1】a ≡b (mod m ) ⇒ na ≡nb (mod m ),其中n 为正整数。 【推论2】a ≡b (mod m )⇒ n n b a ≡ (mod m ),其中n 为正整数。 【推论3】x ≡y (mod m ),i i b a ≡ (mod m )(i =1,2,…,k ),则
k k x a x a x a a ++++ 2210≡k k y b y b y b b ++++ 2210 (mod m )
【例6】2003年5月9日是星期五,问此后的第22003天是星期几?
(解) 2
2003
+5≡
()
2667
322+5 (mod 7)
≡2
66721+5 (mod 7)) ≡9 (mod 7) ≡2 (mod 7)
【例7】设十进制整数n =011a a a a k k -,则
3│n ⇔3│011a a a a k k ++++- 9│n ⇔9│011a a a a k k ++++-
(证)因 n =011010a a a k k +++ ≡011a a a a k k ++++- (mod 3) n =011010
a a a k
k +++ ≡011a a a a k k ++++- (mod 9)
【例8】设整数n 的1000进制表示式为 n =0110001000a a a k
k +++
则7(或11,或13)│n ⇔ 7(或11,或13)│() ++20a a -() ++31a a
(证)因 n =0110001000a a a k
k +++
≡()()()0111111a a a a k k k k
+-++-+--- mod 7
n ≡()()
()011
1111a a a a k k k k +-++-+--- mod 11 n ≡()()()0111111a a a a k k k k
+-++-+--- mod 13
例如,判断n =12345678能否被7(或11,或13)整除: 12345678=12×10002+345×1000+678
而 (12+678)-345=345不能被7、11、13整除 故1234567不能被这3个数整除。
【例9】设十进制整数n =011a a a a k k -,则 11│n ⇔ 11│
() ++20a a -() ++31a a
2│n ⇔ 2│0a
4│n ⇔ 4│01a a ⇔ 4│012a a + 8│n ⇔ 8│012a a a ⇔ 8│01224a a a ++
i 2│n ⇔ i 2│011a a a i -