高考数学总复习专题102双曲线

专题１0.2 双曲线【三年高考】1. 【２01７高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ,其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .2. 【2016高考江苏】在平面直角坐标系x Ｏy 中,双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .【答案】210 【解析】 试题分析:222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=.故答案应填：210【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质,而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴,实轴长为2a ,虚轴长为2b ，焦距为2222c a b =+,渐近线方程为by x a =±,离心率为22c a b a a+=． 2.【２012江苏,理8】在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则ｍ的值为__________. 【答案】2【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在ｘ轴上,且ａ2＝m ，b2=m2+4，故c ２=m ２＋m ＋４,于是222224(5)c m m e a m++===,解得m=２，经检验符合题意．4.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ )A ．2 B.3 C ．2D.23【答案】A【解析】【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c，代入公式cea =;②只需要根据一个条件得到关于ａ,b,c的齐次式,结合b2=c2－ａ2转化为ａ，c的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或a２转化为关于e的方程（不等式)，解方程(不等式)即可得ｅ(e的取值范围)。

5. 【2０１７天津,理5】已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A)22144x y-=(B)22188x y-=(C)22148x y-=(Ｄ)22184x y-=【答案】B【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程,解方程组求出,a b ,另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1)双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2)与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，(3)等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等,均为待定系数法求标准方程．6．【2017北京,理9】若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_＿__＿＿___.【答案】２ 【解析】试题分析：221,a b m == ，所以131c m a +== ,解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题.解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+,否则很容易出现错误.以及当焦点在x 轴时,哪些量表示22,a b ,根据离心率的公式计算.７．【2017课标1,理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0,ｂ>０)的右顶点为Ａ,以Ａ为圆心，b 为半径作圆Ａ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.23【解析】试题分析：【考点】双曲线的简单性质．【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ;③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c. 8. 【201７课标3,理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (ａ>0,b >0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则Ｃ的方程为 A .221810x y -= ﻩB .22145x y -= ﻩC ．22154x y -= D .22143x y -=【答案】B 【解析】试题分析:双曲线C:22221x ya b-= (ａ>0,b>0)的渐近线方程为by xa=±,椭圆中：2222212,3,9,c3a b c a b==∴=-== ,椭圆，即双曲线的焦点为()3,0±，据此可得双曲线中的方程组：222523bac a bc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩,解得：224,5a b==，则双曲线C的方程为2145x y2-= .故选B.【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量，即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,ｂ，c,e及渐近线之间的关系,求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()222x ya bλλ2-=≠,再由条件求出λ的值即可.10.【20１7山东,理14】在平面直角坐标系xOy中,双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右支与焦点为F的抛物线()220x px p=>交于,A B两点,若4AF BF OF+=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x=±【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(２)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆,当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.10.【2016高考新课标１卷改编】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为４，则ｎ的取值范围是 . 【答案】()1,3- 【解析】试题分析:222213x y m n m n-=+-表示双曲线,则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<,由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=,解得1m =,∴13n -<<. 考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质，属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c ,这一点易出错．11．【２016高考新课标2理数改编】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左,右焦点，点M在E 上，1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ． 2 【解析】试题分析：因为1MF 垂直于x 轴,所以2212,2b b MF MF a a a ==+,因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =,故双曲线离心率e ==考点:双曲线的性质．离心率.【名师点睛】区分双曲线中ａ,b ,c 的关系与椭圆中a ，b ，ｃ的关系,在椭圆中a 2=ｂ2+c 2，而在双曲线中ｃ2=ａ2＋b 2.双曲线的离心率ｅ∈(１，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1）．12.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b -（ｂ>0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、Ｃ、D 四点,四边形的AB ＣD 的面积为2ｂ，则双曲线的方程为 .【答案】2224=11x y - 【解析】试题分析:根据对称性,不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩, ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+,故双曲线的方程为221412x y -=． 考点:双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点:(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定a ,b 的值,常用待定系数法.（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式,以避免讨论. ①若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为Ax 2＋Ｂy 2＝１(A Ｂ<０）．②若已知渐近线方程为mx +ｎy =0，则双曲线方程可设为ｍ２x 2-ｎ2y ２＝λ（λ≠0).13．【2０16高考山东理数】已知双曲线E :22221x y a b-= （a >０,b ＞0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为Ｅ的两个焦点，且2|AB |＝3|ＢＣ｜，则Ｅ的离心率是＿_＿_＿__. 【答案】2【解析】试题分析：假设点A 在第一象限，点Ｂ在第二象限,则2b A(c,)a ,2b B(c,)a -,所以22b |AB |a =，|BC |2c =,由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2.考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答,利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论,转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等．14．【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >）的渐近线为正方形OAB Ｃ的边OA,O Ｃ所在的直线，点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2，则a =___＿__________＿. 【答案】2考点：双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质,也是考查的重点内容.对渐近线:(1)掌握方程;(２)掌握其倾斜角、斜率的求法;（3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ,0>B ，B A ≠时为椭圆,当0<AB 时为双曲线.15.【２0１5高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上，且13PF =,则2PF 等于__＿__＿_____＿___. 【答案】9【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==,即236PF -=,解得29PF =．1６．【201５高考广东，理７】已知双曲线：的离心率,且其右焦点，则双曲线的方程为______＿＿___.【答案】【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为.【2018年高考命题预测】纵观2０17各地高考试题，可以看出，对双曲线的考查以选择、填空为主,主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2)求双曲线的标准方程.(3)以双曲线的方程为载体,研究与参数ａ，b ,c ,ｅ及渐近线有关的问题,其中离心率和渐近线是考查的重点和热点,高考题中以选择、填空题为主，分值为５分，难度为容易题和中档题，个别省份以解答题形式考查双曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系,分值为12分左右,难度较大.２018年高考仍会延续这种情形,以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素,,a b c .另外,要深入理解参数,,a b c 的关系、渐近线及其几何意义,应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【２０18年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式:一是考双曲线的定义与标准方程;二是考查双曲线的几何性质;三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系,字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点． 【考点1】双曲线的定义与标准方程 【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12||F F ）的点C 12222=-b y a x 54e =()25,0F C 191622=-y x ()25,0F 54c e a ==5c =4a =2229b c a =-=221169x y -=的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为:12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).注意：（1)当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .（2)当122||a F F >时，轨迹不存在．2.双曲线的标准方程：(1) 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>.给定椭圆221()x y m n m n+=与异号,要根据,m n 的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.(２）双曲线中,,a b c 关系为:222-a c b =. 【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题,常用双曲线的定义与正余弦定理去处理．2.求双曲线的标准方程方法（1)定义法:若某曲线(或轨迹)上任意一点到两定点的距离之差(或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离）,符合双曲线的定义,该曲线是以这两定点为焦点,定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程,注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只．(2）待定系数法,用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成,①定性-确定它是双曲线;②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上;③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上,也可设双曲线的方程为221Ax By +=,其中,A B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.４.若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=(0λ≠)可避免分类讨论．【考点针对训练】1.以抛物线ｙ2＝4ｘ的焦点为焦点,以直线y =±ｘ为渐近线的双曲线标准方程为_＿____＿_. 【答案】错误!－错误!=1．【解析】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，ｙ２＝4ｘ的焦点为()1,0，则双曲线的焦点为()1,0；y =±ｘ为双曲线的渐近线，则1b a =，又因222a b c +=,所以2211,22a b ==,故双曲线标准方程为错误!-错误!=1．２．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于_________＿_．【答案】48【解析】由题意得101692||21=+=F F ,所以10||2=PF ,根据双曲线的定义得16610||1=+=PF ,12PF F ∆是等腰三角形，1PF 边上的高为681022=-,所以12PF F ∆的面积等于4816621=⨯⨯. 【考点２】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 焦点 (±c,0)（0,±c ）焦距 ｜Ｆ1F 2|=2c （c ２=ａ2+b 2) 范围 |x ｜≥a ；y ∈Rx ∈R ；|ｙ｜≥a顶点实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点（0，实轴顶点(０，±a )，虚轴顶点(±b ，0)2.等轴双曲线: 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为22(0)x y λλ-=≠，，渐近线为y x =±. 【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析,围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”(两条对称轴，两条渐近线）,“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形,双曲线上一点与两个交点构成的三角形）,研究它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题,关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式,结合222c b a =+化出关于,a c 的式子,再利用ce a=,化成关于e 的等式或不等式,从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为:222222c a b e a a +===221b a +⇒ba =. 4.双曲线22221(0,0)x y ab a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，可变形为x ya b =±,即22220x y a b -=,所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的. ４．椭圆的通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞)． 【考点针对训练】1.双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ .【答案】32【解析】由题意得22234,59.2c a b c e a ==⇒=⇒== 2.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ． 【答案】４【解析】焦点()5,0±，渐近线43y x =±，即430x y -=，则2045d ==.【考点3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,直线0Ax By C ++=,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=.(1) 若m ≠0,当△>0时,直线与双曲线有两个交点.当△=0时,直线与双曲线有且只有一个公共点,此时直线与双曲线相切． 当△＜0时，直线与双曲线无公共点．（2）当m ＝0时,直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础.2.直线y =kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x １，y 1),Ｂ(x 2,y 2)两点,则弦长|A Ｂ|= 错误!|ｘ1－x 2|= 错误!·错误!=错误!·|y 1-ｙ2|=错误!·错误!.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1．如图，双曲线的中心在坐标原点O ,, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点,直线AB 与F C 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则B D F ∠的余弦值是 ___＿___＿____＿．7 【解析】可设双曲线方程为22221x y a b -=,即得(0,)A b ,(0,)C b -，(,0)B a -,(,0)F c -,所以AB 直线方程为1x y a b -+=，FC 直线方程为1x y c b --=，又2ca=,把AB 和FC 的直线方程联立解得4(,)33a b D --,又222b c a =-,所以3b a =,即43(,)3a D -,所以有4323()()33a a DF c =-+=-,3()3a DB =，则22331()339a a DB DF a =⨯-=,22237||()()333a DF a =-+=,2232||()()333a DB a a =+=，又2179cos 14||||27a DB DF BDF DB DF a a⋅===⋅⨯ 2.如图,1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为＿______＿___＿_＿__＿.【答案】7【解析】根据双曲线的定义，可得12||||2BF BF a -=,∵2ABF ∆是等边三角形,即2||||BF AB =，∴12||||2BF BF a -=,即11||||||2BF AB AF a -==,又∵21||||2AF AF a -=,∴21||||24AF AF a a =+=，∵12AF F ∆中,1||2AF a =,2||4AF a =,012120F AF ∠=，∴2220121212||||||2||||cos120F F AF AF AF AF =+-，即222214416224()282c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=，解之得:7c a =,由此可得双曲线的离心率为7ce a==【两年模拟详解析】1. 【南京市、盐城市２017届高三年级第一次模拟】设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ . 【答案】33【解析】双曲线渐近线方程为x y a =±,所以123tan 30323a c e a =⇒==⇒= 2．【镇江市2017届高三年级第一次模拟】双曲线),(0012222>>=-b a by a x 的焦点到相应准线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ．【答案】1【解析】由题意得21012222+=⇒=--⇒=-e e e a ca c3． 【2０1７年第三次全国大联考江苏卷】直线:210l y x =+过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为___＿__＿__＿＿_＿．【答案】221520x y -=【解析】由题意得(5,0),5F c -=，2b a =,所以225,20,a b ==双曲线方程为221520x y -=.4．【2017年第一次全国大联考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线2213x y -=有相同渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为______＿_____．【答案】221124x y -=【解析】与双曲线2213x y -=有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为223x y λ-=，因为双曲线焦点在x 轴上，故0,λ>又焦点到渐近线距离为2，所以4λ=，所求方程为221124x y-=.5. 【2０17年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知双曲线221()x ny n +=∈R 与椭圆22162x y +=有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =6. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】经过双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 与圆222:O x y a +=相切的直线,交双曲线的两条渐近线于,A B 两点，若||3AB a =,则双曲线C 的离心率为 . 【答案】2或23【解析】由题意不妨设圆的切线过焦点1(,0)F c -,借助图形可得其斜率ak b=,方程为()a y x c b =+与渐近线b y x a =联立可解得交点横坐标为2122a c xb a =-;方程为()ay x c b =+与渐近线b y x a=-联立可解得交点横坐标为22a x c =-,所以22212222212||||||c a b x x a b a c b a c -=+=--，则21221|3a x x a b +-=，即12||3cx x a b-=也即222223||c a b a b b a c ⋅-,所以2224(1)3(2)e e -=-,即42316160e e -+=,解之得24e =或243e =,所以2e =或23e =，故答案为：223． 7. 【泰州市20１6届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2212x y -=的实轴长为 ． 【答案】22【解析】由双曲线方程得,2a =222a =8．【南京市、盐城市20１6届高三年级第二次模拟考试】在平面直角坐标系ｘOy 中，抛物线y ２=2px (p ＞0） 的焦点为F ，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别与抛物线交于A ,Ｂ两点(A ，B 异于坐标原点O ）．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是 ．【答案】x y 2±=【解析】由题意得:一条渐近线过点),2(p p ,因此斜率为22=p p，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.9.【南京市2０16届高三年级第三次模拟考试】设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上,且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点,则双曲线的离心率为 ． 【答案】5【解析】不妨设22221,(c,0)x y F a b -=,则点P(c,2b)-±，从而有222222415 5.c b c e a b a-=⇒=⇒=1０．【江苏省苏锡常镇四市２0１６届高三教学情况调研（二)数学试题】若双曲线221x my +=过点()22-，，则该双曲线的虚轴长为 ▲ . 【答案】4【解析】由题意得1241,4m m +==-,因此双曲线的虚轴长为22 4.⨯=11.【盐城市20１6届高三年级第三次模拟考试】以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切,则该双曲线的离心率为▲ . 【答案】2【解析】由题意得.2=⇒=e b a１２. 中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线Ｃ的两条渐近线与圆:1)2(22=+-y x 都相切,则双曲线C 的离心率是＿_＿___＿__＿____＿. 【答案】23或213.已知F 2，Ｆ1是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上,下两个焦点,点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心,|ＯF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为___＿__. 【答案】2【解析】设点Ｆ２关于渐近线a y x b =的对称点为(,)M x y ,由已知得22y c a xb yc bx a +⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得222ab x c a y c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,又以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的方程为222()x y c c ++=,把点Ｍ的坐标代入上式得22422244a b a c c c +=，又222a b c +=,所以222444()4a c a a c -+=,解得2c e a ==.１4．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,P 是C 的右支上的点,射线PT 平分12F PF ∠，过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ，若121||||3MP F F =,则C 的离心率为_＿__________. 【答案】32【解析】设PT 交x 轴于点T ,1||PF m =，则2||2PF m a =-,1212||||33cMP F F ==,由于//OM PT ，得1111||||||||F M F O F P FT =,即1223||m cc m F F -=,则1||23mc FT m c =-,所以21||2||223mcF T c FT c m c=-=--, 又PT 是12F PF ∠的角平分线,则有1122||||||||F P FT F P F T =,代入整理得43232c m a m c a -=-⇒=,所以C 的离心率为32.【一年原创真预测】１. 若双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的焦点在x 轴上,过点()2,1作圆224x y +=的切线,切点分别为,A B ,直线AB 恰好经过()(),0,0,a b 点,则双曲线方程为 .【答案】221416x y -=． 【解析】设)1,2(M ，圆224x y +=的圆心为O ，则AB 是圆224x y +=与以OM 为直径的圆的公共弦所在直线,以OM 为直径的圆的方程为45)21()1(22=-+-y x ，即0222=--+y x y x ,两圆方程相减，即得AB 的方程为42=+y x ,则直线与坐标轴的交点为()()4,0,0,2.又因为焦点在x 轴上,则24a =,216b =,所以双曲线方程为221416x y-=.【入选理由】本题考查求双曲线的方程,圆的方程,圆的公共弦，以及平面几何等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力,而此题巧妙地利用了平面几何知识,避免了烦琐的运算,故选此题．2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 一条渐近线的倾斜角的取值范围⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ，则该双曲线的离心率的取值范围是__________＿＿_＿＿_． 【答案】[2,2]【解析】因为一条渐近线的倾斜角的取值范围⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ，所以22222221313242422,b b a b c ca a a a a+≤≤⇔≤≤⇔≤≤⇔≤≤⇔≤≤所以离心率取值范围为2,2].【入选理由】本题主要考查了双曲线的几何性质等基础知识,意在考查分析问题,解决问题的能力,基本运算能力，推理能力,及转化思想.，是高考常考题型, 故选此题.3． 点(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点,线段PF与圆2224b x y +=相切于点Q ,且1=2PQ PF ,则双曲线的离心率等于______＿＿_＿．--【答案】5【入选理由】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖,故选此题．--。