湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题答案

荆州中学2020级高一年级上学期期末考试

数学参考答案及评分标准

一、单项选择题

1-8 B B C D D A C A

二、多项选择题

9-12 AB BC BCD

BCD 三、填空题 13.78 14. []2,1,2（第一空2分，第二空3分） 15. cos x π（答案不唯一） 16. 6

四、解答题

17.解（1）2221m m +-= 32

m =-或1m =（2分） 又()f x 是增函数，210m +>即12

m >-，31,()m f x x ∴==（5分） （2）()f x 为增函数，224a a -<- 2a >或3a <-

a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-（10分）

18.解：化简解析式得

1(2)1213()cos 2222

cos wx cos wx f x wx π

--+=-=+1cos 2cos sin 2sin 233wx wx ππ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭3cos 22)43wx wx wx π==+（2分） 周期002()2T x x π

π=+-= 22T w

ππ== 1w =

())3f x x π∴=+（4分） （1

）())1221232

f πππ=⨯+=（6分） （2）222232k x k π

π

π

ππ-+≤+≤+,k Z ∈ 51212

k x k ππππ-+≤≤+，（8分） 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（12分）

注：没写成区间扣2分，用了“”扣1分.

19.解：因为角α的终边与单位圆交于点(,)(0)P m n n >，

所以sin ,cos .n m αα==（2分）

因为角α的终边按逆时针方向旋转2

π后得到角β的终边， 所以sin sin()cos 2

m πβαα=+==， cos cos()sin 2n π

βαα=+=-=-.（4分） （1），因为角β的终边与单位圆的交点为Q ，2222sin cos 1,0n m n αα+=+=>，

所以点Q 的坐标为125(,)1313

-

.（6分） （2）因为221sin cos ,sin cos 1,cos 05

βββββ+=-+=<， 所以34sin ,cos 55ββ==-，即34cos ,sin 55

αα==.（10分） 所以sin 4tan cos 3ααα==.（12分） （其他方法酌情给分）

20.解（1）当220,()1cos cos cos cos 1a f x x x x x ==-+=-++ ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

令cos t x = 22151()24

y t t t =-++=--+ ,[]1,0t ∈- ()f x ∴的值域为[]1,1-（4分）

（2）设()f x 的值域为集合,()A g x 的值域为集合,B B A ⊆（5分）

2()cos cos 1f x x x a =-++- ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

令cos t x = 22151()24

y t t a t a =-++-=--+- []1,0t ∈- []1,1A a a =---(6分)

2()log (3)2g x a x =+- 又0a > ，所以2()g x 在[1,5] 上单调递增

[2a 2,3a 2]B =-- （8分）

由B A ⊆得 22113321340a a a a a a -≥--⎧⎪-≤-⇒≤≤⎨⎪>⎩

（10分）

a ∴的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （12分） 21.解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===.（2分）

因为0ω>，所以22126

T πππω===.（4分） 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z π

π

ϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.

所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（6分） （2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米， 所以2.5sin()5 6.256

x π

+≥， 即1sin()562

x π+≥，（8分） 所以522,666

m x m m N πππππ+≤≤+∈，（10分） 解得112512,m x m m N +≤≤+∈.

取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.

答：该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时.（12分）

（下错结论扣1分）

22.（1）()()f x f x -=- 对[3,3]x ∈- 上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=- （2分）

3()222x x f x -=-> 即132022x x --> 令2x t = 即23102t t --> 2t > 或12

t <- 又20x t => 22x ∴> （3分） 1x ∴> 又[3,3]x ∈-

3()2

f x ∴> 的解集为{}13x x <≤ .（4分） （2）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]

x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩

①当[1,1]x ∈- 时，令2x t = ,1[,2]2t ∈,1y t t

=- 在[1,1]- 上单调递增. 33[,]22

y ∈- （5分） ②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =,1y t t =+ 为对勾函数，11[,)(2,8]82

t ∈⋃, 565[,]28

y ∈ （6分） ()F x ∴ 的值域为33565[,][,]2228

-⋃ （7分）

（3）①当0m >时，2()min 5()max F x mF x +> 3652()528

m ⨯-+>⋅ 16065

m ∴<< （9分） ②当0m =时，2()min 50F x +> 32()5202

⨯-+=>成立0m ∴= （10分） ③当0m <时，2()min 5()min F x mF x +> 332()5()22

m ⨯-+>- 403

m ∴-<< （11分） 综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭

（12分）