《分段函数》函数的概念与性质PPT

延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
解:∵f(x)>0,∴
或 2
或 1
> 0,
+2 > 0
>0
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2,
∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
2
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思想方法
2, < 0,
(4)类似 y=
和 y= 2
的函数叫分段函数.分段函数

,
≥
0
-, < 0
是一个函数还是两个函数?
提示:不管分段函数分了几段,它都是一个函数,不要把它误认为
是几个函数.
(5)请举出几个实际生活中分段函数的例子.
提示:实际生活中,出租车的计费、电信资费、个人所得税额等
均是分段函数.
随堂演练
分段函数的图象
例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(1)y=
1
,0

< < 1,
2, ≥ 1;
(2)y=|x+1|+|x-3|.
分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,
要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.
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1
,0

探究四
《分段函数》函数的概念与性质PPT
函数的概念与性质
第2课时 分段函数
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课标阐释
思维脉络
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段
函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能
解决有关问题.
课前篇
自主预习
分段函数
1.(1)教材P68例5,在画函数图象时,将函数y=|x|化简得到
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.
因此只有选项C中的图象符合.
答案:C
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思想方法
随堂演练
根据分段函数图象求解析式
例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分
组成,则函数的解析式为
.
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∴f - 2
1
当 f(x)=2x=2 时,x=4,符合 x≥2.
综上,x 的值是 2或 4.
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思想方法
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反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现
.
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思想方法
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求分段函数的求值
+ 2, < 0,
2

,0 ≤ < 2,
例 1 已知函数 f(x)=
1
, ≥ 2,
2
(1)求 f
1
-2
的值;
(2)若f(x)=2,求x的值.
1
2
(2)分别令 x+2=2,x2=2, x=2,分段求 x 并验证.
为取某个x值时,y值不一定唯一.
课前篇
自主预习
(3)在同一个直角坐标系中分别画出函数y=2x(x<0)和y=x2(x≥0)
的图象,这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗?如何写它的
解析式?
提示:可以表示函数图象,因为符合函数定义,解析式可写为
2, < 0,
y= 2
, ≥ 0.
, ≥ 0,
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思想方法
随堂演练
解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为
解析:(1)f
1
2
1
1
1
2
2
2
= -1=- ,f -
)
1
1
2
2
=- +1= .
(2)由题图可知,当x∈[-2,4]时,f(x)∈[-2,3];
当x∈[5,8]时,f(x)∈[-4,2.7].
故函数f(x)的值域为[-4,3].
答案:(1)A (2)[-4,3]
掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
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2 , < 0,
变式训练 1 下列图形是函数 y=
的图象的是(
-1, ≥ 0
)
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解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);
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< < 1,
的图象如图①,
2, ≥ 1
观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,
-2 + 2, ≤ -1,
化为分段函数 y= 4,-1 < ≤ 3,
2-2, > 3,
它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
解:(1)函数 y=
f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量取值的步骤
(1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
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解:(1)f
∴f
探究二
1
-2
1
-2
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3
1
=-2+2=2,
3 2
3
=f 2 = 2
1
9
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9
= 4,
1
9
9
=f 4 = 2 × 4 = 8.
(2)当 f(x)=x+2=2 时,x=0,不符合 x<0.
当 f(x)=x2=2 时,x=± 2,其中 x= 2符合 0≤x<2.
, ≥ 0,
y=
这个函数有什么特点?
-, < 0.
提示:当x≥0和x<0时,这个函数表达式不一样,也就是对应关系不
同.
(2)作出函数y=2x(x∈R)的图象,再作出y=x2(x∈R)的图象.把这两
个图象放在同一个直角坐标系中还能表示函数图象吗?
提示:函数y=2x(x∈R)和y=x2(x∈R)合起来不能表示函数图象,因
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反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其图象,首先根据绝对值的意义去
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自主预习
2.填空
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不
同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
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自主预习
3.做一做
-1, > 0,
(1)函数 f(x)= 0, = 0,
则f
+ 1, < 0,
1
1
3
A.
B.C.
2
2
1
2
的值是 (
3
D.-
2
2