(完整word版)三、数列求和专项练习高考题(含知识点),推荐文档

数列的前n 项和的求法

1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332

(1)123[]2n n n +++++=L .

例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和.

解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x 由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝

2

11)211(21--n ＝1－n 21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公

式法求和.

例2、 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项

相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k

=-++； ③2211111

()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -

=<<=-++--； ④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!

n n n n =-++；

⑥=<<=. 例6、 求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11

,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项） 则 1

1

321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-

＝11-+n

例7、 在数列{a n }中，1

1211++⋅⋅⋅++++=

n n

n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=

∴ )11

1(82

122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和