2.4.1正态分布 (2)

2. 4.1正态分布

【教学目标】

1.了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单

应用。

2.了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对

生产过程进行控制。

【教学重难点】

教学重点：1.正态分布曲线的特点；

2.正态分布曲线所表示的意义.

教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；

2．正态分布曲线所表示的意义.

【教学过程】

一、设置情境，引入新课

这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？

问题 2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？

问题 3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号

为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直

方图吗？

问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？

二、合作探究，得出概念

随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.

这条曲线可以近似下列函数的图像：

22()2,(),(,),2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞

其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简

称正态曲线。

问题 5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽

度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足

,(

a P a

b x dx μσϕ≤=⎰） 则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，

则记为2X N μσ（，）。

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？

问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点

吗？

可以发现，正态曲线有以下特点：

（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；

（2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；

（3） 曲线在x μ=处达到峰值2σπ

； （4） 曲线与x 轴之间的面积为1；

（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；

（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,

表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分

散。

若2X N μσ（，），则对于任何实数0,a >概率

,(

对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间

,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大.

特别有

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。而在此区

间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发

()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774.

P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=

生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布2N μσ（，）的随机变量X 只取

(3,3)μσμσ-+之间的值，简称之为3σ原则

三、 典型例题

例1. 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即

(90,100)N ξ。

（1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间

的考生大约有多少人？

解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可

以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.

解：因为 (90,100)N ξ，所以 μ=90， σ=10。

（1） 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.9544,而

该正态分布中，

29021070,290210110μσμσ-=-⨯=+=+⨯=，于是考试成绩ξ位于区间

（70,110）内的概率就是0.9544。

（2） 由μ=90， σ=10，得80,100μσμσ-=+=。由于正态变量在

区间(,)μσμσ-+内取值的概率是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间

（80,100）内的概率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在

（80,100）间的考生大约有2000⨯0.6826≈1365人。

点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)μσμσ-+，

(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确

定所给区间属于上述三个区间中的哪一个.

变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此

估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）

.(90,110]A .(95,125]B .(100,125]C .(105,115]D 答案C

四、 反馈测评

1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21

)(22+∞-∞∈=-x e x f x π

（２）),(,221)(8)1(2

+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,)

x f x x -+=

∈-∞+∞ 2.若随机变量(2,4)N ξ-,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个

区间上取值的概率（ ）

.(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D -

3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于