电动力学知识总结解析

第一章 电磁现象的普遍规律

§1.1 电荷与电场

1、库仑定律

（1）库仑定律

如图1-1-1所示，真空中静止电荷'

Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F 为

()'

3''0

41r r r

r Q Q F --=

πε （1.1.1）

式中0ε是真空介电常数。

（2）电场强度E

静止的点电荷'

Q 在真空中所产生的电场强度E

为

()'

3

'

'

41r r r r Q E --=πε （1.1.2）

（3）电场的叠加原理

N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为

()'1

3

'

0'

4i

N

i i i r r r r Q E --=∑

=πε （1.1.3）

体积V 内的体电荷分布()'r

ρ所产生的场强为

()()'

3

'

''0

41r r r r dV r E V

--=

⎰

ρπε （1.1.4）

式中'r 为源点的坐标，r

为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度

高斯定理：电场强度E

穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑i

i Q 除以0ε。用公式表示为

∑⎰

=

⋅i

i

S

Q

S d E 0

1ε （分离电荷情形） （1.1.5）

或

⎰

⎰

=

⋅V

S

dV S d E ρε0

1

（电荷连续分布情形） （1.1.6）

其中V 为S 所包住的体积，S d

为S 上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式

⎰⎰⋅∇=⋅V

S

dV E S d E

（1.1.7）

由（1.1.6）式可得静电场的散度为

ρε0

1

=

⋅∇E 3. 静电场的旋度

由库仑定律可推得静电场E

的环量为

0=⋅⎰L

l d E

（1.1.8）

应用积分变换的斯托克斯公式

⎰⎰⋅⨯∇=⋅S

L

S d E l d E

从（1.1.8）式得出静电场的旋度为

0=⨯∇E

（1.1.9）

§1.2 电流和磁场

1、电荷守恒定律

不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有

⎰⎰-=⋅V S dV dt

d

S d J ρ （1.2.1） 或

0=∂∂+⋅∇t

J ρ

（1.2.2）

这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥－萨伐尔定律

'

r 处的电流元l Id 在r 处产生的磁感强度为

()3''

04r

r r r l Id B d --⨯=πμ （1.2.3） 参见图1-1-2。由此得沿闭合曲线L 流动的电流I 所产生的磁感强度为

()()⎰--⨯=L r

r r r l Id r B 3''0

4 π

μ

(1.2.4)

如果电流是体分布，则电流元

为()

''

dV r J ，这时

()()()'

3'''04dV r

r r r r J r B d --⨯=πμ （1.2.5） ()()()'

3'''04dV r

r r r r J r B V ⎰--⨯= πμ （1.2.6） 3、磁场的环量和旋度

（1）安培环路定理

磁感强度B 沿闭合曲线L 的环量等于通过L 所围的曲面S 的电流代数和的0

μ倍；即

⎰⎰

⋅=⋅S

L

S d J l d B

0μ (1.2.7)

（2）磁场的旋度

由安培环路定理和斯托克斯公式

⎰

⎰⋅⨯∇=⋅L

S

S d B l d B

可得磁场的旋度为

J B

0μ=⨯∇ （1.2.8）

这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度

磁场的散度为 0=⋅∇B

（1.2.9）

§1.3 麦克斯韦方程组

1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广

按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路L 中产生的感应电动势为

⎰⋅-=Φ-

=S S d B dt d dt d

ε （1.3.1）

依定义，感应电动势ε是电场强度感E

沿导体回路L 的线积分，因此（1.3.1）

式可写做

⎰⎰⋅-=⋅S L i S d B dt

d l d E （1.3.2） 其中i E

是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。

麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电

场感E

，并且满足（1.3.2）式。

应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式

t

B E i ∂∂-=⨯∇

（1.3.3）

在一般情况下，既有静电场S E ，又有感应电场i E

，则总电场便为

i S E E E

+= （1.3.4）

又因为0=⨯∇S E

，故得

t

B

E ∂∂-=⨯∇ （1.3.5）

这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推广

稳恒电流的安培环路定理为J B

0μ=⨯∇，由此得出