知识点总结-选修2-3计数原理知识讲解
高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和. 解：（2）由通项可知，展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以，第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
表示？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
解：首先将A、B、C、D排成一排，共有 A44 种排法，每一种
排法都会产生五个“空”，在这五个“空”中任选一个，将E
放入，共有 C51 种方法；其次，E中的两个元素可以交换，有 A22
种方法.
所以，共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
（
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
）？
作业： 1.一个集合由8个元素组成，这个集合含有3个元素的子集有多 少个？ 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位，每个单位至少 两人，一共有多少种不同的分配方案？ 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项，并说明它是展开式的第几项.
3x
入，共有 A43 种排法. 所以，一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法有多 少种？ （2）甲、乙相邻. 解：（2） 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻，所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
高中数学选修2-3 第一章 计数原理 章末总结
法；剩下的 2 名护士配备给丙医生，只有一种方法．故组成
2 三个体检队的方法共有 C2 6C4＝90(种)．
将三个体检队派往三个学校，每校 1 队，不同的分派方
3 法有 A3 ＝6(种)．
由分步计数原理，满足题意的不同分配方法数为 90×6 ＝540(种)．
共有多少？
【解】 解法一：设计让 3 所学校依次挑选：先让学校
2 1 2 甲挑选，有 C1 C 种；再由学校乙挑选，有 C 3 6 2C4种；余下的 2 2 到学校丙只有一种．于是不同的方法数共有 C 1 C1 3C 6· 2C4 ＝
540(种)．
解法二：组成三个体检队：给甲医生配备 2 名护士，不
根据分步计数原理， 一共有 720×840＝604 800(种)安排 顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A12 12种排 法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的 A12 12 顺序可有A10＝A2 12＝132(种)排法． 10
6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排
均可独立完成这件事 ( 可类比物理中的“并联”电路来理 解 ) ；分步计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有 当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完 成(可类比物理中的“串联”电路来理解)．运用时要掌握
其计数本质，合理恰当地运用两个原理．
排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，
分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基 础．在应用题的考查中，经常要用它对问题进行分类或分
步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或
分步往往是解应用题的关键．两个原理的共同之处是研究 做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差 异是“分类”与“分步”．
选修2-3第一章计数原理归纳整合
别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
网络构建 专题归纳 解读高考
【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
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解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
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要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
数学选修2-3知识点总结
数学选修2-3知识点总结
计数原理：这部分主要讲解分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
分类加法计数原理指的是，如果完成一件事情有N类方法，每类方法中有不同的方法数，那么完成这件事情的总方法数就是各类方法数之和。
而分步乘法计数原理则是说，如果完成一件事情需要分成N 个步骤，每个步骤中有不同的方法数，那么完成这件事情的总方法数就是各步骤方法数之积。
二项式定理：这部分主要讲解二项式定理及其通项公式，以及二项式系数的性质。
二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，而二项式通项公式则给出了展开式中每一项的具体形式。
二项式系数的性质包括对称性、增减性与最大值以及各二项式系数和等。
概率论初步：这部分主要讲解随机事件、概率等基本概念，以及概率的基本性质。
随机事件是指在一次试验中可能出现的结果，而概率则是衡量随机事件发生的可能性的数值。
随机变量及其分布：这部分主要讲解随机变量的概念及其分布。
随机变量是随机试验可能出现的结果的数值表示，常见的随机变量分布有离散型分布和连续型分布。
以上就是数学选修2-3的主要知识点，通过学习这些内容，学生可以掌握基本的计数原理、二项式定理、概率论以及随机变量及其分布等数学知识，为进一步学习数学或其他相关学科打下基础。
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
(完整版)高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： m n A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且mn n m nC C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n n n n nC C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。
高中数学新人教A版选修2-3课件：第一章计数原理本章整合
组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.
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专题一
专题二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
专题三
应用 1 设 4 名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案有 a
的方法都有 n 种,由分步乘法计数原理得,从 n 个不同元素里有放回地取出
m 个元素(允许重复出现)的排列数为:N=n·
n·
n·
…·
n=nm(m,n∈N*,m≤n).
(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一
种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简捷明了,富有创意性和趣味性.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的综合
应用.
解析:先将甲乙捆绑,看作一个元素,有A22 种排法,然后将除甲乙丙之外
的 4 名学生全排列,有A44 种不同的排法,再将甲乙丙插入 5 个空中的两个,有
A25 种不同的排法,所以一共有A22 A44 A25=960 种不同排法.
答案:960
答案:B
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S 随堂练习
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
1
2
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
3
4
5
6
7
8
2.(2013·福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实
高中数学选修2-3：第一讲 计数原理 含解析 精品
第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教材扫描】1．分类加法计数原理2．分步乘法计数原理3.两个原理的区别【知识运用】题型一：分类加法计数原理的应用【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．[解析] (1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案] 36[一题多变]1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．[变条件，变设问]用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．答案：15【变式】1某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法.（2）从1）班、（2）班男生或高3）班女生中选1名学生任有3类不第1类，1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.2.从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？分四类：从一班中选一人，有4种选法．从二班中选一人，有5种选法．从三班中选一人，有6种选法．从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．3. 一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．【解析】任选一名同学参加学科竞赛，有两类办法：第一类：从男同学中选取一名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类：从女同学中选取一名参加学科竞赛，有5种不同的选法．由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．【答案】8题型二：分步乘法计数原理的应用类型一：涂色A B C D四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相【例2-1】如图,将图中的,,,邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．⨯⨯⨯=种.【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有5433180【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.【变式】用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，问一共有多少种不同的方法着色？【解】由分步乘法计数原理知第1步，涂①区有6种方法；第2步，涂②区有5种方法；第3步，涂③区有4种方法；第4步，涂④区有4种方法．由分步乘法计数原理知，共有N＝6×5×4×4＝480(种)方法．类型二：数字问题【例2-2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．【变式】1、从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解] (1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A．24 B．18C．12 D．6解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．3.某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．题型三、两个计数原理的综合应用【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【变式】1.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解析：选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．2. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解】依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．【强化练习】1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A．6种 B．12种C．30种 D．36种解析：选B ∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )A．15 B．12C．10 D．5解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．4种 B．5种C．6种 D．12种解析：选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．4．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种 C．8种D．12种B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法.5．由错误！未找到引用源。
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班级：高二（ ）班 学号： 姓名：一．知识点整理1、两个基本计数原理： （1）分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
2、排列（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅=， 3、组合（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。
（2）组合数公式： （3）组合数公式性质： 性质1: m n nm n C C -= 性质2: 111+++=+k n k n k n C C C 推论1: t n t n k k k C C C C C 122110+++=+⋅⋅⋅+++ 推论2: 1121++++=+⋅⋅⋅+++k n k n k k k k k k C C C C C4、二项式定理：（1）二项式定理：011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++（2）通项是展开式的第 项，即：2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二．巩固练习 1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。
高中数学知识点总结选修2-3
高中数学知识点总结选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第第 2 类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有“不重不漏”。
1 类方案中有m 种不同的方法，在N=m+n 种不同的方法。
分类要做到分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m× n 种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n 元集合A={a1 ， a2?， an} 的不同子集有2n 个。
1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。
从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号Amn 表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定： 0!=11.2.2 组合一般地，从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出元素的一个组合(combination) 。
从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个nm 不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号Cn 或 m 表示。
m 个组合数公式：mm∵ Amn=Cn?Am∴规定： ?? =组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理 (binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2杨“辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当 n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn+12 取得最大值；n+1当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn ，Cn 同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为012kn2n=Cn+Cn+Cn+ ?+Cn+ ?+Cn(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：024135Cn+Cn+Cn+ ?=Cn+Cn+Cn+ ? n-1(5)一般地，rrrrr+1Cr+Cr+1+Cr+2+ ?+Cn-1=Cn(n> )第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable) 。
高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结电子教案
选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A mn用于计算， 或m nA )!(!m n n -=()n m N m n ≤∈*,, 用于证明。
nnA =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用mn C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 用于计算，或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结
选修 2-3 定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第n类办法中有 m n种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯⋯ +m n种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1× m2×⋯⋯ m n种不同的方法分类要做到“不重不漏” ，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别 :如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事 ,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理 .4.排列 :从n个不同的元素中取出m 个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .（1）排列数:从n个不同的元素中取出m 个 (m≤ n)元素的所有排列的个数.用符号A n m表示（2）排列数公式 : A m n(n1)(n2)( n m1)用于计算，nm n!n,m N,m n用于证明。
或 A nm)!(nA n n=n!= n n132 1 =n(n-1)!规定 0！=15.组合：一般地，从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（ 1）组合数 : 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数，用 C n m表示（2）组合数公式 : C n m Anmn(n1)(n 2)(n m1)用于计算，A m m m!或 C m n n!( n, m N ,且m n)用于证明。
m! (n m)!（ 3）组合数的性质：① C n m C n n m．规定： C n01；② C n m1＝ C n m + C n m 1 .③ C n n 1 C n1n④ C n n16.二项式定理及其特例：（1）二项式定理 a b n0n1n 1r n rbr n nn NC n a C n a b C n a C n b展开式共有 n+1 项，其中各项的系数C n r r0,1,2,, n叫做二项式系数。
高中选修23第一章计数原理学习知识点总结计划与训练.docx
.第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从 n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
..A m m(m ≤n) 个元素的所有不同排2、排列数：从 n 个不同元素中取出n列的个数叫做从n 个不同元素中取出A mm 个元素的排列数。
用符号n表示 .3、排列数公式：A n m n n 1 n2n m1n !n m !其中n , m N * , 并且m n .4、组合：一般地，从 n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出 m(m ≤n) 个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。
用符号Cnm表示。
6、组合数公式：C m n n1n2n m1nm!n!m! n m!其中n , m N*, 并且m n .注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关 ,有关就是排列 , 无关便是组合 .判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质：CmCnmCmCm 1m n n n nCn 1..三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：2、性质：奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：C n0 C n2 C n4 L C n1 C n3 C n5 L2n 1..注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有 4 个男生和 3 个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；.2、某城新建的一条道路上有12 只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、 (1) 今有 10 件不同奖品 ,从中选 6 件分成三份 , 二份各 1 件,另一份4 件, 有多少种分法 ?(2)今有 10 件不同奖品 ,从中选 6 件分给甲乙丙三人 ,每人二件有多少种分法 ?4、从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛 ,每校至少有 1 人,这样有几种选法 ?5、将 8 个学生干部的培训指标分配给 5 个不同的班级，每班至少分到 1 个名额，共有多少种不同的分配方法？.6、对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品 ,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5 次测试时全部发现, 则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和6 名护士被分配到3 所学校为学生体检 ,每校分配1 名医生和2 名护士 ,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B、C、D 四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：(1 ) 求值： 1C 51 2 2 C 52 2 4 C 53 2 6 C 54 2 8 C 552 10..。
人教a版数学【选修2-3】第1章《计数原理》归纳总结ppt课件
2．(2012·浙江理，6)若从1、2、3、„、9这9个整数中同
时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 C．65种 [答案] D B．63种 D．66种 )
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识．取出的 4 个 数和为偶数，可分为三类．
4 2 2 四个奇数 C4 5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4. 4 2 2 共有 C4 ＋ C ＋ C 5 4 5C4＝66 种不同取法． [点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
1 n n ③各二项式系数的和：C0 ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 . n n n
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章末归纳总结
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(4)解决二项式定理问题的注意事项
n－k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk＋1＝Ck a b ，注意(a n
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指
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3．在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是(
)
A．－25
C．5 [答案] B
B．－5
D．25
[解析] (x2＋x＋1)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4，其展开式中 x4
中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部
分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
第一章 章末归纳总结
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2．排列与组合 (1)排列与组合的定义
数学高中选修2-3第一章 计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理
制作 冯健璇
问题1 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车。若一天中火车有3列,汽车有2辆。那么一天中乘坐 这些交通工具从温州到杭州有多少种不同的走法?
变式： 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车，还可以乘飞机。若一天中火车有3列,汽车有2辆， 飞机有４架。那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法?
分类计数原理
(加法原理)
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，
则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
在1,2,3,…,200中，能够被5整除的数共有 多少个？ 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5， 因此，我们把1,2,3,…,200中，能够被5整除的 数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个． 第二类：末位数字是5的数，一共有20个． 根据加法原理，在1,2,3,…,200中，能够被5整 除的数共有20+20=40个．
一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地的产品有4种，外地的产 品有7种，要买1台这种型号的电视 机，有多少种不同的选法？
N= 4 + 7 =11
分类计数原理
针对的是“分类”问题
(加法原理)
各类方法相互独立
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
完成一件工作，有两种方法，有5个人只会 用第一种方法，另外有4个人只会用第二种 方法，从这9个人中选1人完成这件工作， 一共有多少种选法？ 分类计数原理： 针对的是“分类”问题
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
(名师精编)高中数学选修2-3知识点清单
一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称
P(B|A)
=
P(AB) P(A)
为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率(conditional probability)。
如果 B 和 C 是两个互斥事件，则
P(B ∪ C|A) = P(B|A) + P(C|A)
2.2.2 事件的相互独立性
(4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：
(5) 一般地，
Cn0 + Cn2 + Cn4 + ⋯ = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ⋯
Crr + Crr+1 + Crr+2 + ⋯ + Cnr−1 = Cnr+1 (n > ������)
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布
另一方面，b̂和â为斜率和截距的估计值，它们与真实值 a 和 b 之间也存在误 差，这种误差是引起预报值ŷ与真实值 y 之间存在误差的另一个原因。
由于随机误差 e = y − (bx + a)，所以ê = y − ŷ是 e 的估计量。 对于样本点
它们的随机误差为
(x1，y1)，(x2，y2)， ⋯ ，(xn，yn)
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 *表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性
(2) 当 n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn2+1取得最大值；
n−1
n+1
当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn2 ，Cn2 同时取得最大值。
(3) 各二项式系数的和为 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋯ + Cnk + ⋯ + Cnn
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知识点总结-选修2-3
计数原理
计数原理知识点
知识网络
一、两个计数原理
1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； .....
在第n 类办法中有n m 种不同的方法
那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法.
2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； .....
做第n 步有n m 种不同的方法
那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合 1.排列
（1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫
做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号m
n A 表示.
（3）排列数公式：
其中*,N m n ，并且n m 特殊的，当n m 时，即有
!
!
121m n n m n n n n A m n
1
2321 n n n A n n
n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n
2. 组合：
（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫
做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号m n C 表示。
（3）组合数公式：
其中*,N m n ，并且n m ， 规定10
n
C
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质：
三、二项式定理
1. 二项式定理：一般地，对于*N n ，有
*)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a n
n n r r n r n n n n n n n n .
右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式，它一共有1 n 项，其中r r n r n b a C 叫做二项展开式的第1 r 项（也称通项），用1 r T 表示，即 r r
n r
n r b a
C T 1
如果在二项式定理中，设x b a ,1，则可以得到公式：
!
!!
!121m n m n m m n n n n C m n
m n n
m n C C m
n m n m n C C C 1
1
*)(1)1(221N n x C x C x C x C x n n n r r n n n
n 2. 一般地，有如下性质：展开式的二项式系数n
n n n C C C b a ,,)(10n （1）对称性）(m
n n m n C C
（2）m n m n m n C C C 11
（3）当n 为偶数时，最大2n n
C 当n 为奇数时，最大2121
n n
n n
C
C
（4）n n n n n
C C C 210 （令1,1 b a ） （5）奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
15314202 n n n n n n n
C C C C C C （令1,1 b a ）。