知识点总结-选修2-3计数原理知识讲解

知识点总结-选修2-3

计数原理

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一、两个计数原理

1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； .....

在第n 类办法中有n m 种不同的方法

那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法.

2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； .....

做第n 步有n m 种不同的方法

那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.

3、两个计数原理的区别

二、排列与组合 1.排列

（1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫

做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号m

n A 表示.

（3）排列数公式：

其中*,N m n ，并且n m 特殊的，当n m 时，即有

!

!

121m n n m n n n n A m n

1

2321 n n n A n n

n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n

2. 组合：

（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫

做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m n C 表示。

（3）组合数公式：

其中*,N m n ，并且n m ， 规定10

n

C

注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质：

三、二项式定理

1. 二项式定理：一般地，对于*N n ，有

*)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a n

n n r r n r n n n n n n n n .

右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式，它一共有1 n 项，其中r r n r n b a C 叫做二项展开式的第1 r 项（也称通项），用1 r T 表示，即 r r

n r

n r b a

C T 1

如果在二项式定理中，设x b a ,1，则可以得到公式：

!

!!

!121m n m n m m n n n n C m n

m n n

m n C C m

n m n m n C C C 1

1

*)(1)1(221N n x C x C x C x C x n n n r r n n n

n 2. 一般地，有如下性质：展开式的二项式系数n

n n n C C C b a ,,)(10n （1）对称性）(m

n n m n C C

（2）m n m n m n C C C 11

（3）当n 为偶数时，最大2n n

C 当n 为奇数时，最大2121

n n

n n

C

C

（4）n n n n n

C C C 210 （令1,1 b a ） （5）奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和

15314202 n n n n n n n

C C C C C C （令1,1 b a ）