空间曲面与方程
专题27：《空间曲面及其方程》内容小结、题型、典型题求解与空间图形绘制方法
专题27：《空间曲面及其方程》内容小结、题型、典型题求解
与空间图形绘制方法
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一、空间曲面的方程描述
1、图形与方程的对应关系
2、空间曲面的一般式方程
3、空间曲面的参数式方程
二、构建空间图形方程一般步骤
三、几个特殊旋转曲面及其方程
1、坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面方程
2、几个特殊的旋转曲面及形成方式
四、柱面
1、柱面相关基本概念
2、几个特殊的柱面及其方程
3、一般柱面方程的建立步骤
五、常见标准二次曲面及其参数方程
1、二次曲面的定义
2、椭球面
3、双曲面
4、抛物面
5、二次锥面
6、直纹面六、绘制空间与平面图形
六、绘制空间与平面图形对于空间图形的绘制请参见如下推文：
•空间图形篇：还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？
•平面图形篇：还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？
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空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
空间曲面及其方程
116 .
3
3 9
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x2 y2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0.
例6 yoz坐标面上的直线 z a,绕y(za轴旋0)转，试求所得 旋转曲面方程。
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz 面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x 2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M ( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
在这里只研究坐标平
面内的曲线绕该平面内 的坐标轴旋转产生
的曲面。
问题： 设f ( y, z) 0是yoz平面内的一条曲线，绕
平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线 x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。
空间曲面及方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
例如方程 在xoy面上， 表示的曲面 :
z
M
1
o C 表示准线圆C, M
y
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行z轴的直线l ,对任意 z ,点 M ( x, y, z )
的坐标也满足方程 x y R
一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程
f y,
x 2 z 2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x 轴和 z 轴； （1）双曲线 2 2 1 分别绕 a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
第三节 曲面及其方程只是分享
25
现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z
2 p 2q
x2 y2 z 2 p 2q
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
称为二次曲面的标准方程.
26
2、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法) 用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。
球 面 方 程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点, | MM0 | R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 特殊 球心在原点的球面方程 x2 y2 z2 R2
O
y
x
M(x, y,z)
14
圆锥面方程 z x2 y2 cot 即 z2 a2 ( x2 y2 ) (a cot )
a 1时, cot 1
4
即 圆锥面方程 z2 x2 y2
(用得较多)
15
yOz面上直线方程为 y z cot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
z
y x2 z2 cot 即 y2 cot2 ( x2 z2 )
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2
圆锥面的半顶角.
z
z
O
y
x
O
y
x
13
例：试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. z
解 在yOz 面上,直线方程为
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间区域在坐标平面上的投影草图画法
8.4曲面、曲线及其方程
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(ii)抛物线 y2 2 pz绕 z 轴； ( Ellipsoid )
x 0
旋转抛物面
x2 y2 2 pz
( Paraboloid )
例9 . 试求顶点在原点且包含3个坐标轴的圆锥面方程.
解:所求的圆锥面可以看成是由 x 轴绕“过原点的旋转 轴,其旋转轴的方向为 OS (1，1，1) 旋转而成的.
f y, x2 z2 0.
绕哪个 轴旋转,该轴所对应的变量不变, 另一个变 量用其它两个变量的平方和的算术平方根(加±号) 代替。
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角
为 的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z轴旋转时,圆锥面的方程为
L
M1(0, y1, z1)
第四、五节 空间曲面、空间曲线 及其方程
一、空间曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、空间曲线方程的概念 五、空间曲线在坐标面的投影
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z),则 AM BM ,即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
其中: OM (x, y, z),OM1 (t,0,0) 代入上式得
| OS OM | | OS OM1 | | OS || OM | | OS || OM1 |
化简得 2x 6 y 2z 7Fra bibliotek 0说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
第四节 曲面及其方程
2
z1 )
2
y
b 2 (c 2 c2
2
z12 )
1
x
a
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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3 抛物面
x2 y2 2 2z (1) 椭圆抛物面 2 p q
z
标准方程
截痕:
用z = a截曲面 椭圆
用y = b截曲面
抛物线 用x = c截曲面
1
双叶双曲面
x2 y2 2 2 a b
1
• 柱面:
x2 y2 2 1 2 a b
返回
结束
3. 两条相交直线
z2 y2 2 2 = 0 b a x = 0
z
绕 z 轴旋转一周. 得 圆锥面
z x y 0 2 2 a b
2 2 2
o
y
当a = b = 1时,
x
圆锥面为
z x2 y2 .
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y 2 az 绕 z 轴旋转一周, 得 4. 抛物线 x0 z 旋转抛物面 x 2 y 2 az
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例9 指出下列方程的图形: 方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
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结束
四、二次曲面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕: 用z = a截曲面
8-3曲面方程与空间曲线方程的概念
Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程
法向量 n = { A, B,C}.
6
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D = 0, 平面Ax+By+Cz=0通过坐标原点；
D = 0, 平面By+Cz=0通过 x轴；
(2)
A
=
0,
D
0,
平面By+Cz+D=0平行于x轴；
D = 0,平面Ax + Cz = 0过y轴;
B
=
0, D
0,平面Ax
+
Cz
+
D
=
0平行于y轴
D = 0,平面Ax + By = 0过z轴;
C
=
0,
D
0,平面Ax
+
By
+
D
=
0平行于z轴
(3) A = B = 0, 平面Cz+D=0平行于xo坐y标面；
A = C = 0, 平面By + D = 0平行于zox坐标面;
B = C = 0,平面Ax + D = 0平行于yoz坐标面.
2
2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0,
n1 = { A1, C2 },
10
两平面夹角余弦公式：
cos =
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
两平面位置特征：
(1) 1⊥ 2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0;
第6-4节(曲面、空间曲线及其方程)
江西理工大学理学院第 4 节曲面、空间曲线及其方程江西理工大学理学院一、曲面方程的概念曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) = 0 有下述关系：（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．江西理工大学理学院以下给出几例常见的曲面.例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.解设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，根据题意有| MM 0 |= R2 22 2 2( x − x0 )2+ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = R2所求方程为 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R2 2 22江西理工大学理学院例 2 求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4)的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程.解设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，| MO | 1 = , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 + y2 + z2( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)2 221 = , 222⎞ 4 ⎞ 116 2 ⎛ ⎛ . 所求方程为 ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 3⎠ 9 ⎝ ⎝2江西理工大学理学院例 3 已知 A(1,2,3) ， B( 2,−1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.解设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，根据题意有 | MA |=| MB |,( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 )2 22( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 4)2 , =化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.江西理工大学理学院2 2 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？解根据题意有 z ≥ −1用平面 z = c 去截图形得圆：z( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 1 + c (c ≥ −1)当平面 z = c 上下移动时， 得到一系列圆coxy圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．江西理工大学理学院以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）江西理工大学理学院二、旋转曲面定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．播放 播放江西理工大学理学院旋转过程中的特征： 如图设 M ( x , y , z ),z⋅ M ( 0, y , z ) ⋅ Md1 1 1(1) z = z1（2）点 M 到 z 轴的距离o x2 2f ( y, z ) = 0yd=x + y =| y1 |2 2将 z = z1 , y1 = ± x + y 代入f ( y1 , z1 ) = 0江西理工大学理学院z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0 将得方程f (± x + y , z = 0,2 2)yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为f y, ±(x 2 + z 2 = 0.)江西理工大学理学院例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 ⎛ 0 < α < π ⎞ 叫圆锥面的 的顶点，两直线的夹角 α ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为α 的圆锥面方程． z解yoz 面上直线方程为 z = y cot α2 2⋅ αoM 1 (0, y1 , z1 )y圆锥面方程z = ± x + y cot αxM ( x , y, z )江西理工大学理学院例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．⎧ x2 z2 ⎪ 2 − 2 =1 （1）双曲线 ⎨ a 分别绕 x 轴和 z 轴； c ⎪ y=0 ⎩x2 y2 + z2 绕 x 轴旋转 − =1 2 2 a c x +y z − 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2旋 转 双 曲 面⎧ y2 z2 ⎪ 2 + 2 =1 （2）椭圆 ⎨ a 绕 y 轴和 z 轴； c ⎪x = 0 ⎩ y2 x2 + z2 旋 绕 y 轴旋转 + =1 2 2a c x +y z + 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2江西理工大学理学院转 椭 球 面⎧ y 2 = 2 pz （3）抛物线 ⎨ 绕 z 轴； ⎩x = 0x 2 + y 2 = 2 pz旋转抛物面江西理工大学理学院三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:播放 播放江西理工大学理学院柱面举例zzy = 2x2平面o xo xyyy= x抛物柱面江西理工大学理学院从柱面方程看柱面的特征：只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) = 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）实 例y z + 2 = 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 − 2 = 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x = 2 pz22江西理工大学理学院四、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.⎧F ( x, y, z ) = 0 ⎨ ⎩G ( x , y , z ) = 0空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.zS1 S2oxCy江西理工大学理学院⎧ x2 + y2 = 1 例7 方程组 ⎨ 表示怎样的曲线？ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6解x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面，2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，⎧ x2 + y2 = 1 ⎨ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6交线为椭圆.江西理工大学理学院⎧z = a2 − x2 − y2 ⎪ 2 表示怎样的曲线？ 例8 方程组 ⎨ a 2 a 2 ⎪( x − ) + y = ⎩ 2 4解z = a2 − x2 − y2上半球面,a 2 a2 2 圆柱面, (x − ) + y = 2 4交线如图.江西理工大学理学院五、空间曲线的参数方程⎧ x = x(t ) ⎪ ⎨ y = y( t ) 空间曲线的参数方程 ⎪ z = z( t ) ⎩当给定 t = t1 时，就 得到曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,0αb +空间曲线投影柱面。
曲面曲线方程
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
第三节 曲面空间曲线的方程
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例4 方程
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
例 3 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
f y,
x 2 z 2 0.
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
R 例 1 建立球心在点M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
8.2空间解析几何与向量代数 曲面方程(4)
z
M 0
y
M'
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
x
0
y
解: 设时间 t 为参数. 初始时刻 (t = 0)，动
点在 A(a, 0, 0) 处，经 时刻 t , 动点运动到 M(x, y, z).
z M
0
x A
y = | OM' | sin t = a sin t.
y
x A
参数方程
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义： 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 轴. 例如 : 该定直线称为旋转
表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面. 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
准线 xoz 面上的曲线 l3.
例 设 yz 平面有一已知曲线 C，它的方程为 f (y, z)=0. 将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面. 求此旋转面的方程。 设旋转面上任一点 M(x, y, z).
x = acos t, y = asin t , z = vt.
在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空 间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的空间曲 线在坐标面上的投影. 设空间曲线 C: F1(x, y, z)=0, F2(x, y, z)=0,
z C
若点 M(x, y, z)满足(5.7)， 则 (x, y) 满足(5.8). 故 C 上的点均在柱面(5.8)上. 即 C 是柱面 (5.8)上的 一条曲线. 故 C 在 xy 平 面的投影为 H (x , y ) = 0 z=0 (5.9) 投影方程
例5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速 度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中, v 都是常数). 则点 M 构成 的图形为螺旋线. 试建立其方程.
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的曲线、曲面或曲体。
在几何学中，研究空间曲面的形状、性质以及其方程是一项重要的课题。
一、曲面的基本概念曲面可以用数学语言进行描述，其具体形式取决于其类型和特性。
常见的曲面包括球面、圆柱面、抛物面、双曲面等。
1. 球面：球面是以一个固定点为球心，以一定半径为半径的点的集合。
球面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
2. 圆柱面：圆柱面由一条直线L（母线）沿着一条平面曲线C（母线曲线）平行移动形成。
圆柱面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3. 抛物面：抛物面是一个像开口碗一样的曲面。
抛物面方程可表示为z=ax²+by²，其中a和b为常数。
4. 双曲面：双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=1，双叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=-1。
二、空间曲面的方程表示空间曲面的方程描述了曲面上的所有点的几何特征。
不同类型的曲面有不同的方程形式。
1. 参数方程：使用参数方程可以表示曲面上的每个点。
例如，曲线的参数方程可以写为x=f(u)，y=g(u)，z=h(u)，其中u为参数。
2. 一般方程：一般方程是通过将曲面上的点的坐标表示为x、y和z 的函数来定义。
例如，一般方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是一个关于x、y和z的函数。
3. 隐函数方程：隐函数方程是通过将曲面上的点的坐标表示为一个或多个变量的函数来定义。
例如，隐函数方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是关于x、y和z的方程。
三、空间曲面的性质和应用空间曲面的性质和应用广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。
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x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
例 2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
x2 y2 R2 表示母线平行于z轴,准线C是xOy平面上
的一条曲线的圆柱面
一般地,在三维空间
z
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线:平行于 z 轴;
x
准线:xoy 面上的曲线 l1.
l1
y z l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面, 母线:平行于 x 轴;
y x
准线:yoz 面上的曲线 l2.
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
(2) a b c,
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
旋转过程中的特征：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
例 1 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
二、平面和球面 （1）平面
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0)
此方程称为平面的一般方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;
1.2 曲面及其方程
一、空间曲线的方程概念 二、平面和球面 三、柱面与旋转曲面 四、二次曲面
一、空间曲面方程概念
❖ 曲面的实例： 水桶的表面
台灯的罩子面 反光镜的镜面，
管道的外表面 锥面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0 代入已知点 (4, 3, 1)得
化简,得所求平面方程
想一想：
通过x轴：A=D=0 通过y轴:B=D=0 通过z轴： C=D=O
例 4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0 ，b 0，c 0 ），
常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面
下面介绍一些常见的曲面,主要讨论 一下两个问题：
（1）根据曲面上动点的特性建立曲 面的方程F（x，y，z）=0
（2）根据方程F（x，y，z）=0的特点，讨 论该方程所表示曲面的形状
常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面
方程 F(x,y,z)=0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面.
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
z
方程 H (z, x) 0 表示柱面, l3
母线:平行于 y 轴;
x
y
准线:xoz 面上的曲线
l3.
柱面举例
z
o x
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面. x
z
y2 2x
y
o
抛物柱面 x
z o
y
平面
y
y x
2、旋转曲面
定义 以一条平 面曲线C 绕其平面 上的一条直线L 旋 转所成的曲面称为 旋转曲面.
x2 y2 z2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
四、二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
例如方程
表示的曲面 :
M
在xoy面上，
表示准线圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x, y,0), 过此点作 x
平行z轴的直线l ,对任意 z ,点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
三、柱面与旋转曲面
1、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫
柱面的准线，动
播放
直线L 叫柱面的
母线.
观察柱面的形 成过程:
柱面的母线平行于z轴,准线C是xOy平 z 面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0.
（2）球面
例 2 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
o y
x
（三）双曲面
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
AD, BD, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
f y, x2 z2 0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周2
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕 y 轴和z 轴；
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
小结
❖ 常见的曲面：
❖ 平面（方程的特点是什么）
❖
球面（方程的特点是什么）
❖ 柱面（方程的特点是什么）
• 当 A = 0 时,平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.