最新曲面及其方程PPT课件
合集下载
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
7-5曲面及其方程 共42页
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
球面的一般方程：x 2 y 2 z 2 D E x F y G z 0
圆 ( D ,心 E , F )半 , R 径 1D 2 为 E 2 F 2 4 G 3
222
2
例3 问方 x2程 y2z22x4y4z0表示什?么 解 方程可化为:
这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
6
三、旋转曲面
(1)定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
7
三、旋转曲面
(1)定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
观察柱面的形 成过程:
29
柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
30
柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
§7-5 曲面及其方程
一、球面及其方程 1. 曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
球面的一般方程：x 2 y 2 z 2 D E x F y G z 0
圆 ( D ,心 E , F )半 , R 径 1D 2 为 E 2 F 2 4 G 3
222
2
例3 问方 x2程 y2z22x4y4z0表示什?么 解 方程可化为:
这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
6
三、旋转曲面
(1)定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
7
三、旋转曲面
(1)定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．曲线叫旋 转曲面的母线.
观察柱面的形 成过程:
29
柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
30
柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
§7-5 曲面及其方程
一、球面及其方程 1. 曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
《曲面及其方程》PPT课件
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程， 经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
《曲面及方程》课件
7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始，逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念，包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面？
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪
8.3 曲面及其方程(新)
2 2
（2）曲线 F (x, z) 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程
F x2 y 2 , z 0
F (x, z ) 0 绕 x 轴旋转呢？
F x, y z
2
2
0
11
例 3 试建立顶点在原点，旋转轴为 z 轴，半顶角 z 为 的圆锥面方程.
解：在 xOy面上，直线 L的方程为
7
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其 平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8
问题 : 求 yoz 面上一条曲线 C : F ( y, z ) 0 绕 z 轴旋转所成的曲面方程. [方法] F ( y1 , z1 ) 0 z 设曲线 C上任一点 M1 (0, y1 , z1 ) d M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转, 转到点 M ( x, y, z ). M (1) z z1
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
30
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面 注意：双叶双曲面与旋转 双叶双曲面的区别！ 旋转双叶双曲面：
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
31
作业：8-3 P31
4, 5, 7, 9(3)(4)
32
思考题
即， ( x 1) 2 +( y 2) 2 ( z 3) 2 ( x 2) 2 +( y 1) 2 ( z 4) 2
化简得 2 x 6 y 2 z 7 0.
(表示一个平面)
说明：动点的轨迹为线段 AB的垂直平分面.
（2）曲线 F (x, z) 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程
F x2 y 2 , z 0
F (x, z ) 0 绕 x 轴旋转呢？
F x, y z
2
2
0
11
例 3 试建立顶点在原点，旋转轴为 z 轴，半顶角 z 为 的圆锥面方程.
解：在 xOy面上，直线 L的方程为
7
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其 平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8
问题 : 求 yoz 面上一条曲线 C : F ( y, z ) 0 绕 z 轴旋转所成的曲面方程. [方法] F ( y1 , z1 ) 0 z 设曲线 C上任一点 M1 (0, y1 , z1 ) d M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转, 转到点 M ( x, y, z ). M (1) z z1
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
30
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面 注意：双叶双曲面与旋转 双叶双曲面的区别！ 旋转双叶双曲面：
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
31
作业：8-3 P31
4, 5, 7, 9(3)(4)
32
思考题
即， ( x 1) 2 +( y 2) 2 ( z 3) 2 ( x 2) 2 +( y 1) 2 ( z 4) 2
化简得 2 x 6 y 2 z 7 0.
(表示一个平面)
说明：动点的轨迹为线段 AB的垂直平分面.
曲面及其方程PPT
f x, y2 z2 0.
曲线 C: f ( x, z) 0绕 x 轴旋转曲面方程.
11
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
S : x2 z2 2 py
o y
又如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz z a(x2 y2)
x0
y
15
例9 问方程: y a x2 z2 (a 0) 表示什么图形?
解 表示xoy平面上的直线 y ax
9
下面我们重点讨论坐标面上的母线绕坐标轴旋转
的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕z轴旋转所成曲面的方程:
设 yoz 面上曲线 C:f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕z轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z)
C
M1(0, y1, z1)
M( x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1 故旋转曲面方程为
f ( x2 y2 ,z) 0
o
y
x
10
所以 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转曲面方程.
f x2 y2 , z 0,
同理： f ( y, z) 0绕 y 轴旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
z x
25
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
y
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
四、二次曲面
三元二次方程 F(x,y,z)0 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz绕z轴； x 0
x2y22pz 旋转抛物面
三、柱面
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x,y,0),过此点作 x
平行 z 轴的直线 l 对, 任意 z , 点M(x,y,z)
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
2.几种常用的旋转曲面方程的建立
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有
z
f(y1,z1)0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有
zz1 , x2y2y 1
z
xo y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 a2 b2 z
z
o
y
x
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 o
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
1.曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ： （1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
播放
2.柱面举例
• y2 2x表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
x
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
• xy0表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
z
o y
xz
o y
x
z 一般地,在三维空间
方F 程 (x,y)0表柱示 面,
母线 平行于 z 轴;
y x l1
准线 xoy 面上的曲线 l1：F(x,y)0
zl 2
方G 程 (y,z)0表柱示 面,
母线 平行于 x 轴;
y x
准线 yoz 面上的曲线 l2: G(y,z)0
z
方H 程 (z,x)0表柱示 面,
l3
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)0 x
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
zyco t
M 1(0,y1,z1)
圆锥面方程 zx2y2co t
o
y
令acot
x
两边平方
M (x,y,z)
z2a2(x2y2)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
故旋转曲面方程为
M(x, y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C:f(y,z)0
o y
x
f(y, x2z2)0
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
1.定义
平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
y
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
四、二次曲面
三元二次方程 F(x,y,z)0 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz绕z轴； x 0
x2y22pz 旋转抛物面
三、柱面
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x,y,0),过此点作 x
平行 z 轴的直线 l 对, 任意 z , 点M(x,y,z)
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
2.几种常用的旋转曲面方程的建立
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有
z
f(y1,z1)0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有
zz1 , x2y2y 1
z
xo y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 a2 b2 z
z
o
y
x
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 o
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
1.曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ： （1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
播放
2.柱面举例
• y2 2x表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
x
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
• xy0表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
z
o y
xz
o y
x
z 一般地,在三维空间
方F 程 (x,y)0表柱示 面,
母线 平行于 z 轴;
y x l1
准线 xoy 面上的曲线 l1：F(x,y)0
zl 2
方G 程 (y,z)0表柱示 面,
母线 平行于 x 轴;
y x
准线 yoz 面上的曲线 l2: G(y,z)0
z
方H 程 (z,x)0表柱示 面,
l3
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)0 x
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
zyco t
M 1(0,y1,z1)
圆锥面方程 zx2y2co t
o
y
令acot
x
两边平方
M (x,y,z)
z2a2(x2y2)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
故旋转曲面方程为
M(x, y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C:f(y,z)0
o y
x
f(y, x2z2)0
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
1.定义
平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程: