沪教版(五四制)六年级数学下册 5.2 有理数的运算 讲义(无答案)

【前铺1】 将下列各数归类：0， 1.5-，14，0.62+，3-，132，0.31•，π，98-. 其中整数有 ，分数有 ，正数有 ，负整数有 ，正分数有 ，非负数有 ，非负整数有 。

【前铺2】 下列各数2(2)-，2(2)--，2-，3(2)-①2332-⨯，②23(3)(2)-⨯-，③2007(1)-，④35(2)(3)--中，负数有 ．【前铺3】 大于112-且小于2的所有整数是 ．有理数的加减法有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律)第二讲 有理数的混合运算②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：(3)(0.15)9(5)(11)30.159511++-++++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例题1】计算：⑴5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵11(0.75)0.375(2) 84 +-++-【拓展】⑴21(4)(3)33-+-=⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-=⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-=⑷111(8.5)3(6)11332-++-+=⑸5317 (9)15(3)(22.5)(15)124412 -++-+-+-=⑹434(18)(53)(53.6)(18)(100)555-+++-+++-=⑺1132|1()|3553-----=⑻ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)--+----=⑼1111(3)[(3)3](3)4444⎡⎤-------=⎢⎥⎣⎦【例题2】 1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数【拓展】 (第17届希望杯2试)若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是( )A ．a b c d +++一定是正数．B ．d c a b +--可能是负数．C ．d c b a ---一定是正数．D ．c d b a ---一定是正数．【例题3】 电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例题4】 数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点．① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？【例题5】 在整数1，3，5，7，…，21k -，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【拓展】 数列1a ，2a n a 中，任意连续3项的和为负数，任意连续5项的和为正数。

求满足条件n 的最大值？有理数的乘除有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =(乘法结合律) ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. ()a b c ab ac +=+(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算. “奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： ⑴ 多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数， 例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．⑵ 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=． ⑶ 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正， 例如：2(3)9-=，3(3)27-=-． 特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅，(0b ≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=. 有理数混合运算的运算顺序：⑴ 先乘方（下一版块学习），再乘除，最后加减； ⑵同级运算，从左到右进行；⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括 号里的.以上运算顺序可以简记为：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．【例题6】 看谁算的又对又快:⑴()()()345826-⨯--⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ⑵4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶1571(8)16-⨯- ⑷()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑸111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【例题7】 若a b c ，，三个数互不相等，则在a b b c c ab c c a a b------，，中，正数一定有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【拓展】 如果0acb>，0bc <，且()0a b c ->，试确定a 、b 、c 的符号.【例题8】 若大于1的整数n 可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为n 的质因数．则下面四个命题中正确的是( )A ．n 的相反数等于n 的所有质因数的相反数之积．B ．n 的倒数等于n 的所有质因数的倒数之积．C ．n 的倒数的相反数等于n 的所有质因数的倒数的相反数之积．D ．n 的相反数的倒数等于n 的所有质因数的相反数的倒数之积．【拓展】 如果4个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n p q+++的值是多少？【例题9】 在20042004⨯方格表的每个方格中，任意填上1+或1-，设各行的积为1p 、2p 、、2004p ，各列的积为1q 、2q 、、2004q ，证明：122004122004S p p p q q q =+++++++是4的倍数。

【拓展】 1x 、2x 、、n x 是1+或1-，且123423451230n x x x x x x x x x x x x +++=，n 的最小值是多少？有理数的乘方及混合运算形如ma (0a ≠，m 为正整数)的整式叫做幂，表示m 个a 相乘，其中a 叫做幂的底数，m 叫做幂的指数............m n m n mnm na a a a a a a a a a a a ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=()...m n m m m mn na a a a a =⋅=().....(...)(...)m m m mmmab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=(...)(...)...m n m n mnm na a a a a a a a a a a a --÷=⋅⋅÷⋅⋅=⋅⋅=推广开来：01m m m m a a a a -==÷=00111()n n n n nn a a a a a a a--==÷=÷== 其中，0a ≠，m ，n 为正整数.【前铺1】 把下列各式写成乘方运算的形式：⑴ 111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ⑵ ()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⑶222227⨯⨯⨯⨯ ⑷ ()()66666-⨯⨯-⨯⨯-⑸ ()()()()n a ba b a b a b a b +++++个【前铺2】 (1)下列各式：① (2)--；② |2|--；③ 22-；④ 2(2)--，计算结果为负数的个数有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2) 计算()()2007200822-+-所得结果为（ ）．A ．20072B ．()20072- C ．20072- D ．－2【前铺3】 下列说法中，正确的个数为（ ）① 对于任何有理数m ，都有20m >； ② 对于任何有理数m ，都有()22m m =-；③ 对于任何有理数m 、n ()m n ≠，都有()20m n ->； ④ 对于任何有理数m ，都有()33m m =-． A ．1B ．2C ．3D ．0【例题10】 ⑴比较1002与753的大小⑵已知105x =，106y =，求2110x y +-的值。