保险精算第二讲

n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
基本符号

K ( x) k ——
x 岁投保的人



整值剩余寿命 bk ——保险金在死亡年 末给付函数 vk ——贴现函数。 zk ——保险赔付金在签 单时的现时值。 E( zk ) ——趸缴纯保费。
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,

k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
29
q50 t 1 p50 t 1

55 t (54 t ) 1 55 t 55 t 55 t 1 55 55 t
故，该保单的趸缴净保 费是： 100000 A
1 50:30
10000 1.08(t 1)
t 0
1 30 1 ( ) 100000 1 1 . 08 1 55 1.08 1 1.08 20468 .70

解释

2 死亡年末给付
第三节
1 保费厘定原则
死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定
2 死亡年末给付
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义

1 保费厘定原则 2 死亡年末给付
死亡年末陪付是指如果被 保险人在保障期内发生保 险责任范围内的死亡 ，保 险公司将在死亡事件发生 的当年年末给予保险赔付。
主要险种的趸缴纯保费的厘定
二 终身寿险
对（x）的1单位元死亡年年末赔付 的终身寿险，其精算现 值以Ax 表示。由于对投保人 ( x)可能在 k 0,1,2,.... 上死亡，因此终身寿险 精算现值 Ax正是( x)在各年死亡赔付期望现 值之和。 Ax v k 1 k q x
k 0
上式求和上限实际为 x 1，其中， 是生命表的极限年龄， －1 是按生命表能够存活的 最大年龄。
1 30
25 55
A
1
x:n
例3.5

（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额 为1万元，保险金死亡年末给付，按附录2示例 生命表计算
（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。 （2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。 （3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。 （4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。
其精算现值用 m n Ax 表示：
五、延期m 年n年定期寿险
mn
Ax v k q x Ax:m n Ax:m
k 1 1 1 k m
m n 1
用转换函数可以表示为 ： m n 1 M xm M xm m k 1 Ax v k q x mn k m Dx
2 死亡年末给付
纯保费厘定原理

1 保费厘定原则
1.1 人寿保险简介 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则
原则

保费净均衡原则 所谓净均衡原则，即保费 收入的期望现时值正好等 于将来的保险赔付金的期 望现时值。它的实质是在 统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下，收费期 望现时值等于支出期望现 时值
趸缴纯保费的厘定

1 A 符号： x:n

厘定：
A
1 x:n
E ( zk ) v
k 0 1 x:n
n 1
k 1
k px qx k
lx A
v
k 0
n 1
k 1
d xk
现值随机变量的方差

公式
2 Var ( zk ) E ( zk ) E ( zk ) 2
2 死亡年末给付
人寿保险简介

1 保费厘定原则
1.1 人寿保险简介 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则
什么是人寿保险 狭义的人寿保险是以被保险 人在保障期是否死亡作为保 险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险 人的寿命作为保险标的的一 种保险。它包括以保障期内 被保险人死亡为标的的狭义 寿险，也包括以保障期内被 保险人生存为标底的生存保 险和两全保险。
2 死亡年末给付
人寿保险的分类

1 保费厘定原则
1.1 人寿保险简介 1.2人寿保险的分类

受益金额是否恒 定 定额受益保险 变额受益保险 保单签约日和保 障期期始日是否 同时进行 非延期保险 延期保险


保障标的的不同 1.3人寿保险的性质 人寿保险 （狭义） 1.4 保费的厘定 生存保险 1.5 厘定的原则 两全保险 2 死亡年末给付 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A
t 1 50： 30
＝ 100000 1.08(t 1) t p50 q50t
t 0
29
p50
l50 t 105 50 t 55 t l50 105 50 55 l( 50 t ) 1 l50 t
其精算现值用 m Ax 表示：
m
Ax＝ v k 1 k q x
k m
延期m年终身寿险（续）
用转换函数可以表示为 ：
m x d v Ax v k 1 k q x v m k 1 x m k x k m k 0 lx v
C xmk M xm k 0 Dx Dx 显然，终身寿险可以看 成是由一个 n年定期寿险与 一个延期 n年的终身寿险的组合
2 死亡年末给付

被保障人群的大数性

这就意味着，保险公司可以依靠概率 统计的原理计算出平均赔付并可预测 将来的风险。
趸缴纯保费的厘定

1 保费厘定原则
1.1 人寿保险简介 1.2人寿保险的分类 1.3人寿保险的性质 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则
假定条件:



假定一：同性别、同年龄、 同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。 假定二：被保险人的剩余寿 命分布可以用经验生命表进 行拟合。 假定三：保险公司可以预测 将来的投资受益（即预定利 率）。
两全保险（续）
把n年定期寿险与 n年纯生存保险组合在一 起， 两全保险现值随机变量 为： v k 1 , k 0,1,2....., n 1 Z n v , k n, n 1, n 2,..... 其精算现值以 Ax:n 表示 Ax:n Ax:n Ax:n v k 1 k q x v n n p x
第三章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构



人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程 计算基数
1 保费厘定原则
1.1 人寿保险简介 1.2人寿保险的分类
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
1.3人寿保险的性质 1.4 保费的厘定 1.5 厘定的原则
例3.3
假设例3.2中张某50岁时购买的是保额为100000 元的 x 终身寿险，已知 l x 1000 (1 )，预定利率为0.08， 105 求该保单的趸缴净保费 。
例3.3答案
100000 A50 1000001.08 (t 1) t p50 q50t
t 0 54
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
55 t 1 1000001.08 55 55 t t 0 1 55 1 ( ) 100000 1 1.08 55 1.08 1 1 1.08 22421.91(元)
54 ( t 1)
例3.4
某人在40岁时买了保险额为 20000 元的终身寿险， x 假设他的生存函数可以 表示为s ( x) 1 ，死亡赔付 105 在死亡年年末， i 10 %，求这一保单的精算现 值。
例3.5答案
(1)10000 A 50.91 同理可得
1 （2） 10000 A20:5 48.36 6% 1 （3） 10000 A60:5 739.66 2.5% 1 （4） 10000 A60:5 703.37 6% 1 20:5 2.5%
10000 v
k 0
4
k 1
v 2 k 2 k px qx k E ( zk ) 2
k 0
n 1

记
2
1 2k 2 Ax v k px qx k :n k 0
n 1

等价方差为 Var ( zk ) 2 A1 ( A1 )2 x:n x:n
例3.2

张某在50岁时投保了一份保额为100000元的30年定期 x ) 寿险。假设 l 1000 (1 105 ，预定利率为0.08，求该保 单的趸缴净保费。