浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续

2 u →+∞
(u 2 − 2u − 5) − (u − 2) 2 u 2 − 2u − 5 + (u − 2)
u →+∞
= lim
2u − 1 u 2 − 2u − 5 + (u − 2)
u →+∞
= 1.
1 1 2、 求： lim( − x ). x →0 x e −1 ex − 1 − x ex − 1 − x ex − 1 1 lim lim = = = . x → 0 x (e x − 1) x →0 x →0 2 x x2 2 1 [1 + x + x 2 + o( x 2 )] − 1 − x 1 ex − 1 − x 2 【方法二】：I = lim = lim = . x → 0 x (e x − 1) x →0 x2 2 【方法一】：I = lim 3、 求： lim x 2 + sin x − x . x + ln x u − sin u + u = lim u →+∞ −u + ln u
1
11、 求： lim( x sin x + cos x) .
x2 x →0
I = lim (1 + ( x sin x + cos x − 1) )
x →0
1 x sin x + cos x −1 ⋅ x sin x + cos x −1 x2
=e .
1 2
其中： lim
x sin x + cos x − 1 sin x cos x − 1 1 1 = lim + lim =1− = . 2 2 x →0 x →0 x →0 x x x 2 2
1
2
12、 求： lim (sin 2 x + cos x) x .
x →0
I = lim (1 + (sin x + cos x − 1) )
2 x →0
1 sin 2 x + cos x −1
⋅
sin 2 x + cos x −1 x2
=e .
1 2
sin 2 x + cos x − 1 sin x 2 cos x − 1 1 1 其中： lim = lim 2 + lim =1− = . 2 2 x →0 x → 0 x → 0 x x x 2 2 13、 求： lim(
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求： lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中： lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
x →∞ 1 x x →+∞ 1 x x →−∞ 1
同样， 极限 lim 2 也不存在；因为 lim+ 2 = +∞， lim− 2 x = 0.
x →0 x →0 x →0
对于一些复杂的数列极限，一般利用函数极限的“归结原理”化为函 数极限进行计算. 函数极限的“归结原理”
设f ( x) 在 x0 的某领域内有定义，则： lim f ( x) = A ⇔ 对任意满足
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题 一. 极限与连续
函数极限计算的一般方法：
(1) 先确定极限的类型；特别要注意在哪一点求极限. (2) 经过初等变换和无穷小量的等价， 化简函数表达式(使求导计算尽可能简单)； (3) 分母若为低阶 (2-3 阶)无穷小量，可用 L′Hosptial 法则； 若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用 Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
1
7、 求： lim(e x − x) x .
2
x →0
【方法一】：I = lim (1 + (e − 1 − x) ) e
x x →0
1
x
−1− x
⋅
e x −1− x x2
= e2 .
1
lim 其中：
e −1− x ex − 1 1 = lim = . x →0 x →0 2 x x2 2
x 1 x x2
x
x3 x 5 (2) sin x = x − + + o( x5 )； 3! 5! x3 2 (4) tan x = x + + x 5 + o( x5 )； 3 15 x3 x5 (6)arctan x = x − + + o( x 5 ) 3 5 α (α − 1) 2 (8) (1 + x)α = 1 + α x + x + o( x 2 ). 2!
2
x →−∞
I = lim
x =− u
1−
u →+∞
sin u +1 u2 = −2. ln u −1 + u
其中： lim
ln u L ′Hosptial 法则 1 = lim = 0. u →+∞ u u →+∞ u
4、 求： lim
x →0
sin x − tan x . tan x(e x − 1)ln(1 − x) tan x(cos x − 1) I = lim = lim x →0 x →0 − x3 1 x ⋅ (− x 2 ) 1 2 = . 3 −x 2
( x 2 + 2 x + sin x ) − ( x + 2) 2 x 2 + 2 x + sin x + ( x + 2) −2 + x −1 sin x + 4 x −1
x →+∞
= lim
−2 x + sin x + 4 x 2 + 2 x + sin x + ( x + 2)
x →+∞
x →+∞
x →0
1
(对数求极限法)
8、 求： lim
4 x2 + x + 1 + x + 1 x 2 + sin x
x =− u 2
x →−∞
. 1 1 1 + 2 −1+ u u u = 1. sin u 1− 2 u
I = lim
4u − u + 1 − (u − 1) u 2 − sin u
u →+∞
常见函数的 Maclaurin 展开式：
• 常见函数的Maclaurin展开式 :(最高展开到 x5 ) x 2 x3 (1) e = 1 + x + + + o( x 3 )； 2! 3! x2 x4 (3) cos x = 1 − + + o( x 4 )； 2! 4! x3 3 5 (5) arcsin x = x + + x + o( x 5 )； 6 40 x 2 x3 (7)ln(1 + x) = x − + + o( x3 )； 2 3
常见的等价无穷小量：
• 当x → 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ∼ x ； (2) tan x ∼ x ； (3)ln(1 + x) ∼ x ； (4) e x − 1 ∼ x ； x2 ； (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) arctan x ∼ x ；(6) arcsin x ∼ x ； (7) 1 − cos x ∼
x → x0 n →+∞
lim xn = x0 ( xn ≠ x0 ) 的数列 {xn } 均有， lim f ( xn ) = A.
n →+∞
2
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
1、 求： lim [ x 2 + 2 x + sin x − ( x + 2)]
x →+∞
I = lim = lim
1 + 2 x −1 + x −2 sin x + (1 + 2 x −1 )
= −1.
【注】：计算 x → −∞ 时的极限，一般宜通过变量代换x = −u 化为 u → +∞的极限. 【例如】： lim [ x 2 + 2 x − 5 + ( x + 2)].
x → −∞
令x = −u，则：I = lim [ u − 2u − 5 − (u − 2)] = lim
x→a
= e A.
1 = lim (1 + f ( x) ) f ( x ) x→a f ( x) g ( x)
此类极限计算的说明： lim (1 + f ( x) )
g ( x)
= e A.
一些常见函数的极限：
xα α xα −1 α (α − 1)L (α − k ) xα − k = = = = 0. lim lim L x →+∞ e x x →+∞ x →+∞ ex ex 【注】：运用(k + 1) 此L′Hosptial 法则后，可以使α − k ≤ 0. ln x 1 ln x (2) 当 α > 0 时， lim α = lim = 0. 特别的， lim = 0. α x →+∞ x x →+∞ α x x →+∞ x 1 ln x x (3) 当 α > 0 时， lim+ xα ln x = lim+ −α = lim+ = −α lim+ xα = 0. −α −1 x →0 x →0 x x → 0 −α x x →0 x x x 【注】：极限 lim e 并不存在，因为 lim e = +∞， lim e = 0. (1) lim
两个重要极限：
(1) lim
1 sin x 1 = 1； (2) lim(1 + ) x = e = lim(1 + x) x . x →0 x →∞ x →0 x x
1
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
关于 “1 ∞ ” 型极限的计算：
设 lim f ( x) = 0， lim g ( x) = ∞，且 lim f ( x) g ( x) = A，则： lim (1 + f ( x) )
x →0
2 + cos x x2 ) . 3
3 ⋅ cos x −1 3 x2 − 1
1
cos x − 1 cos x −1 (1) I = lim 1 + x →0 3
1
= e 6.
其中： lim
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cos x − 1 1 =− . 2 x →0 3x 6
2 + cos x x2 ) ，则： 3 1 − − sin x ln(2 + cos x) − ln 3 1 6 lim ln y = lim = lim = − ， 故 ， I = e . x →0 x →0 x → 0 2 x(2 + cos x ) x2 6 (2) 令：y = ( 14、 若 lim 1 − 1 − x2 1 = ，求：α 的值. x →0 xα 2
x→a x→a g ( x) x →a x→a
= e A.
由于 lim ln (1 + f ( x) )
x→a
g ( x)
= lim
x→a x →a
ln (1 + f ( x) ) f ( x)
g ( x)
× [ f ( x) g ( x)] = A，
根据连续函数的性质， lim (1 + f ( x) )
3
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6、 求： lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】：I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
5、 求： lim
1 2 + cos x x [( ) − 1]. x → 0 x3 3 e
cos x −1 x ln 1+ 3
I = lim
x →0
−1
x
3
= lim
x →0
x ln(1 +
cos x − 1 1 ) − x2 cos x − 1 1 3 = lim = lim 2 2 = − . 3 2 x →0 x →0 3x x 3x 6
【方法二】：记 y = (e − x) ，则： lim ln y = lim
x →0
ex − 1 x ln(e x − x) 1 = lim = lim = . x x 2 x →0 x → 0 2 x (e − x ) x → 0 2 x (e − x ) x 2
1
2
lim (e x − x) x = e 2 . 因此，
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浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
sin x x2 10、 求：lim( ) . x →0 x
− sin x − x sin x − x x3 I = lim 1 + = e 6. x →0 x sin x − x cos x − 1 1 其中： lim = lim =− . 3 2 x →0 x →0 x 3x 6 1 1 x ⋅ sin x − x