【恒心】2015届四川省成都示范性高中高三12月月考数学(文科)试题及参考答案【纯word版】
2015四川高考数学文科试卷带详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.设集合A ={|12}x x －<<，集合B ＝{|13}x x <<，则A B ＝( )A. {|13}x x <－<B. {|11}x x <－<C. {|12}x x <<D. {|23}x x << 【参考答案】A【测量目标】考查集合的并集运算.【试题分析】集合(12)(13)A B =-，，=，，故(13)A B =-，，选A. 2.设向量(24)a =，与向量(6)b x =，共线，则实数x ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【参考答案】B【测量目标】考查向量平行的性质.【试题分析】 由向量平行的性质，有2:4＝x :6，解得x ＝3，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法 【参考答案】C【测量目标】考查抽样方法的适用范围.【试题分析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C.4.设a b ，为正实数，则1a b “>>”是22log log 0a b “>>”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】考查充分、必要条件.【试题分析】1a b >>时，有22log log 0a b >>成立，反之也正确.选A. 5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A.πsin(2)2y x =+B.πcos(2)2y x =+C.sin2cos2y x x =+D.sin cos y x x =+ 【参考答案】B【测量目标】考查三角函数的周期.【试题分析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中,cos2y x =是偶函数，C 中π)4y x +是非奇非偶函数. 故正确答案为B.6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )第6题图A. - C.12-D.12【参考答案】D【测量目标】考查算法的程序框图，求值运算能力. 【试题分析】第四次循环后，5k =，输出5π1sin62S ==，选D. 7.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )B. C.6 D.【参考答案】D【测量目标】考查双曲线的交点、渐近线.【试题分析】由题意，1,a b ==2c =，渐近线方程为y =，将2x =代入渐近线方程，得y =±AB = D.8.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系e kx b y += (e 2.718= 为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时 【参考答案】C【测量目标】考查函数在实际问题中的应用.【试题分析】由题意，22192e 48ebk b+⎧=⎨=⎩得11192e 1e 2b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当33x =时 ，()33311eee k bk by +==⋅=31192242⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭(小时).9.设实数x y ，满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 4<的最大值为( )A.252B.492C.12D.14【参考答案】A【测量目标】考查运用线性规划求最值. 【试题分析】画出可行域如图，第9题图在ABC △区域中结合图象可知， 当动点在线段AC 上时xy 取得最大， 此时210x y +=，()112522222x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭22=，当且仅当552x y =，=时取等号，对应点落在线段AC 上， 故最大值为25.2选A. 10.设直线l 与抛物线24y x =相较于A ，B 两点，与圆C ：222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4) 【参考答案】D【测量目标】考查抛物线、圆、直线的综合问题. 【试题分析】不妨设直线:l x ty m =+, 代入抛物线方程有：2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>，又中点2(2,2)M t m t +，则1MC l k k =-，即232m t =-（当0t ≠时），代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得(2,4)r ∈.选D.二、填空题(每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上) 11.设i 是虚数单位，则复数1i i-=_____________.【参考答案】2i【测量目标】考查复数的四则运算. 【试题分析】1i i i 2i i-=+=. 12.2lg0.01log 16=+ _____________.【参考答案】2【测量目标】考查对数函数的求值运算. 【试题分析】2lg0.01log 16242+=-+=.13.已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是______________.【参考答案】－1【测量目标】考查三角函数的求值运算. 【试题分析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα=-22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα---===-+++-. 14.在三棱柱111ABC A B C －中，90BAC ∠︒＝，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P AMN －的体积是______.【参考答案】124【测量目标】空间几何体的体积.【试题分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形， 高为1的直三棱柱，底面积为12. 如图，三棱锥P AMN －底面积是三棱锥底面积的14，高为1， 故三棱锥P AMN －的体积为111132424⨯⨯=.第14题图15.已知函数()()22x f x g x x ax =，=+ (其中a ∈R ).对于不相等的实数12x x ，，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --=--=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12x x ，，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12x x ，，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【参考答案】①④【测量目标】考查函数与命题判断相结合的问题.【试题分析】对于①，因为()xf x '=2l n2>0恒成立，故①正确.对于②，取8a =-，即()28g x x '=-，当12x x ，<4时，0n <，②错误.对于③，令()()f x g x ''=，即2ln22xx a =+，记()2ln 22x h x x =-，则()()22ln22xh x '=-，存在()00,1x ∈，使得()00h x =，可知函数()h x 先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ,m n =不一定成立. ③错误. 对于④，由()()f x g x ''=-，即2ln 22xx a =--，令()2ln 22xh x x =+，则()()22ln 220xh x '=+>恒成立，即()h x 是单调递增函数， 当x →+∞时，()h x →+∞； 当x →-∞时，()h x →-∞.因此，对任意的a ,存在y a =与函数()h x 有交点. ④正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16．(本小题满分12分)设数列{}(123)n a n ⋯=，，的前n 项和n S 满足12n n S a a ＝－，且1231a a a ，＋，成等差数列. (1)求数列的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【测量目标】(1)考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式；(2)考查等比数列前n 项和、运算求解能力. 【试题分析】 (1) 由已知12n n S a a =-， 有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥--=-=-， 即12(2)n n a a n ≥-=. 从而21321224a a a a a =，==， 又因为1231a a a ，+，成等差数列， 即1322(1)a a a +=+.所以111+4=2(2+1)a a a ，解得1=2a .所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故=2.n n a (2)由(1)得112n n a =， 所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- .17.(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(1)若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率.【测量目标】(1)考查排列组合；(2)考查排列组合、古典概型.【试题分析】 (1)余下两种坐法如下表所示：做到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能坐法可用下表表示为于是，所有可能的坐法共8种.设“乘客5P 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以()4182P A ==. 答：乘客5P 坐到5号座位的概率为12. 18.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处 (不需要说明理由) ； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .第18题图【测量目标】(1)考查简单空间图形的直观图，空间想象能力；(2)考查空间线面平行与面面平行的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力；(3)考查空间线面垂直的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力.【试题分析】(1)点F，G，H的位置如图所示第18题图(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH.于是BCEH为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.第18题图(3)连接FH，因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF ⊥BG , 又EG ∩BG ＝G ,所以DF ⊥平面BEG . 19.(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A 、tan B 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，ACp 的值. 【测量目标】(1)考查韦达定理，解三角形； (2)考查正弦定理的应用,正切值的计算.【试题分析】 (1)由已知，方程210x p -+=的判别式22)4(1)3440p p p ∆≥=--+=+-， 所以2p ≤－或2.3p ≥由韦达定理，有tan tan tan tan 1A B A B p +=，=-， 于是1tan tan 1(1)0A B p p =≠-=--，从而tan()A B +=tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tan tan()C A B =-+ 所以60.C ︒=(2)由正弦定理，得sin B =sin AC C AB ==解得45B ︒=或135B ︒=(舍去)， 于是18075,A B C ︒︒=--=则tan tan75tan(4530)A ︒︒︒==+=1tan 45tan 3021tan 45tan 303++==-所以tan )1p A B =-+=--20.(本小题满分13分)如图，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- . (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.第20题图【测量目标】(1)考查椭圆的标准方程，运算求解能力；(2)考查直线方程，推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【试题分析】(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0)(0),b b ，－，，又点P 的坐标为(01)，，且1PC PD ⋅=- ,于是2222112b c a a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =， 所以椭圆E 方程为22142x y +=. (2)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，. 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式()224+8(21)0k k ∆=+>. 所以12122242,,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅ 12121212[(1)(1)]x x y y x x y y λ=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++()2224(21)21k k λλ--+--=+ 21221k λλ---+=-所以，当1λ=时，212321k λλ---=-+-，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅ 3=-为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅ 21=3=---.故存在常数1λ=，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值3-.21.(本小题满分14分)已知函数()222ln 2+f x x x x ax a =-+-，其中0a >.(1)设()g x 为()f x 的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥在区间(0,)+∞内恒成立，且()0f x =在(1,)+∞内有唯一解. 【测量目标】(1)考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点；(2) 函数与方程，推理论证能力、运算求解能力、创新意识，数形结合、化归与转化等数学思想.(1)由已知，函数()f x 的定义域为(0)∞，＋，()()==2(1ln )g x f x x x a '---，所以()()2122x g x x x-'==-. 当(01)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1)x ∈∞，＋时，()g x '>0，()g x 单调递增.(2)由()'2(1ln )0f x x x a =---=，解得1ln a x x =--.令()x ϕ2222ln 2(1ln )(1ln )(1+ln )2ln x x x x x x x x x x x =-+---+--=-， 则()()110e 2(2e)0ϕϕ<=>，=-，于是存在0(1e)x ∈，，使得()00x ϕ=.令()00001ln a x x u x =--=，其中()1ln (1)u x x x x ≥=--，由()110u x x'≥=-知，函数()u x 在区间(1)∞，＋上单调递增, 故()()0001()e e 21u a u x u <=<==-<，即0(01)a ∈，.当0a a =时，有()()()00000f x f x x ϕ'=，==.再由(1)知，()f x '在区间(1)∞，＋上单调递增，当0(1)x x ∈， 时，()0f x '<，从而()()00f x f x >=； 当0()x x ∈∞，＋时，()'0f x >，从而()()00f x f x >=；又当(01]x ∈，时，()20()2ln 0f x x a x x =-->， 故(0)x ∈∞，＋时，()0f x ≥.综上所述，存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥，在区间(0+)∞，内恒成立，且()0f x =在区间(1)∞，＋内有唯一解.。
2015年四川高考文科数学试题和答案详解
绝密 ★ 启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试〔四川卷〕数 学〔文史类〕本试题卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
总分值l50 分。
考试时间l20分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10个小题,每题每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =〔A 〕{}1|3x x -<< 〔B 〕{}|11x x -<< 〔C 〕{}|12x x << 〔D 〕{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}AB x x ∴=-<<，选A.2.设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =(A)2 (B)3 (C) 4 (D) 6 【答案】B【解析】由共线向量()11,a x y =，()22,b x y =的坐标运算可知12210x y x y -=， 即26403x x ⨯-=⇒=，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 〔A)抽签法 〔B 〕系统抽样法 〔C 〕分层抽样法 〔D 〕随机数法 【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。
4.设a ，b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log a b >”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由已知当1a b >>时，22log log 0a b >>∴，“1a b >>”是“22log log a b >”的充分条件。
2015年高考文科数学四川卷及答案
数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin(2)2πy x =+ B ．πcos(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A．2-B．2C ．12-D ．127．过双曲线2213yx -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB（ ） A．3B．C ．6D．8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系ekx by +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则xy 的最大值为（ ）A ．252B ．492C ．12D ．1610．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．设i 是虚数单位，则复数1i i-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，求n T .17．（本小题满分12分）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的-------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页） 数学试卷 第6页（共15页）座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给；（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客5P 坐到5号座位的概率.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG19．（本小题满分12分）已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程210x p +-+=（p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.（Ⅱ）若3AB =，AC =p 的值.20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD =-.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页）数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷(13)A B =-，【提示】直接利用并集求解法则求解即可. :6x ，解得1)2x x y ⎛≤ ⎝2故最大值为25.2【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可. 第Ⅱ卷32424【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥。
2015年高考文科数学四川卷(含详细答案)
13．已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是___________.
14．在三棱柱ABCABC中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
111
俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是棱AB，BC，
BC的中点，则三棱锥PAMN的体积是__________.
__1．设集合A{x|1x2}，集合B{x|1x3}，则AB（）
__
_答
_--------------------x|1x3}B．{x|1x1}C．{x|1x2}D．{x|2x3}
__
名
姓
此
--------------------试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4
至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.
在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
卷第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
第Ⅰ卷共10小题.
准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
（Ⅱ）证明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)0在区间(1,)内有唯一
解.
5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作
图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿
纸上无效.
_--------------------
__
号
考--------------------
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C． 4 D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C． y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C． 6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C． 24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33?（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C． 12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015?四川）lg0.01+log216的值是2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015?四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH?平面ACH，BE?平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG?平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF?平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p ﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、?=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时?+λ?=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，?+λ?=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且?=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时?+λ?=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时?+λ?=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得?+λ?为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015?四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x ﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C． {x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C． 4 D．63．（5分）（2015?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显着差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015?四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C． 6 D．48．（5分）（2015?四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C． 24小时D．28小时9．（5分）（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C． 12 D．1610．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015?四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015?四川）已知sinα+2cosα=0，则2si nαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015?四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015?四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015?四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且?=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015?四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。
2015年四川省高考数学试卷(文科)附详细解析
2015年某某省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•某某）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015•某某）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•某某）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015•某某）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•某某）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx6．（5分）（2015•某某）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•某某）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015•某某）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•某某）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1610．（5分）（2015•某某）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值X 围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•某某）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015•某某）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•某某）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•某某）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣AMN的体积是．15．（5分）（2015•某某）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•某某）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•某某）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•某某）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•某某）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•某某）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•某某）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年某某省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•某某）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知2．（5分）（2015•某某）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015•某某）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•某某）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•某某）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）B．y=sin（2x+）A．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2D．y=sinx+cosxx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2 x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•某某）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•某某）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•某某）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e22k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•某某）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•某某）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值X 围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•某某）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•某某）lg0.01+log216的值是 2 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•某某）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•某某）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣AMN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣AMN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•某某）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：创新题型；开放型；函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f （x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g （x2），考查函数h（x）=x2+ax ﹣2x，h′（x）=2x+a ﹣2x ln2，当a →﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g （x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•某某）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•某某）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P12345座位号 3333（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P P P P P座位号2134523145234152345123541243152 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P5坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•某某）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•某某）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C 的X围即可求C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•某某）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：开放型；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(四川卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2015四川,文1)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案:A解析:如图所示,把集合A,B在数轴上表示出来.所以A∪B={x|-1<x<3}.2.(2015四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.3.(2015四川,文3)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是()A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法答案:C解析:根据调查的目的,为了解三个年级之间的学生视力是否存在差异,故最合理的抽样方法应是分层抽样.4.(2015四川,文4)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数.故a>b>1⇒log2a>log2b>log21=0.且log2a>log2b>0⇒a>b>1.故a>b>1是log2a>log2b>0的充要条件.5.(2015四川,文5)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sin 2x+πB.y=cos 2x+πC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案:B解析:对于A,y=sin 2x+π2=cos 2x,是最小正周期为π的偶函数;对于B,y=cos 2x+π2=-sin 2x,是最小正周期为π的奇函数;对于C,y=sin 2x+cos 2x=sin 2x+π,是最小正周期为π的非奇非偶函数;对于D,y=sin x+cos x=2sin x+π4,是最小正周期为2π的非奇非偶函数,故选B.6.(2015四川,文6)执行如图所示的程序框图,输出S的值为()A.- 3B. 3C.-1D.1答案:D解析:这是一个循环结构,每次循环的结果依次为:k=2,不满足k>4;k=3,不满足k>4;k=4,不满足k>4;k=5,满足k>4,此时S=sin 56π=sin π6=12.7.(2015四川,文7)过双曲线x 2-y 2=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB|=( ) A.4 3B.2C.6D.4 答案:D 解析:双曲线x2-y 2=1的两条渐近线方程为y=± 3x ,右焦点为F (2,0)如图所示.根据题意,由y = 3x ,x =2,得A (2,2 3). 同理可得B (2,-2 3). 所以|AB|=4 3,故选D .8.(2015四川,文8)某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 答案:C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=e kx+b 图象上的两个点.所以 192=e b ,48=e 22k +b. ①②由②得,48=e 22k ·e b, ③把①代入③得e 22k =48192=14,即(e 11k )2=14,所以e 11k =12.所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y=e 33k+b =(e 11k )3·e b =1×192=24(小时).9.(2015四川,文9)设实数x ,y 满足 2x +y ≤10,x +2y ≤14,x +y ≥6,则xy 的最大值为( )A.252B.492C.12D.16 答案:A解析:作出可行域,如图所示.令t=xy ,则y=t,由图可知,当曲线y=t与线段AB 相切时,t 最大,由 x +2y =14,2x +y =10,得A (2,6), 由 x +y =6,2x +y =10,得B (4,2), 由y=t ,得y'=-t2.设切点坐标为(x 0,y 0),则 2x 0+y 0=10,y 0=t 0,−tx 02=−2, 解得x 0=5∈[2,4],y 0=5,t=25. 所以xy 的最大值为252.10.(2015四川,文10)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M.且M 为线段AB 的中点,若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案:D解析:如图所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率不存在,即x 1=x 2时,符合条件的直线l 必有两条. 当l 的斜率k 存在,即x 1≠x 2时,有2y 0(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),即k=20. 由CM ⊥AB ,得k CM =y 00=-y0,即x 0=3.因为点M 在抛物线内部,所以y 02<4x 0=12, 又x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0,即0<y 02<12.因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,即r 2=y 02+4.所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D .第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015四川,文11)设i 是虚数单位,则复数i-1= . 答案:2i解析:i-1i=i-(-i)=2i.12.(2015四川,文12)lg 0.01+log 216的值是 .答案:2解析:lg 0.01+log 216=lg 10-2+log 224=-2+4=2.13.(2015四川,文13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 答案:-1解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sin αcos α−cos 2α22=2tan α−12=2×(−2)−1(−2)2+1=−5=-1. 14.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点,则三棱锥P-A 1MN 的体积是 . 答案:1解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A 1B 1C 1如图所示.其中AB=AC=AA 1=BB 1=CC 1=A 1B 1=A 1C 1=1. ∵M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点,∴MN=12,NP=1.∴S △MNP =1×1×1=1.∵点A 1到平面MNP 的距离为AM=1,∴V P−A 1MN =V A 1−MNP =13×14×12=124.15.(2015四川,文15)已知函数f (x )=2x ,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ). 对于不相等的实数x 1,x 2,设m=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,n=g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m>0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n>0; ③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n ; ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 答案:①④解析:对于①,因为函数f (x )=2x 单调递增,所以m=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0,故该命题正确;对于②,函数g (x )=x 2+ax 的对称轴为x=-a 2,故函数在 −∞,−a 上单调递减,在 −a ,+∞ 上单调递增. 所以当x 1,x 2∈ −∞,−a 时,n=g (x 1)−g (x 2)12<0.所以该命题错误.对于③,若存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n ,即f (x 1)−f (x 2)12=g (x 1)−g (x 2)12,整理得f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2), 设函数h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=f (x )-g (x )=2x -x 2-ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点. h'(x )=2x ln 2-2x-a ,记p (x )=h'(x ),则p'(x )=2x (ln 2)2-2, 令p'(x )=0,解得2x =2(ln2)2,故x=log 22(ln2)2=1-2log 2(ln 2),记为x 0.当x ∈(-∞,x 0)时,p'(x )<0,函数单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,p'(x )>0,函数单调递增,所以p (x )≥p (x 0).显然当p (x 0)≥0时,h'(x )≥p (x 0)≥0,此时函数h (x )在R 上单调,函数h (x )=f (x )-g (x )=2x -x 2-ax 的图象与平行于x 轴的直线只有一个交点,即此时h (x )的图象与平行于x 轴的直线不可能有两个交点.所以该命题错误.对于④,若存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n ,即f (x 1)−f (x 2)12=-g (x 1)−g (x 2)12,整理得f (x 1)+g (x 1)=f (x 2)+g (x 2),设函数h (x )=f (x )+g (x ),则q (x )=f (x )+g (x )=2x +x 2+ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点.q'(x )=2x ln 2+2x+a ,显然q'(x )在R 上单调,设q'(x )=0的解为t ,则当x ∈(-∞,t )时,q'(x )<0,函数q (x )单调递减,x ∈(t ,+∞)时,q'(x )>0,函数q (x )单调递增.所以函数q (x )=2x +x 2+ax 的图象与平行于x 轴的直线可能有两个交点.所以该命题正确. 综上,正确的命题为①④.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015四川,文16)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列 1n的前n 项和为T n ,求T n .解:(1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n .(2)由(1)得1a n =12n. 所以T n =12+122+…+12n=12 1− 12n 1−12=1-12n . 17.(本小题满分12分)(2015四川,文17)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P 1,P 2,P 3,P 4,P 5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P 1坐到了3号座位,其他乘客按规则就坐,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法.请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);(2)若乘客P 1坐到了2号座位,5号座位的概率.解:(1)余下两种坐法如下表所示:(2)若乘客P 1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐, 则所有可能的坐法可用下表表示为:于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A)=4=1.答:乘客P5坐到5号座位的概率是1.18.(本小题满分12分)(2015四川,文18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.(1)解:点F,G,H的位置如图所示.(2)解:平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.19.(本小题满分12分)(2015四川,文19)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.解:(1)由已知,方程x2+3px-p+1=0的判别式Δ=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥2.由韦达定理,有tan A+tan B=- 3p ,tan A tan B=1-p. 于是1-tan A tan B=1-(1-p )=p ≠0, 从而tan (A+B )=tan A +tan B=- 3p =- 3.所以tan C=-tan (A+B )= 所以C=60°.(2)由正弦定理,得 sin B=AC sin C=6sin60°=2,解得B=45°,或B=135°(舍去). 于是A=180°-B-C=75°. 则tan A=tan 75°=tan (45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=1+ 33− 33=2+所以p=-13(tan A+tan B )=-13(2+ 3+1)=-1- 3.20.(本小题满分13分)(2015四川,文20)如图,椭圆E :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率是2,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ·PD =-1.(1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ·OB +λPA ·PB 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ).又点P 的坐标为(0,1),且PC ·PD =-1,于是 1−b 2=−1,c = 2,a 2−b 2=c 2.解得a=2,b= 2. 所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1. (2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立 x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以,x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而,OA ·OB +λPA ·PB =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)] =(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =(−2λ−4)k 2+(−2λ−1)2k 2+1=-λ−12k 2+1-λ-2.所以,当λ=1时,-λ−12k 2+1-λ-2=-3.此时,OA ·OB +λPA ·PB =-3为定值.当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD.此时,OA ·OB +λPA ·PB =OC ·OD +PC ·PD =-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得OA ·OB +λPA ·PB 为定值-3.21.(本小题满分14分)(2015四川,文21)已知函数f (x )=-2x ln x+x 2-2ax+a 2,其中a>0. (1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解. (1)解:由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),g (x )=f'(x )=2(x-1-ln x-a ),所以g'(x )=2-2x=2(x−1)x.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明:由f'(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2x ln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2x ln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-1≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2x ln x>0.故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。
2015年高考文科数学(四川 卷)精校版(含答案)
2015年高考文科数学(四川卷)精校版(含答案)2015年普通高等学校招生全国统一考试四川卷文科数学一、选择题1.设集合$A=\{x|-1<x<2\}$，集合$B=\{x|1<x<3\}$，则$A\cup B=$A) $\{x|-1<x<3\}$B) $\{x|-1<x<1\}$C) $\{x|1<x<2\}$D) $\{x|2<x<3\}$2.设向量$a=(2,4)$与向量$b=(x,6)$共线，则实数$x=$A) 2B) 3C) 4D) 63.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A) 抽签法B) 系统抽样法C) 分层抽样法D) 随机数法4.设$a$，$b$为正实数，则“$a>b>1$”是“$\log_2 a>\log_2 b$”的A) 充要条件B) 充分不必要条件C) 必要不充分条件D) 既不充分也不必要条件5.下列函数中，最小正周期为$\pi$的奇函数是A。
$y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$B。
$y=\cos(2x+\frac{\pi}{2})$C。
$y=\sin^2 x+\cos^2 x$D。
$y=\sin x+\cos x$6.执行如图所示的程序框图，输出$S$的值是A) $-1133$B)C)D) $2222$7.过双曲线$x^2-\frac{y^2}{9}=1$的右焦点且与$x$轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于$A$，$B$两点，则$AB=$A) $\frac{4}{3}$B) $\frac{2}{3}$C) $6$D) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$8.某食品的保鲜时间$y$（单位：小时）与储藏温度$x$（单位：°C）满足函数关系$y=e^{kx+b}$（$e=2.718\cdots$为自然对数的底数，$k$，$b$为常数）．若该食品在$C$的保鲜时间是$192$小时，在$23$°C的保鲜时间是$48$小时，则该食品在$33$°C的保鲜时间是A) $16$小时B) $20$小时C) $24$小时D) $21$小时9.设实数$x$，$y$满足$\begin{cases}2x+y\leq 10\\x+y\geq 6\end{cases}$，则$xy$的最大值为A) $\frac{49}{25}$B) $12$C) $14$D) $22$10.设直线$l$与抛物线$y^2=4x$相交于$A$，$B$两点，与圆$(x-5)^2+y=r$（$r>0$）相切于点$M$，且$M$为线段$AB$的中点.若这样的直线$l$恰有$4$条，则$r$的取值范围是A) $(1,3)$B) $(1,4)$C) $(2,3)$D) $(2,4)$二、填空题：11.设i是虚数单位，则复数i-的值是-1.12.lg0.01+log2 16的值是-2.13.已知sinα+2cosα=1/i，则2sinαcosα-cos2α的值是-1/2.14.三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P-A1MN的体积是1/24.15.已知函数f(x)=2，g(x)=x+ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m=x2-x1f(x1)-f(x2)，n=x2-x1g(x1)-g(x2)，现有如下命题：n＞0.三、XXX：16.（本小题满分12分）Ⅰ）设等差数列为d，则有a3=a1+2d，a2=a1+d+1，代入S3=2a3-a1得到S3=5a1+9d，代入S2=2a2-a1得到S2=3a1+3d+2，两式相减得到a1=3d-2，代入a2=a1+d+1得到a2=4d-1，代入a3=a1+2d得到a3=5d-2，所以数列{an}的通项公式为an=(n+2)d-n-2.Ⅱ）记数列{Tn}的前n项和为Sn，则有Tn=5!/[(5-n)!n!]-Tn-1，即Tn=Tn-1*(5-n+1)/n，T1=1，代入递推公式得到T2=4，T3=10，T4=20，T5=35，所以Tn的通项公式为Tn=C(5,n-1)+C(5,n-2)+。
2015年高考文科数学四川卷有答案
数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin(2)2πy x =+ B ．πcos(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A．2-B．2C ．12-D ．127．过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB（ ） A．3B．C ．6D．8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系ekx by +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则xy 的最大值为（ ）A ．252B ．492C ．12D ．1610．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．设i 是虚数单位，则复数1i i-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，求n T .-------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页）数学试卷 第6页（共15页）17．（本小题满分12分）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给；（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客5P 坐到5号座位的概率.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG19．（本小题满分12分）已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程210x p +-+= （p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.（Ⅱ）若3AB =，AC =p 的值.20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD =-.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页）数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷(13)A B =-，【提示】直接利用并集求解法则求解即可. :6x ，解得1)2x x y ⎛≤ ⎝2故最大值为25.2【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可. 第Ⅱ卷32424【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥数学试卷 第10页（共15页）数学试卷 第11页（共15页）数学试卷 第12页（共15页）12n++=【解析】（Ⅰ）点F G H ，，的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：BE BG B ＝，所以平面（Ⅲ）连接FH EG ⊂平面EFGH FH DH FH H ⊥，＝，所以⊂平面BFHD ，所以DF ，又EG BG G ＝，所以6022=31tan 45tan303tan75tan(4530)1tan 45tan30313++=--=+=【考点】韦达定理，解三角形，正弦定理，正切值数学试卷第13页（共15页）数学试卷第14页（共15页）数学试卷第15页（共15页）。
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2015•四川〕设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=〔〕A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：此题考查并集的求法，基本知识的考查．2．〔5分〕〔2015•四川〕设向量=〔2，4〕与向量=〔x，6〕共线，则实数x=〔〕A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=〔2，4〕与向量=〔x，6〕共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：此题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=〔x，y〕与向量=〔m，n〕共线，那么xn=yn．3．〔5分〕〔2015•四川〕某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是〔〕A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：假设总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基此题．4．〔5分〕〔2015•四川〕设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的〔 〕A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件考点： 充要条件．专题： 简易逻辑．分析： 先求出log 2a ＞log 2b ＞0的充要条件，再和a ＞b ＞1比较，从而求出答案．解答： 解：假设log 2a ＞log 2b ＞0，则a ＞b ＞1，故“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的充要条件，故选：A ．点评： 此题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．〔5分〕〔2015•四川〕以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔〕A ． y=cos 〔2x+〕B ． y=sin 〔2x+〕C ． y =sin2x+cos2xD ． y =sinx+cosx考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答： 解：y=cos 〔2x+〕=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y=sin 〔2x+〕=cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； y=sin2x+cos2x=sin 〔2x+〕，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=sin 〔x+〕，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．点评： 此题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．〔5分〕〔2015•四川〕执行如下图的程序框图，输出s 的值为〔 〕A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：此题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．〔5分〕〔2015•四川〕过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=〔〕A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点〔2，0〕，渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：此题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．〔5分〕〔2015•四川〕某食品保鲜时间y〔单位：小时〕与储藏温度x〔单位：℃〕满足函数关系y=e kx+b〔e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数〕．假设该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是〔〕A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b〔e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数〕．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=〔e k〕33•〔e b〕=〔〕3×192=24故选：C点评：此题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．〔5分〕〔2015•四川〕设实数x，y满足，则xy的最大值为〔〕A．B．C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：此题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决此题的关键．10．〔5分〕〔2015•四川〕设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆〔x﹣5〕2+y2=r2〔r＞0〕相切于点M，且M为线段AB的中点，假设这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是〔〕A．〔1，3〕B．〔1，4〕C．〔2，3〕D．〔2，4〕考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心〔5，0〕的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x0，y0〕，则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心〔5，0〕的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：此题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．〔5分〕〔2015•四川〕设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：此题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．〔5分〕〔2015•四川〕lg0.01+log216的值是2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．点评：此题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．〔5分〕〔2015•四川〕已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解此题的关键．14．〔5分〕〔2015•四川〕在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P ﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：此题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．〔5分〕〔2015•四川〕已知函数f〔x〕=2x，g〔x〕=x2+ax〔其中a∈R〕．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④〔写出所有真命题的序号〕．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h〔x〕=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h〔x〕=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f〔x〕在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g〔x〕在〔﹣∞，﹣〕递减，在〔，+∞〕递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=g〔x1〕﹣g〔x2〕，考查函数h〔x〕=x2+ax﹣2x，h′〔x〕=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′〔x〕小于0，h〔x〕单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣[g〔x1〕﹣g〔x2〕]，考查函数h〔x〕=x2+ax+2x，h′〔x〕=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′〔x〕不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：此题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔12分〕〔2015•四川〕设数列{a n}〔n=1，2，3…〕的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：〔Ⅰ〕由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．〔Ⅱ〕由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：〔Ⅰ〕由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1〔n≥2〕，即a n=2a n﹣1〔n≥2〕，从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2〔a2+1〕所以a1+4a1=2〔2a1+1〕，解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：此题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．〔12分〕〔2015•四川〕一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．〔Ⅰ〕假设乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法〔将乘客就坐的座位号填入表中空格处〕乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13241532541〔Ⅱ〕假设乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：〔Ⅰ〕根据题意，可以完成表格；〔Ⅱ〕列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：〔Ⅰ〕余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13 24 1 53 2 54 1〔Ⅱ〕假设乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本领件的个数为4，所以P〔A〕==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：此题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本领件的个数是关键．18．〔12分〕〔2015•四川〕一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如下图．〔Ⅰ〕请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处〔不需要说明理由〕〔Ⅱ〕判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．〔Ⅲ〕证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：〔Ⅰ〕直接标出点F，G，H的位置．〔Ⅱ〕先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．〔Ⅲ〕连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：〔Ⅰ〕点F，G，H的位置如下图．〔Ⅱ〕平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．〔Ⅲ〕连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：此题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．〔12分〕〔2015•四川〕已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0〔p∈R〕两个实根．〔Ⅰ〕求C的大小〔Ⅱ〕假设AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：〔Ⅰ〕由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan〔A+B〕=，结合C的范围即可求C的值．〔Ⅱ〕由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣〔tanA+tanB〕的值．解答：解：〔Ⅰ〕由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=〔p〕2﹣4〔﹣p+1〕=3p2+4p ﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣〔1﹣p〕=p≠0，从而tan〔A+B〕==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan〔A+B〕=，所以C=60°．〔Ⅱ〕由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°〔舍去〕．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan〔45°+30°〕===2+．所以p=﹣〔tanA+tanB〕=﹣〔2+〕=﹣1﹣．点评：此题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．〔13分〕〔2015•四川〕如图，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔0，1〕在短轴CD上，且•=﹣1〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；〔Ⅱ〕分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：〔Ⅰ〕根据题意，可得C〔0，﹣b〕，D〔0，b〕，又∵P〔0，1〕，且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；〔Ⅱ〕结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，消去y并整理得：〔1+2k2〕x2+4kx﹣2=0，∵△=〔4k〕2+8〔1+2k2〕＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+〔y1﹣1〕〔y2﹣1〕]=〔1+λ〕〔1+k2〕x1x2+k〔x1+x2〕+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．点评：此题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．〔14分〕〔2015•四川〕已知函数f〔x〕=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．〔Ⅰ〕设g〔x〕是f〔x〕的导函数，讨论g〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕证明：存在a∈〔0，1〕，使得f〔x〕≥0恒成立，且f〔x〕=0在区间〔1，+∞〕内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：〔I〕函数f〔x〕=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g〔x〕=f′〔x〕=2〔x﹣1﹣lnx﹣a〕，可得g′〔x〕==，分别解出g′〔x〕＜0，g′〔x〕＞0，即可得出单调性．〔II〕由f′〔x〕=2〔x﹣1﹣lnx﹣a〕=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f〔x〕可得：u〔x〕=〔1+lnx〕2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈〔1，e〕，使得u〔x0〕=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v〔x0〕，再利用导数研究其单调性即可得出．解答：〔I〕解：函数f〔x〕=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g〔x〕=f′〔x〕=2〔x﹣1﹣lnx﹣a〕，∴g′〔x〕==，当0＜x＜1时，g′〔x〕＜0，函数g〔x〕单调递减；当1＜x时，g′〔x〕＞0，函数g〔x〕单调递增．〔II〕证明：由f′〔x〕=2〔x﹣1﹣lnx﹣a〕=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u〔x〕=﹣2xlnx+x2﹣2〔x﹣1﹣lnx〕x+〔x﹣1﹣lnx〕2=〔1+lnx〕2﹣2xlnx，则u〔1〕=1＞0，u〔e〕=2〔2﹣e〕＜0，∴存在x0∈〔1，e〕，使得u〔x0〕=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v〔x0〕，其中v〔x〕=x﹣1﹣lnx〔x≥1〕，由v′〔x〕=1﹣≥0，可得：函数v〔x〕在区间〔1，+∞〕上单调递增．∴0=v〔1〕＜a0=v〔x0〕＜v〔e〕=e﹣2＜1，即a0∈〔0，1〕，当a=a0时，有f′〔x0〕=0，f〔x0〕=u〔x0〕=0．再由〔I〕可知：f′〔x〕在区间〔1，+∞〕上单调递增，当x∈〔1，x0〕时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕＞f〔x0〕=0；当x∈〔x0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，∴f〔x〕＞f〔x0〕=0；又当x∈〔0，1]，f〔x〕=﹣2xlnx＞0．故当x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕≥0恒成立．综上所述：存在a∈〔0，1〕，使得f〔x〕≥0恒成立，且f〔x〕=0在区间〔1，+∞〕内有唯一解．点评：此题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2015•四川〕设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=〔〕A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．〔5分〕〔2015•四川〕设向量=〔2，4〕与向量=〔x，6〕共线，则实数x=〔〕A．2B．3C．4D．63．〔5分〕〔2015•四川〕某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是〔〕A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．〔5分〕〔2015•四川〕设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的〔〕A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．〔5分〕〔2015•四川〕以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔〕A．y=cos〔2x+〕B．y=sin〔2x+〕C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 6．〔5分〕〔2015•四川〕执行如下图的程序框图，输出s的值为〔〕A．﹣B．C．﹣D．7．〔5分〕〔2015•四川〕过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=〔〕A．B．2C．6D．48．〔5分〕〔2015•四川〕某食品保鲜时间y〔单位：小时〕与储藏温度x〔单位：℃〕满足函数关系y=e kx+b〔e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数〕．假设该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是〔〕A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．〔5分〕〔2015•四川〕设实数x，y满足，则xy的最大值为〔〕A．B．C．12 D．1610．〔5分〕〔2015•四川〕设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆〔x﹣5〕2+y2=r2〔r＞0〕相切于点M，且M为线段AB的中点，假设这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是〔〕A．〔1，3〕B．〔1，4〕C．〔2，3〕D．〔2，4〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．〔5分〕〔2015•四川〕设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．〔5分〕〔2015•四川〕lg0.01+log216的值是．13．〔5分〕〔2015•四川〕已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．〔5分〕〔2015•四川〕在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．〔5分〕〔2015•四川〕已知函数f〔x〕=2x，g〔x〕=x2+ax〔其中a∈R〕．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有〔写出所有真命题的序号〕．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．〔12分〕〔2015•四川〕设数列{a n}〔n=1，2，3…〕的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设数列的前n项和为T n，求T n．17．〔12分〕〔2015•四川〕一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．〔Ⅰ〕假设乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法〔将乘客就坐的座位号填入表中空格处〕乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1〔Ⅱ〕假设乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．〔12分〕〔2015•四川〕一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如下图．〔Ⅰ〕请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处〔不需要说明理由〕〔Ⅱ〕判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．〔Ⅲ〕证明：直线DF⊥平面BEG．19．〔12分〕〔2015•四川〕已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0〔p∈R〕两个实根．〔Ⅰ〕求C的大小〔Ⅱ〕假设AB=3，AC=，求p的值．20．〔13分〕〔2015•四川〕如图，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔0，1〕在短轴CD上，且•=﹣1〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．21．〔14分〕〔2015•四川〕已知函数f〔x〕=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．〔Ⅰ〕设g〔x〕是f〔x〕的导函数，讨论g〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕证明：存在a∈〔0，1〕，使得f〔x〕≥0恒成立，且f〔x〕=0在区间〔1，+∞〕内有唯一解．。
四川省成都龙泉中学高三上学期12月月考数学(文)试题
成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题数 学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|04,|13A x x B x N x =≤<=∈≤≤，则AB = （C ）A. {}|13x x ≤≤B. {}|04x x ≤≤C. {}1,2,3D.{}0,1,2,32.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 对应的点位于（ C ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 若向量(1,2)a =-，(1,1)b =--，则42a b +与a b -的夹角等于（ B ）A ．4π-B ． 4πC ．6πD ．34π 4．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x 满足log 2（x ﹣1）＞0的概率是（ A ）A ．B ．C ．D ．5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( C )A.1B. 2C. 3D.26.锐角．．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ A ）A ．(]5,6B ．()3,5 C.(]3,6 D ．[]5,67.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下几个命题，其中正确的个数是（ B ）①若//αβ，n α⊂，m β⊂，则//m n ；②若m n ⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥③若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥；④若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥⑤若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥A ．1B ．2C ．3D ．48.已知如图所示的程序框图的输入值[]1,4x ∈-，则输出y 值的取值范围是（ A ）A ．[]1,2-B ．[]1,15-C ．[]0,2D ．[]2,159.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为（ D ）A.π60B.35C.π3D.4510.给出下列四个命题：①回归直线y bx a =+恒过样本中心点(,)x y ；②“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“0x R ∃∈，使得200230x x ++<”的否定是“对x R ∀∈，均有2230x x ++>”；④“命题p q ∨”为真命题，则“命题p q ⌝∧⌝”也是真命题． 其中真命题的个数是（ B ） A ．0B ．1C ．2D ．311.定义一种运算,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，若()2243x f x x x =⊗-+，当()()g x f x m =-有5个不同的零点时，则实数m 的取值范围是（ A ）A ．()0,1B ．[]0,1C ．()1,3D ．[]1,312.设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++=…（ D ）A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()()321,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦ ．13.314.圆心在直线2x ﹣y ﹣7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，﹣4）、B （0，﹣2），则圆C 的方程为 ．14.（x ﹣2）2+（y+3）2=5 15．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则C 的准线方程为____.15.16.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如下图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立. 则短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积为 3cm ． 16.16π三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 等差数列{}n a 中，公差0d <，268a a +=-，367a a =（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n b 前n 项的和，其中||n n b a =，*n ∈N ，若1464n T ≥，求n 的最小值．17.【解析】（Ⅰ）∵35268a a a a +=+=-，联立353587a a a a +=-⎧⎨=⎩，解得3571a a =-⎧⎨=-⎩，（舍去）或3517.a a =-⎧⎨=-⎩，∴31a =-，57a =-∴38n a n =-+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知15b =，22b =，3|1|1b =-=，4|4|4b =-=，151464T =<，271464T =<，381464T =<，4121464T =<，∴231314146422n n n T =-+≥，(3100)(29)0n n -+≥，1003n ≥，∴n 的最小值为34． 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，AB DP ==E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）当三棱锥B EFC -的体积等于四棱锥P ABCD -体积的16时，求PFPB的值．18.【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =，2BC =，45ABC ∠=︒，由余弦定理28422cos454AC =+-⋅⋅︒=，得2AC =，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥，又AD BC ∥，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =，所以PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥（Ⅱ）因为E 为CD 的中点，∴14BEC ABCD S S =四形△边，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，PA AD ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ．设F到平面ABCD的距离为h，∵16B EFC F BEC P ABCDV V V---==，∴111363BEC ABCDS h S PA⋅⨯=⋅⋅⋅四形△边，∴23h PA=，所以13PFPB=．19. 随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下图所示．（Ⅰ）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（Ⅱ）若按分层抽样的方法从年龄在以内及以内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在内的概率.【答案】（Ⅰ）250；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）结合直方图求出求出满足条件的人数即可；（Ⅱ）先求出年龄在[20，30）、[40，50）内的人数，根据古典概率公式计算即可．试题解析：（Ⅰ）依题意，所求人数为.（Ⅱ）依题意，年龄在内的有3人，记为，年龄在内的有2人，记为1,2；随机抽取2人，所有可能的情况为，，,,,，,,,,共10种.其中年龄都在内的情况为，，，故所求概率.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 21.已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数).(1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；(2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＜g (x )＋x 36.21(1)解 由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22.切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.即x －2y ＋1－π4＝0.(2)解 g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m ＞0时，令g ′ (x )＜0，解得x ＜－2m 或x ＞2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞).(3)证明 当m ＝1时，g (x )＝x －x 36.令h (x )＝g (x )＋x 36－f (x )＝x －sin x ，x ∈[0，＋∞)，h ′(x )＝1－cos x ≥0，则h (x )是[0，＋∞)上的增函数.故当x ＞0时，h (x )＞h (0)＝0， 即sin x ＜x ，f (x )＜g (x )＋x 36.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线交曲线于两点，求.22.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）∵曲线的参数方程为（为参数）∴曲线的普通方程为曲线表示以为圆心，为半径的圆.将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）∵，∴，可得直线的直角坐标方程为；∴圆心到直线的距离为∴弦长为.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()|4|||f x x m x m=-++（0m >）． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；（Ⅱ）若k 为()f x 的最小值，且a b k +=（0a >，0b >），求14a b+的最小值 23.证明：（Ⅰ）111()|4||||4|4||||4f x x m x m m m m m=-++≥+=+≥， 当且仅当1||2m =时取“=”号．（Ⅱ）由题意知，4k =，即4a b +=，即144a b+=， 则1414559()()1444444a b b a a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当43a =，83b =时取“=”号．。
【解析】四川省成都外国语学校2015届高三12月月考文科数学试题
四川省成都外国语学校2015届高三12月月考文科数学试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、程序框图、充分、必要条件、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ｉ卷【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知i 是虚数单位，则ii 31+= （ ）A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123- 【知识点】复数的代数运算L4【答案】【解析】B解析114i i ===，所以选B. 【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键. 【题文】2．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件A2 【答案】【解析】A解析：若x+y=1，当x,y 异号或有一个为0时，显然有14xy ≤，当x,y 同号时，则x,y 只能都为正数，此时1=x+y ≥得14xy ≤，所以对于满足x+y=1的任意实数x,y 都有14xy ≤，则充分性成立，若14xy ≤，不妨取x=4,y=0.001,此时x+y=1不成立，所以必要性不成立，综上可知选A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（ ）A ．14 B ． 34 C ．12 D ．23【知识点】几何概型K3【答案】【解析】C解析：对于[－π, π]，由cosx ≥0，得x ∈,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,所以所求的概率为122ππ=，则选C. 【思路点拨】先判断出是几何概型，归纳为所求概率为长度之比，即可解答.【题文】4．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11 【答案】【解析】A解析：因为()()'22sin ,''22cos 0f x x x f x x =-=-≥，所以函数'()f x 在R 上单调递增，则选A. 【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 （ ）A ．2B ．21C ．42 D ．22【知识点】三视图 椭圆的性质G2 H5【答案】【解析】D解析：设正视图中正方形的边长为2b ，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b ，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得，所以2,,e c a a a ======,则选D. 【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求a,b,c 关系即可解答.（第5题）直观图俯视图侧视图正视图【题文】6．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为（ ） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】A解析：由0222=-++a bc c b 得2221cos 22b c a A bc +-==-,又A 为三角形内角，所以A=120°,则()()113cos sin 222sin sin 30sin(30)1sin sin sin 60sin 2C C C C A C a C b c B C C C ⎫⎫-⎪⎪︒-︒-⎝⎭====--︒--，所以选A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则=-++51015105S S S S S ( )A. 27B. 29-C. 29D. 27-【知识点】等比数列D3【答案】【解析】B解析：因为S 10:S 5＝1:2，所以105105511,22S S S S S =-=-,由等比数列的性质得5515511,,22S S S S --成等比数列，所以2551551142S S S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得15534S S =,所以55551015105513924122S S S S S S S S S ++++==---,则选B.【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质232,,,,n n n n n S S S S S --成等比数列进行解答..【题文】8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，表示的平面区域如图,因为64221444x y x y y x x x +--+--==+---，而24y x --为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率最大为426347--=--，所以214y x -+-的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1，则选C.【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9．已知椭圆C:1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（ ） A ．161-B ．321-C ．641D ．10241- 【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质H5【答案】【解析】B 解析：由椭圆的性质可得1121012AP BP AP BP k k k k ∙=∙=-，由椭圆的对称性可得110101,BP AP BP AP k k k k ==,同理可得3856749212AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k ∙=∙=∙=∙=-,则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以选B..【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键. 【题文】10. 用()n A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()(),()(),()()n A n B n A n B A B n B n A n A n B -≥⎧*=⎨-<⎩当当若22{|140,},{||2014|2013,}A x x ax a R B x x bx b R =--=∈=++=∈，设{|1}S b A B =*=， 则()n S 等于（ ） A ．1B ．4C ．3D ．2【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】B解析：∵x 2-ax-14=0对应的判别式△=a 2-4×（-14）=a 2+56＞0，∴n （A ）=2，∵A*B=1，∴n （B ）=1或n（B ）=3．由|x 2+bx+2014|=2013，解得x 2+bx+1=0①或x 2+bx+4027=0②，①若集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴b=2或-2．②若集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即△=b 2-4×4027=0，且b≠±2，解得b =±，综上所述b=±2或b =±S={b|A*B=1}={2,2,--，∴n （S ）=4．故选B ．【思路点拨】根据所给的定义，判断两个集合根的个数，由方程根的个数求b 值.第Ⅱ卷【题文】二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上） 【题文】11. 已知4823,log ,23xy x y ==+则的值为___________. 【知识点】指数与对数的互化 对数的运算B6 B7 【答案】【解析】3 解析：由4823,log 3x y ==得242818log 3,log log 323x y ===，所以22282log 3log log 833x y +=+==. 【思路点拨】由已知条件先把x,y 化成同底的对数，再利用对数的运算法则进行计算. 【题文】12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．【知识点】程序框图L1（第12题）【答案】【解析】13760解析：第一次执行循环体得s=1,i=2; 第二次执行循环体得s=32,i=3; 第三次执行循环体得s=3111236+=,i=4; 第四次执行循环体得s=111256412+=,i=5; 第五次执行循环体得s=25113712560+=,i=6; 第六次执行循环体得s=1371147279260660604+==> 此时不满足判断框跳出循环，所以输出的值为14760. 【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答. 【题文】13．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1，则=a ．【知识点】三角函数的性质C3【答案】【解析】0解析：因为1()sin 2cos(2)a sin 2cos 2322f x a x x x x π⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭的最大值为1，所以21124a ⎛-+= ⎝⎭，解得a=0或【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx 的最值的结论进行作答.【题文】14．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦， 其中弦长为整数的共有 条。
2015年四川省高考数学试卷(文科)附详细解析(1)
2015年四川省高考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）(2015•四川）设集合A=｛x｜﹣1＜x＜2｝,集合B=｛x｜1＜x＜3｝，则A∪B=（）A．｛x|﹣1＜x＜3｝B．{x｜﹣1＜x＜1｝C．{x｜1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分)(2015•四川)设向量=（2，4）与向量=（x，6)共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）(2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．(5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为(）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=(）A．B．2C．6D．48．(5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x（单位：℃)满足函数关系y=e kx+b（e=2。
718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（)A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为(）A．B．C．12 D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（)A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3) D．(2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(5分）(2015•四川）设i是虚数单位,则复数i﹣=．12．（5分）(2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分)（2015•四川)已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N,P分别是AB，BC，B1C1的中点,则三棱锥P﹣AMN的体积是．15．(5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x,g（x）=x2+ax（其中a∈R)．对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n；④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(12分）（2015•四川)设数列{a n｝（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1,a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为T n,求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2,3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4,P5的座位号分别为1，2,3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(Ⅰ）请按字母F,G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ)证明：直线DF⊥平面BEG．19．(12分）（2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA,tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0(p∈R)两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3,AC=，求p的值．20．（13分)(2015•四川）如图,椭圆E:=1(a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上,且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在,求λ的值；若不存在，请说明理由．21．(14分）（2015•四川)已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．(Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g(x）的单调性；（Ⅱ)证明：存在a∈(0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年四川省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(5分)（2015•四川)设集合A=｛x｜﹣1＜x＜2｝，集合B={x｜1＜x＜3}，则A∪B=（) A．｛x｜﹣1＜x＜3｝ B．｛x|﹣1＜x＜1} C．{x｜1＜x＜2} D．｛x|2＜x＜3｝考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A=｛x｜﹣1＜x＜2}，集合B=｛x|1＜x＜3｝，则A∪B=｛x｜﹣1＜x＜3｝．故选：A．点评:本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）(2015•四川)设向量=（2，4）与向量=（x,6）共线，则实数x=(）A．2B．3C．4D．6考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示．专题: 平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=(2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评:本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=(x，y)与向量=(m，n)共线，那么xn=yn．3．(5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是（)A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,这种方式具有代表性,比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分)（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1"是“log2a＞log2b＞0”的（) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1,故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选:A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（)A．y=cos(2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点: 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性,判断求解即可．解答:解:y=cos(2x+）=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数,周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin(2x+）,函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+)，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评:本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4,S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则｜AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标，即可求解｜AB｜．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2,0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB｜=4．故选：D．点评:本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．(5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解:y=e kx+b（e=2。
2015年全国高考四川文科数学试题与解析
2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<【答案】A【解析】集合A ＝(－1,2),B ＝(1,3)，故A ∪B ＝(－1,3)，选A 2、设向量a =(2,4)与向量b =（x ，6）共线，则实数x=（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】由向量平行的性质，有4x ＝12，解得x ＝3，选B3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） （A ）抽签法 （B ）系统抽样法 （C ）分层抽样法 （D ）随机数法【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样。
选C4、设a ，b 正实数，则“a>b>1”是“22log log 0a b >>”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确。
2015年四川省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）=）与向量=）与向量3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽）2x+）sin）sin x+6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）﹣的值为=，的值为．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的B=1=1，8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是=）9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）B（=，经检验（的最大值为10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围，=，所以2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．﹣=i+i=2i12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是2．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．==14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣AMN的体积是．，的体积是：=故答案为：．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．，﹣）递减，在（，三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．）由于，利用等比数列的前项和公式求得数列=，++==1．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．=．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．≥==px p≥﹣﹣．=sinB====2+﹣2+﹣20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．、=b=时•λ•的斜率不存在时，•λ•=，且•∴b=+，使得•λ•，消去，﹣•+λ=x时，﹣•+λ=•+λ=，使得•λ•21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．==，≥=。
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成都市示范性高中高2012级（高三）12月月考数学试题文科一、选择题：本大题每个小题只有一个正确答案，共10小题，每小题5分，共50分。
1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A. 30oB. 45oC. 60oD. 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如下图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切， 则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于（ B ） A43 B 33 C 42 D 3210、)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 （ A ） (A)b a c <<(B) c a b << (C) c b a << (D) a b c <<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=b ，则a 在b 方向上的投影为__2_。
14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的21，其体积缩小到原来的41； ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等； ③直线01=++y x 与圆2122=+y x 相切；④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线l 与椭圆2212x y +=交于P 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于－12其中真命题的序号是：_135____三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.解：（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-3cos 1sin 2223sin cos 2121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A = 由正弦定理sin sinB Ab a=把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、（本小题满分12分）成都海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.18、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN ⊥平面C 1B 1N ；（2）求点的距离到面N C 11CB18.解（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.4448侧视图俯视图正视图ABCNB 1C 1则为直角内，易证，且在面11111BNB N ABB N ABB ∠⊥C B错误！未找到引用源。
N ABB BN 1111面且面⊂⊥N ABB C B 错误！未找到引用源。
,BN C B ⊥∴11错误！未找到引用源。
11111B C B N B N B BN =⊥ ，且又错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
N B C BN 11面⊥∴(2)由等体积法364448312121111111=⨯⨯⨯⨯===---C CBB N C CB N CNB C V V V ,错误！未找到引用源。
364311=∆h S CNB 则364641==∆CNB S h19、(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，又11a =， 所以{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈. 当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.所以10121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)等式两边同乘以13得012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)(1)-(2)得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.20、（本小题满分13分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值解：（Ⅰ）由题意得，|006|32b -+==，12c a =，又222a b c +=，联立解得224,3a b ==，∴椭圆的方程为13422=+y x .（Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422 消去y 化简得，()0124843222=-+++m kmx x k∴221438k km x x +-=+，222143124km x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。