高等代数5.4 正定二次型
正定二次型
设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
充分性
设 bi 0 i 1,, n. 则 g( y) 正定 任给 x 0, 则 y P -1x 0,
故由可逆线性变换不改变正定性可得。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要 条件为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
f
x2 1
3x22
为不定二次型
定理1 可逆线性变换保持实二次型的正定性。
证明 设实二次型 f (x) xT Ax 经过实数域上 可逆线性变换 x Py 化为 g( y) yT By
1.假设 f (x)
y ，则有
x
xT Ax
Py
正0定。，于对是任意f (非x)零 0实向量
0 0 1
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要
条件是 A的所有顺序主子式的值全大于零。
, a11 0, a11 a12 0,
a11 a1n
0;
a21 a22
an1 ann
例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定。
证明 设二次型
f1 xT Ax f2 xT Bx
f xT (A B)x
xT Ax xT PT Px (Px)T (Px) 0
则由定义A正定。
A正定，则A合同于E, 由合同的定义，存在可逆矩阵P, 使得PT EP PT P A
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
高等代数§54 正定二次型
当 m＝2k＋1 时， Am A2k1 Ak AAk ( Ak ) AAk , 即，Am与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同， 所以 Am与E合同，即 Am 正定.
（5）由于A、B正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0, X BX 0
因此有 X ( A B)X X AX X BX 0. 故，A＋B 正定.
x2
xk
对任意一不全为零的数 c1,c2 , ,ck , 有 fk (c1,c2 , ,ck ) f (c1,c2 , ,ck ,0, ,0) 0
fk ( x1, x2 , , xn )是正定的，从而 A(1, 2, , k)正定. Pk det A(1,2, ,k) 0, k 1,2, , n.
又由于C可逆，Y0 0 ，所以 X0 0, 即 c1,c2 , ,cn 不全为0. g(k1, k2 , , kn ) f (c1,c2 , ,cn ) 0 g( y1, y2 , , yn )正定.
反之，实二次型 g( y1, y2 , , yn )可经过非退化 线性替换 Y = C - 1X 变到实二次型 f ( x1, x2 , , xn ),
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2、正定性的判定
1）实二次型 X AX 正定
X Rn ,若X 0,则X AX 0
2）设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2, , n
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
正定二次型
再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
高等代数正定二次型
g(k1, k2, · · · , kn) = f(c1, c2, · · · , cn) > 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定二次型与非退化线性替换
因为二次型 (3) 也可以经非退化线性替换 Y = C−1X
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, · · · , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
正定二次型与非退化线性替换
设实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
n = 1 时，1 级矩阵 (a)，已知 a > 0，从而 (a) 正定.
假设对于 n − 1 级实对称阵命题为真. 现在来看 n 级实对称矩阵
A = (aij). 把 A 写成分块矩阵：
(
)
A = An−1 α ,
(6)
α′ ann
其中 An−1 是 n − 1 级实对称矩阵. 显然 An−1 的所有顺序主子
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
aijxixj = X′AX
i=1 j=1
是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
高等代数课件 第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
正定二次型
解: 用特征值判别法. 用特征值判别法. 二次型的矩阵为
2−λ 令 A − λE = 0 −2 0 4−λ 0
2 0 − 2 A = 0 4 0 , − 2 0 5
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
−2 9 =0 5−λ ⇒ λ1 = 1, λ 2 = 4, λ 3 = 6.
可见A不是负定的，也不是正定的. 可见A不是负定的，也不是正定的.
正定矩阵的简单性质
定阵 为正定阵， 也为正定阵.
T −1 ∗
均为正定阵， 也为正定阵. 2. 若 A, B 均为正定阵，则 A + B 也为正定阵
思考题
设A, B分别为 m 阶, n阶正定矩阵 , 试判定分块 A 0 矩阵C = 是否为正定矩阵 . 0 B 解 C是正定的. T T T 因为, 设 z = ( x , y )为m + n维向量 , 其中x , y分 别是m 维和n维列向量 , 若z ≠ 0, 则x , y不同时为零向
例如
f ( x , y) = x 2 + 4 y2 f ( x , y, z ) = x + 4 y
2 2
正定二次型 为正定二次型 半正定二次型 为半正定二次型 负定二次型 为负定二次型
2 2
f ( x1 , x2 ) = − x − 3 x
2 1
2 1
2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) = − x − 3 x
⇔
a12 M > 0. > 0 , L, A = M a22 an1 L ann
a11 L an1
判别二次型是否正定. 例1 判别二次型是否正定
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
5-4 正定二次型
（2）由 A 正定，则 A 的特征值全大于零，因此 | A | 0 .
注意（1）定理5.13是判别二次型正定性的两个必要条
件。 （2） 从定理5.13易知，正定矩阵必为可逆矩阵. （3）A 负定当且仅当 A 正定. 因此有 推论 A 为负定矩阵，则 （1） A 的主对角线元 aii 0 i 1, 2,, n ； （2） A 1 A 0
A 80 0, 因此 f 为负定.
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例4
t 为何值时,二次型
2 2 2 f t ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
负定. 解. 二次型的矩阵 则
t 1 1 A 1 t 1 1 1 t
x T Bx x T ( E AT A) x x T x x T AT Ax x T x ( Ax )T Ax ,
则
x 0, x T x 0, ( Ax )T ( Ax ) 0.
26 上一页 下一页 返 回
T 0 x 从而，当 时， Bx 0.
证明
x 0, x Ax 0 , x Bx 0; x T ( A B) x 0
T T
3. A负定当且仅当 –A 正定.
18 上一页 下一页 返 回
例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
t 1 1 t 1 t 0, 0, 1 t 1 0 1 t 1 1 t
解得 t 1
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正定二次型
§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。
如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
正定二次型
从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零， 式全大于零，
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的，那么二次 为正定的，
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的， 因实二次型 f = X T AX为正定的，所以对
任意的 X ≠ 0，均有 X T AX > 0， i 于是， 于是，取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ，
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理（惯性定理） 定理（惯性定理） 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
正定二次型
由于X AX是正定的, 对X i 0 ,有X iAX i 0
设λi是A的特征值， X i是属于i的特征向量
则有 AX i i X i ,且X i 0
于是 X iAX i X ii X i i X iX i 0
因为A为实对称矩阵，其特征向量为实向量，
且X i 0
X iX i 0
λi>0
定义5·10 对实二次型 f (x1, x2 , , xn ) ，若对于 任意一组不全为零的数c1, c2 , , cn ， 都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn )为负定二次型 若都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn ) 为半正定二次型 若都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn ) 为半负定二次型 若 f (x1, x2 , , xn ) 既不是半正定的 又不是半负定的，
因为当 c1 0, c2 0, c3 0 时，
有 f (c1,c2 ,c3 ) 2c2 2 0
（3）二次型 f (y1, y2, y3, y4) 2y12 2y32 6y42 是否正定 否 因为当c1 0, c2 0, c3 0, c4 0时， f (c1, c2 , c3 , c4 ) 0
即A的所有特征值都大于零
充分性 已知A的所有特征值都大于零
设1，2， ，n是A的n个特征值，
由定理5.4知，
正定判定方法
二次型X AX的标准型为：
1y12 2 y22 n yn2
又由已知条件,有i 0, (i 1,2, , n)
由定理5.6的推论知，
X AX是正定的,
【例1 】判断二次型
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
正定二次型
正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正（负）定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵，所以A的特征值全大于零，从而A-1, A*的特征值也全大于零，所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法：(1)定义法；(2)特征值判别法；(3)顺序主子式判别法.。
正定二次型
5..4 正定二次型一、定义：假设12(,)(),T n f x x x f X X AX == 为实二次型，TA A =，12(,)T n X x x x O =≠ ，则1、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==> ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵。
2、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==< ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵。
3、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≥ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半正定二次型，矩阵A 称为半正定矩阵。
4、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≤ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半负定二次型，矩阵A 称为半负定矩阵。
二、判定定理：1、二次型12(,)n f x x x 正定A ⇔为正定矩阵12(,)()0T n f x x x f X X AX ⇔==> 12(,)n f x x x ⇔ 的标准型2221122n n d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n >= 12(,)n f x x x ⇔ 的正惯性指数等于n 12(,)n f x x x ⇔ 的规范性为22212n y y y +++ A ⇔合同于单位矩阵E ⇔存在可逆矩阵C 使得TA C C =A ⇔的顺序主子式全大于零12(,)n f x x x ⇔- 负定。
证明：（1）二次型2221122n nd x d x d x +++ 正定0,1,2i d i n ⇔>= 事实上，如果0,1,2i d i n >= ，则对任意的12(,)n x x x O ≠ ， 22211220n n d x d x d x +++> ，即2221122n nd x d x d x +++ 正定。
第5.4节 正定二次型
A 2(11 6t 2 ) 0
2 2 t 0 解 得 2 11 6t 0
即当 t
11 时， f 是正定的. 6
负定、半正定、半负定二次型判定定理 定理4 (1) n元二次型f (x1,x2,…,xn) =xTAx负定的充分必要条件是 标准形中n个系数均为负数. (2) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是负惯性指数等于n. (3) n元二次型f =xTAx负定的充分必要条件是A的特征值都小于零.
a21 ai 1
例6 讨论二次型f 的正定性,其中
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x1 6 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
A的各阶顺序主子式
负定二次型 半负定二次型
二、正定二次型（正定矩阵）的判别法
定理1 n元二次型f (x1, x2 ,· · · ,xn) =xTAx正定(或A>０)的 充分必要条件是标准形中n个系数均为正数. 证 若存在可逆线性变换x=Cy使
2 2 f x Ax yT (C T AC ) y yT y 1 y1 2 y2 T x Cy 2 n yn
思考练习
1.判定二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
2 2 2 2 的正定性.已知其标准形为 f 3 y1 y2 y3 y4 .
2.判定下列二次型的正定性
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 x2 4 x3
2 5 2 解 二次型f 的矩阵 A 2 6 0 2 0 4
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所以A不是正定的.
2) 实对称矩阵A正定 det A A 0 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使 A CC, 从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0,A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22 不是正定二次型.
i1 j1
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
证:必要性.设 f ( x1, x2 ,, xn ) 正定，对每一个k
k(1 k n), 令
kk
fk ( x1, x2 ,, xk )
aij xi x j
i1 j1
x1
(
x1
,
x2
,,
xk
)
A(1,
2,
,
k
)
3、正定矩阵的必要条件 1）实对称矩阵 A (aij )nn 正定 aii 0,i 1, 2,, n.
证：若A正定 ，则二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) XAX
正定.
取
Xi
(0,,0, 1 ,0,,0) 第i个
则 f ( Xi ) XiAXi aii 0, i 1, 2,, n
X0 (c1,c2 ,,cn ) 0,
其中，c j
cis , 0,
当 j is , s 1, 2,, k 当 j is , s 1, 2,, k
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A1 是正定矩阵； （2） kA(k 0)是正定矩阵； （3）A*是正定矩阵； （4） Am 是正定矩阵（m为任意整数）； （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 PAP E, 于是有，
2）设实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) d1 x12 d2 x22 dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2,, n
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
X0
(0,,0, 1 ,0,,0), (i)
i
1,
2, , n
则 f ( X0 ) di xi2 0, di 0, i 1, 2,, n
x2 xk
对任意一不全为零的数 c1,c2 ,,ck , 有 fk (c1,c2 ,,ck ) f (c1,c2 ,,ck ,0,,0) 0
fk ( x1 , x2 , , xn ) 是正定的，从而 A(1, 2, , k )正定.
Pk det A(1, 2,,k) 0, k 1, 2,,n. 充分性： 对n作数学归纳法. n＝1时，a11 a11 0. f ( xi ) a11 x12正定. 结论成立. 假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成
f ( x1, x2 ,, xn ) Y (CAC )Y g( y1, y2 ,, yn )
任取一组不全为零的数 k1, k2 ,, kn , 令
3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
d1
若
D
d2
,
dn
di 0,
i 1,2,,n
为任一正对角矩阵，则
d1
D
d2
dn
1
1
1
d1
d2
dn
即，D与E合同.
则，
k1
c1
Y
0
k2 kn
,
X0
CY0
c2 cn
f (c1,c2 ,,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1, k2 ,, kn )
又由于C可逆，Y0 0 ，所以 X0 0, 即 c1,c2 ,,cn 不全为0. g(k1, k2 ,, kn ) f (c1,c2 ,,cn ) 0 g( y1, y2 ,, yn )正定. 反之，实二次型 g( y1, y2 ,, yn )可经过非退化 线性替换 Y = C - 1X 变到实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ), 同理，若 g 正定，则 f 正定. 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
0.
a a a iki1 iki2
ik ik
（习题9）
证：作二次型
kk
g( xi1 , xi2 ,, xik )
a x x isit is it
s1 t 1
( xi1 , xi2
,,
xik
)Qk
xi1 xi2 xik
对任意一不全为零的数 ci1 ,ci2 ,,cik , 有
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X AX
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
正2)定实二对次称型矩的阵规A正范定形为z12 z22 zn2 ZEZ
可见，正定矩
存在可逆矩阵C，使 A CC . 阵是可逆矩阵. A3与）E实合对同称，矩即阵存A在正可定逆矩A阵与C任, 使一正A 对 C角E矩C阵 合CC同.
设 A (aij )nn .
令
a11
A1
an1,1 源自a1,n1 an1,n1
,
=
a1n
a2n an1,n
,
则
A A1
ann
又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式 也全大于零.
由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使 GA1G En1.
k1 0 2
1 2
0
0
k
2
1 ( 1 )k1 2
k 1 2k
0,
0 0 0 0k
k 1,2,,n. f 正定.
例3、证明：若实对称矩阵A正定 ，则A的任意一个
k 阶主子式
ai1i1 Qk ai2i1
ai1i2 ai2i2
ai1ik ai2ik
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
1)
a11
A(1,
2,
,
k
)
ak1
a1k akk
Rkk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
2)
Pk
det A(1,2,,k)
a11 ak1
a1k akk
称为A的第k阶顺序主子式.
注意 反之不然. 即， A (aij )nn 为对称矩阵，且
aii 0, i 1, 2,, n, 但A未必正定. 如
A
1 1
1 1
,
f ( x1, x2 ) X AX ( x1 x2 )2 ,
当 x1 x2 1 时，有 f ( x1, x2 ) 0.
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A*正定.
（4）由于 A 正定，知 Am 为n阶可逆对称矩阵 ， 当m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am 正定.
令 C1
G 0
0 1
,
则 C1AC1
G 0
0 1
A1
1
G 0
0 1
EnG1
G
ann
再令
C2
En1 0
G
1
,
则
C
2
(C1
AC1
)C
2
EnG1
0 1
EnG1
G
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) xi2 是正定的；
n1
i 1
但二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) xi2 不是正定的．
i 1
2、正定性的判定
1）实二次型 X A X 正定
X R n ,若 X 0,则 X AX 0
1 2
2 5
其顺序主子式
P1 5 0,
P2
5 2
2 1
1 0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2 ,, xn ) xi2
xi x j （习题7-3）
i 1
1i jn
解： f ( x1, x2 ,, xn )的矩阵
ann
En1 0
G
1
En1 0
ann
0
GG
再令 C C1C2 , a ann GG
则有
CAC
En1 0
0 a
两边取行列式，得 C 2 A a