应用归结原理例讲课教学文案
归结原理在不精确推理中的应用
归结原理在不精确推理中的应用归结原理在不精确推理中的应用归结原理是一种不精确推理方法，它是从一个特定的例子中推断出普遍规律的过程。
归结原理被用来推断一个被观察到的事实，结合另一个事实，从而推导出一个更大的结论。
在不精确推理中，归结原理的应用是比较常见的，它可以被用来解决许多不同的问题，但是在某些情况下，它可能会造成错误的结论。
因此，在使用归结原理之前，我们需要谨慎地考虑每一个细节，以免结果出现偏差。
在不精确推理中，归结原理的最常见的应用之一就是类比推理。
类比推理是根据一个事物的特性来推断另一个事物的特性。
比如，如果我们知道某种动物有某种性质，我们就可以推断另一种动物也具有这种性质。
这种推理过程是基于一般化的思想，即一个特定的例子可以被推广到更广泛的情况。
另一个典型的应用是实例归结，它是一种推断过程，是根据一个特定的例子来推断一般情况。
比如，如果我们知道某个个体有某种特征，我们就可以推断出这个类别的所有个体都具有这种特征。
实例归结是一种建立普遍规律的有效方法，它可以用来推断某种现象的一般规律，从而使得研究人员能够更好地理解这种现象。
归结原理也可以用于反悔推理。
反悔推理是一种从否定的结论中推出正确的结论的推理方法。
比如，如果某个现象没有发生，那么我们就可以推断出另一种可能性，即另一种现象可能发生了。
这种推理方法对于解决很多棘手问题非常有用，可以帮助研究者从一个否定的结论中推出正确结论。
归结原理也可以用于一般化推理，它是一种从特定的事例中推断出一般规律的推理方法。
比如，如果我们知道一个特定的事件会导致某种结果，那么我们就可以推断出所有类似的事件都会导致相同的结果。
这种推理方法可以用来推断一般结论，从而更好地理解某种现象的规律性。
归结原理在不精确推理中的应用也有一些局限性，比如它不能准确地推断出一般情况，而且它也不能准确地推断出一个特定的情况。
因此，在使用归结原理之前，我们需要仔细思考每一个细节，确保结果是准确的。
归结原理的应用
归结原理的应用什么是归结原理？归结原理（Resolution Principle）是一种基本的推理规则，常用于自动定理证明和人工智能中的逻辑推理。
它是数理逻辑和计算机科学中一种重要的推理方法。
它的基本思想是通过将问题转化为一个逻辑蕴含问题，寻找到逻辑上的矛盾，从而证明问题的可解性。
归结原理的基本原理归结原理的基本原理是使用反证法。
假设我们要证明某个命题P成立，我们假设P不成立，即假设P的否定Q成立。
然后，我们将命题P和Q转化为它们的逻辑表达式形式，如用命题变元和逻辑连接词表示。
接下来，我们将P和Q的否定进行归结，即通过合并两个逻辑表达式，找到它们的共同项，并化简为新的逻辑表达式。
最后，我们检查新的逻辑表达式是否包含矛盾项，如果包含矛盾项，则我们得出结论：P成立。
归结原理的应用领域归结原理在人工智能、计算机科学、数理逻辑等领域有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用领域：1.自动定理证明：归结原理作为一种常用的推理方法，广泛应用于自动定理证明中。
通过将待证明的命题转化为一个逻辑蕴含问题，并应用归结原理进行逻辑推理，可以自动证明命题的可解性。
2.人工智能：归结原理在人工智能中也有重要的应用。
以逻辑编程语言Prolog为代表的基于归结原理的推理系统，可以处理复杂的推理问题，例如知识库查询、推理规则执行等。
3.硬件验证：归结原理在硬件验证领域也有广泛应用。
通过将设计规约转化为逻辑蕴含问题，并应用归结原理进行推理，可以验证硬件设计的正确性。
4.自然语言处理：归结原理在自然语言处理中也有应用。
通过将自然语言句子转化为逻辑表达式，并利用归结原理进行推理，可以进行语义解析、推理和逻辑推理等任务。
如何应用归结原理？应用归结原理进行推理，需要遵循以下步骤：1.将待证明的命题转化为逻辑蕴含问题形式，即将待证明的命题P和它的否定Q转化为逻辑表达式形式。
2.对P和Q的逻辑表达式进行化简，消除冗余项。
3.使用归结原理，将P和Q的否定进行归结，找到共同项，并将其合并为新的逻辑表达式。
人工智能原理教案02章 归结推理方法2.4 归结原理
2.4 归结原理本节在上节的基础上，进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。
谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结法为基础，在Skolem 标准性的子句集上，通过置换和合一进行归结的。
下面先介绍一些本节中用到的必要概念：一阶逻辑：谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。
个体词：表示主语的词谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词量词：表示数量的词个体常量：a,b,c个体变量：x,y,z谓词符号：P,Q,R量词符号：,归结原理正确性的根本在于，如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。
2.4.1 合一和置换置换：置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。
定义：置换是形如{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}的有限集合。
其中，x1, x2, …, x n是互不相同的变量，t1, t2, …, t n是不同于x i的项（常量、变量、函数）；t i/x i表示用t i置换x i，并且要求t i与x i不能相同，而且x i不能循环地出现在另一个t i中。
例如{a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。
{g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换，原因是它在x和y之间出现了循环置换现象。
置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代，使其不在公式中出现。
但在{g(y)/x，f(x)/y}中，它用g(y)置换x，用f(g(y))置换y，既没有消去x，也没有消去y。
若改为{g(a)/x，f(x)/y}就可以了。
通常，置换用希腊字母θ、σ、α、λ来表示的。
定义：置换的合成设θ＝{t1/x1, t2/x2, …, t n/x n}，λ＝{u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}，是两个置换。
则θ与λ的合成也是一个置换，记作θ·λ。
它是从集合{t1·λ/x1, t2·l/x2, …, t n·λ/x n, u1/y1, u2/y2, …, u n/y n}即对ti先做λ置换然后再做θ置换，置换xi中删去以下两种元素：i. 当t iλ＝x i时，删去t iλ/x i(i = 1, 2, …, n);ii. 当y i∈{x1,x2, …, x n}时，删去u j/y j(j = 1, 2, …, m)最后剩下的元素所构成的集合。
应用归结原理例-2014
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7/9/2014
利用归结原理求取问题答案-习题4
破案问题：在一栋房子里发生了一件神秘的谋杀 案，现在可以肯定以下几点事实： (1)在这栋房子里仅住有A,B,C三人； (2)是住在这栋房子里的人杀了A； (3)谋杀者非常恨受害者A； (4)A所恨的人，C一定不恨； (5)除了B以外，A恨所有的人； (6)B恨所有不比A富有的人；
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7/9/2014
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零; E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。 定义函数f(x)：x除以2。
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7/9/2014
利用归结原理求取问题答案-习题3
练习：某记者到一个孤岛上采访，遇到了一个难题，即岛上有许 多人说假话，因而难以保证新闻报道的正确性。不过有一点她是 清楚的，这个岛上的人有一特点，说假话的人从来不说真话，说 真话的人也从来不说假话。有一次，记者遇到了孤岛上的三个人， 为了弄清楚谁说真话，谁说假话，她向三个人中的每一个都提了 同样的问题，即“谁是说谎者？”结果，a 回答：“b和c都是说 谎者”；b回答：“a和c都是说谎者”；c回答：“a和b至少有 一个是说谎者”。试问记者如何才能从这些回答中理出头绪。 定义谓词： T(x):x说真话。
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7/9/2014
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词 ANSWER 构成析取式。谓词 ANSWER 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
微积分归结原理的应用
微积分归结原理的应用1. 前言微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的导数和积分。
微积分经常被应用在各个科学领域和工程领域中，例如物理学、经济学、计算机科学等等。
本文将介绍微积分归结原理及其在各个领域的应用。
2. 微积分归结原理介绍微积分归结原理，也称为微积分基本定理，是微积分中的重要理论之一。
该原理指出，如果一个函数在某个区间上连续且有定义，那么在该区间上的每一点都存在一个原函数，同时该原函数的导数等于被积函数。
3. 物理学中的应用微积分归结原理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在运动学中，我们可以通过对速度函数进行积分来得到位移函数。
同时，利用加速度函数求解速度函数也是基于微积分归结原理。
此外，在力学中，微积分归结原理也被用来求解物体的质心和转动惯量等物理量。
在电磁学中，微积分归结原理也起到了重要的作用。
例如，通过对电流密度的积分，我们可以计算出电流通过一个闭合曲面的总通量。
类似地，在电场和磁场的计算中，也会用到微积分归结原理。
4. 经济学中的应用微积分归结原理在经济学中也有应用。
在微观经济学中，供给曲线和需求曲线的面积分别对应着市场出售的商品总量和市场购买的商品总量。
通过对供给曲线和需求曲线之间的面积进行比较，可以计算出市场的剩余消费者剩余和生产者剩余。
在宏观经济学中，微积分归结原理被用来研究国民经济的总供给和总需求。
例如，通过对总生产函数进行积分，可以得出国民收入的总量。
此外，对总需求函数进行积分，可以计算出总消费支出和总投资支出等经济指标。
5. 计算机科学中的应用微积分归结原理在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，在图像处理中，微积分归结原理被用来计算图像的边缘，同时也可以通过对图像的像素值进行积分来计算图像的亮度。
此外，在人工智能领域，微积分归结原理被用来训练神经网络和优化模型参数。
在计算机图形学中，微积分归结原理被用来计算二维和三维图形的曲线和曲面。
例如，通过对曲面进行积分，可以计算出曲面的体积和表面积。
应用归结原理例-共21页文档
任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 4/26L/20u20cky(x):x幸运。
定义谓词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
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4/26/2020
应用归结原理进行定理证明 -习题4
5
4/26/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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4/26/2020
=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
人工智能原理教案02章归结推理方法2.2命题逻辑的归结
人工智能原理教案02章归结推理方法2.2命题逻辑的归结第一篇：人工智能原理教案02章归结推理方法2.2 命题逻辑的归结2.2 命题逻辑的归结 2.2.1 命题逻辑基础逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑，其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
归结原理是一种主要基于谓词（逻辑）知识表示的推理方法，而命题逻辑是谓词逻辑的基础。
因此，在讨论谓词逻辑之前，先讨论命题逻辑的归结，便于内容上的理解。
本节中，将主要介绍命题逻辑的归结方法，以及有关的一些基础知识和重要概念，如数理逻辑基本公式变形、前束范式、子句集等。
描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串，取值为真或假（表示是否成立）的句子称作命题。
命题：非真即假的简单陈述句在命题逻辑里，单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。
下面所列出的是一些基本的数理逻辑公理公式和一些有用的基本定义，如合取范式、子句集，这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可少的，也是归结法的基础，应该熟练掌握。
－数理逻辑的基本定义下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义，在后面的分析中要用到：·合取式：p与q，记做p ∧ q·析取式：p或q，记做p ∨ q·蕴含式：如果p则q，记做p → q·等价式：p当且仅当q，记做pq·若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式；·若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式；·若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的；·析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取式·合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取式－数理逻辑的基本等值式下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。
只有将逻辑公式正确转换成为归结原理要求的范式，才能够保证归结的正常进行。
·交换律：p∨qq ∨p ；q ∧ pp ∧ q·结合律：(p∨q)∨ rp∨(q ∨r);(p ∧ q)∧ rp ∧(q ∧ r)·分配律：p∨(q ∧ r)(p∨q)∧(p ∨r)；(p ∧ q)∨(p ∧ r)p ∧(q ∨ r)·双重否定律：p·等幂律：p～～pp∨p；p p∧p·摩根律: ～(p∨q)～p ∧ ～ q ；～p ∨ ～ q～(p ∧q)·吸收律: p∨(p∧q)p ；pp ∧(p∨q)·同一律: p∨0p ； pp∧1·零律：p∨1p∧0 0·排中律：p∨～p·矛盾律：p∧～p 0～p∨q(p → q)∧(q → p)～p → ～ q～p～q～p·蕴含等值式：p → q·等价等值式：pq·假言易位式: p → q·等价否定等值式：pq·归谬论：(p → q)∧(p → ～q)－合取范式范式：范式是公式的标准形式，公式往往需要变换为同它等价的范式，以便对它们作一般性的处理。
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（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
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12/3/2020
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。
证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令
P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y
A1: x (P(x) y(D(y)L(x, y))) A2: x(P(x) y(Q(y) ～L(x, y))) B: x(D(x) ～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1A2～B是不可满足的。
定义Байду номын сангаас词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
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12/3/2020
应用归结原理进行定理证明 -习题4
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。
定义谓词：
N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零;
E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。
定义函数f(x)：x除以2。
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12/3/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
应用归结原理例-讲课
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应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活” 练习 激动人心的生活”问题 激动人心的生活 假设： 假设： 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 定义谓词： 定义谓词： Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； 贫穷； 聪明； 快乐； 贫穷 聪明 快乐 Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。 看书； 过着激动人心的生活。 看书 过着激动人心的生活
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12/19/2011
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： 练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； ：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； ：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以 是整数。 是整数。 ：偶数除以2是整数 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。 定义谓词： 定义谓词： N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零 是自然数； 是整数； 大于等于零; ： 是自然数 ： 是整数 大于等于零 E(x)：x是偶数 是偶数; O(x)：x是奇数。 是奇数。 ： 是偶数 ： 是奇数 定义函数f(x)：x除以 。 除以2。 定义函数 ： 除以
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12/19/2011
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤： 利用归结原理求取问题答案的步骤： （1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， ）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S 设该子句集的名字为 1。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 并 ）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定， 与一谓词ANSWER构成析取式 。 谓词 构成析取式。 与一谓词 构成析取式 谓词ANSWER是一个专为求 是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 解问题而设置的谓词 ，其变量必须与问题公式的变量完全一致。 （3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与 1合并构成 ） ）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S 子句集S。 子句集 。
数学归纳法原理与应用例题和知识点总结
数学归纳法原理与应用例题和知识点总结数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。
它不仅在数学领域中有着广泛的应用，对于培养逻辑思维和推理能力也具有重要意义。
一、数学归纳法原理数学归纳法的基本原理可以概括为以下两个步骤：1、基础步骤：证明当 n ＝ 1 时，命题成立。
2、归纳步骤：假设当 n ＝ k（k 为某个自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过完成这两个步骤，就可以得出对于所有自然数 n，命题都成立的结论。
为什么通过这两个步骤就能证明对于所有自然数命题都成立呢？我们可以这样理解：基础步骤确保了命题在起始点（n ＝1）时是正确的。
而归纳步骤则像是一个多米诺骨牌效应，当第 k 个骨牌倒下（即当 n＝ k 时命题成立），能够推出第 k ＋ 1 个骨牌也会倒下（即当 n ＝ k＋ 1 时命题成立）。
由于起始的骨牌（n ＝ 1 时）已经倒下，所以后续的所有骨牌都会依次倒下，也就意味着对于所有的自然数 n，命题都是成立的。
二、应用例题下面通过一些具体的例题来看看数学归纳法的应用。
例 1：证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1) ／ 2 对所有自然数 n 成立。
证明：（1）基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1) ／ 2 ＝ 1，左边＝右边，命题成立。
（2）归纳步骤：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋k ＝ k(k ＋ 1) ／ 2 。
当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＋（k ＋ 1) ＝ k(k ＋ 1) ／ 2 ＋（k ＋ 1) ＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 ，右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 ，左边＝右边，命题成立。
由（1）（2）可知，该命题对所有自然数 n 成立。
例 2：证明 n³ n 能被 3 整除，对于所有自然数 n 成立。
第 4 讲 归结原理2
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三、最一般合一子
mgu(most general unifier) 一个对集合{E1，…，En}的合一子是最 一般合一子，如果对E的每个合一子， 都存在一个置换，使得=。
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令={t1/x1,…, tn/xn}, ={u1/y1,…, um/ym}是两个置换. 则与的复合是一个置换, 记为. (先后)
构成{t1/x1,…, tn/xn , u1/y1,…, um/ym}; 如果yj{x1,…, xn}, 则删除uj/yj ; 如果tk=xk, 则删除tk/xk ; ={t1/x1, t2/x2}={f(y)/x, z/y} ={u1/y1, u2/y2 , u3/y3}={a/x, b/y, y/z} ={t1/x1, t2/x2 , u1/y1, u2/y2 , u3/y3} 删除{a/x, b/y}; 删除{y/y};
没有元素组成的置换称为空置换，记为； {a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换； {x/x}, {y/f(x)}不是置换；
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例子：
实例(instance)
置换的结果称为实例； 定义： 令={t1/v1,…, tn/vn}是一个置换。E是 一个表达式。则E是一个同时用项ti代替E中变 量vi所得到的表达式(1in)。E称为E的实例。 表达式：
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例：
例：
C1: ~PQ C2: ~PR C1与C2没有互补对，所以没有归结式！ C1: PQ C2: ~P~Q C3: Q~Q / P~P C3不能为空！
消解(归结)原理讲解
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
归结原理例题
归结原理例题归结原理是数学逻辑中的一个重要概念，它在解题过程中起着至关重要的作用。
归结原理是一种证明方法，通过对假设进行否定，从而推导出结论的过程。
在数学、逻辑学、人工智能等领域都有广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解归结原理的应用。
例题一，证明命题“如果今天下雨，那么地面湿润”。
解析，假设今天下雨，如果地面不湿润，则存在一个矛盾，即今天下雨但地面不湿润，这与原命题相悖。
因此，我们可以通过否定假设，推导出结论，从而证明了原命题的真实性。
例题二，证明命题“所有人都是动物”。
解析，假设存在一个人不是动物，即存在一个反例。
通过否定这个假设，我们可以得出结论，所有人都是动物。
这个过程就是利用归结原理进行的证明。
例题三，证明命题“如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数”。
解析，假设一个数是偶数，如果它的平方不是偶数，则存在一个矛盾。
通过否定这个假设，我们可以得出结论，如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
通过以上例题的分析，我们可以看出归结原理在逻辑推理中的重要性。
它通过对假设的否定，从而推导出结论，帮助我们理清思路，解决问题。
在实际应用中，归结原理也常常被用于逻辑推理、数学证明、人工智能等领域。
例如在人工智能中，归结原理被用于推理机制的设计，帮助计算机进行逻辑推理和问题求解。
总之，归结原理作为一种重要的证明方法，在数学逻辑中有着广泛的应用。
通过对假设的否定，从而推导出结论，帮助我们理清思路，解决问题。
希望通过以上例题的分析，可以更好地理解和应用归结原理。
应用归结原理例-讲课
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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12/17/2020
（2） 将已知事实用谓词公式表示出来。 F1 ：任何兄弟都有同一个父亲。 xyz (Brother(x,y)∧Father(z,x)→Father(z,y)) F2：John和Peter是兄弟。 Brother(John,Peter) F3： John的父亲是David。 Father(David, John)
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12/17/2020
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。
证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令
P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y A1: x (P(x) y(D(y)L(x, y))) A2: x(P(x) y(Q(y) ～L(x, y))) B: x(D(x) ～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1A2～B是不可满足的。
（3） 将它们化成子句集得： S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y), Brother(John,Peter), Father(David,John)}
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12/17/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
数学分析中的归结原理及其应用
则
可用反证法推出 lim x→ x0
f (x) = A .
事实上,
倘若当 x → x0 时
f
不以 A 为极限,
则
存在 ε 0 > 0 , 对任何δ > 0 (无论多么小)总存在一点 x , 尽管 0 < x − x0 < δ , 但
有 f (x) − A ≥ ε0 .
现依次取 δ
=
δ
′,
δ′ 2
,
δ′ 3
f
(xn )
≠
A ，矛盾！
证明：(3)必要性 设 lim f (x) = A 对 ∀ε > 0, ∃M > 0 ，使得当 x > M 时，有 x→∞
f (x) − A < ε ，另一方面，设 xn → ∞(n → ∞) ，则对上述 M > 0, ∃N > 0 ，使得当
n > N 时，必有 x0
> M ，从而有
lim
x → x0
f
(x)
=
A
⇔
对任何以
x0
为极限的数列 {xn} ，
xn
≠
x0
，总有
lim
x→∞
f
(xn )
=
A
3
2）从归结原理可以得到证明 lim f (x) 不存在的方法： x → x0
(1)
∃{xn },
xn
→
x0 ,
n → ∞ ，使 lim n→∞
f (xn ) 不存在；
(2)
∃{xn '}, {xn "} xn '→ x0 ， xn "→ x0 , n → ∞ .
f
(x0 )
归结原理
2.6 利用归结原理求取问题的答案
求解答案的基本思想和定理证明类似。其求解步骤如下： （1）把前提条件用谓词公式表示出来，并且化为相应 的子句集S。 （2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，其中含 有欲求解的变元。 （3）另设一个特殊的一元谓词ANSWER，其变元和求 解问题公式中的变元相同。 （4）把求解公式和ANSWER谓词“或”起来构成析取 式，把此析取式化成子句集后并入条件子句集S中形成新子 句集S'。 （5）对S'用归结原理进行归结。 （6）若归结的结果是ANSWER，则其已实例化的变元 就是问题的答案。
o
o
定义2-32 子句C1和C2的归结式是下列 定义 二元归结式之一： （1）C1与C2的二元归结式 （2）C1与C2的因子的二元归结式 （3）C1的因子与C2的二元归结式 （4）C1的因子与C2的因子的二元归结式
例如，有两个子句 C1=P(x)∨P(f(y))∨R(g(y)) C2= ～ P(f(g(a)))∨Q(b)) （1）子句C1中有可合一的文字 {P(x) ,P(f(y))} ， 它们的最一般合一是σ1={f(y)/x} C1的因子是C1σ1 =P(f(y))∨R(g(y)) , C （2）又由于P(f(y))和～ P(f(g(a)))是可合一的文字，它们的最 一般合一是θ={g(a)/y} 所以C1σ1和C2有二元归结式R(g(g(a))) ∨ Q(b) 它就是C1和C2的归结式。
程序常用的方法是水平浸透法，它的做法如下： （a）把S0中的子句排序； （b）在S0中顺序地考虑两个子句的归结式：即第一个子句和其 后各子句归结，然后第二个子句和其后各子句归结，第三个子 句再和其后各子句归结，…，直至倒数第二个子句和最后一个 子句归结，得到子句集S1： S1={C12 | C1∈S0，C2∈S0} 检查S1中是否有空子句，如有空子句，则归结结束，否则继 续步骤（c）； （c）将S1并入S0得S0∪S1。再顺序地考虑子句集S0∪S1和S1 的归结式，即一个子句来自子句集S0∪S1，另一个子句来自 S1，得到子句集S2： S2={C12 | C1∈S0∨S1，C2∈S1} 检查S2中是否有空子句，如无空子句则还要重复上述过程…
应用归结原理例-2014
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10/1/2019
应用归结原理进行定理证明-习题2
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。
定义谓词：
N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零;
E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。
定义谓词：T(x,y)：x是y的老师； C(x,y)：x与y是同班同学。
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10/1/2019
利用归结原理求取问题答案-习题3
练习：某记者到一个孤岛上采访，遇到了一个难题，即岛上有许 多人说假话，因而难以保证新闻报道的正确性。不过有一点她是 清楚的，这个岛上的人有一特点，说假话的人从来不说真话，说 真话的人也从来不说假话。有一次，记者遇到了孤岛上的三个人， 为了弄清楚谁说真话，谁说假话，她向三个人中的每一个都提了 同样的问题，即“谁是说谎者？”结果，a 回答：“b和c都是说 谎者”；b回答：“a和c都是说谎者”；c回答：“a和b至少有 一个是说谎者”。试问记者如何才能从这些回答中理出头绪。
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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10/1/2019
=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
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任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试； 张不肯学习但他是幸运的； 任何幸运的人都能获奖。 证明：张是快乐的。
定义谓词 Pass(x,y):x通过考试y;Win(x,prize):x获奖;Happy(x):x快乐；
7 Study(x):x肯学习; 6/19L/20u20cky(x):x幸运。
（3） 将它们化成子句集得：
S1={～Brother(x,y)∨～Father(z,x)∨Father(z,y),
Brother(John,Peter), Father(David,John)}
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6/19/2020
第二步：把问题用谓词公式表示出来， 并将其否定与谓词ANSWER作析取。
设Peter的父亲是u，则有：Father(u,Peter)。 将其否定与ANSWER作析取，得：
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6/19/2020
（二）利用归结原理求取问题答案
利用归结原理求取问题答案的步骤：
（1）把已知前提条件用谓词公式表示出来，并化成相应的子句集， 设该子句集的名字为S1。
（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后将其否定，并 与一谓词ANSWER构成析取式。谓词ANSWER是一个专为求 解问题而设置的谓词，其变量必须与问题公式的变量完全一致。
(4) D(b)
(5) Q(b)
(6) L(a, b)
由(2)、(4) mgu:{b/y}
(7) ～Q(y) ～L(a, y) 由(1)、(3) mgu:{a/x}
(8) ～L(a, b)
由(5)、(7) mgu:{b/y}
(9)
由(6)、(8)
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6/19/2020
应用归结原理进行定理证明-习题2
应用归结原理进行定理证明-习题5
练习--“激动人心的生活”问题 假设：
所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的； 那些看书的人是聪明的； 李明能看书且不贫穷； 快乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。
定义谓词：
Poor(x):x贫穷； Smart(x):x聪明； Happy(x):x快乐； Read(x):x看书； Exciting(x):x过着激动人心的生活。
（3）把（2）中的析取式化为子句集，并把该子句集与S1合并构成 子句集S。
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6/19/2020
（4）对子句集S应用归结原理进行归结，在归 结的过程中，通过合一，改变ANSWER中的 变元。
（5）如果得到归结式ANSWER，则问题的答案 即在ANSWER谓词中。
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6/19/2020
利用归结原理求取问题答案-习题1
（2） 将已知事实用谓词公式表示出来。
F1 ：任何兄弟都有同一个父亲。 xyz (Brother(x,y)∧Father(z,x)→Father(z,y))
F2：John和Peter是兄弟。 Brother(John,Peter)
F3： John的父亲是David。 Father(David, John)
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6/19/2020
应用归结原理进行定理证明-习题3
练习： (1)马科斯(Marcus)是男人；(2)马科斯是庞贝人； (3)所有庞贝人都是罗马人；(4)恺撒(Caesar)是一位统治者； (5)所有罗马人忠于或仇恨恺撒；(6)每个人都忠于某个人； (7)男人们只想暗杀他们不忠于的统治者；(8)马科斯试图暗杀恺撒。 证明：马科斯仇恨恺撒。
应用归结原理例讲课
应用归结原理进行定理证明-习题1
例.已知:某些病人喜欢所有的医生， 没有一个病人喜欢任意一个骗子。
证明: 任意一个医生都不是骗子。 证明: 知识表示：令
P(x)：x是病人 D(x)：x是医生 Q(x)：x是骗子 L(x, y)：x喜欢y
A1: x (P(x) y(D(y)L(x, y))) A2: x(P(x) y(Q(y) ～L(x, y))) B: x(D(x) ～Q(x)) 我们要证明B是A1和A2的逻辑结果，即公式A1A2～B是不可满足的。
定义谓词：
Man(x)：x是男人； Pompeian(x)：x是庞贝人；
Roman(x):x是罗马人; Ruler(x):x是统治者;
Loyalto(x,y):x忠于y; Hate(x,y):x仇恨y;
Tryassassinate(x,y):x试图暗杀y。
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6/19/2020
应用归结原理进行定理证明 -习题4
2
6/19/2020
A1=x (P(x) y(～D(y) L(x, y))) =x y (P(x) (～D(y) L(x, y)))
--- y (P(a) (～D(y) L(a, y))) A2=x(P(x) y(～Q(y) ～L(x, y)))
=x(～P(x) y(～Q(y) ～L(x, y))) =xy (～P(x) ～Q(y) ～L(x, y)) ～B=～(x(D(x) ～Q(x)))
例. 任何兄弟都有同一个父亲，
John和Peter是兄弟，且John的父亲是David，
问:Peter的父亲是谁？
解 第一步：将已知条件用谓词公式表示出来，并化成子 句集，那么要先定义谓词。
（1） 定义谓词：
设Father(x,y)表示x是y的父亲。
Brother(x,y)表示x和y是兄弟。
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6/19/2020
G：～Father(u,Peter)∨ANSWER(u)
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6/19/2020
第三步：将上述公式G化为子句集S2,并将S1和S2合并到S。 S2 ={～Father(u,Peter)∨ANSWER(u)} S= S1∪S2
=x (D(x) Q(x))
--- D(b) Q(b) 因此，公式A1A2～B的子句集为 S＝｛P(a),～D(y)L(a,y),～P(x)～Q(y)～L(x, y),D(b),Q(b)｝
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பைடு நூலகம்
6/19/2020
S不可满足的归结演绎序列为：
(1) P(a)
(2) ～D(y) L(a, y)
(3) ～P(x) ～Q(y) ～L(x, y)
练习：设有下列知识： F1：自然数都是大于等于零的整数； F2：所有整数不是偶数就是奇数； F3：偶数除以2是整数。 求证：所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数。
定义谓词：
N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；GZ(x):x大于等于零;
E(x)：x是偶数; O(x)：x是奇数。
定义函数f(x)：x除以2。