成都市南开为明学校2021届高三第一次调研考试数学(理)试卷
2021年高三下学期第一次调研(一)考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期第一次调研（一）考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的子集可以是A. B. C. D.2.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是A. B. C. D.3．已知抛物线，则A.它的焦点坐标为B. 它的焦点坐标为C.它的准线方程是D. 它的准线方程是【答案】C【解析】试题分析：将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为 ,准线方程为.考点：抛物线的标准方程及几何性质.4．下列说法中，不正确．．．的是A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“若都是奇数，则是奇数”的否命题是“若不都是奇数，则不是奇数”C.命题或，则使或D.命题若回归方程为，则与正相关；命题：若，则，则为真命题5.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为122353416164565655nA. B. C. D.326【答案】C【解析】试题分析：根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积再加1，故．考点：归纳推理.7．运行如下程序框图：否是k=k+1结束输出Sk<n?S=S+2kk=1S=0开始若输出的的值为12，则判断框中的值可以是A.2B.3C.4D.58．已知向量()3(sin2,1),(cos2,),()2m x n x f x m n m==-=-⋅，则函数的最小正周期与最大值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,5()()sin2(sin2-cos2)2f x x x x=-⋅+m n m=21512sin2sin4(cos4sin4)34322224x x x x xπ⎛⎫=-+=-++=-++⎪⎝⎭，故的最小正周期T=,最大值为考点：1.向量的坐标运算；2.三角函数的图象与性质.9．已知一个几何体的三图如图所示，山该几何体的体积为侧视图正视图21121A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图的定义可知，该几何体为下图中的MNC 1B 1-ADCB,其体积为1111111ABCD A B C D A A MN D NC D V V V V ---=--正方体三棱锥三棱锥31111211221273232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.考点：三视图.10．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人、、、除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 A.48种 B.36种 C.24种 D.8种 【答案】A 【解析】试题分析：五国领导人单独会晤的有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、CD 、CE ，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行.因为能同时会晤的共有（AB ，CD ），（AC ，BD ），（AD ，CE ），（AE ，BC ）和（AB ，CE ）、（AC ，BD ），（AD ，BC ），（AE 、CD ）两种情况，故不同的安排方法共有 考点：排列与组合.11．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为A. B. C. D.12．已知定义域为的函数，若对任意的，有，则称函数为“定义域上的函数”，以下五个函数：①；②；③；④；⑤，其中是“定义上的函数”的有A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C 【解析】试题分析：对于①，()()()()()121212122326f x x x x f x f x x x +=++≤+=++，满足条件；对于②，()()()222212121212122,f x x x x x x f x f x x x +=+++=+，当x 1x 2>0时，不满足，故②不是“定义域上的函数”；对于③，()()()2222121212121221,2f x x x x x x f x f x x x +=++++=++，因为，所以，故，③满足条件；对于④，()()()()121212211212sin sin cos sin cos sin sin f x x x x x x x x x x f x f x +=+=+≤+=+，故④满足条件；对于⑤，()()()()()1221212212log ,log f x x x x f x f x x x +=++=，因为，所以，可得，故⑤满足条件. 是“定义域上的函数”有 ①③④⑤，共4个. 考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.第Ⅰ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分，请将正确答案填在题中横线上. 13.已知展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 .14.已知满足，，记的最大值为，则函数（且）的图象所过定点坐标为 .【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，解方程组得边界点的坐标为A(1,3),B(2,2),C(1,1)，易知将代入时会使得目标函数取得最大值z=2×2-2=2.所以过定点(1,3).考点：线性规划.15.已知数列是等比数列，且，则.16.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积取最大值时有 .x三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设数列满足，且对任意，函数满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求证：.18.(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人； (3) 的分布列是的期望值是. 【解析】试题分析：（1）直接代入公式计算对照表格可知；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；(3)先写出所有的的可能性，求出其概率，由公式计算其期望即可. 试题解析：（1）由列联表可得222()100(26203024)0.649350.708()()()()56445050n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯.(3分)所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (4分)（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值.FBDAC【答案】(1)见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)先利用等腰三角形性质得，由线面性质垂直性质可得，又因为，20. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在点使之成立.则有11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+)4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+= )4(3112)2(31612)1(22222222m k k k m k k k k +++⋅+-+-⋅+= （10分）要使上式为定值，即与k 无关，则应，即，此时为定值，定点为.（12分）考点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆与直线的位置关系；3.向量运算.21. (本小题满分12分)已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)求证：当时，请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，.(1)求的大小；(2)分别求线段和的长度.P【答案】(1); (2) ,.【解析】试题分析：(1)由可知，所以即23. (本小题满分10分)已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）.(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；(2)直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长.24. (本小题满分10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)当正数满足时，求的最小值.【答案】(1); （2）.【解析】试题分析：(1) 0恒成立等价于，从而可求的取值范围;n ~22100 5654 噔H225587 63F3 揳 \39791 9B6F 魯UYEzID。
四川省2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理(含解析)
2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第1题5分设集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x||x−1|<3,x∈N}，则A∩B=（）．A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {x|−1<x<4}D. {x|−2<x<4}2、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第2题5分2021年四川成都高三一模文科第2题5分（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）．复数z=1+2iiA. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第3题5分2021年四川成都高三一模文科第3题5分若等比数列{a n}满足a2+a3=2，a2−a4=6，则a6=（）．A. −32B. −8C. 8D. 644、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第4题5分2021年四川成都高三一模文科第4题5分甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：x1，x2分别表示甲乙两组数据的平均数，S1，S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）．A. x 1=x 2，S 1>S 2B. x 1>x 2，S 1>S 2C. x 1<x 2，S 1>S 2D. x 1>x 2，S 1<S 25、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第5题5分若函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A. (−∞,0)∪(4,+∞) B. (−∞,−8)∪(0,+∞) C. [0,4] D. (−8,0)6、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第6题5分若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为（ ）． A. 1B. 12C. −12D. −17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第7题5分设a =log 2020√2021，b =ln√2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第8题5分 2021年四川成都高三一模文科第8题5分若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l ，α∩γ=m ，γ∩β=n ，则l//m 是n//m 的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第9题5分 已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于P ，Q 两点，|PQ |=4a ，∠PQO =π3（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）．A. √62B. √52C. √6D. √510、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第10题5分 2021年四川成都高三一模文科第10题5分已知锐角φ满足√3sinφ−cosφ=1．若要得到函数f (x )=12−sin 2(x +φ)的图象，则可以将函数y =12sin2x 的图象（ ）． A. 向左平移7π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移7π12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度11、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第11题5分2020~2021学年四川成都温江区成都七中实验学校高二上学期期末模拟理科第11题5分 2021年四川成都高三一模文科第11题5分已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，P (0,−72)．若PB ⊥AB ，则|AF |=（ ）．A. 32B. 2 C. 52D. 312、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第12题5分已知函数f(x)=x+ln(x−1)，g(x)=xlnx．若f(x1)=1+2lnt，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)lnt的最小值为（）．A. 1e2B. 2eC. −12eD. −1e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第13题5分(√x−1x )7的展开式中x−1的系数是．（用数字作答）14、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第14题5分2017~2018学年湖南郴州嘉禾县嘉禾县第一中学高二上学期期中2017~2018学年广东深圳罗湖区菁华中英文实验中学高二上学期期中2017年高考真题新课标卷I2017~2018学年湖南郴州临武县临武县第一中学高二上学期期中设x，y满足约束条件{x+2y⩽12x+y⩾−1x−y⩽0，则z=3x−2y的最小值为．15、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第15题5分2021年四川成都高三一模文科第15题5分数列{a n}的前n项和为S n，a n+2S n=3n，数列{b n}满足3b n=12(3a n+2−a n+1)(n∈N∗)，则数列{b n}的前10项和为．16、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第16题5分在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2，三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为 ；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第17题12分 2021年四川成都高三一模文科第17题12分在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan∠ABM =√35，tan∠BMC =−√32． (1) 求角A 的大小．(2) 若BM =√21，求△ABC 的面积．18、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第18题12分 2021年四川成都高三一模文科第18题12分一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1) 根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2) 在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K2=a(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第19题12分如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．(1) 求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．(2) 若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．20、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第20题12分已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第21题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM，△BOP的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+sinα+cosαy=2+sinα−cosα（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√2．(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 设点P(0,2)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|−|PB||的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1．(1) 求不等式f(x)+|x−m|>2的解集．(2) 若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C; 8 、【答案】 C; 9 、【答案】 D; 10 、【答案】 A; 11 、【答案】 D; 12 、【答案】 C; 13 、【答案】 −35; 14 、【答案】 −5; 15 、【答案】 65; 16 、【答案】 √32;2√63;17 、【答案】 (1) A =2π3． ; (2) 6√3． ;18 、【答案】 (1) 有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． ;(2) ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)=23． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) √155．;20 、【答案】 (1) 当a ⩽0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(lna,1)上单调递减，在(−∞,lna)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,lna)上单调递减，在(−∞,1)和(lna,+∞)上单调递增．;(2) (1,4e32)．;21 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) [√33,√63]．;22 、【答案】 (1) (x−1)2+(y−2)2=2；x−y+2=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,3)∪(133,+∞)．;(2) 3．;。
2021年高三第一次模拟诊断(12月)数学(理)试题 含答案
2021年高三第一次模拟诊断（12月）数学（理）试题含答案数学试题卷共2页。
考试时间120分钟。
第1至12题为选择题，60分；第13至23题为非选择题，90分。
满分150分。
注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答第1至12题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第13至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）则（）A、 B、 C、 D、2．在中，“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．已知是虚数单位，复数=（）A、B、C、D、4．已知等比数列中，若那么（）A、B、C、D、5．执行如右图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A、 B、 C、 D、6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部门安排他们去其中任意3个部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A、B、C、D、7．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A、 B、 C、 D、8.设，变量满足条件，若的最小值为3，则的值为（）A、1B、2C、3D、49．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A、B、C、D、11．设点Ｍ（,1），若在圆O:上存在点Ｎ，使得，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、12．已知，函数在处与直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（）A、有最小值B、有最小值C、有最大值D、有最大值第Ⅱ卷本卷包括必做题和选作题两部分，第13-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学附答案解析
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ）AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．C ．πD ．π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ）A ．12a b<<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A ．36625B ．9125C ．108625D ．541259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（ ）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b 满足()1,1a =r ，()23,1a b +=- ，则向量a 与b的夹角为___________.15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.16．在ABC V 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）23456经济回报y （单位：千万元）2.5344.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos(4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案：1．C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .故选：C.2．A 【解析】【分析】化简得2i5z -+=，即得解.【详解】解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C 【解析】【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ==.4．D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．D 【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径R =22S π∴=⨯=6．B 【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以ba=故可得：e ====故选：B 7．B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】21log log a a a >=Q ，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg 0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<<故选：B 8．C 【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯==故选：C 9．B 【解析】【分析】先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.【详解】解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以sin sin sin cos 7sin 1tan cos sin 501cos ααααααααα===---.故选：B 10．C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．11．A 【解析】【分析】①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.【详解】解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC ACm m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB =∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A 12．D 【解析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e -<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题13．80-【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212rr r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-.故答案为：80-14．2π##90【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算求得(02)a = ，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果.【详解】设(,)b x y =r ，()1,1a =r Q ，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=-r故[]cos ,0,,0,πa b a b a b a b ⋅==∈⋅r rr r r r r r ，则a 、b 的夹角为2π.故答案为：2π.15．⎛ ⎝【解析】【详解】设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=，()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t-++++===-++=-⨯+=.由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t -<.也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝.故答案为：⎛ ⎝16．6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+17．(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++ .1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822nn -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)ˆ0.850.6yx =+(2)分布列答案见解析，数学期望：127【解析】【分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++==== .()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6iii i i x x y y bax x ==--∴===-⨯=-∑∑ .0.80.ˆ56yx ∴=+.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X ========= ，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0123P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥ ，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥Q ，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又AD '⊂平面A DB '，∴平面A DB '⊥平面BDEC .(2)（2）选①，BM BE =；BM BE = ，90BDM BDE ∠=∠=︒，BDM BDE ∴≅V V ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥ ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V S A D ''--'==⋅V Q ，1134M BDE BDE M BDE E A CB V S MD V V '---=⋅⋅=V 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =V V ，2A D MD'∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ¢，BC ∴∥平面A DE ¢.又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA ' 两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||sin |cos ,|||||DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===∴直线DN 与平面A BC '.20．(1)(2,0)-(2)12【解析】【分析】（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解.(1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k ⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.(2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk =，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴==2122224114sin 1y y p AP AQ p k k kθ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.2112pk ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．(1)最大值为0，最小值为2a π-(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos x g x ax x x=-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可(1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥.设sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+.设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=.且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；(2)7.【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解.(1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos(4πρθ-cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ== ，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617.【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；答案第17页，共17页（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.(1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--.由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-.综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立.22232a b c ∴++的最小值为617.。
2020-2021学年四川省成都市高三高考第一次模拟考试数学(理)试卷有答案
2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={x||x −1|<3,x ∈N}，则A ∩B =( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{x|−1<x <4} D.{x|−2<x <4}2. 复数z =1+2i i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( )A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i3. 若等比数列{a n }满足a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，则a 6=( ) A.−32 B.−8C.8D.644. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是:x 1¯，x 2¯分别表示甲乙两组数据的平均数；S 1，S 2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( ) A.x 1¯=x 2¯，S 1>S 2 B.x 1¯>x 2¯，S 1>S 2 C.x 1¯<x 2¯，S 1>S 2 D.x 1¯>x 2¯，S 1<S 25. 若函数f(x)=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,0)∪(4,+∞)B.(−∞,−8)∪(0,+∞)C.[0,4]D.(−8,0)6. 若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为( ) A.1 B.12C.−12D.−17. 设a =log 2020√2021，b =ln √2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a8. 若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，则l//m 是n//m的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知平行于x轴的一条直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于P,Q两点，|PQ|=4a，∠PQO=π3（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为()A.√62B.√52C.√6D.√510. 已知锐角φ满足√3sinφ−cosφ=1.若要得到函数f(x)=12−sin2(x+φ)的图象．则可以将函数y=12sin2x的图象()A.向左平移7π12个单位长度 B.向左平移π12个单位长度C.向右平移7π12个单位长度 D.向右平移π12个单位长度11. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，P(0,−72)．若PB⊥AB，则|AF|=()A.3 2B.2C.52D.312. 已知函数f(x)=x+ln(x−1)，g(x)=x ln x．若f(x1)=1+2ln t，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)ln t的最小值为()A.1 e2B.2eC.−12eD.−1e二、填空题(√x−1x)7的展开式中x−1的系数是________．（用数字作答）若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x −y ≤0，则z =2x −3y 的最小值为________.数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +2S n =3n .数列{b n }满足3b n =12(3a n+2−a n+1)(n ∈N ∗)，则数列{b n }的前10项和为________.在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2．三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为________；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为________． 三、解答题在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan ∠ABM =√35，tan ∠BMC =−√32． (1)求角A 的大小；(2)若BM =√21，求△ABC 的面积．一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员“中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1)根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d)，其中n =a +b +c +d ．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1,AA1的中点．(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM,△BOP的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围．已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1.(1)求不等式f(x)+|x−m|>2的解集；(2)若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】首先化简集合A ，B ，再求交集即可. 【解答】解：∵ A ={x|x 2−3x −4<0}={x|−1<x <4}， B ={x||x −1|<3,x ∈N}={−1,0,1,2,3}， ∴ A ∩B ={0,1,2,3}. 故选B . 2.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 共轭复数【解析】将复数的分母实数化即可. 【解答】 解：复数z =1+2i i=2+1i =2−i ，所以z 的共轭复数为z ¯=2+i . 故选D . 3.【答案】 A【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项与性质，得q =−2,a 2=−2，再利用a 6=a 2q 4得解. 【解答】解：设等比数列的公比q ， 由a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，得a 2(1+q )=2，a 2(1−q 2)=6， 两式相除得q =−2，a 2=−2，所以a 6=a 2q 4=(−2)(−2)4=−32. 故选A. 4.【答案】 B【考点】众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差【解析】求出甲乙两组数据的平均数，再利用数据的分散程度得到S 1>S 2. 【解答】 解：x 1¯=110(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5，x 2¯=110(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2， ∴ x ¯1>x ¯2，S 1=(1.52+0.52+1.52+0.52+0.52+1.52 +1.52+0.52+0.52+2.52)×110=(1.52×4+0.52×5+2.52)×110=1.65， S 2=[0.82×3+0.22×6+1.22]×110=0.36， ∴ S 1>S 2. 故选B . 5.【答案】 A【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 【解析】先求导，利用导数的正负判断函数的单调性， 进而得函数的极值，因为函数只有一个零点， 应用极值列出不等式，即可求解. 【解答】解：函数f (x )=x 3−3x 2+a ， f ′(x)=3x 2−6x =3x(x −2).当x <0或x >2时，f ′(x )>0，则f (x )是增函数， 当0<x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是减函数，所以f (x )的极大值为f (0)=a ，f (x )的极小值为f (2)=−4+a . 因为函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且只有一个零点， 即图像与x 轴只有一个交点， 所以f (0)<0或f (2)>0， 即a <0或−4+a >0， 所以a <0或a >4，即实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(4,+∞). 故选A . 6.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 向量的投影 【解析】由题意得到a →⋅b →=1，再利用b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|即可得到答案.【解答】解：(a →+2b →)⋅a →=6， ∴ a →2+2a →⋅b →=6， 即4+2a →⋅b →=6， ∴ a →⋅b →=1，∴ b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|=12.故选B . 7. 【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】求出a ，b ，c 的范围，进行比较即可. 【解答】解：a =log 2020√2021=12log 20202021∈(12,1)， b =ln √2=12ln 2∈(0,12)， c =202112020>20210=1，∴ c >a >b . 故选C . 8.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用线面平行的判定和性质结合充分必要条件即可得到答案.【解答】解：α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，若l//m，m⊂γ，l不在平面γ，∴l//γ，又l⊂β，γ∩β=n，∴l//n，∴m//n，故充分性成立；同理，由n//m，可以得到l//m，故必要性成立，故l//m是n//m的充要条件.故选C.9.【答案】D【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由已知求出双曲线上点的坐标，代入到双曲线方程中，根据离心率的定义求得，属于基础题.【解答】解：由题意，设点P在第一象限，则点P坐标为(2a,2√3a),因为点P在双曲线上，则4a 2a2−12a2b2=1,解得b 2a2=4，故双曲线离心率e=ca =√1+b2a2=√5.故选D.10.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用【解析】利用三角函数的变换得得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，解得φ=π3.再利用三角函数的变换得解.【解答】解：由题设√3sinφ−cosφ=1，得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，∴φ−π6=π6，解得φ=π3.∴ f(x)=12−sin 2(x +π3)=12cos (2x +2π3)=12cos 2(x +π3)， y =12sin 2x =12cos (2x −π2)=12cos 2(x −π4)，∴ π3−(−π4)=712π，故可将函数y =12sin 2x 的图象向左平移7π12个单位长度得到函数图象. 故选A . 11. 【答案】 D【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质 【解析】利用抛物线的几何性质与向量的数量积解得x 2=±√2，又x 1x 2=−p 2=−4，再利用|AF |=y 1+p2=3.【解答】解：由题设抛物线的焦点F (0,1)， 设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224)，由PB ⊥AB ， 得AB →⋅PB →=0⇒BF →⋅PB →=0，所以得x 22+(x 22−44)(x 22+144)=0，解得x 2=±√2.设直线AB 为：y =kx +1， 由{y =kx +1,x 2=4y,得x 2−4kx −4=0， ∴ x 1x 2=−4， 得x 1=±2√2，y 1=2， 所以|AF |=y 1+p2=3. 故选D . 12.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】利用函数的单调性与最值进行求解即可. 【解答】解：由题设得f (x 1)=x 1+ln (x 1−1)=1+2ln t ，所以(x 1−1)+ln (x 1−1)=ln t 2=ln [e x 1−1⋅(x 1−1)]，所以e x 1−1(x 1−1)=t 2>0.f (x 2)=x 2ln x 2=t 2=e ln x 2⋅ln x 2，因为y =xe x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，x 1−1=ln x 2，所以(x 1x 2−x 2)⋅ln t =x 2(x 1−1)⋅ln t=x 2⋅ln x 2⋅ln t =t 2ln t ，令g (t )=t 2ln t (t >0)，g ′(t )=2t ln t +t ，令g ′(t )=0，得t =e −12，当t ∈(0,e −12)时，g ′(t )<0,g(t)单调递减；当t ∈(e −12,+∞)时，g ′(t )>0,g(t)单调递增，当t =e −12时，g (t )取得极小值，也是最小值.g (e −12)=(e −12)2⋅ln e −12=−12e. 故选C .二、填空题【答案】−35【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】先求出二项展开式的通项，再令x 的次数为−1，求出r ，即可得到答案.【解答】解：(√x −1x )7展开式的通项为C 7r x 7−r 2(−1)r x −r =C 7r (−1)r x 7−3r 2，令7−3r 2=−1，可得r =3，∴ x −1的系数为C 73(−1)3=−35.故答案为：−35.【答案】−5【考点】求线性目标函数的最值【解析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图，z =2x −3y 变形为y = 23x − 13z ， 当此直线经过图中B(−1, 1)时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为2×(−1)−3×1=−5.故答案为：−5.【答案】65【考点】等差数列的前n 项和数列递推式【解析】由题设得a n +2S n =3n ,a n−1+2S n−1=3n−1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)，解得b n =n +1，利用等差数列求和得解. 【解答】解：由题设得a n+2+2S n+2=3n+2，a n+1+2S n+1=3n+1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)， 解得b n =n +1，故S n =2+3+ (11)10(2+11)2=65.故答案为：65.【答案】√32,2√63 【考点】球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ AB ⊥BC ，AB =1，AC =√2，∴ BC =1.由题意，将三棱锥P −ABC 补成棱长为1的正方体如图所示，三棱锥P −ABC 的外接球及为正方体的外接球，设球心为O ，即为PC 中点，半径为R ，PC =√12+12+12=√3，R =12PC =√32. 设O ′是△ABC 外接圆圆心，连接OO ′，OM ， ∵ OO ′=12PA =12，MO ′=13BO ′=13×√22=√26， ∴ OM =(12)(√26)=√116，ON =13OA =13×√32=√36. 作NH//OO ′，∴ NH =23OO ′=23×12=13，O ′H =13AO ′=13×√22=√26， ∴ MH =√(√26)2+(√26)2=13，∴ MN =√(13)2+(13)2=√23. 作OG ⊥MN ，∵ cos ∠NOM =ON 2+OM 2−MN 22⋅ON ⋅OM=(√36)2+(√116)2−(√23)22×√36×√116=√3311， ∴ sin ∠NOM =(√3311)=2√2211， ∴ 12ON ⋅OM sin ∠NOM =12MN ⋅OG ，∴ √36×√116×2√2211=√23OG ，∴ OG =√36， ∴ DE =2GE =2√OE 2−OG 2=2(√32)(√36)=2√63， 故DE 长度为2√63. 故答案为：√32；2√63. 三、解答题【答案】 解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32．∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴ △ABM 的面积S △ABM =12⋅BM ⋅AB ⋅sin ∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32． ∵ 点M 在边AC 上，CM =3MA ，∴ △ABC 的面积S △ABC =4S △ABM =6√3．【考点】 解三角形 两角和与差的正切公式正弦定理【解析】无无【解答】解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32． ∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴△ABM的面积S△ABM=12⋅BM⋅AB⋅sin∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32．∵点M在边AC上，CM=3MA，∴△ABC的面积S△ABC=4S△ABM=6√3．【答案】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P(ξ=0)=C20C42C62=615=25，P(ξ=1)=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C22C40C62=115，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P (ξ=0)=C 20C 42C 62=615=25， P (ξ=1)=C 21C 41C 62=815， P (ξ=2)=C 22C 40C 62=115，∴ ξ的分布列为∴ ξ的数学期望E (ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【答案】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF→|m →||AF →||=5×3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】【解答】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF →|m →||AF →||=√5×√3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【答案】解：(1)∵ f (x )=(x −2)e x −a 2x 2+ax ，a ∈R ，∴ f ′(x )=(x −1)e x −ax +a =(x −1)(e x −a ).①当a ≤0时，令f ′(x )<0，得x <1，∴ f (x )在(−∞,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >1，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递增．②当0<a <e 时，令f ′(x )<0，得ln a <x <1，∴ f (x )在(ln a,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x <ln a 或x >1，∴ f (x )在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增． ③当a =e 时，f ′(x )≥0在x ∈R 时恒成立，∴ f (x )在R 上单调递增． ④当a >e 时，令f ′(x )<0，得1<x <ln a ，∴ f (x )在(1,ln a )上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >ln a 或x <1，∴ f (x )在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 当0<a <e 时，f (x )在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增； 当a =e 时，f (x )在R 上单调递增；当a >e 时，f (x )在(1,ln a )上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f (x )+(x +1)e x +a 2x 2−2ax +a >0，等价于(2x −1)e x >a (x −1)． ①当x =1时，0<e ，则a ∈R ．②当x ∈(1,+∞)时，a <(2x−1)e xx−1．当x∈(1,32)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减；当x∈(32,+∞)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．∴g(x)min=g(32)=4e32，∴a<4e32．③当x∈(−∞,1)时，a>(2x−1)e xx−1．设函数ℎ(x)=(2x−1)e xx−1，则ℎ′(x)=x(2x−3)e x(x−1)2．当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，此时ℎ(x)单调递减；当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)单调递增．∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，∴a>1．综上，a的取值范围为(1,4e 3 2)．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R，∴f′(x)=(x−1)e x−ax+a=(x−1)(e x−a).①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增．②当0<a<e时，令f′(x)<0，得ln a<x<1，∴f(x)在(ln a,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x<ln a或x>1，∴f(x)在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增．③当a=e时，f′(x)≥0在x∈R时恒成立，∴f(x)在R上单调递增．④当a>e时，令f′(x)<0，得1<x<ln a，∴f(x)在(1,ln a)上单调递减；令f′(x)>0，得x>ln a或x<1，∴f(x)在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,ln a)上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0，等价于(2x−1)e x>a(x−1)．①当x=1时，0<e，则a∈R．②当x∈(1,+∞)时，a<(2x−1)e xx−1．当x ∈(1,32)时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减； 当x ∈(32,+∞)时，g ′(x )>0，此时g (x )单调递增． ∴ g (x )min =g (32)=4e 32， ∴ a <4e 32．③当x ∈(−∞,1)时，a >(2x−1)e x x−1． 设函数ℎ(x )=(2x−1)e x x−1，则ℎ′(x )=x (2x−3)e x (x−1)2． 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x )<0，此时ℎ(x )单调递减； 当x ∈(−∞,0)时，ℎ′(x )>0，此时ℎ(x )单调递增． ∴ ℎ(x )max =ℎ(0)=1，∴ a >1．综上，a 的取值范围为(1,4e 32)．【答案】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22，∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √a 2+b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． 由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0，即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k +1−km (4km 2k +1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立， ∴ 线段AB 的中点M (−2km 2k 2+1,m 2k 2+1)．当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ，得x p 2=12k 22k +1，y p 2=32k +1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S 1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】无无【解答】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22， ∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √1a 2+1b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0， 即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k 2+1−km (4km2k 2+1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立，∴ 线段AB 的中点M (−2km2k 2+1,m 2k 2+1)． 当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ， 得x p 2=12k 22k 2+1，y p 2=32k 2+1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【答案】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>13，符合题意．3,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；，符合题意．当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>133,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．。
四川省成都市2021年高考复习数学一诊试卷(理科)
B．函数f(x) =
푥2 + 9 +
1 푥2 + 9的最小值为 2
C．当 α，β∈R 时，命题“若 α＝β，则 sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题
D．命题“∀x＞0，2021x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，2021x+2021≤0” 8．（5 分）已知函数 f（x）＝3x+2cosx，若a = f(3 2)，b＝f（2），c＝f（log27），则 a，b，c 的大小关系
（Ⅰ）已知销售单价 y 与等级代码数值 x 之间存在线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程（系数 精确到 0.1）；
（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的 6 种等级的中国小龙虾中随机选 2 种进行促销，记被选中的 2 种等级代码数值在 60 以下（不含 60）的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望．
→→
﹣2a．若 A，B 是函数 f（x）图象上的两个动点，点 P（a，0），则当PA ⋅ 푃퐵的最小值为 0 时，函数 f （x）的最小值为（ ）
1
A．e - 2
B．e﹣1
3
C．e - 2
D．e﹣2
푥2 푦2 12．（5 分）设椭圆 C：푎2 + 푏2 = 1（a＞b＞0）的左，右顶点为 A，B．P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，
9
202
高考复
【点评】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值． 5．（5 分）（2021•汉中模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是（ ）
练
试卷 A．5
B．7
C．9
D．11
【考点】EF：程序框图．
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
2021年高三第一次模拟数学(理)试题(含解析)
2021年高三第一次模拟数学（理）试题（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.2．已知集合，集合满足，则集合的个数是A.6B. 7C. 8D. 93．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.4．“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件 B.充要条件C．必要非充分条件 D.非充分必要条件5．已知函数，x∈R,则是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为( )A．1 B． C. D．7．已知满足3,2,326,39xy xx yy x≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则的最大值是( ).A. B. C. D. 28．设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．的解集是▲ .10．在的展开式中常数项是▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有▲人.12. 短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为▲13．如果实数满足等式,那么的取值范围是▲（）▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为▲ 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，. （I ）求的通项；（II ）设，,求2122232log log log log n T b b b b =++++的值。
2021-2022年高三第一次调研考试数学理试题 含答案
2021年高三第一次调研考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，集合，则＝（ ） A. B 。
C 。
D 。
2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B 。
C 。
D 。
3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。
C. D 。
4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（ ）A.3 B 。
4 C 。
6 D 。
9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。
25 C 。
36 D 。
497、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（ ）A. B 。
C 。
D 。
8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（ ）A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为12、已知圆C ：经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长Oxy图11-1 图2为13、设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。
14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。
四川省成都市2021届高三第一次诊断适应性考试数学理试题 Word版含答案
2021届成都市第一次诊断适应性考试 数 学（理）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ）A 、),1(+∞-B 、)2,1[-C 、)2,1(-D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D 、命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．3、方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()2,eD 、()3,44、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5 B 、7 C 、9 D 、115、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6、二项式102)2(xx +开放式中的常数项是（ ）A 、180B 、90C 、45D 、3607、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,肯定能使0||||a ba b +=成立的是（ ）A 、2a b =B 、//a bC 、13a b =- D 、a b ⊥8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM+的取值范围是（ ）A 、[]51，B 、[]52，C 、[]21，D 、[]50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ）A 、54B 、53C 、43D 、5510、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．１B ．２C ．３D ．４ 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ；12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；13、各高校在高考录用时实行专业志愿优先的录用原则．一考生从某高校所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。
四川省成都市2021届高三一诊考试试卷 理科数学 Word版含答案
成都市2022级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2](C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞）(D)（-1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c"的否命题是(A)若a≤6，则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c，则a≤6(C)若a+c>b+c，则a>b(D)若a>b，则a+c≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为(A)19(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x ya ba b=＞＞）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为(A) 1312(B)125(C)32(D)3(5)已知α为其次象限角，且sin2α=2425，则cosα-sinα的值为(A)75(B) 一75(C)15(D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的开放式中x2的系数为(A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数f(x)=sin2x+3cos2x图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上全部点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是(A)x=一6π(B)x=6π(C)x=2425π(D)x= 3π(9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面d．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α上平面BCFE．其中正确的命题有(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③(10)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，若M是线段AB的中点，则的值为(A)3 (B) 23(C)2 (D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f（-x-1）=f（x-1），当x∈[-1，0]时，f(x)= 一x3．则关于x的方程f(x ) =|cosπx|在[一52，12]上的全部实数解之和为(A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1(12)已知曲线C1:y2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C2:y=e x+l—1也相切，则tln24et的值为(A) 4e2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若复数z=1aii+（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个外形不规章的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为.(15)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC中，AC=2，BC=6，△ABC的面积为32，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=4π，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2022年高中数学学业水平测试的原始成果采 用百分制，发布成果使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校同学 的原始成果均分布在[50，100]内，为了比较两校同学的 成果，分别抽取50名同学的原始成果作为样本进行统 计，依据[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的全部数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并依据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的同学中随 机抽取3名同学进行调研，用X 表示所抽取的3名同学中 甲校的同学人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且BRRH =λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示． (I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值；(Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+ 12x 的单调区间；(Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1． (I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。
四川省成都市2021届高三高考一诊数学(理科)试卷 含解析
2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。
四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学理试题 Word版含解析
四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以U P =[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为5 【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】D 解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i -+，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ”（C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题. 【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【学问点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.yx OxyOx y Ox yO【题文】7．已知F是椭圆22221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）（A ）14 （B ）34 （C ）12 （D ）32【学问点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF ||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a =， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B.【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a =，且14=PF AF，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可.【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【学问点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈25cos 25α∴=-且[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈， 310cos()10βα∴-=-，因此sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-102531052()()1051052=⨯-+-⨯=-，又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时，2HP最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDDC 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B. 【思路点拨】留意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x -的开放式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）【学问点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，求开放式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r 366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C xx ---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．【学问点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】152222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积1115sin 241522S ac B ==⨯⨯=15【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1sin 2S ac B =即可.【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【学问点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由于0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R 上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后依据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (2)n n a +（0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N 时，221n k n <+；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则2(11)<+n S n ．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2 【答案】【解析】①③④解于曲线C ：析：由22y x a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y ===，n k =，点nP (n （0,a n >∈N ）处的切线n l为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--=， ①00|x ||y |=，0,||1n a a ∴=-=∴= ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③1012n <≤，sin ∴><亦即n k<，正确；④n k==121n n n<++=+，22(2n 1)<+，<，<=，由于n k =，所以122(21321)n n S kk k n n =+++<-+-+++- 1)=， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =,n n x n a y =--=，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【学问点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ）15 （Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为大事A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X = 即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．DBCAFE【学问点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）22（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ． 在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E ，3,1)D ． ∴(2,0,2)=-AE ，(13,1)=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n ，即22030-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ． ∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值2．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）分别求平面DEA 与平面ABC 的法向量1(1,0,1)=n 2(0,0,1)=n ，∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和nT ．【学问点】等差数列，等比数列 【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）．又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n …………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可； （Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．t （时）101112 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 5 3.522.753.1252.3752.5632.469由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b ya x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求x 的值．【学问点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+yx （Ⅱ）0x 的值为3-或1-（Ⅰ）由已知243=a 得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()e mxmx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和微小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f xg x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me=-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,(21)∈-∞-+m e e解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分 ∴mee f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>．∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m mg m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e ．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e ．∴224(21)e m e +>，即224(21)m e e >+． 由0<m，解得m <．综上所述，存在这样的负数(,∈-∞m 满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max()()>f x g x ，12min()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m ，求解即可.。
2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷 含解析
2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 990B 餋L21488 53F0 台28185 6E19 渙31311 7A4F 穏w 28994 7142 煂21934 55AE 單32204 7DCC 緌+l20679 50C7 僇37562 92BA 銺。
2021年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(附解析)
2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）2021年成都市高2021届高三第一次诊断考试数学问题（科学）第ⅰ卷（选择题，共50分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，每个子题给出的四个选项共50分，只有一个符合问题要求1．已知集合a?{x?z|(x?1)(x?2)?0}，b?{x|?2?x?2}，则ab?（a） {x | 1 | x | 2}（b）{1,0,1}（c）{0,1,2}（d）{1,1}2？在ABC中，“a？？2”是“cosa？”424（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件3.如图所示，剩余部分与开挖部分的体积比为（a）3:1（b）2:1（c）1:1（d）1:2正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a,b,c的大小顺序是2997俯视图（a）b?a?c（b）c?a?b（c）c?b?a（d）b?c?a已知空间中的两条线，N和m，是不同的，？，？对于空间中的两个不同平面，以下命题是正确的的是（a）如果M/？，m/然后呢？/？（b）如果我？？，Mn、那么n/？（c）若m//?,m//n，则n//?（d）若m??,m//?，则6.执行如图所示的程序框图，如果输出结果不大于50，则输入整数k的最大值为（a）4（b）5（c）6（d）77．已知菱形abcd边长为2，?b?开始输入KS？0，n？0n？K不，是吗？s2n？2n？N1输出s？，P点满足AP？？AB，3结束？？r、如果是BD？内容提供商？？3.那么？价值在于121（c）3（a）121（d）?3（b）？1X2y28。
在双曲线2上？2.1的左顶点a（a？0，B？0）是一条斜率为1的直线，这是两条双曲线ab1渐近线的交点分别为b,c.若ab?bc，则此双曲线的离心率为2（a）10（b）5（c）3（d）2xy409．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为d.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图Y2.0如果图像通过区域D上的点，则a的值范围为（a）[2，3]（b）[3,??)（c）(0，]（d）[,1)10.如果序列{an}中的任意三个连续奇数项和三个连续偶数项可以构成三角形的边长，则{an}称为“次三角形”序列；对于“次三角形”序列{an}，如果函数y？F（x）使1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函数（n？n），数字序列{CN}的第一n项的总和是Sn，C1？2022，5Sn？1？席席？10080，如果{CN}的项目n的最大值是G（x）？LGX是序列{CN}（参考数据：LG2×10.301，LG2022×3.304）（A）33（B）34（C）35（D）36的“次三角保留函数”。
21届高三理科数学一诊模拟考试试卷答案(3)
供
a仅2 4b2 2ab 4 2 a 2b 2ab 2ab ，ab 2 ，当且仅当 a 2b ，┄┄┄┄┄┄┄（10 分）
即 a 2,b 1时取等号，此时 ab 的最大值为 2 ，
┄┄┄┄┄┄┄（11 分）
面积 S 1 ab sin C
3 ab 取得最大值
3
.
2
4
2
┄┄┄┄┄┄┄（12 分）
PA 平面 ABCD, AE 平面 ABCD,PA AE ，
PA AD A, PA, AD 平面 PAD, AE 平面 PAD ，
AE 平面 AEF,平面 AEF 平面 PAD .
┄┄┄┄┄┄（5 分）
（2）由（1）知， AE, AD, AP 两两垂直，故以 AE, AD, AP 所在直 线 分 别 为 x, y, z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
又因为 x2
1, a
2 a
x1
1 a
，且函数
f
x
在
1 a
,
单调递增，
高三数学（理科）摸底测试题参考答案第 4 页（共 7 页）
所以只需证明
f
x2
f
2 a
x1
，又因为
f
x2
f
x1 ，即证
f
x1
f
2 a
x1
令
g x
f
x
f
2 a
x
0
x
1 a
┄┄┄┄┄┄（9
分）
max
4
②当 a 0 时， f x 0, x
1 a
,
f
x
在
0,
1 a
上单减，在
2021年高三第一次调研考试 数学理 含答案
2021年高三第一次调研考试 数学理 含答案本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）2．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )4．已知等差数列的前项和为，若，则 ( )5．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）7．已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ）8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的 长度，若，，则（ ）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9． 函数的定义域是 .10．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 . 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个. 12．设变量满足，则的最大值是 . 13．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 . （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
2020-2021学年四川省成都市高三(上)第一次模拟考试数学(理)试卷有答案
2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合M={x|y=(2x−x2)12}，N={x|−1<x<1}，则M∩N=( )A.[0, 1)B.(0, 1)C.(−1, 0]D.(−1, 0)|=( )2. 若z=(m+1)+(2−m)i(m∈R)是纯虚数，则|6+3izA.3B.5C.√5D.3√53. 函数f(x)=(3x+3−x)ln|x|的图像大致为( )A. B.C. D.4. 执行如图所示的程序框图，正确的是( )A.若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为5B.若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为7C.若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为8D.若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为105. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图像如图所示．若对任意x∈R，f(x)=f(2t−x)恒成立，则实数t的最大负值为( )A.−5π12B.−π3C.−π4D.−π66. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1=3，23−1=7，25−1=31，27−1=127，3，7是一位数，31是两位数，127是三位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）( )A.25B.29C.27D.287. 成都七中举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种. A.12 B.14 C.16 D.188. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a ，b >0)的离心率为2√33，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，且△OMN 为直角三角形．若S △ONM =3√32，则C 的方程为( ) A.x 212−y 24=1B.x 26−y 22=1C.x 23−y 2=1D.x 22−y 26=19. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列选项错误的是( ) A.a 2+b 2的最小值为12B.4a +1b 的取值范围是[9,+∞） C.√ab的最小值为2√2D.若c >1，则(3a 2+1ab−2)⋅c +1c−1的最小值为810. 下列正确命题的序号有( )①若随机变量X ∼B (100,p )，且E (X )=20，则D (12X +1)=5；②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件；③一只袋内装有m 个白球，n −m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，P (ξ=2)等于(n−m )A m2A n3；④由一组样本数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x n ,y n )得到回归直线方程y =bx +a ，那么直线y =bx +a 至少经过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x n ,y n )中的一个点. A.②③ B.①② C.③④ D.①④11. 已知|a →+2e →|=|b →−3e →|=1，|e →|=1，则a →⋅b →的最小值是( ) A.−18 B.−12 C.−8 D.−612. 已知函数f (x )=−12x 2−cos x ，g (x )=x 2−k ，若f (x )与g (x )的图像有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A.−1 B.0 C.1 D.2二、填空题若实数x ，y 满足约束条件{x +2y ≥1，x −y ≤0，y ≤5，则z =x +4y 的最小值为________.已知数列{a n }前n 项和S n 满足S n =12n (n +3)，n ∈N ∗.则数列1a 1+12a 2+⋯+12020a 2020=________.如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，点E 是棱PD 上一点， PE =3ED ．若PF →=λPC →且满足BF//平面ACE ，则λ=________.在平面直角坐标系xOy 中，定点F (−2,0)，已知点P 是直线y =x +2上一动点，过点P 作圆C:(x −2)2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为________. 三、解答题在①sin Asin B−sin C =b+cb−a ；②ca =√3sin A；③2S =√3CA →⋅CB →这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．若________（填条件序号）. (1)求角C 的大小；(2)点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求△ABC 的面积S 的最大值．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．(1)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束，并规定抽样的次数不超过n(n∈N∗)次．在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．已知，如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD．E，M分别是BC，PD中点.点F在棱PC上移动．(1)证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；(2)当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置．已知函数f(x)=ax2−2ln x.(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对∀x∈[1,3]，都有f(x)≤14恒成立，求a的取值范围；(3)已知a>0，若∃x1，x2且满足0<x1<x2，使得f(x1)=f(x2).求证：√a(x1+x2)2−2(x1+x2)>0.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为√33的直线与C相交于A，B，且AB⊥OB，O为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e ：(2)若b =1，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点， (i)求直线OP 的斜率与直线OQ 的斜率乘积；(ii)点M 满足2OM →=OP →，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求|NM||NQ|的值．在平面直角坐标系x0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k (m 为参数)．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．(1)求出曲线C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．已知函数f(x)=|2x −7|+|2x −5|． (1)求函数f(x)的最小值m ；(2)在(1)的条件下，正数a ，b 满足a 2+b 2=m ，证明：a +b ≥2ab ．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：因为集合M={x|y=(2x−x2)12}={x|y=√2x−x2}={x|2x−x2≥0}={x|x(2−x)≥0}={x|0≤x≤2}，N={x|−1<x<1}，所以M∩N={x|0≤x<1}=[0, 1)．故选A.2.【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】由已知求得m，进一步得到z，代入6+3iz，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z是纯虚数，得m+1=0且2−m≠0，所以m=−1，2−m=2−(−1)=3，所以z=3i，因此|6+3iz |=|6+3i3i|=|2+i i|=|(2+i)(−i)−i2|=|1−2i|=√12+(−2)2=√5.故选C．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象变化【解析】由f(x)是偶函数，排除B，当x∈(0,1)时，f(x)<0，排除A，C，即可得出结论．【解答】解：函数f(x)=(3x+3−x)ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=(3−x+3x)ln|−x|=(3x+3−x)ln|x|=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B；当x∈(0,1)时，f(x)<0，排除A，C．故选D．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能为：①利用选择结构找出a，b的最小值并输给变量c，②再交换变量a=b，b=c，③计算并输出ac+b的值.当a=1，b=2，c=3时，1<2，c=a=1，a=b=2，b=c=1，输出结果是ac+b=2×1+1=3，故A，B错误；当a=2，b=3，c=4时，2<3，c=a=2，a=b=3，b=c=2，输出结果是ac+b=3×2+2=8，故C正确，D错误．故选C.5.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】利用正弦型函数的图象可求得ω与φ的值，得到函数f(x)的解析式，再由f(x)＝f(2t−x)知函数f(x)＝2sin(2x+π)关于直线x＝t对称，从而可求得实数t的最大负值．3【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，由图象知，5T4=5π6−(−5π12)=15π12=5π4，∴T=π，∵T=2πω=π，∴ω=2．由“五点作图法”知，5π6×2+φ=2π，解得：φ=π3，符合题意．∴f(x)=2sin(2x+π3)，又f(x)=f(2t−x)，∴函数f(x)=2sin(2x+π3)关于直线x=t对称，∴2t+π3=kπ+π2(k∈Z)，∴t=kπ2+π12(k∈Z)，当k=−1时，t=−5π12为最大负数.故选A.6.【答案】C【考点】对数的运算性质函数模型的选择与应用【解析】根据题意，利用常用对数估算即可．【解答】解：lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27.故选C.7.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题分类加法计数原理【解析】分两类分别进行求解即可.【解答】解：若甲安排在第2道，即甲不在第1道，乙不在第2道，则有A33=6种安排方法；若甲不安排在第2道，即甲不在1，2道，乙不在2道，则有C21C21A22=8种安排方法，根据分类加法计数原理可知，共有6+8=14种安排方法.故选B.8.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的简单几何性质双曲线的渐近线双曲线的离心率点到直线的距离公式【解析】由双曲线的离心率可得渐近线的倾斜角，如图所示，由双曲线的渐近线的对称性可得∠MON=60∘=2∠MOF，进而可得MF，ON与OM的关系，再由三角形OMN的面积可得OM的值，进而求出MF的值，再由焦点到渐近线的距离可得MF，求出a，b的值，进而求出双曲线的方程．【解答】解：如图，由双曲线的离心率e=ca =2√33，所以c 2a2=43，又c2=a2+b2，所以ba =√33，所以由题意可得∠MON=60∘=2∠MOF. 设∠OMN=90∘，所以MF=√33OM，ON=2OM.因为S△OMN =12OM⋅MN=12OM⋅ON⋅sin60∘=12⋅OM×2×OM⋅√32=√32OM2=3√32，所以OM2=3，即OM=√3，所以MF=√33×√3=1，而焦点F(c,0)到渐近线bx−ay=0的距离为：d=MF=√a2+b2=b，所以b=1，a=√3，所以双曲线C的方程为：x 23−y2=1.故选C．9.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用对勾函数求最值【解析】利用基本不等式和对勾函数的性质求解即可. 【解答】解：A，因为a，b均为正数，且a+b=1，所以由均值不等式可得a2+b2≥(a+b)22=12，当且仅当a=b=12时等号成立，故A正确；B，4a +1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab≥5+2√4ba ×ab=9，当且仅当4ba =ab，a+b=1，即a=23，b=13时等号成立，故B正确；C，√ab=ab+a+b+1√ab=√abab，由a+b=1≥2√ab，可得0<√ab≤12，设t=√ab，所以由对勾函数的单调性可知，函数y =t +2t 在区间(0,12]上单调递减， 所以√ab =√ab √ab ≥12+212=92，故C 错误； D ，由3a 2+1ab −2=3a 2+(a +b )2ab−2 =4a b +b a ≥2√4a b ⋅b a =4，当且仅当4ab =b a ，a +b =1， 即a =13，b =23时等号成立，所以(3a 2+1ab −2)⋅c +1c−1≥4(c −1)+1c −1+4 ≥2√4(c −1)×1c−1+4=8，当且仅当4(c −1)=1c−1，即c =32时等号成立，故D 正确.故选C .10.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差排列及排列数公式互斥事件与对立事件两点分布二项分布超几何分布的期望与方差【解析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率，线性回归方程.【解答】解：①由E (X )=20，得100p =20⇒p =15， 则D (X )=100×15×(1−15)=16，所以D (12X +1)=14D (X )=14×16=4，故①错误；②因为各事件彼此互斥，P(A)=0.2，P(B ∪C ∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.3=0.8，因为P(A)+P(B ∪C ∪D)=0.2+0.8=1，所以A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件，故②正确；③取出两个白球，则前两个白球有A m 2种选法，第三次是黑球，故第三次拿球可按顺序排列，即A n 3，所以P(ξ=2)=(n−m )A m2A n 3，故③正确；④直线必定经过样本中心点(x ¯,y ¯)，不一定经过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯(x n ,y n )中的一点，故④错误.综上，命题②③正确.故选A .11.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：不妨设e →=(1,0)，则设a →=(x 1,y 1)，b →=(x 2,y 2)，a →+2e →=(x 1+2,y 1)，b →−3e →=(x 2−3,y 2)，∵ |a →+2e →|=|b →−3e →|=1，∴ (x 1+2)2+y 12=1，(x 2−3)2+y 22=1.如图，a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos <a →,b →>，而|a →|max =3，|b →|max =4，且cos <a →,b →>min =−1，∴ 当a →=(−3,0)，b →=(4,0)时，a →⋅b →取得最小值，此时(a →⋅b →)min =−3×4+0×0=−12.故选B .12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意列出等式，对式子进行适当的变形，根据只有一个公共点能够结合图形得出当x =0时，等式能够成立，并且此时k =1.【解答】解：由题意得，−12x 2−cos x =x 2−k 有且仅有一解，即k =32x 2+cos x 有且仅有一解，令ℎ(x)=32x 2+cos x ，ℎ′(x)=3x −sin x ，ℎ′′(x )=3−cos x >0，所以ℎ′(x )在R 上单调递增，又ℎ′(0)=0，所以当x ∈(−∞,0)时， ℎ′(x )<0；x ∈(0,+∞)时， ℎ′(x )>0，所以ℎ(x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(0)=32×02+cos 0=1，当x →−∞时， ℎ(x )→+∞；当x →+∞时， ℎ(x )→+∞，要使得ℎ(x )=k 有唯一解，即f (x )与g (x )的图像有且只有一个公共点，则k =1.故选C .二、填空题【答案】53【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：由题作可行域如图，则可得在B点(13,13)时，z=x+4y取得最小值，最小值为z=13+43=53.故答案为：53.【答案】20202021【考点】数列的求和数列递推式【解析】利用数列的递推公式得到a n=n+1(n∈N∗)，再利用裂项相消法求和即可. 【解答】解：因为S n=12n(n+3)，所以当n=1时，a1=2.当n≥2时，S n−1=12(n−1)(n+2)，所以a n=S n−S n−1=12n(n+3)−12(n−1)(n+2)=n+1，当n=1时也适合上式，所以a n=n+1(n∈N∗)，所以1na n =1n(n+1)=1n−1n+1，所以1a1+12a2+⋯+12020a2020=1−12+12−13+⋯+12020−12021=1−1 2021=20202021.故答案为：20202021.【答案】23【考点】直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】利用线线平行得面面平行，再利用平行线成比例得解. 【解答】解：连接BD交AC于O，连接OE，在PE上取一点G，使GE=ED，在PC上取一点F，使PC=3FC，连接FG，BG，如图，∵O，E分别是BD，DG的中点，∴OE//BG，∵CFPC =GEPE=DEPE=13，∴GF//CE，∵BG∩GF=G，OE∩CE=E，∴平面BGF//平面ACE，又BF⊂平面BGF，∴BF//平面ACE，故PC=3FC时满足要求.∴PF→=23PC →，∴λ=23.故答案为：23.【答案】3√2【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程直线与圆相交的性质利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由题意得，PA⊥AC，AB⊥PC，C(2,0)，CA=2，由射影定理得：CA2=CR⋅CP=4，点P在y=x+2上，设P(a,a+2)，那么CP=√(a−2)2+(a+2)2=√2(a2+4)，CR=4CP =4√2(a2+4)，那么CRCP =4CP2=2a2+4=x C−x Rx C−x P=y Ry P，∴x R=2(1+a−2a2+4)，y R=2(a+2a2+4)，FR2=(x R+2)2+y R2=4×[(2+a−22)2+(a+22)2]=4×[4+4(a−2)2+(a−22)2+(a+22)2]=4×[4+4(a−2)a2+4+2a2+4]=16+8⋅2a−3a2+4，令f(a)=2a−3a2+4，则f′(a)=−2a2+6a+8(a2+4)2，令f′(a)=0，则a=4或a=−1，当f′(a)>0时，−1<a<4，当f ′(a)<0时，a <−1或a >4，∴ f(a)在(−∞,−1)和(4,+∞)上单调递减，在(−1,4)上单调递增， f(−1)=−1，f(4)=14，当a <0时，a 2+4>0，2a −3<0，∴ f(a)=2a−3a 2+4<0，∴ 当a =4时，f(a)取得最大值，∴ f(a)max =f(4)=14，∴ FR 2=16+8⋅2a−3a 2+4≤16+8×14=18，故FR max =3√2.故答案为：3√2.三、解答题【答案】解：(1)选①：sin A sin B−sin C =b+c b−a ，因为由正弦定理得a b−c =b+c b−a ，所以a (b −a )=(b +c )(b −c )，即a 2+b 2−c 2=ab ， 所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12 ． 因为C ∈(0,π)，所以C =π3． 选②：c a =√3sin A ， 由正弦定理得sin C sin A =√3sin A ，sin A ≠0，所以√3sin C =cos C +1，2sin (C −π6)=1，sin (C −π6)=12．因为C ∈(0,π)，所以C −π6∈(−π6,5π6)，所以C −π6=π6，所以C =π3． 选③：因为2S =√3CA →⋅CB →， 所以ab sin C =√3ab cos C ，所以tan C =√3，因为C ∈(0,π)，所以C=π3．(2)在△BCD中，由余弦定理得，a2+(2b)2−2×a×2b×cosπ3=22，所以a2+4b2−2ab=4≥2⋅a⋅2b−2ab=2ab ，所以ab≤2，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取等号，此时ab的最大值为2，面积S=12ab sin C≤12×2×√32=√32，所以△ABC面积的最大值为√32．【考点】正弦定理余弦定理两角和与差的正弦公式三角形的面积公式平面向量数量积的运算基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)选①：sin Asin B−sin C =b+cb−a，因为由正弦定理得ab−c =b+cb−a，所以a(b−a)=(b+c)(b−c)，即a2+b2−c2=ab，所以cos C=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12．因为C∈(0,π)，所以C=π3．选②：ca =√3sin A，由正弦定理得sin Csin A =√3sin A，sin A≠0，所以√3sin C=cos C+1，2sin(C−π6)=1，sin(C−π6)=12．因为C ∈(0,π)，所以C −π6∈(−π6,5π6)，所以C −π6=π6，所以C =π3． 选③：因为2S =√3CA →⋅CB →，所以ab sin C =√3ab cos C ，所以tan C =√3，因为C ∈(0,π)，所以C =π3．(2)在△BCD 中，由余弦定理得，a 2+(2b )2−2×a ×2b ×cos π3=22， 所以a 2+4b 2−2ab =4≥2⋅a ⋅2b −2ab =2ab ，所以ab ≤2，当且仅当a =2b ，即a =2，b =1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积S =12ab sin C≤12×2×√32=√32， 所以△ABC 面积的最大值为√32．【答案】解：(1)因为黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1， 所以任取1辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的个数”，则X 服从二项分布， 即X ∼B(5, 14)，所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P(X =2)=C 52(14)2(34)3=135512．(2)ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，P(ξ=0)=14，P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2×14，⋯P(ξ=n −1)=(34)n−1×14，P(ξ=n)=(34)n ， 所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×14+1×34×14+2×(34)2×14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1×14+n ×(34)n ，①34E(ξ)=1×(34)2×14+2×(34)3×14+⋯+ (n −2)×(34)n−1×14+(n −1)×(34)n ×14+n ×(34)n+1，② ①−②，得，14E(ξ)=34×14+(34)2×14+(34)3×14+⋯+ (34)n−1×14+[n ×(34)n −(n −1)×(34)n ×14−n ×(34)n+1]，即14E(ξ)=34×14+(34)2×14+(34)3×14+⋯+(34)n−1×14+(34)n ×14，所以E(ξ)=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n−1+(34)n =34×[1−(34)n]1−34=3−3×(34)n ． 【考点】二项分布的应用 数列的求和两点分布二项分布超几何分布的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1， 所以任取1辆汽车是蓝色汽车的概率为14，用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的个数”，则X 服从二项分布， 即X ∼B(5, 14)，所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P(X =2)=C 52(14)2(34)3=135512．(2)ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ， P(ξ=0)=14， P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2×14， ⋯P(ξ=n −1)=(34)n−1×14，P(ξ=n)=(34)n ，所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×14+1×34×14+2×(34)2×14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1×14+n ×(34)n ，① 34E(ξ)=1×(34)2×14+2×(34)3×14+⋯+ (n −2)×(34)n−1×14+(n −1)×(34)n ×14+n ×(34)n+1，② ①−②，得，14E(ξ)=34×14+(34)2×14+(34)3×14+⋯+ (34)n−1×14+[n ×(34)n −(n −1)×(34)n ×14−n ×(34)n+1]， 即14E(ξ)=34×14+(34)2×14+(34)3×14+⋯+ (34)n−1×14+(34)n ×14，所以E(ξ)=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n−1+(34)n =34×[1−(34)n]1−34=3−3×(34)n ．【答案】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ， ∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3， ∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点． 【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【解答】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ， ∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3，∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点． 【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=x 2−2ln x ， f (1)=1， f ′(x )=2x −2x ，k =f ′(1)=0，所以f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =1 ． (2)法一：由题意f (x )max ≤14， f ′(x)=2ax −2x =2(ax 2−1)x，①当a ≤0时，因为x ∈[1,3]，则ax 2−1<0， 所以f ′(x )<0，所以f (x )在[1,3]上单调递减， 所以f (x )max =f(1)=a ≤14恒成立，所以a ≤0； ②当a >0时， 令f ′(x)>0，则x >√a，所以f (x )在√a)上单调递减，在(√a+∞)上单调递增，(i)当a≤1，a ≥1，f (x )在[1,3]上单调递增．f (x )max =f (3)≤14， a ≤14+2ln 39，舍去；(ii)当√a≥3，即0<a ≤19时， f (x )在[1,3]上单调递减， f(x)max =f(1)≤14，a ≤14，所以0<a ≤19；(iii)当1<√a<3，19<a <1时， f (x )在√a]上单调递减，在[√a3]上单调递增，{f(1)≤14f(3)≤14， a ≤14，所以19<a ≤14，综上，a ≤14．法2：f (x )=ax 2−2ln x ≤14恒成立，即a ≤14+2ln x x 2，令g(x)=14+2ln x x 2，g ′(x)=32−4ln x x 3，g ′(x)>0， 1<x <e 38，所以g(x)在[1,e 38]上单调递增，在[e 38,3]上单调递减， g(1)=14，g(3)=14+2ln 39>14，所以a ≤g(x)min =14． (3)因为x 1+x 2>0，要证√a (x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0，只需证明x 1+x 2>√a ，由(2)可知0<x 1<a<x 2，要证x 1+x 2>a，只需证明x 2>ax 1，又因为x 2>√a ，√ax 1>√a，且函数f (x )在(√a+∞)上单调递增，所以只需证明f (x 2)>f (√a−x 1)，又因为f (x 2)=f (x 1)，即证f (x 1)>f (√a−x 1)，令g (x )=f (x )−f (√a−x)(0<x <√a)，即g (x )=ax 2−2ln x −a (√a−x)2+2ln (√a−x)=4√ax −4−2ln x +2ln (√ax)，注意到g (√a)=0，因为g ′(x)=4√a −2x−22√a−x=4√a 4√a 1x (2√a −x)≤4√a a⋅1(x+2√a −x 2)2=0，则g(x)在√a)上单调递减，所以g (x )>g (√a)=0在√a)恒成立，所以x 1+x 2>√a，即满足√a (x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =1时，f (x )=x 2−2ln x ， f (1)=1， f ′(x )=2x −2x ，k =f ′(1)=0，所以f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =1 ． (2)法一：由题意f (x )max ≤14， f ′(x)=2ax −2x =2(ax 2−1)x，①当a ≤0时，因为x ∈[1,3]，则ax 2−1<0， 所以f ′(x )<0，所以f (x )在[1,3]上单调递减， 所以f (x )max =f(1)=a ≤14恒成立， 所以a ≤0；②当a >0时， 令f ′(x)>0，则x >√a，所以f (x )在a)上单调递减，在(a+∞)上单调递增，(i)当a≤1，a ≥1，f (x )在[1,3]上单调递增．f (x )max =f (3)≤14， a ≤14+2ln 39，舍去；(ii)当√a≥3，即0<a ≤19时， f (x )在[1,3]上单调递减， f(x)max =f(1)≤14，a ≤14，所以0<a ≤19； (iii)当1<√a<3，19<a <1时， f (x )在√a]上单调递减，在[√a3]上单调递增，{f(1)≤14f(3)≤14， a ≤14，所以19<a ≤14， 综上，a ≤14．法2：f (x )=ax 2−2ln x ≤14恒成立，即a ≤14+2ln x x 2，令g(x)=14+2ln x x ，g ′(x)=32−4ln x x 3，g ′(x)>0， 1<x <e 38，所以g(x)在[1,e 38]上单调递增，在[e 38,3]上单调递减， g(1)=14， g(3)=14+2ln 39>14，所以a ≤g(x)min =14．(3)因为x 1+x 2>0，要证√a (x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0，只需证明x 1+x 2>√a ，由(2)可知0<x 1<√a<x 2，要证x 1+x 2>√a，只需证明x 2>√ax 1，又因为x 2>√a ，√ax 1>√a，且函数f (x )在(√a+∞)上单调递增，所以只需证明f (x 2)>f (√a−x 1)，又因为f (x 2)=f (x 1)，即证f (x 1)>f (√a−x 1)，令g (x )=f (x )−f (a−x)(0<x <a)，即g (x )=ax 2−2ln x −a (√a−x)2+2ln (√a−x)=4√ax −4−2ln x +2ln (√ax)，注意到g (√a )=0，因为g ′(x)=4√a −2x −22√a−x=4√a 4√a 1x (2√a−x)≤4√a a⋅1(x+2√a −x 2)2=0，则g(x)在√a)上单调递减，所以g (x )>g (√a)=0在√a)恒成立，所以x 1+x 2>√a，即满足√a (x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0． 【答案】解：(1)由题易得|OA|=a ， 因为tan ∠BAF =√33， 所以∠BAF =π6，|OB|=a2， 则B (−a 4,√3a4)， 代入椭圆C 的方程为a 216a 2+3a 216b 2=1，所以a 2b 2=5，a =√5b ， 所以c =√a 2−b 2=2b ， 所以e =c a =√5b=2√55. (2)(i)由(1)可得b =1，a =√5， 所以C ：x 25+y 2=1，设直线l ：x =√3y +2， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立直线l 与椭圆C 的方程：{x =√3y +2，x 2+5y 2=5，得8y 2+4√3y −1=0， Δ>0恒成立， y 1+y 2=−√32，y 1y 2=−18，所以x 1x 2=(√3y 1+2)(√3y 2+2) =3y 1y 2+2√3(y 1+y 2)+4=58， 所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=−15.(ii)设点N (x 3,y 3)， 设|NM||NQ|=λ，所以NM →=λNQ →(0<λ<1)， 又因为2OM →=OP →， 所以点M (x12,y 12)，则满足NM →=(x12−x 3,y 12−y 3)，NQ →=(x 2−x 3,y 2−y 3)，则 {x 12−x 3=λ(x 2−x 3)，y12−y 3=λ(y 2−y 3)，所以{x 1−2λx 2=2(1−λ)x 3，y 1−2λy 2=2(1−λ)y 3，即{x 3=x 1−2λx22(1−λ)，y 3=y 1−2λy 22(1−λ)，因为P ，Q ，N 在椭圆上，所以x 12+5y 12=5，x 22+5y 22=5，x 32+5y 32=5，(x 1−2λx 2)24(1−λ)2+5×(y 1−2λy 2)24(1−λ)2=5，所以x 12+5y 12+4λ2(x 22+5y 22)−4λ(x1x2+5y1y2)=20(1−λ)2，由(i)可知x1x2+5y1y2=0，1+4λ2=4(1−λ)2，所以λ=38，所以MMNQ =38.【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题易得|OA|=a，因为tan∠BAF=√33，所以∠BAF=π6，|OB|=a2，则B(−a4,√3a4)，代入椭圆C的方程为a 216a2+3a216b2=1，所以a 2b2=5，a=√5b，所以c=√a2−b2=2b，所以e=ca =√5b=2√55.(2)(i)由(1)可得b=1，a=√5，所以C：x 25+y2=1，设直线l：x=√3y+2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线l与椭圆C的方程：{x=√3y+2，x2+5y2=5，得8y2+4√3y−1=0，Δ>0恒成立，y1+y2=−√32，y1y2=−18，所以x1x2=(√3y1+2)(√3y2+2) =3y1y2+2√3(y1+y2)+4=58，所以k OP⋅k OQ=y1y2x1x2=−15.(ii)设点N(x3,y3)，设|NM||NQ|=λ，所以NM →=λNQ →(0<λ<1)，又因为2OM →=OP →，所以点M (x 12,y 12)， 则满足NM →=(x 12−x 3,y 12−y 3)，NQ →=(x 2−x 3,y 2−y 3)， 则 {x 12−x 3=λ(x 2−x 3)，y 12−y 3=λ(y 2−y 3)，所以{x 1−2λx 2=2(1−λ)x 3，y 1−2λy 2=2(1−λ)y 3， 即{x 3=x 1−2λx 22(1−λ)，y 3=y 1−2λy 22(1−λ)， 因为P ，Q ，N 在椭圆上，所以x 12+5y 12=5，x 22+5y 22=5，x 32+5y 32=5，(x 1−2λx 2)24(1−λ)2+5×(y 1−2λy 2)24(1−λ)2=5，所以x 12+5y 12+4λ2(x 22+5y 22)−4λ(x 1x 2+5y 1y 2)=20(1−λ)2，由(i)可知x 1x 2+5y 1y 2=0，1+4λ2=4(1−λ)2，所以λ=38， 所以MM NQ =38. 【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =t −√3，y =kt(t 为参数)， 转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①，直线l 2的参数方程为{x =√3−m ，y =m 3k(m 为参数)， 转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②， 所以①×②得到x 23+y 2=1(y ≠0)．(2)直线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y −6=0，设曲线C 1的上的点Q(√3cos θ,sin θ)到直线x +y −8=0的距离d =√3√2=|2sin (θ+π3)−6|√2， 当sin (θ+π3)=−1时，d max =√2=4√2．【考点】参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =t −√3，y =kt(t 为参数)， 转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①，直线l 2的参数方程为{x =√3−m ，y =m 3k(m 为参数)， 转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②， 所以①×②得到x 23+y 2=1(y ≠0)．(2)直线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y −6=0，设曲线C 1的上的点Q(√3cos θ,sin θ)到直线x +y −8=0的距离 d =√3√2 =|2sin (θ+π3)−6|2， 当sin (θ+π3)=−1时，d max =√2=4√2．【答案】(1)解：∵ 函数f(x)=|2x −7|+|2x −5|≥|(2x −7)−(2x −5)|=2，∴ 函数f(x)的最小值m =2.(2)证明：法一：（综合法）正数a ，b 满足a 2+b 2=2，∵ a 2+b 2≥2ab ，∴ ab ≤1，√ab ≤1，当且仅当a =b 时取等号，①又∵ √ab ≤a+b2，∴ √ab a+b ≤12，∴ ab a+b ≤√ab 2，当且仅当a =b 时取等号，② 由①②得aba+b ≤12，∴ a +b ≥2ab ．法二：（分析法）∵ a >0，b >0，要证a +b ≥2ab ，只要证(a +b)2≥4a 2b 2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，∵a2+b2=2，∴只需证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，由2ab+1>0，即证ab≤1，又2=a2+b2≥2ab，即ab≤1成立，故a+b≥2ab．【考点】带绝对值的函数不等式的证明【解析】（1）运用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a−b|，可得所求最小值m；（2）方法一、运用重要不等式a2+b2≥2ab，结合不等式的传递性，推得aba+b ≤12，即可得证；方法二、运用分析法证明，结合两边平方和重要不等式、不等式的性质，即可得证．【解答】(1)解：∵函数f(x)=|2x−7|+|2x−5|≥|(2x−7)−(2x−5)|=2，∴函数f(x)的最小值m=2.(2)证明：法一：（综合法）正数a，b满足a2+b2=2，∵a2+b2≥2ab，∴ab≤1，√ab≤1，当且仅当a=b时取等号，①又∵√ab≤a+b2，∴√aba+b≤12，∴aba+b≤√ab2，当且仅当a=b时取等号，②由①②得aba+b ≤12，∴a+b≥2ab．法二：（分析法）∵a>0，b>0，要证a+b≥2ab，只要证(a+b)2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，∵a2+b2=2，∴只需证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，由2ab+1>0，即证ab≤1，又2=a2+b2≥2ab，即ab≤1成立，故a+b≥2ab．。
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俯视图绝密★启用前为明2021届高三第一次调研考试题数学（理工类）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅰ 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上。
2. 请在答题卡上作答，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U ={0,1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，则U A= A.{0,2} B.{2,4} C.{1,2,3} D.{0,2,4} 2. 若复数z 满足(-1+i)z =2，则z =A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i 3.命题“(0,)x ∀∈+∞，sin x <x ”的否定是A.(0,)x ∀∈+∞，sin x ≥xB.0(0,)x ∃∈+∞，sin x 0≥x 0C.(0,)x ∀∉+∞，sin x ≥xD.0(0,)x ∃∈+∞，sin x 0<x 0 4.在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫(“榫”，即指木制构件利用 凹凸方式相连接的部分)的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是A.6B.8C.12D.165. 如图，在正方形ABCD 中的阴影部分的上下边界分别是曲线C 1和C 2，其中C 1是正态分布N (0,0.52)的密度曲线，C 1与C 2关于x 轴 对称，若在正方形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是A. 0.6826B. 0.9544C. 0.4772D. 0.4987参考数据：随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)的概率为：P (μ－σ<Z ≤μ+σ)=0.6826，P (μ－2σ<Z ≤μ+2σ)= 0.9544，P (μ－3σ<Z ≤μ+3σ)=0.9974. 6.函数2()e x f x x -=⋅的图象大致是7.为研究A 型病毒细胞的变化规律，将A 型病毒细胞注入一只健康的小白鼠体内进行实验.根据观测数据和统计分析，小白鼠体内病毒细胞的个数y 与相应天数序号n 满足函数关系式12n y -=()n *∈N . 已知A 型病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但如果注射某种药物，可杀死小白鼠体内的A 型病毒细胞的98%. 为使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物，最迟应在A. 第25天B. 第26天C. 第27天D.第28天 参考数据：lg2≈0.301.8.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，且l 与x 轴交于点N ，过C 上一点P (a ,b )作PQ Ⅰl ，Q为垂足.若|PF |=5，则梯形PQNF 的面积是A.10B.12C.14D.169.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比为q =12-，S 6=214，则数列{a n }的前n 项之积T n 的最大值为A. 16B. 64C. 128D. 25610. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a Ⅰb . 若A 1D 与b 所成的角为60°时，则 a 与侧面ADD 1 A 1所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°DCBAP11.如图的曲线就像横放的一个葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它经过点P (4π,2)和Q (34π,－1.5)，其对应的方程为3||2()|sin |(0)4n y x x ω=⨯⋅≥，若记[x ]为不超过x 的最大整数，则A.1,[]xn ωπ== B.2,[]xn ωπ== C.21,[]x n ωπ==D.22,[]xn ωπ==12.已知函数42423,0,()3,0x x ax x f x x x ax x ⎧-->⎪=⎨-+<⎪⎩有四个零点，则实数a 的取值范围是 A.(－2,－1) B.(－3,－2) C.(－1,0) D.(－2,0) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量,a b 满足(1,3)=a ，(3,1)=-b ，则,a b 所夹的角大小为_____. 14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8=0，a 3=－3，则S 9=______.15.抗击疫情取得阶段性成果，为助力企业复工复产，中央广播电视总台视频联合国资委在3月初启动了“春暖花开 国聘行动”的大型招聘活动. 该活动共吸引中央企业、大型国企、知名民企和社会机构等4700多家大型企业，累计向应往届大学毕业生等求职者提供了超过50万个职位.已知某5所大型企业的春季招聘在4至5月份依次举行，应届大学毕业生甲对于这5所大型企业的视频应聘都参加，假设甲参加每所企业应聘获得通过的概率均为12，则甲恰有2所企业获得通过的概率为_______.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的左支交于A 、B 两点，且113AF F B =，ⅠABF 2=90°，则C 的离心率为______.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. (12分) 锐角△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c ，且bc =16，△ABC 的面积为43. (1)求A ；(2)若ⅠABC 的外接圆半径为433，求ⅠABC 的周长. 18. （12分）市场调查员在当地一个水果批发市场收集了某短季节性水果自从上市以来连续第x 天每千克的销售价格y （单位：元）的一组数据，得到如下统计表: (1)根据表中和题后所给出的统计数据，求y 关于x 的线性回归方程；(2)设第x天的销售量P （单位：吨）与x近似地满足关系式P =0.2510.5x +，试预测：该产品投放市场第几天的销售收入最高？ 附：Ⅰ对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v 其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),.()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑Ⅰ参考统计量：9.7+9.6+9.5+9.5+8.8+8.6+8.6+8.5+8.2=81,921()60ii x x =-=∑，91()()i i i x x y y =--∑=－12.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PDA ∠=60︒，BC CD ⊥，PD CD ⊥，22BC PD CD ===.（1）证明：AD平面PBC ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，点P (1,2)x 123456789y 9.7 9.6 9.5 9.5 8.8 8.6 8.6 8.5 8.2是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l 与OP 平行且与E 交于A ,B 两点，求ⅠP AB 面积的最大值. 21.（12分）已知函数()e 1xf x ax =--.(1)当a =2时，求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； (2)若f (x )≥0对任意的x Ⅰ[0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当x ≥0时，求证：e ln(1)x x x +≥.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l 的参数方程为,x y ⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围； (2)求证：|OM |2+|ON |2为定值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )=|x |+|x －1|. (1)解不等式f (x )≥3.(2)设a >0，b >0，且a +b =1，求证：f (a )+f (b )+f (ab )≥3.数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题1.【答案】D.【解析】将全集U 中的元素1,3,5去掉，余下元素0,2,4组成的集合，即为UA ={0,2,4}，故选D.2. 【答案】D . 【解析】法一：22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z ----====---+-+--，故选D. 法二：寻找复数－1+i 的共轭复数，即为－1－i ，故选D. 3.【答案】B.4.【答案】A.【解析】该楔子是一个底面为直角三角形(两直角边长分别为1和4)、高为3的直三棱柱，其直观图如图所示，则V =(12×4×1)×3=6，故选A. 5. 【答案】C.【解析】x 轴上方的阴影部分的面积为P (0－2×0.5<Z <0+2×0.5)= P (－1<Z <1)=0.9544，所以所求概率为0.9544÷(1×2)=0.4772，故选C. 6.【答案】A.【解析】首先，f (x )为奇函数，可淘汰B 和D ；其次，当x →＋∞时，f (x )→0，可淘汰C ，故选A. 7.【答案】C.【解析】由题意，得18210n -≤，两边取对数，得(n －1)lg2≤8，解得n ≤27.578，所以第一次注射该种药物，最迟应在第27天，故选C. 8.【答案】C.【解析】设P (a ,b )，由题意，得24,15,b a a ⎧=⎨+=⎩解得4,4,a b =⎧⎨=±⎩即P (4,±4)，所以梯形PQNF 的面积为3131431|4|(25)142⨯±⨯+=，故选C. 9.【答案】B.【解析】由q =12-，S 6=214，得611[1()]212141()2a --=--，解得a 1=8，所以数列{a n }为8,－4，2,－1，12,14-，……，故选B.10.【答案】B.【解析】如图所示，ⅠA 1BD 均为正三角形，若A 1D 与b 所成的角为60°，此时若a Ⅰb ，则a 与侧面 ADD 1 A 1所成角的大小为45°，故选B. 11.【答案】D.【解析】运用数学的观点欣赏美、审视美.因为2(34π－4π)=π，所以22πωπ==；当02x π≤<时，201xπ≤<，则n =0，此时振幅为2；当2x ππ≤<时，212xπ≤<，则n =1，此时振幅为32，所以D 符合题意，故选D. 12. 【答案】D.【解析】f (x )恰好是偶函数，根据对称性，可研究方程4230x x ax --=在(0,+∞)上有两个实根，即33a x x =-在(0,+∞)上有两个实根，进而转化为直线y =a 与曲线33(0)y x x x =->有两个交点即可，而2333(1)(1)y x x x '=-=+-，则当0<x <1时，0y '<；当x >1时，0y '>，所以函数33y x x =-在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，于是min 1|2x y y ===-，故(2,0)a ∈-.故选D. 二、填空题 13. 【答案】90°.【解析】因为1(10⋅=⨯+=a b ，所以⊥a b ，即,a b 所夹的角为90°.14.【答案】9.【解析】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩所以S 9=S 8+a 9=9. 15.【答案】516. 【解析】由于在5次应聘中的概率都为12，且参加各次应聘互不影响，所以该问题符合二项分布，故甲恰有2所获得通过的概率为2235115C ()(1)2216P =-=.16.. 【解析】由题意，得|BF 1|=k ，|AF 1|=3k ；根据双曲线的定义，得|BF 2|=2a +k ，|AF 2|=2a +3k . 在直角三角形ABF 2中，|AF 2|2=|AB |2+|BF 2|2，即(2a +3k )2=(4k )2+(2a +k )2，解得a =k ；在直角三角形BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2，即(2c )2=a 2+(3a )2，解得c a =.三、解答题17.解：(1)由△ABC的面积为1sin 2bc A =…………………………2分结合bc =16，解得sin A =…………………………4分 因为△ABC 为锐角三角形，所以A =60°. …………………………6分(2)设ⅠABC 的外接圆半径为R .由正弦定理，得2sin 24a R A ===，………8分 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2－2bc cos60°，即a 2=(b +c )2－3bc ， …………………………10分 将bc =16及a =4代入上式，解得b +c =8，所以，ⅠABC 的周长为a +b +c =12. …………………………12分 18. 解：(1) 设y 与x 的线性回归方程为y bx a =+，12345678959x ++++++++==， ………………2分ba D 1C 1B 1A 1DCBADCBAP8199y ==，…………………4分 91921()()120.260()i i i ii x x y y b x x ==---===--∑∑， ………………………6分 90.2510a y bx =-=+⨯=，所以y 与x 的线性回归方程为0.210y x =-+. ………………………8分 (2)设第x 天的销售收入为Q(x),对应的销售量(0.2510.5x +)吨，即为1000(0.2510.5)x +千克， 则2()1000(0.2510.5)(0.210)50(4)105800Q x x x x =+-+=--+ ,………10分 当x =4时，Q max ()(4)105800x Q ==.所以该产品投放市场第4天的销售收入最高可达105800元. ………………………12分 19．（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………………………………………1分 又PD CD ⊥，P A ∩PD =P ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………………………………………2分 又AD ⊂平面PAD ，所以CD AD ⊥，…………………………………………………3分 又BC CD ⊥，,,AD BC CD ⊂平面ABCD , 所以ADBC ,…………………………………………………4分又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC , 所以AD平面PBC .…………………………………………………5分（2）解：在直角三角形PAD 中，由60PDA ∠=︒，2PD =，得1,AD PA ==分取BC 的中点E ，则,AD EC ADEC =，所以四边形ADCE 为正方形. ············· 7分 以A 为原点，分别以,,AE AD AP 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,1,0)D ，(1,1,0)C ，P ，(1,1,0)B -． ···················· 8分设平面PCD 的法向量为111(,,)x y z =m ，(1,0,0)CD =-，(0,1,PD =.由0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得1110,0.x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =(0,=m . ·································设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，由(1,1,PB =-，得|sin |cos ,|||||2PB PB PB θ⋅=<>===⋅⨯|m m m ，所以直线PB 与平面PCD . ······························· 12分 20.解: (1)法一：设左、右焦点分别为F 1,F 2，由|F 1F 2|=2，得F 1(－1,0),F 2(1,0)，……………………1分则2a =|PF 1|+|PF 2|=，………………………2分 即a 1b ==， …………………………………3分故求椭圆E 的方程为2212x y +=. …………………………………4分法二：设2c =2，则221a b -=； …………………………………1分 由点P )2在E 上，得221112a b+=， …………………………………2分 以上两式联立，解得a 2=2,b 2=1，故椭圆E 的方程为2212x y +=. …………………………………4分(2)02102OPk -==-， …………………………………5分由OP Ⅰl ，可设直线l的方程为2y x n =+,代入2222x y +=,并整理得2210x n ++-=. …………………………………6分由直线l 与E 交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，得()222410n n ∆=-->,结合l ⅠOP ，解得202n <<. …………………………………7分由韦达定理，得21212,1x x x x n +==-.AB ===.…………………………………9分点P 到直线l 的距离d =. …………………………………10分12PABS AB d ∆=⋅==. ……………………………11分因为()()22222212n n nn +--≤=,所以当且仅当222n n =-,即1n =±(适合202n <<)时,ⅠP AB 面积的最大值为2.求最值，也可以采用配方法：PAB S ∆==所以，当且仅当222n n =-,即1n =±(适合202n<<)时,ⅠP AB 面积的最大值为2. 21.解：(1)当a =2时，f (x )=e x －2x －1，则f (0)=0； ………………1分 由()e 2xf x '=-，得(0)1f '=-， ………………2分所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y －0=－(x －0)，即y =－x . ………………4分(2)()e xf x a '=-. ………………5分由x ≥0，得e x ≥1.当a ≤1时，()0f x '≥，则f (x )在[0,+∞)上是增函数， 所以f (x )≥f (0)=0，此时适合题意. ………6分当a >1时，由()0f x '=，得ln x a =. 当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,ln )a 上是减函数，所以当x Ⅰ(0,ln a )时，f (x )<f (0)=0，此时不适合题意.综上，实数a 的取值范围是(－∞,1]. …………………8分 (3) 根据(2)，当a =1时，e 1x x ≥+(x ≥0). …………………9分要证明e ln(1)x x x +≥，即证e ln(1)(1)1x xx x x +≥+⋅+，考虑到e 10x x ≥+>(x ≥0)，即证ln(1)1xx x +≥+(x ≥0). …………………10分 设()ln(1)(0)1xg x x x x =+-≥+，则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=≥+++， 所以g (x )在[0,+∞)上是增函数，从而g (x )≥g (0)=0， 所以ln(1)1xx x +≥+(x ≥0)成立， 因此，当x ≥0时，e ln(1)x x x +≥成立. …………………12分 22.解：(1) 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y =x ， 所以直线l 的极坐标方程为θ=4π(ρⅠR )；…………………………………2分 将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得22()5x a y -+=，所以圆C 的极坐标方程为22(2cos )50a a ρθρ-+-=. …………………………………4分 由原点O 在圆C 的内部，得22(0)05a -+<，解得a << 故a的取值范围是(. …………………………………6分 (2)将θ=4π代入22(2cos )50a a ρθρ-+-=，得2250a ρρ+-=.则21212,5a ρρρρ+==-， …………………………………8分所以|OM |2+|ON |2=22222121212()2)2(5)10a ρρρρρρ+=+-=--=， 故|OM |2+|ON |2为定值. …………………………………10分23.解：(1)当x ≤0时，不等式变为－x +1－x ≥3，解得x ≤－1. …………………………………1分 当0<x ≤1时，不等式变为x +1－x ≥3，无解. …………………………………………………2分 当x >1时，不等式变为x + x －1≥3，解得x ≥2. ……………………………………………3分 综上，不等式的解集是(－∞,－1)Ⅰ[2,+∞). …………………………………………………5分(2)由a ,b >0且a +b =1，得0<a <1，0<b <1，。