中考数学抛物线及几何问题精选(含答案)

2008年中考试题抛物线与几何问题精选

1、（辽宁12市）

如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C

，抛物线2

(0)y ax x c a =-

+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）Q

直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

(10)A ∴-，

，(0C -， Q 点A C ，都在抛物线上，

03a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩

3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩

∴抛物线的解析式

为2y x =∴顶

点13F ⎛- ⎝

⎭， （2

）存在1(0P

2(2P （3）存在 理由：

延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于 点M ，则点M 就是所求的点．

过点B '作B H AB '⊥于点H ．

B Q

点在抛物线233

y x x =

--(30)B ∴，

x

在Rt BOC △

中，tan 3

OBC ∠=

， 30OBC ∴∠=o

，BC =，

在Rt BB H '△

中，1

2

B H BB ''=

=

6BH H '==，3OH ∴=

，(3B '∴--，

设直线B F '的解析式为y kx b =+

33k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩

解得2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

62

y x ∴=

-

62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩

解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

377M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △

的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭

．

2、（山东济南）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ， PN ⊥DB 于N ，请判断

PM PN

BE AD

+

是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．

AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF

PB EG =

是否成 立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【思路点拨】（2）证△APM ∽△ABE ，PM AP

BE AB

=

同理:

PN PB

AD AB

=

（3）证PH =BH 且△APM ∽△PBH 再证△MEP ∽△EGF 可得。

解：(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- 将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 34

a =

∴ 抛物线的解析式为23(1)34y x =--，即：2339

424y x x =--

（2）是定值，

1PM PN

BE AD

+= ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ PM AP

BE AB

=

① 同理:

PN PB AD AB = ② ① + ②:1PM PN AP PB

BE AD AB AB

+=+=

（3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB

∴ EA =EB ∵ ∠AEB =90°

∴ △AEB 为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB =∠EBA =45° ....................... 7分 如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，

由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形， ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45° ∴ PH =BH

且△APM ∽△PBH

∴ PA PM

PB BH

=

∴

PA PM PM

PB PH ME

==

① 在△MEP 和△EGF 中，

∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90° ∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP ∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF ∴

PM EF

ME EG

=

②

C

O

x

A D P M E

B N

y

由①、②知：PA EF

PB EG

=

3、 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2

tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ，

OC OB OA ⋅=2

？请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=2

3

，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2

来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

解：（1）∵ 平移2

tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2

)(. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t .

令0=y , 得-

=t OB t b

，+=t OC t

b , ∴ -

=⋅t OC OB (|||||t

b

)( +t t b )|-=2

|t 22|OA t t

b == , 即22t t t

b

±=-

, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.-- 2分

(2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2

)(,

解得1,121+=-=t x t x . 在∆Rt AOB 中,

1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B ,