(完整版)小学奥数同余问题
人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 （含答案）
余数和同余一、走进来：在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后从1至5报数，最后令士兵从1至7 报数，分别记下每次最后一个士兵所报之数。
这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
算经中载有此题之算法，后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这道题就是利用余数的性质来求解。
这一章我们来共同探讨这样的问题。
二、一起做：【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
提示：如何使2100能被这个两位数整除？【例2】用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。
提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。
【例3】60,90和125分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？提示：余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。
【例4】有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。
提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。
然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再分解质因数来求解。
【例5】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。
提示：写出除以3余2的数，从中找出除以5余3的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找出除以7余2的最小数。
【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。
提示：你可以利用这三个数分别除以7的余数，去研究71427×1379×5781除以7的余数。
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
解：101－45=56 59－45=14 （56,14）=1414的约数有1、2、7、14，所以这个数可能为2、7、14。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数同余定理单选题100道及答案
小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。
2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。
3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。
4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。
5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。
6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。
7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。
8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18 (3)即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
六年级奥数同余问题附答案.docx
六年级奥数同余问题附答案1、求 437×309×1993 被 7 除的余数。
思路分析：如果将 437×309×1993 算出以后，再除以 7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7 除的余数1。
但是能否找更的法呢 ?437≡3(mod7)309≡1(mod7)由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)又因 1993≡5(mod7)所以： 437×309×1993≡3×5(mod7)≡15(mod7)≡1(mod7)即： 437×309×1993 被 7 除余 1。
2、70 个数排成一行，除了两的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两两个数的和，个行最左的几个数是的：0，1，3，8，21，⋯⋯，个行数最右的一个数被 6 除的余数是几 ?思路分析：如果将 70 个数一一列出，得到第 70 个数后，再用它去除以 6 得余数，是能的，但算量太大。
即然 70 个数中：中的一个数的 3 倍是它两的数的和，那么它被 6除以后的余数是否有似的律呢 ?0，1，3，8，21，55，144，⋯⋯被 6 除的余数依次是0，1，3，2，3，1，0，⋯⋯果余数有似的律，察，能得到：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，⋯⋯能看出余数前12 个数一段，将重复出。
70÷2=5⋯⋯ 10，第六段的第十个数 4，便是原来数中第 70 个数被 6 除的余数。
思路分析：我被直接用除法算式，果如何。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
六年级奥数习题精选——同余
六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余，从字面上理解，就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识，这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.（你们知道2008年是什么日子吗？）解：同学们也许会问，同余、同余，怎么求一个数除以另一个数的余数呢，它们两个数相除余数只有一个，谈不上"相同"，你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉，那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608，再去掉560还余下48，再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成：2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以7都余6.答：2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同，所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论：如果若干的数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）必能被这个数整除.1.试一试：求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答：这个整数是11.你们想一想，只求出两个差行不行呢？2.试一试：有一个整数，用它去除300、262、205，得到的余数相同.这个数是多少？3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.解：根据余数相同，所求的数应能整除2001与2232的差，即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一试即可，得7和11、21、33、77都符合条件.答：n是7或11或21或33或77.3.试一试：有141、206、271分别除以m，余数相同并且都是奇数.m最大是几？4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到903 -715的差能被这个数整除，又因为所得的商相差4，也就是903 -715的差除以这个数应该得4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为47.答：这个数是47.此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差n(n>1)，则这个相同的数为（甲-乙）÷n.4.试一试：某个大于1的整数，除1975，2008所得的余数相同，且商相差11.求这个数.5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？解：根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同，那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得：4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为（1746，582，1358）=194，所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194，5164÷194=26……120（此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可，为什么？）余数不是两位数，与题意不符.如果除数是97，经检验，余数都是23，除数+余数=97+23=120.答：除数与余数的和是120.5.试一试：有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a 为两位数时，这三个数最小的和是多少？解：这道题看似很难，但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手，因为余数是最大的两位偶数，我们马上意识到余数是98，既然余数为98，a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197，另外的两个三位数分别为296和395.（仔细看这三个数，有什么规律吗？对！相邻的两个数相差99）于是得到此题结果为197+396+395=1188.答：三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况，同样可以采取这种方法去解题.6.试一试：已知四个四位数分别去除以y，所得的余数相同并且是三位奇数，当y最小时这四个数的和最大是多少？7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？解：此题我们不可能将求出来，然后去除以10，求出余数.但我们可以借助同余的办法来求，我们首先看下面一组说明：3 除以10的余数是3；32除以10的余数是9；33除以10的余数是7；34除以10的余数是1；35除以10的余数是3；36除以10的余数是9；37除以10的余数是7；38除以10的余数是1；……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3即375除以10的余数与33除以10所得余数相同，得7.答：每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试：粮库有771千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？解：因为16与40的最小公倍数是80，1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有：1，2，3，4……15，共15种，也就是在连续的80个数中有15个数符合条件，500个自然中有的个数为：500÷80=6……20，在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15，所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式：[16，40]=80500÷80=6 (20)（6+1）×15=105答：在1~500的自然数中，除以16，40余数相同的数共有105个.8.试一试：在小于1000的自然数中，除以15及33而余数（0除外）相同的数有多少个？9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？解：解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张，即以全影张数为被除数，36为除数，求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20（36-16=20）人去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320（根据乘法原理16×20=320）张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张，即最后一个胶卷还剩4张.列式：36-16=20（人）16×20=320（张）320÷36=8 (32)36 - 32 = 4（张）答：最后一个胶卷还剩4张.9.试一试：甲、乙两个旅游团乘车参观，每辆车可乘35人，两团成员坐满若干辆车后，甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观，甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？分析：从表面上看，这道题目问的是"剩余"人数，但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关键是求"每组有几人"（即求除数）这个除数在何处找呢？其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢？我们可以这样想：既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除（因为它们相减时，余数恰好相互"抵消"了）.懂得了以上这个道理之后，再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是：93-69=2485-69=1693-85=8不难看出，它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下：69÷8=8……5（分成8组，剩下5人）85÷8=10……5（分成10组，剩下5人）93÷8=11……5（分成11组，乘下5人）最后来推算丁校分组情况：97÷8=12 (1)答：丁校分组后剩下1人.10.试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数，余数相同，那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示：这个整数为38，余数为22.6. 39368.提示：y为102，余数为101.这四个数分别是9995，9893，9791，9689.7. 43千克.提示：7的1次方开始除以50的余数分别是7，49，43，1，7，49，43，……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。
(完整word)应用同余解题l六年级奥数
第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．例1 a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．解：∵a≡1（mod5），∴3a≡3（mod 5），或者3a≡8（mod 5）．（1）又∵ b≡4（mod 5），（2）∴（1）－（2）得：3a－b≡8－4≡4（mod 5）．因此，3a－b除以5余4．例2 若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．证明：∵a1985＝a4×496＋1≡a（mod 10），a1949＝a4×497＋1≡a（mod 10），∴a1985－a1949≡a－a≡0（mod 10）．即10│（a1985－a1949）．说明：这里用到一个事实：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．由能被8、9整除的特征，得由（2）得 y≡2（mod 8）因0≤y<9且y是整数∴y＝2．把y＝2代入（1）得x＋6＋7＋9＋2≡0（mod 9）∴x≡3（mod 9）．由x是一位整数得：x＝3．∴所求五位数是36792．分析①设 n÷9＝商…r，那么9│（n－r），根据 n－r＝商×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．②抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数．≡1919×20≡2×2≡4（mod 9），∴9│（n－4），即n－4＝9×商，又∵n－4的个位数字是5，∴n被9除所得的商的个位数字是5．例5 设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与 2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成问：a除以13所得余数是几？解：用试除方法可知：13│191919．∵1919×2＝3838，而3│3837，即1919个“1919”有3838个“19”，三组三组取走“19”后还剩下一组．∴a≡19（mod 13）．∴a≡6（mod 13）．即a除以13余数是6．例7 求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．解：设x为所求数，由题意（3）即x＝7k＋5（k是整数）．代入（2）得7k＋5≡3（mod 5），∴2k≡3（mod 5），2k≡8（mod 5）．∴ k≡4（mod 5），即 k＝5m＋4（m是整数）．∴x＝7k＋5＝7（5m＋4）＋5＝35m＋33，上式代入（1）得：35m＋33≡2（mod 3），2m≡2（mod 3），∴m≡1（mod 3），即m＝3t＋1（t是整数）．∴x＝35m＋33＝35（3t＋1）＋33＝105t＋68，当t＝1时，x＝173．∴所求的最小三位数为 173．例8 给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．分析证这道题要考虑到以下三点．①两位数的数码相同时，它一定能被11整除．②遇到数是任意的，需排个序，这样讨论表述起来比较方便．③用12个数中最大的数依次地分别减去其余11个数可得到11个差．若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这时这11个（差）数各自除以11，所得余数只可能在｛1，2，3，…，10｝中，必有两个差数的余数相同，考虑用余数造抽屉解题．证明：设12个两位数从小到大排列为：10≤a1＜a2＜…＜a11＜a12≤99，用a12分别减去其余的数，得差：b1＝a12－a1，b2＝a12－a2，…，b11＝a12－a11．①若上面11个差中有某个差b i能被11整除，即11│（a12－a i），那么已证出数a12与a i的差b i是两个相同数码组成的两位数．②若这11个差均不能被11整除，则按不能被11整除的余数造10个抽屉，余数相同者归入同一抽屉，根据抽屉原理，11个差数中，一定存在两数b m、b n对于模11同余，即：b m－b n≡0（mod 11），即（a12－a m）－（a12－a n）≡0（mod 11），即a n－a m≡0（mod 11），即11│（a n－a m），即差a n－a m是一个由相同数码组成的两位数．综合（1）、（2）问题得证．说明：这道题的证明用到了将数按被11除的余数分类的思想．一般地，任何一个整数a被自然数n除，余数只可能是0，1，2，…，n－1这n种情况，这样我们可以利用余数将整数分为几类，如：整数按除以2余1还是0，分为奇数和偶数．又如，整数除以3，余数只能是0，1，2这三种情况，我们可以把所有整数按除以3后的余数分三类，即 3k，3k＋1，3k＋2，（k是整数）．这种利用余数分类思想，是重要的数学思想方法，它可以使研究问题时搜索的范围大大缩小．例9 试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1＝36n2±12n＝12n（3n±1），这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．例10 任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数．分析首先考虑什么样的两个整数的和或差可以被10整除．设两个整数a、b，若a≡b（mod 10），则10│（a－b）；若a≡r（mod 10），而 b≡10－r（mod 10），则 10│（a＋b），只有这两种情况．但是如果按整数除以10的余数造抽屉，就有十个抽屉，对于已知条件中给定的七个数无法应用抽屉原理，所以要考虑如何造六个抽屉．根据首先考虑的两个整数被10除的两种情况，可以把余数之和等于10的并成一类，这样分为：10k、 10k±1、 10k±2、 10k±3、10k±4、 10k±5六类，恰好构造六个抽屉，再应用抽屉原理可解此题．证明：根据整数n≡r（mod 10）构造六个抽屉如下：r＝0的数；r＝5的数；r＝1或9的数；r＝2或8的数；r＝3或7的数；r＝4或6的数．这样任给定的七个整数按照除以10的余数r，放入六个抽屉中，必有一个抽屉中至少有两个数．这两数的和或差必是10的倍数．。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理) 及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数(b工0)，若有a +b=q r，也就是a = b xq + r,0 w r v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1) 当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2) 当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
、三大余数定理：1•余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39 除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数, 即 2.2. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. ÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数—数论之同余问题
、带余除法的定义及性质:般地，如果a是整数，b是整数(b工0)，若有a *b=q r，也就是a = b xq + r,0 wrv b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:(1)当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
、三大余数定理：1•余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39 除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数, 即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23 , 16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 x仁3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23 , 19除以5的余数分别是3和4，所以23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a Mb ( mod m ) ，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a Mb ( mod m )，那么一定有a—b = mk,k是整数，即m|(a —b)三、弃九法原理：在公元前9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234 除以9 的余数为11898 除以9 的余数为818922 除以9 的余数为4678967 除以9 的余数为7178902 除以9 的余数为0这些余数的和除以9 的余数为2而等式右边和除以9 的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
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同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）1. 求下列算式中的余数。
（1）（2）（3）（4）2. 6254与37的积除以7，余数是几？3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例1. 除以7，余数是几？分析与解答：例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：105，210，315，……分别被3，5，7除余2的数是2，107，212，317，……最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……那么同时被3，5，7余8的数有：8，113，218，323，……其中最小的自然数为8。
例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：所以余数是5刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？分析与解答：看了下面的算式，你就会明白的。
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。
例4. 除以3的余数是几？为什么？分析与解答：在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算被3除余数是几。
由于因此由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于被3除的余数。
由于，所以所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日，再过天又是星期几？2. 求除以3所得的余数。
3. 某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少千克？6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。
7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。
8、求2001×2000除以7的余数。
9、求123×345+234×456除以11的余数。
10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。
8、两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？15、3867×4253＝1644□351，求□里的数。
4937×6845＝3379□765，求□里的数。
16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。
18、2002×2002-2001除以9的余数是多少？19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。
这个数除以12，余数是多少。
22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？B组24、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个伤痕的和是20，这个数是多少？25、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。
这堆苹果共有多少个？27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几？28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。
29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7，这个数最小是几？30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3元，第二组7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。
）31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排一行，同样多出一个人。
这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。
）32、一个数被4除余3，被5除余4，被6除余5，这样的数中最小的是几？（提示：余数与除数有什么关系？）33、一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个；如果按6个一堆放，最后多出4个；如果按7个一堆放，还多出1个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被7除余1，再从中找出被6除余4……）竞赛题精选1、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。
（2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷）2、一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是（）。
（1996年我爱数学少年冬令营试题）3、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是（）。
（1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷）4、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是（）。
（1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷）5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商是15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B 组）同余问题——提高训练1、求437×309×1993被7除的余数。
2、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．3、分别求满足下列条件的最小自然数（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四，过14389天后是星期几？7千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？6.试一试：粮库有717、数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.9、若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以 a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？14、试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数X679Y。