中考数学几何一题多解--获奖作品

中考几何母题的一题多解(多变)

一、三角形一题多解

如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE

交BC于D。求证：FD=DE。

证法一

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又

因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，

∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故FD=DE；

证法二

证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，

则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，

又∠4=∠3 ∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故FD=DE。

二、平行四边形一题多解

如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB

上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.

证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD 为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN

∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱

形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，

故DF⊥CE。

证法四、如图7，

作DG

∥CE 交AE 延长线于G ，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,

从而DF ⊥DG,而DGCE,故DF ⊥CE

四\一题多解、多变《四边形面积》

1. 如图所示，一个长为a ，宽为b 的矩形，两

个阴影都是长为c 的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

解法一

将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。 (a-c)(b-c)

解法二

重叠面积为c 的平方，大矩形面积为ab ，小矩形为ac ，平行四边形为bc ，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c ）（b-c ）

2如图所示一个长为500dm 宽为300dm 的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积1340平方米，求过道宽。

方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。 解：1500-80x=1340

X=2

过道宽两米。 方法二： 解：（300-x ）（500-x ）=1340

X=2

过道宽两米

图2

图2

五\正方形一题多变

1已知正方形ABCD ， ∠EOF=90`，O 是对角线

交点，点E F 在BC ，CD 上 ，求证 EO=FO

证明四边形ABCD 是正方形 BO=CF ∠BOC=-90

∠OBE=∠COF 又∠EOF=90`

∠BOE=∠COF △BOE ≌△COF EO=FO

变式一 已知正方形ABCD ， ∠EOF=90` ，O 是对角线

交点，点E F 在BC ，CD 边延长线上 ，求证

EO=FO

证明四边形ABCD 是正方形 BO=CF ∠BOC=-90 ∠OBE=∠COF 又∠EOF=90`

∠BOE=∠COF △BOE ≌△COF EO=FO 变式二 已知正方形ABCD ，O 是AC 任意一点 ∠BOF=90`点E

在BC 边上 ，求证 BO=EO

过O 作ON ， OM ⊥AB ，DC 四边形ABCD 是正方形 ∠OCM=45

又 ON ， OM ⊥AB ，DC MO=CM=NB

∠ONB=∠OMC MOE=∠NBO △MOE ≌△NBO BO=EO

k

m

F E D

C

A F D

C

A C

B

∠

如图：已知梯形ABCD ，AD ∥BC,，以AB 、BD 为边，作平行四边形ABDE ，AD 的延长线交CE 于F 。求证：EF=FC.

参考答案

证法一 ∵AD ∥BC

∴将AB 平移到DC 由平行四边形ABDE ∴AB ∥=DE ∵DG ∥=AB ∴DG=ED

∵AD ∥BC, 即DF ∥BC ∴EF=FC

证法二

连接BE 交AD 于O ∵平行四边形ABDE ∴OB=OE

∵AD ∥BC, 即OF ∥BC 中位线 ∴EF=CF