标量场函数的梯度

er
+
ﾶf rﾶa
ea
+
ﾶf ﾶz
ez
=
(a
sin a
+
2br
cos 2a )
er
+
a cosa - 2br 2 sin 2f
ea
方向导数：
( ) ﾶf
ﾶx
=
ѷf
ex = ѷf
cosaer - sin aea
( ) = ( a sina + 2br cos 2a ) cosa - a cosa - 2br 2 sin 2f sina
（3）在球ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标系 梯度：
�f
=
ﾶf ﾶr
er
+
ﾶf rﾶq
eq
+
r
ﾶf sinqﾶf
ef
=
-
a r2
er
+
b cosq cosf r
eq
-
b sin f r2
ef
方向导数， 整理后得，
( ) ﾶf
ﾶx
=
ѷf
ex = ѷf
cosf sinq er + cosf cosq eq - sin fef
ﾶf ﾶx
=
-
a r2
cosf
sin q
+
b
(
cosq cosf )
r
2
+
b
sin2 f r2
例题-01-3-1 求下列标量函数的梯度及沿 ex 方向的方向导数。其中系数 α 和 β 都是常数。 （1） f = a xy + b x2 yz3 （直角坐标系） （2） f = ar sina + br 2 cos 2a （柱面坐标系）
（3）
f
=
a r
+ b sinq cosf
（球面坐标系）
解：
（1）在直角坐标系
梯度：
( ) ( ) ( ) �f
=
ﾶf ﾶx
ex
+
ﾶf ﾶy
ey
+
ﾶf ﾶz
ez
=
a y + 2b xyz3
ex +
a x + b x2z3
ey +
3b x2 yz2
ez
方向导数：
（2）在柱面坐标系 梯度：
ﾶf ﾶx
=
ѷf
ex = a y + 2b xyz3
( ) �f
=
ﾶf ﾶr