第五讲随机向量函数的分布
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第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
理学概率统计随机向量
P
(X
xi ,Y
y
j
)
P
X
xi ,
P(X xi
j
,Y
(Y
y yj)
j
)
j
j
pij (i 1, 2,...)
j
此为概率分布表中第i行的概率之和
Y的分布律为:
P（Y
yj)
P(,Y
yj)
P
(X
xi ),Y
yj
P
(X
xi ,Y
yj )
i
P（X xi ,Y y j )
i
i
例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ke(2x3y) , x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；
（3）求P{X<Y}.
解 (1) 1 =
f (x, y)dxdy
ke (2x 3y)dxdy
0
0
= k e2xdx e3ydy
X1
Y
1 0.1 20 3 0.1 40
2
3
0.3
0
0
0.2
0.1
0
0.2
0
求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}. 解: P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
+P{X=3,Y=3}+P{X=3,Y=4} =0.3；
P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
解 （1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率
密度为
f（x，y）=
概率论随机变量的分布函数ppt课件
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
3.3随机向量函数的分布
e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b
FZ (b) P Z b P X Y b
例 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从参数为 p 求 的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.
常用连续型随机向量分布PPT课件
(2) P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
1 [(2) (2)] 1 [(2) (1 (2))]
2 2(2) 2 20.97725 0.0455
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（三）正态分布转换为标准正态分布
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也 称u变换，
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
u X
(u)
1
u2
e2
2
N(, 2)
N (0,1)
-∞＜X＜+∞
-∞＜u＜+∞
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对 X N (，,有2 )
定理3 6 F ( x) ( x ) P( X x)
P{X x} 1 ( x )
P{a X b} (b ) (a )
医学资料中有许多指标如身高、体重、红细胞 数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。
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第4页/共36页
第5页/共36页
中间频数多，左右两 侧基本对称的分布。
第6页/共36页
第7页/共36页
（一）正态分布的概念
设连续随机变量 X 概率密度为
0 其中 和 都是常数， 任意，
当 x 0 时，( x)可查标准正态分布表求值； 当 x 0 时， ( x) 1 ( x)
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例3-18
设 X ~ N (0,1) ,求
(1)P{0.5 x 1.5};(2)P{| x | 2}.
解：(1) P{0.5 x 1.5} (1.5) (0.5)
0.9332 0.6915 0.2417
第1节 随机向量及其分布
(2)采用无放回取球：
Y 0 X 3 3 0 5 5
1
3 5 2 5 2 5 2 5 2 5
piX
3 5 2 5
Y 0 X 3 2 0 5 4
1
2 5 3 4 3 5
1
3 5 2 5 2 4
piX
3 5 2 5
1
2 5
3 5 3 5
1 4
2 5
pY j
1
pY j
1
三、连续型随机向量及其概率密度
1.定义
2维随机向量( X , Y )称为连续型的, 如果存在非负可 积函数f ( x , y ), 使得( X , Y )的分布函数 F ( x , y ) 表为 F ( x, y)
x
y
f ( u, v )dudv x , y
其中f ( x , y )称为随机向量( X , Y )的概率密度函数 ,简称 概率密度 ,或称为 X 与 Y 的联合概率密度 .
3. 性质
(1) pij 0, i , j 1, 2,
; (2)
p
i j
ij
1.
(3) ( X , Y )在任一指定区域D 内取值的概率
P{( X , Y ) D}
( xi , yi )D
pij
4. 分布表
( X , Y )的概率分布可表为如下形式：
X
Y
y1 p11 p21 pi 1
三、连续型随机向量 概率密度
三、连续型随机向量的概率密度
1.定义
2维随机向量( X , Y )称为连续型的, 如果存在非负可 积函数f ( x , y ), 使得( X , Y )的分布函数 F ( x , y ) 表为 F ( x, y)
随机向量的联合分布函数
若X1,X2独立, X1 ～ N(μ1,σ12), X2 ～ N(μ2,σ22), 则 X1+X2 ～ N(μ1+μ2,σ12+σ22)
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量是一维随机变量的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
随机变量(向量)及其概率分布
Pa X b F (b) F (a) 例2.7 已知随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2，取各值的 概率分别为0.4,0.3,0.3，试求随机变量的分布函数并作其
图像。 解：由题设随机变量的概率分布为 0 1 2 X pi 0.4 0.3 0.3 由分布函数的定义有 当 x 0 时， F ( x) P() 0； 当 0 x 1 时， F ( x) PX 0 0.4； 当1 x 2 时， F ( x) PX 0 PX 1 0.7； 当 x 2 时，F ( x) P() 1。 分布函数图像如图2.1所示
X pi
pk PX xk F ( xk ) F ( xk 0)
1 1/ 3
1 1/ 2
2 1/ 6
试求 P0 X 1.5 。 解：由随机变量 X 的分布列有
1 P0 X 1.5 PX 1 2
例2.9 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽 取2件，用 X 表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量X 的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。 解： X 的可能取值为 0,1,2。 于是，由古典概率有
国徽面在上面；有字面在上面 如果 X 1 表示国徽面在上面，X 0表示有字面在上面。 则试验结果的变量表示为： “国徽面在上面” X 1 ；“有字面在上面” X 0 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关 系。 1. Def 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果对于每一个样本 点 ，均有唯一的实数X ( ) 与之对应，称X ( )为样本空 间 上的随机变量。 随机变量的三个特征: 1）它是一个变量； 2）它的取值随试验结果而改变； 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。 设 X 为一个随机变量，对于任意实数 x ，则集合X x是 随机事件，随着 x 变化，事件X x也会变化。 这说明该事 件是实变量 x的“函数”。
随机向量的函数的分布
PART 03
函数的分布
REPORTING
WENKU DESIGN
一元函数的分布
离散型随机变量
对于离散型随机变量，其函数分布可 以通过概率质量函数来描述，表示随 机变量取各个值的概率。
连续型随机变量
对于连续型随机变量，其函数分布可 以通过概率密度函数来描述，表示随 机变量在某个区间内取值的概率密度。
自然语言处理
随机向量的函数在自然语言处理中用于文本表示、情感分析、机器 翻译等任务。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
随机向量与函数的
复合
随机向量和函数可以相互复合， 形成更复杂的数学对象，如随机 过程和随机场等。
PART 05
随机向量的函数的分布求 解方法
REPORTING
WENKU DESIGN
直接法
通过定义或性质直接求解
利用随机向量的函数的定义或性质，直接推导出其分布函数或概率密度函数。
适用范围
适用于一些简单的随机向量函数，如线性函数、二次函数等。
母函数法
母函数的定义与性质
母函数是一种用于描述离散随机变量概率分 布的数学工具，具有独特的性质和运算规则 。
利用母函数求解随机向量的 函数的分布
通过构造随机向量的函数的母函数，并利用母函数 的性质进行求解，可以得到其分布函数或概率密度 函数。
适用范围
适用于离散型随机向量及其函数，且函数的 表达式较为复杂的情况。
协方差和相关系数
函数的变换
对于随机变量的函数，可以通过一些变换得 到新的随机变量，其分布也会发生相应的变 化。常见的变换包括线性变换、非线性变换 等。
对于多元函数的分布，还需要考虑不 同随机变量之间的相关性，通过协方 差和相关系数来衡量。
概率论第3章 随机向量及其分布
例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回 两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y
P X xi , (Y y j )
j 1
P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi
i 1
定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，
第6节随机向量函数的分布
例:设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X0 1
11
p
22
试求 Z maxX ,Y的分布律.
解:Z 可能取的值为 0,1,而 P Z 0 P max X ,Y 0 P X 0,Y 0
P X 0 P Y 0 1 1 1
步骤
2.
fZ
z
FZ'
0，
z ， FZ存在
FZ不存在
y
例(和的分布):设 X ,Y 的联合概率密度为
f x, y ,求 Z X Y 的概率密度 fZ z .
z
解: FZ z P X Y z f x, ydxdy D
第 6 节.随机向量函数的分布
本节讨论已知 X ,Y 的联合分布, g x, y 为实值函数,求 Z g X ,Y
的分布,基本方法:分布函数法,即根据事件相等概率相等原则,将函数的 概率转化为随机自变量的相应概率.
一. 离散型随机向量函数的分布:
例:设 X ,Y 的联合分布律为
X+Y -2
0
1
1
3
4
X-Y 0
-2
-3
3
1
0
从而得到
(1) X+Y -2 0 1 3 4
P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
X-Y -3 -2 0 1 3
(2)
P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
例:设 X,Y 离散相互独立, X ~ P 1 ,Y ~ P 2 ,求 Z X Y 的分布律.
i 1
概率论3_1随机向量的分布
D
边缘密度函数
由性质(3) 边缘分布函数FX(x)可表示为
FX(x)P{Xx}P{Xx Y}
x
f (s, t)dsdt
x
[ f (s, t)dt]ds
由(313)知 X是连续型随机变量 且其密度函数为
(313)
fX (x) f (x, y)dy
同理 Y是连续型随机变量 其密度函数为
(316)
例34(1) 设随机向量(X1 Y1)的密度函数f(x y)为
f (x, y)k10x,y,
0 x1, 0 y 1, 其他.
求参数k1的值及(X1 Y1)的边缘密度函数
解 由密度函数的性质 有
11
f (x, y)dxdy 0 0k1xydxdy 1
由此易得k14 (X1 Y1)的边缘密度函数为
第三章随机向量随机向量的分布一随机向量及其分布函数二离散型随机向量的概率分布三连续型随机向量的概率密度函数四二元正态分布一随机向量及其分布函数定义31随机向量p上的一个n维随机向量定义32联合分布函数的联合分布函数说明的交事件二维随机向量xy的分布函数fxsy的概率说明的概率可用分布函数表示为边缘分布函数如果xy的分布函数fxy已知则由fxy可导出x和y各自的分布函数fy为联合分布函数fxy的边缘分布函数二离散型随机向量的概率分布定义33二维离散型随机向量如果二维随机向量xy只取有限个或可数个值y为二维离散型随机向量定义34联合概率分布设随机向量xy的所有可能取值为x则称36为随机向量xy的概率分布或x和y的联合概率分联合概率分布表随机向量xy概率分布可用表格形式表示如下表并称之为联合概率分布表的联合概率的分布可以求出x通常称3738为联合概率分布pxx2号邮筒中信的数求x和y的联合概率分布及边缘概率分y取各种可能值的概率例如311三连续型随机向量的概率密度函数定义35二维连续型随机向量y为二维随机向量分布函数为fxy为二维连续型随机向量并称fxy的概率密度函数简称密度函数或x与y的联合密度函数联合密度函数的性质边缘密度函数由性质3边缘分布函数f由313知x是连续型随机变量且其密度函数为同理y是连续型随机变量其密度函数为通常称314315中的f例33均匀分布设g是平面上的一个有界区域其面积记作sg二维连续的随机向量xy的密度函数按题意可设xy的密度函数为由密度函数的性质可得316说明如果一个二维随机向量xy服从区域g上的均匀分布的边缘密度函数由密度函数的性质的边缘密度函数由密度函数的性质四二元正态分布二元正态分布二元正态分布以为中心在中心附近具有较高的密度离中心越远密度越小设随机向量xy的密度函数为318其中的二元正态分布记作对称地可知比较联合密度函数xy和边缘密度函数对称地可知二元正态分布的边缘分布是一元正态分布它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数不同的二元正态分布比如不同的可以有相同的边缘分布因而由边缘分布不能惟一确定联合分布为了确定一个二元正态分布的密度函数除了知道边缘分布以外还须知道参数的值特别地如果0
随机变量的相互独立性【概率论及数理统计PPT】
例2. (X,Y)的联合概率分布为:
Y0 1 X
0 0.3 0.4
(1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立.
1 0.2 0.1
解: (1)X,Y的概率分布分别为:
X0 1
Y
0
1
P 0.7 0.3
P
0.5 0.5
(2) P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.7×0.5 =0.35
所以,X,Y独n个随机变量独立性的概念与性质 定义:称n个随机变量X1,X2,…，X n相互独立,若对任意
ai<bi( i=1,2,…，n), 有 P{a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,a n<X n<b n}= P{a1<X1<b1}…P{a n<X n<b n}
(2)
0
即:
z<0 (x<0或y=z-x<0)
0≤z≤1
y=z-x>0 x=z-y≤z
z>1 y=z-x>0 x=z-y≤z
1．设成年人群的体重与身高组成二维随机向量（X，Y）， 历史资料表明（X，Y）服从二维正态分布，参数分别为μ=55， σ=10，μ=170，σ=8，ρ=0.90，求X和Y的边缘分布。
(2)P(X<Y)=
所以, X, Y独立.
随机向量的联合分布函数
一、二维随机向量的联合分布函数
1、n元实函数 F(x1,x2,…,xn)= P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn},
(x1,x2,…,xn)∈Rn, 称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的 联合分布函数。
注意: X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn 均表示事件,
10-第10讲 随机向量函数的分布
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第10讲 随机向量函数的分布
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第三章 随机向量及其分布
理解多维随机变量的定义。 理解多维随机变量的分布函数及其性质。 了解多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握多维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、随机变
FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y } FX( y ) FX( y ).
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
1 2 y [fX( y ) fX( y )], fY(y) 0,
例如设X~N(0,1), 其概率密度为
时上述积分的被积函数不等于零.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
z 因此 f(z)f(z x)dx, 0 z 10, 0 10 fR(z) f(z)f(z x)dx, 10 z 20, z10 0, 其它. 将f(z)的表达式代入上式得
10 x 50 , 0 x 10, f(x) 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR(z) f(x)f(z x)dx.
易知仅当
0 x 10, 0 x 10, 即 0 z x 10, z 10 x z
i
~N(0,1) (i 1,2, ,n), 则称随机变量
χ X X X
2 2 1 2 2
2 n
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第10讲 随机向量函数的分布
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第三章 随机向量及其分布
理解多维随机变量的定义。 理解多维随机变量的分布函数及其性质。 了解多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握多维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、随机变
FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y } FX( y ) FX( y ).
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
1 2 y [fX( y ) fX( y )], fY(y) 0,
例如设X~N(0,1), 其概率密度为
时上述积分的被积函数不等于零.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
z 因此 f(z)f(z x)dx, 0 z 10, 0 10 fR(z) f(z)f(z x)dx, 10 z 20, z10 0, 其它. 将f(z)的表达式代入上式得
10 x 50 , 0 x 10, f(x) 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR(z) f(x)f(z x)dx.
易知仅当
0 x 10, 0 x 10, 即 0 z x 10, z 10 x z
i
~N(0,1) (i 1,2, ,n), 则称随机变量
χ X X X
2 2 1 2 2
2 n
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).
随机向量
但由边缘分布一般不能唯一确定联合分
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
3-3随机向量函数的分布与期望
xz y
y
0, 其他
当z
0时，FZ (z)
P{ X Y
z}
o
xx z
y
x z y
f ( x, y)dxdy 0 xz y
当z 0时，
F (z)
P{ X Y
z}
f ( x, y)dxdy xz y
1 S(DG) 2
1
z 4
, 1
,
z
0 z 2 z2
y
xz y
o
x z y
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
aX
bY
~
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
),
其中a, b不全为0.
练习：X ~ N(2,1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立，
设Z X 2Y 7,则Z ~
(2)例题讲述
例1
P114 26
X1
~
e(1 ),
X2
~
e(2
)，且X1与X
相互独立，
2
求X1
X
的密度函数。
2
解：令Z X1 X2 ,设Z ~ fZ (z)
随机向量函数的分布与数学期望
0
G1 yz
G2
f ( x , y ) d x d y yz f ( x , y) d x d y, O
0
x
G2
令u x y ,
f ( x , y ) d x d y 0 f ( x, y ) d x d y
G1
yz
0
z
yf ( yu, y ) d u d y
i , j: g ( xi , y j ) z k
P{ X xi , Y y j }.
表上作业法
Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解
P (Z r) P (X Y r)
z y
y y 0
化成累次积分,得
x
x y z
FZ ( z )
得
[
f ( x , y ) dx ]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
FZ ( z )
[
z
z
f ( u y , y ) du ]dy
变量代换
交换积分次序
P ( X i,Y r i ) P ( X i ) P (Y r i )
i0 i0 r
r
由独立性
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
水瓶座是一个富有开拓 精神的人。水瓶座的人 思维能力高于本能，是 个先锋派人 b(n, p)，且独立， 则 Z = X+ Y b(m+n, p).
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P ( X Y t ) P ( X Y t | X x ) f ( x )dx
i!
e-2
r
r2-i
(r - i)!
e
( 1 2 )
r!
r! i r -i 12 i 0 i! (r - i)!
e
( 1 2 )
r!
(1 2 ) ,
r
r =0,1，…
即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.
例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布.
fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z
fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
一、连续型分布的情形
例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的 密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
FZ ( z )
一、离散型分布的情形
例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数.
解:
P( Z r) P( X Y r)
P ( X i,Y r i )
i 0 r i 0 r
由独立性
此即离散 卷积公式
随机向量函数的分布
阎岩 yy2703@
在第二章中，我们讨论了一 维随机变量函数的分布，现在我 们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布?
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形.
我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变量 所作的直观解释:
若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试 验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的 概率都为p.
同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参 数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p).
' Z
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ ( z ) F ( z ) f ( x, z x )dx
' Z
以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1), 则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).
2 若X和Y 独立, X ~ N ( 1, 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
此结论可以推广到n个独立随机变量之 和的情形,请自行写出结论.
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然 服从正态分布.
这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布. 但有时我们无法精确求出此分布. 例如，想求两个独立连续型r.v 之和X+Y的 分布函数. X的分布函数为F，Y的分布函数为G， 在理论上，可以求得：
G ( t x ) f ( x )dx 其中f (x)是 X 的密度函数. 当这个积分无法精确求出时，一个可取的 方法是采用计算机模拟.
z
交换积分次序
[ f ( u y, y)dy]du
FZ ( z ) [ f ( u y, y)dy]du
z
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:
fZ ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 x 1 也即 z 1 x z 0 z x 1 如图示: 于是 z dx z, 0 z 1 0 1 f Z ( z ) dx 2 z, 1 z 2 z 1 0, 其它
f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度
1, 0 x 1 f ( x) 求Z=X+Y的概率密度 . 0, 其它 解: 由卷积公式
P ( X i ) P (Y r i )
=a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布. 解：依题意
i! 2 j e 2 P (Y j ) j! 由卷积公式
x y z
f ( x, y)dxdy
z y
化成累次积分,得
FZ ( z ) [
f ( x, y)dx ]dy
变量代换 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 , 令x=u-y,得
FZ ( z ) [ f ( u y, y)du]dy
z
r i 0
P ( X i)
e
1i 1i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
由卷积公式 r P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
e-1
i 0
i 0 r
i 1