第五章二次型
第五章第五节二次型及其标准形
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
第五章二次型
正交变换下的标准形
第五章 二次型
例1. 用正交变换把将二次型
§5.2 化二次型为标准形
f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.
1 0 1 解: f 的矩阵A = 0 1 0 ,
1 0 1
|E–A| = (–1)(–2).
所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(E–A)x = 0求得对应的特征向量
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形:
f
=
3y12
1 2
(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32
f = 2z12 – 2z22 +6z32
f
2
y12
1 2
y22 6 y32 .
可见秩(f) = 3, f的正惯性指数p = 2, f的负惯性
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次型的系统研究是从 18 世纪开始的
起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论
1801年, 德国数学家高斯:
引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语
法国数学家柯西:
当方程是标准型时, 二次曲面用二次项的符号来进行分类 不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项
(3) A正定, P可逆 PTAP正定.
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
3. 判定 定理5.4. 设A为n阶实对称矩阵, 则TFAE:
(1) A是正定矩阵;
第五章 二次型
§5.1-2 二次型在可逆线性变换下的标准形 5.1一. 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) = x T Ax =
i , j =1
∑a
n
ij
xi x j
可逆线性变换 标准形⇔PTAP=Λ(P可逆) 实二次型 二. 用正交变换化实二次型为标准形 正交变换 实二次型 正交) 标准形 ⇔QTAQ=Λ(Q正交) ⇔ 实对称阵的正交相似对角化问题 三. 用配方法化实二次型为标准形
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
2. 对于一个二次型, 我们讨论的主要问题是: 对于一个二次型 我们讨论的主要问题 二次型, 主要问题是 寻求一个可逆的线性变换 Py使之化为只 可逆的线性变换x 寻求一个可逆的线性变换x=Py使之化为只 含平方项的形式: +…+k 含平方项的形式: f =k1y12+k2y22+…+knyn2. 称只含平方项的形式为二次型的标准形 称只含平方项的形式为二次型的标准形. 标准形. 对于上述可逆的线性变换 x = Py, 可得 Py, f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) (Py) Py) AP) = y TΛ y . 于是问题转化为求可逆矩阵 于是问题转化为求可逆矩阵P, 使PTAP为对角阵Λ. 问题转化为求可二次型及其矩阵表示
1. n元实二次型： 元实二次型： f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +…+a +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn +2a +2a +…+2a 1,n 取aij = aji, 则 f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
第五章 二次型
= ∑∑ aij xi x j
i =1 j = 1
n
n
③
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
a11 a21 令 A= L a n1
a12 a22 L an 2
... ... L ...
a1n a2 n ( A ∈ p n×n ) L ann
则矩阵A称为二次型 f ( x1 , x2 ,L , xn ) 的矩阵. 定义4 因为aij=aji，i,j ＝1,2,…,n，所以 A′ = A ， 这样的矩阵称为对称矩阵。
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
写成 2aij . 2) 式① 也可写成
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑ aii xi2 + 2
i =1
n
1≤ i < j ≤ n
∑
aij xi x j
第五章 二次型
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2 定义 x1 , x2 ,L , xn ; y1 , y2 ,L , yn 是两组文字,系数在P 中的一组关系式
第五章 二次型
高等代数
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例3
证明：矩阵A与B合同，其中 λi1 λ1 λ i2 λ2 A= , , B = O O λn λ in
第五章 二次型
第二次型一．内容概述 1． 二次型的标准形 (1)二次型的矩阵表示AX X x x a x x ax a x x x f j i n i nj ij j nj i i iji ni ii n '2)...(1112121==+=∑∑∑∑==≤<≤=其中)...('21n x x x X =.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (2)12222111211,'A A = A 称与二次型的矩阵. 二次型矩阵的秩称为二次型的秩。
二次型矩阵表示为AX X x f ')(=（2 ）二次型与矩阵的合同矩阵合同的定义：数域P 上n n ⨯矩阵 A.B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵 C 使AC C B '=合同关系具有反身性，对称性，传递性。
可逆线性变换CY X =,0≠C,BY Y Y AC C Y AX X x x x f n ')'('')...(21===正交线性变换CY X =,E C C ='使得二次型都可以经过一个满秩线性替换变成平方和的形式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++n n n n n y y y d d d y y y y d y d y d2121212222211)( 称为二次型的标准性。
标准性不唯一。
对称矩阵有以下性质： （1） n 阶对称矩阵合同于对角矩阵。
（2） n 阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-n AT T AT T λλλ211' 2．实二次型与复二次型的规范型（1） 复二次型经过适当的满秩线性变换（复）可变为22221r y y y +++ 这里是二次型的秩。
称为此复次型的规范型。
规范型是唯一的。
（2） 实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为22122221r p p y y y y y ---++++ (*)其中r 是二次型的秩。
第五章 二次型
我们把定义了内积运算的向量空间 R 称为欧式空间．
n
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数．
内积的运算有如下性质
（其中 α, β, γ 为 n 维向量， 为数)：
(1) α, β β, α ；
(2) α, β α, β ；
(3) α β, γ α, γ β, γ ； (4) α, α 0 ；当且仅当 α 0 时, α, α 0 ．
不含零向量的正交组， 则 α1 , α2 , αr 线性无关． 证明 对任意常数 k1 , k2 , , kr ，
若
, α r 是一组
k1α1 k2α2
kr αr 0 ，
则 αi , k1α1 k2α2 kr αr ki αi , αi 0． 所以 αi , αi 0 因为 αi 0 ， 从而 ki 0, (i 1, 2, , r ) ， 故 α1 , α2 , αr 线性无关．
都可以写成
f ( x1 , x2 , , xn ) a x a12 x1 x2
2 11 1
a1n x1 xn a2 n x2 xn a x
2 nn n
a21 x2 x1 a x
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2
所以我们有 定义1 我们称 n 个变量
T T
试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化．
则 解 取 β1＝α1 ，
β2 α 2 α 2 , β1 | β1 |2 1 1 1 T β1 1, 0,1 0,1,1 1, , 2 2 2
T T
，
β3 α 3
α3 , β1 | β1 |
二次型
A = C
T
利用反证法. 利用反证法
I p 0 0
0 − Iq 0
0 0C 0
其中C可逆 其中 可逆. 可逆
那么对于任意的X,令 都有: 若p=0,那么对于任意的 令Y=CX,都有 那么对于任意的 都有 q − I q 0 2 T T X AX = Y Y = ∑ ( − y i ) ≤ 0 0 i =1 0 这显然与题目条件X 相矛盾,于是有 这显然与题目条件 1TAX1>0相矛盾 于是有 相矛盾 于是有p≠0. 同理,若 将会导致与X 相矛盾,那么也有 同理 若q=0,将会导致与 2TAX2<0相矛盾 那么也有 将会导致与 相矛盾 q≠0. 于是我们可以取Y 于是我们可以取 0T=(1,0,…,0,1(p+1),…,0),并令 并令 X0=C-1Y0≠0. 显然有, 显然有 X0TAX0=0. □
第五章二次型--精品PPT课件
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
第五章 二次型
4) n级实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是A
的特征值都非负.
(5) 半负定二次型与半负定矩阵的判定：
1) n元实二次型f(x1, x2, ..., xn)=XTAX是半负定的充分
4) n级实对称矩阵A=(aij)n×n是正定的充分必要条
件是A的顺序主子式|aij|k×k(k=1, 2, ..., n)都大于零. 5) n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A的 特征值全大于零.
(3) 负定二次型与负定矩阵的判定：
1) n元实二次型f(x1, x2, ..., xn)=XTAX是负定的充分必
第一步 写出二次型f的矩阵A，并构造矩阵 A | E n2n ； 第二步 对A进行初等行变换和同样的初等列变换， 把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等行变换 化为矩阵CT，此时CTAC=D； 第三步 写出非退化线性替换X=CY化二次型为标准 形f=YTDY.
(3) 正交变换法.
1) (主轴定理)任意一个n元实二次型 f (x1, x2, ..., xn)=XTAX
(2) 两个n阶实对称矩阵合同的充要条件是其正的特
征值与负的特征值的个数相等；
(3) 尽管特征值相同仅是两个矩阵相似的必要条件， 但对于实对称矩阵A而言，总存在正交矩阵P使
PTAP=P-1AP为对角阵，所以有：实对称矩阵A、B相
似的充要条件是它们的特征值全相同.
4. 化二次型为标准形的方法
(1) 配方法； 情形1 如果二次型f (x1, x2, ..., xn)含某个文字例如x1 然后与x12配方，并作非退化线性替换
0)(共 r个1)，r=r(A). 即存在n阶复可逆矩阵C, 使得：
Er C AC O
T
O O
第5章(二次型)线性代数及其应用
= x1(a11x1 +a12x2) + x2(a12x1 +a22x2) a11x1 +a12x2 = (x1, x2) a12x1 +a22x2
2 2 f = y12 + 2 y2 + 5 y3 . 通过正交变换化为标准形 (1)求参数 ，并指出二次曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) = 10 所属的 求参数a 求参数
曲面类型; 曲面类型 (2)当 x T x = 1 时，求 f 的最大值, 其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T . 当 的最大值
二次型的矩阵表示
a11 = (x1, x2) a12 x1 a11 其 x = ,A= 中 x2 a12
a12 x1 = xT Ax, a22 x2
a12 为 阶 称 阵 , A 二 对 矩 . a22
一般地， 一般地，对n元二次型 元二次型
第5章 二次型
建立了实二次型和实对称矩阵之间的 对应关系； 对应关系；从矩阵变换和函数化简两个角 度给出了二次型标准化的三种方法，进一 度给出了二次型标准化的三种方法， 步得到了二次型的规范形； 步得到了二次型的规范形；并对正定二次 型和正定矩阵的判别进行了讨论． 型和正定矩阵的判别进行了讨论．
第5章 二次型
λ1 λ2 T 求正交矩阵Q， ②求正交矩阵 ，使得 Q AQ = Λ = O λn
为对角阵； 为对角阵； ③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy . 正交变换 化二次型为标准形
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知识提示
详细内容及教学过程 思路、设问、要点、提示、注解 §1 二次型的矩阵表示
设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式
（1）
称为数域上的一个元二次型（简称二次型）。
例如是一个三元二次型；是一个四元二次型
注意：（1）中（<）的系数写成，而不是简单地写成,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型。
称为由到的一个线性替换（简称线性替换）。
如果系数行列式，则称线性替换（2）是非退化的。
易知，若把（2）代入（1），那么就会得到关于的多项式仍然是二次齐次的。也就是说，线性替换把二次型变成二次型。
为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先令。由于，所以二次型（1）可以写成
定理5说明，正定二次型的规范型为
（5）
而二次型（5）的矩阵是单位矩阵，这说明正定二次型的实对称矩阵合同于单位矩阵
定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定。
所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。因此，
推论 正定矩阵的行列式大于零。
故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正惯性指数与负惯性指数分别相等。
小结：如果复数域上的两个二次型的秩相等，它们就能用非退化线性替换相互转化。但实二次型不是这样。两个秩相等的是实二次型的正惯性指数不一定相等，因而也不一定有相同的标准型，所以它们就不一定能用非退化的线性替换互相转化。两个实二次型能够用非退化的线性替换互相转化的充要条件是它们的秩相等，正惯性指数也相等；或者是它们的正惯性指数相等，负惯性指数也相等。
为了能直接从二次型的矩阵来判断这个二次型是不是正定的，而不是通过把二次型化成规范型来判断，我们需要引入子式的定义：
定义6 子式， 称为矩阵的阶顺序主子式。
定理6 实二次型
是正定的充要条件为矩阵的顺序主子式全大于零。
例 判别二次型
是否正定。
由定理6可以得出负定二次型的判别条件。
即新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。
注意：在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的（为什么？）。
练习：
1、 下列两式是不是二次型？
(1) （不是）
（2） （不是）
2、 写出下列二次型的矩阵：
（1）
（2）
（3）
定义2 数域上矩阵与称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使
。
合同是矩阵之间的一个等价关系。它满足
(1)反身性：；
(2)对称性：由即得；
(3)传递性：由和即得。
定理：二次型经非退化的线性替换
后得到一个新的二次型，其中。
§2 标 准 形
我们认为，二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型。本节的主要结果是
定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平凡和的形式，如：
（1）
证明 对变量的个数用数学归纳法
首先证明时结论成立。
再假定对元的二次型，结论成立证明对元二次型结论也成立。此时分三种情况来讨论gt;1）。
3） 。
具体证明过程略。
易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，
反之，矩阵为对角形就只含平方项。经非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为
定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。即：对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使
事实上，令，代入（2）的右端，就得对应的一组值，这就是说
， 因为可逆，就有
所以当是一组不全为零的实数时，也是一组不全为零的实数。显然>。
即经过非退化的线性替换正定性保持不变。
从而，设二次型经过非退化的线性替换变成标准型
（4）
则正定当且仅当（4）正定，而二次型（4）是正定的当且仅当>，，即正惯性指数为。
章
标 题 第五章 二次型 教学目标 计划课时 12学时 教学要求 1、 理解二次型、二次型的矩阵、线性替换和矩阵合同的概念，掌握二次型与对称矩阵的关系。
2、 掌握二次型为标准形的方法。
3、 理解二次型的秩、复（实）二次型的规范形、实二次型的正（负）惯性指数和符号差的概念，理解复（实）二次型的规范形的唯一性和实二次型的惯性定理。
为对角矩阵。
二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准型。
下面我们举例来说明如何化二次型为标准型：
例1 化二次型为标准型。
解： 作非退化线性替换,则
再令 或,则
最后令 或，则
是平方和，而这几次线性替换的结果相当于一个总的线性替换，
例2 化二次型为标准型。
练习： 1（1）；作业：1（2）（4）
§3 唯一性
我们看到，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。而合同的矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性替换后，二次型的秩是不变的。标准型的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因此，在一个二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关。二次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩。
（3）
把（3）的系数排成一个矩阵
称为二次型（1）的矩阵。
因为，，所以。这就是我们以前学过的对称矩阵。由此可见，二次型的矩阵都是对称矩阵。
这样我们就把二次型用矩阵表示出来了，并且二者之间是相互唯一决定的。 （注意：二次型（1）的矩阵的元素，时，正是交叉项系数的一半，而是平方项的系数。）
和几何中一样，在处理许多其他问题时也常常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型，例如：
是一个三元二次型，如果令则该三元二次型就变成了 其中只含平方项，不含交叉项。为此，我们引入线性替换的概念。
定义1 设，是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
（2）
易知就是的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就可以变成
（2）
（2）称为复二次型的规范型。显然，规范型完全被原二次型的秩所决定，因此有
定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型且规范型是唯一的。即任一复数的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数等于该二次型的秩，其余元素均为零。
练习： 1、（分复数域与实数域两种情况来把二次型的规范型写出来）
§4 正定二次型
定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有；如果都有，称为负定的；如果都有，称为半正定的；如果都有，称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，则称为不定的。
显然，二次型是正定的，因为只有在时，才成立。不难验证，实二次型是正定的当且仅当，。
定理5 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
证明：设实二次型
是正定的，经过非退化的实线性替换 （2）变成二次型
， （3）
我们的目的是要证明二次型也是正定的，即要证明：对于任意一组不全为零的实数都有 >。
第 1 页 教师备课专用
下面的定理7是半正定二次型的判别条件
定理7 对于实二次型，其中是对称的，下列条件等价：
（1） 是半正定的，
（2） 它的正惯性指数与秩相等，
（3） 有可逆矩阵，使合同于对角矩阵，且主对角线上的元素均大于等于零
（4） 有实矩阵，使，
（5） 的所有主子式皆大于等于零。
练习 7（1），8（1）；作业 7（2），8（2），11。
（4）
注意：虽然实二次型的标准型不是唯一的，但是标准型系数为正的平方项的个数与规范型中正平方项的个数是一致的。故惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准型中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。
即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数就是该二次型的正惯性指数，-1的个数就是该二次型的负惯性指数，1与-1的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零。
设， （5）是一个二次型，作非退化线性替换
（6）
我们得到一个的二次型。现在来看与的关系。
把（6）代入（5），有
因为，所以也是对称矩阵。由此，有这就是前后两个矩阵的关系。
于是，我们引入合同的概念。
（4）
（4）被称为实二次型的规范型。显然规范型完全被r，p这两个数所决定。因此有
定理4 任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。
定义3 在实二次型的规范型中，正平方项的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差。
令 ，有
这说明二次型可以用矩阵的乘积表示出来。同样，线性替换（2）也可以用矩阵的乘积表示出来。令
，
则线性替换（2）可以写成
或者
我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。
至于标准型中的系数，就不是唯一确定的。（举例说明）这说明，在一般的数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。
下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。
设是复数域的二次型。经适当的非退化线性替换可以变成标准型。不妨设它的标准型是
， （1）
4、 理解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握正定二次型和正定矩阵的性质。
教学重点
教学难点 1、 二次型的矩阵的定义和求法；
2、 二次型的秩、正（负）惯性指数和符号差的概念；