3-1第三讲：高斯定理(讨论及应用)及环路定理

流速场的环流
0 有旋
v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合
Edl 0
可以猜到静电场的环流为零
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
APQ
Q
F dl
P
Q
Q
F cosdl Fdr
P
P
rQ Fdr qq0
rP '
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E
S
EdS
1
0
qi
S内
eS 0
E d S E d S E d S 2ES
上底
下底
侧面
EΔS
E e ,方向如图 2 0
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大 小与场点到平面的距离无关
图示c板间场强为何？
2020/6/5
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任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组
结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
2013/3/4
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整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电 场，可以分别求出场强再叠加
2020/6/5
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§4 环路定理
习题 p74 /p90 1-25、26、 36、 37、39、41
2013/3/4
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静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
电力平方反比律 ——高斯定理
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理
2020/6/5
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从Gauss定理看电场线的性质
电场线疏的地方场强小，密 的地方场强大
E E1 cos1S1 E2 cos2S2 0(管内无电荷） or：－ E1 cos1 ＝ S2
E2 cos2 S1
Q
Q
UPQ
Edl
P
Edl
P
E dl U (P) U (Q)
单位：1V(伏特）＝1J/C
2013/3/4
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电势叠加原理
Ui
1
4 0
qi ri
点电荷组有
UP
Edl
P
P E1 dl
P E2 dl
P Ek dl
U P1 U P2 U Pk U pi
2020/6/5
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设棒上线电荷密度为+e
作高斯面——以细棒为对称轴的 圆柱（l长）
求出通过Gauss面的通量
E
百度文库
S
EdS 1
0
S内
qi
el 0
E d S E d S E d S 2rlE
上底
下底
侧面
E⊥dS
E 是常数
E 1 e 2 0 r
2020/6/5
在柱坐标下分析
作平面П1和П2
柱体电荷对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下E φ 分量反向，只有E φ =0 柱体电荷对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性
——等r处Er相等——轴对称性
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无限大带电平面的电场
设带电板的面电荷密度为 +e 对称性分析
在直角坐标下分析
对yz平面，镜像反射变 换不变,场也不变
——Ex=0
对zx平面镜像反射变换 不变，场也不变
——Ey=0 只有Ez不为零，
无限大平面自身具有平移不变
性， Ez与场点的坐标无关
2020/6/5
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P26例题7
利用例题6的结果，球外一样
在球内任意取半径为r的Gauss面
注意计算r<R时，高斯面内所包
围的电量为 体电荷
q'
e
4r 3
3
E
1
4
1
4
0 0
Q r2 (r R)
Qr R3
(r
R)
2020/6/5
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轴对称的电场
p27例题8求无限长均匀 带电棒外的场强分布
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
2013/3/4
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电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ (电势能的减少，与场源和q0均有关
0 电场吸收能量，能量增加
从中扣除q0,即引入电势
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
思考：
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？ 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
2013/3/4
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例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是 3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 设电子从阴极出发时初速为零。
[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动， 即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力， 按能量守恒
Q
Q
APQ
P
F dl
q0
q0 Q P E1
E dl P Q dl
P
E2
dl
Q P
En
dl
q0
4
0
q1 rp1
q1 rQ1
q2 rp 2
q2 rQ 2
qn rpn
qn rQn
P到 q1 的距离
Q 到 q1 的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
2013/3/4
dl
q0
E dl 0
p(L2 )
Edl 0
2013/3/4
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讨论
在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比， 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成 反比？
答：不一定 如弹性力 f kr 也有类似性质
哪些力具有做功与路径无关这种性质？
引力
引入引力势能
1eV 1.601019C 1V 1.601019 J
1keV 103eV 千 1MeV 106 eV 兆 1GeV 109 eV 吉 1TeV 1012 eV 太
2013/3/4
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1 2
me
v
2
eU KA
(1.601019) (3 000)
J
4.801016 J
电子到达阳极时获得的动能为
v
2eUKA me
24.801016 9.111031
m/s
3.25107 m/s
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的 区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得 这么多能量（动能）——1eV
2020/6/5
北京大学物理学院王稼军编写
根据场的对称性做高斯面
求出通过Gauss面的通量
1
Q
rR
E
S
EdS
0
S内 qi 0
S
EdS
E dS
S
4r 2E
E
Q
4 0r 2
r R EdS E dS 4r2E 0
S
S
E0
结论：球壳内 E=0；球壳外 与点电荷场相同
2020/6/5
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
2020/6/5
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Gauss定理应用列举
定理反映了静电场的性质——有源场 提供求带电体周围的电场强度的方法 P24－p29
球对称的电场 轴对称的电场 无限大带电平面的电场
2020/6/5
北京大学物理学院王稼军编写
i
连续带电体有
UP P E dl dU
1 dq 1 dq 1 dq
dU
4 0
P r 2 4 0 (
r
P 4 0
rP
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。
电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
球对称的电场p24
例题6：求均匀带正电球
壳内外的场强，设球壳所
带电量为Q，半径为R
在球坐标下分析：
E( p) ~ Er，E，E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋 转不变——场强分布也不变，但旋转时E 和E变——只有E＝0和E＝0才合理
只有径向分量Er不为零，r相同的Er相同— —场呈球对称分布
静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
Edl 0
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q
P
A q0
E dl q0
P(
E
L1 )
d
l
q0
E dl
Q( L2 )
L
Q
Q
q0
E
p(L1 )
2020/6/5
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静电力是有心力，但高斯定理只给出了 源和通量的关系，并没有反映静电场是 有心力场这一特性，它只反映静电场性 质的一个侧面（下一节还要讲另一个定 理——环路定理）
所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
• 若不添加附加条件（如场的对称性等），无法 从高斯定理反推出库仑定理
4 0
rQ dr r rP' 2
APQ q0
rQ E(r)dr
rP '
qq0
4 0
1 rp'
1 rQ
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
2013/3/4
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点电荷组产生的场
q1, q2 , , qn
E E1 E2 En
在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功
所有电荷产生的场 面内电量的代
数和，与面外
电荷无关
通过任意
E
S
EdS 1
0
qi
S内
闭合曲面 的电通量
Gauss面
立体角定义
d
dS' r2
rˆ dS r2
(球 面 度）
2020/6/5
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讨论： Gauss 定理说明
闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
重力
引入重力势能
势函数
弹性力
引入弹性势能
（位）
静电力
引入静电势能
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
电势能、电势差、电势
电场力 的功
定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 P E dl WPQ WP WQ (WQ WP )
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
可以任意选取
选择零点原则：场弱、变化不太剧烈
问题
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电势 吗？
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的
若以无穷远为势能零点，则地球的电势为
U地 5.4 108V
讨论：
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算 注意选取合适的Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计 算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布
第三讲
高斯定理讨论及应用 静电场力做功、 环路定理 电势、电势差、电势能 对应录像05、06
2013/2/27
北京大学物理学院王稼军编写
§3.高斯定理
习题 p72/ p88 1-14、15、16、17、20
2020/6/5
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Gauss 面 上 的 场 强 ， 是
高斯定理 p22
正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源
负电荷 —— 有洞水池中的流速场——汇
闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的
高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功
单位正电荷的电势能差
2013/3/4
北京大学物理学院王稼军编写
空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点
一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p) U P
AP q0
E dl
P
两点之间电势差可表为两点电势值之差