北京理工大学理学院力学系 工程力学课件 §12 扭转
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扭转课件
§6–1扭转的概念及外力偶矩的计算
M
构件特征：等圆截面直杆——圆轴。
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 。
M
变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。
扭 转
外加力偶矩与功率和转速的关系
功
力偶矩 角位移
P
功率
W t
32
D (1 )
4 4
式中
d D
而
Wp Ip D /2
16
D (1 )
3 4
扭 转
§6–4 圆轴的强度条件和刚度条件
（一）强度条件
受扭圆轴破坏的标志： 塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。 脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º 的面上断裂。 因此圆轴的强度条件为
51 . 3 MPa [ ] 60 MPa
WP
所以此轴安全。
若此轴改为实心轴，而
max
M
x max
51 . 3 MPa
式中
W P1
W p1
16
D1
3
解得：
D1 16 M
3 x , max 6
51 . 3 10
0 . 053 m
扭 转
实心轴的横截面面积为
M1
1
M
2
d A 2 l B 1 l C
扭 转
2
M1
1
M2
解： (1)轴的最大剪应力 d 作扭矩图：
M
M
x1
A
2 l
《扭转》PPT课件
T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )
工程力学1-1-c12a
max
9
d dx dx
（3）静力学关系
d
(a)
d G G dx
(b)
横截面上分布切应力构成的合力偶矩 就是该截面上的扭矩T d d 2 T dA G dA G A dA A A dx dx T 2 (12.1) 记几何量 I p A dA dA 4,cm4,mm4 称为截面极惯性矩 ,单位：m d d 2 T G A dA GI p dx (c) dx d 由此可求出
20/II
§12 扭转
§12.1 圆轴扭转时的应力分析
1. 扭转的概念 扭转是4种基本变形(轴向拉压、剪切、扭转、弯曲)之一 扭转的特点： 圆截面轴(实心,空心)—重点掌握 非圆截面轴—介绍 外力: 仅作用了轴横截面内的外力偶 内力: 横截面上只有扭矩T 变形: 横截面绕轴线转动， 任意两横截面产生相对扭转角
2
几何——直杆(轴)
T
例如，传动轴：主动轮1，从动轮2，3
n转/分
1
Mt3 Mt1 已知：轴的转速—— n (转/分,r/min)(转动方向如图) 该轮传递的功率（输入或输出）—— N (kW) 则该轮处的外力偶矩为：
N (kW) M t ( N m) 9549 n(r / min)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向； 从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
直杆 沿轴向的外力
重点：圆截面直杆 横截面内的力偶矩
轴力FN
F N A
l FN l EA
扭矩T
T Ip
max
T Wp
Tl GI p
20
由单位长度的扭转角：
d T dx GI p
材料力学-扭转课件
dz z B dx C
At
D
n
t
t
Bt C
扭转试验和破坏分析
利用截面法和静力衡，
F x 0 d A c o s td A sin td A x 0 y F y 0 d A sin td A c o s td A y 0
注意到：
dAx=dAsin dAy=dAcos
得： t sin2 t t cos2
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
与所设方向相同（扭矩 MB MC
MD
的正向）；若为负，表
T2
明扭矩与所设方向相反
T3
外力偶矩、扭矩和扭矩图
绘制扭矩图。 最大扭矩产生
在CA段上，其值为
B
C
A
主动轮 D
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549PA n
11.68103
N m
MB
MC
9549PB n
3.50103
N m
MD
9549PD n
4.68103
方向如图所示
N m
MB
MC
MA
MD
外力偶矩、扭矩和扭矩图
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
圆轴扭转强度条件
45o
受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂 屈服时横截面上的最大切应力称为扭转
屈服应力，记为ts
断裂时横截面上的最大切应力称为扭转
强度极限，记为tb 它们统称为扭转极限应力，记为tu
最新工程力学—第九章-扭转精品课件
第三节切应力yngl互等定理与剪切虎克定律由此可见在圆管横截面的各点处仅存在垂直于半径方向fngxing的切应力如图示它们沿圆周大小不变而且由于管壁很薄沿壁厚也可近似认为均匀分第十九页共50页
第7章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件(tiáojiàn) 圆轴扭转变形与刚度条件(tiáojiàn)
最大扭转切应力
面(由j式iém iàTnI)p
可知，在ρ＝R 即圆截
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
TR Ip
T Ip
T
Wp
式中Wp为抗扭截面系 数(xìshù)，Wp=Ip/R单 位为m3或mm3。
R
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第二十三页，共50页。
第五节 圆轴扭转破坏与强度(qiángdù)条件
第十六页，共50页。
4.78
6.37
15.9
4.78
第十七页，共50页。
第三节 切应力互等定理(dìnglǐ)与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转(niǔzhuǎn)应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻(xiānɡ lín)横 截面ab与cd之间发生相对错动，即仅产生剪切变 形；而且，沿圆周方向所有微体的剪切变形均相 同。
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
第二十八页，共50页。
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， [τ]=70MPa， [θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直径 d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确定 (quèdìng)d的大小。
第7章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件(tiáojiàn) 圆轴扭转变形与刚度条件(tiáojiàn)
最大扭转切应力
面(由j式iém iàTnI)p
可知，在ρ＝R 即圆截
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
TR Ip
T Ip
T
Wp
式中Wp为抗扭截面系 数(xìshù)，Wp=Ip/R单 位为m3或mm3。
R
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第二十三页，共50页。
第五节 圆轴扭转破坏与强度(qiángdù)条件
第十六页，共50页。
4.78
6.37
15.9
4.78
第十七页，共50页。
第三节 切应力互等定理(dìnglǐ)与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转(niǔzhuǎn)应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻(xiānɡ lín)横 截面ab与cd之间发生相对错动，即仅产生剪切变 形；而且，沿圆周方向所有微体的剪切变形均相 同。
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
第二十八页，共50页。
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， [τ]=70MPa， [θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直径 d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确定 (quèdìng)d的大小。
北京理工大学理学院力学系__工程力学课件___§13__梁的弯曲
例题例 题 13-3l
B
§I3
梁的弯曲
FSmax F / 2
A
C
D
H
B
FS max
b
M max
Fl 4
L
l 7F F (1 ) 2L 8
M max 0.766 F ( N m)
由主梁切应 FS max 力强度条件： b( I : S
z
7F 50 Mpa 8 189 7.5 z max )
b
P
[ ]bh 2 10 200 100 2 [ P] 2.2kN 3l 3 3000
M
M 2 M 2
§13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
w
(x) 挠曲线（轴）
w(x) x
(x)
x F
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
(M)
例题
例 题 13-3
l
§I3
F
B
梁的弯曲
A
C
D
H
l 求最大内力： FA F (1 ) L 2L b 当 0, B
l 7F FS max F (1 ) 2L 8 l M C FA F (1 ) FB L 2L dM C 2L l 0 1.75m 令 d 4
w( x)
3 2 2
[1 (w( x)) ] dw 1 1 0 小变形简化： ( x) w dx M>0 ( x) M ( x) w( x) w ( x) 0 EI 符号的选择：与w轴及M的符号规定有关 ——取+号 d 2 w M ( x) (13.12) 挠曲线近似微分方程 2 dx EI
B
§I3
梁的弯曲
FSmax F / 2
A
C
D
H
B
FS max
b
M max
Fl 4
L
l 7F F (1 ) 2L 8
M max 0.766 F ( N m)
由主梁切应 FS max 力强度条件： b( I : S
z
7F 50 Mpa 8 189 7.5 z max )
b
P
[ ]bh 2 10 200 100 2 [ P] 2.2kN 3l 3 3000
M
M 2 M 2
§13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
w
(x) 挠曲线（轴）
w(x) x
(x)
x F
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
(M)
例题
例 题 13-3
l
§I3
F
B
梁的弯曲
A
C
D
H
l 求最大内力： FA F (1 ) L 2L b 当 0, B
l 7F FS max F (1 ) 2L 8 l M C FA F (1 ) FB L 2L dM C 2L l 0 1.75m 令 d 4
w( x)
3 2 2
[1 (w( x)) ] dw 1 1 0 小变形简化： ( x) w dx M>0 ( x) M ( x) w( x) w ( x) 0 EI 符号的选择：与w轴及M的符号规定有关 ——取+号 d 2 w M ( x) (13.12) 挠曲线近似微分方程 2 dx EI
扭转
z1 36 n3＝n1 ＝120 ＝360r/min z3 12
max C
T3 16 185.7 21.98MPa 3 -9 WP 3 π 35 10
2、计算各轴的扭矩 T1 1114 Nm T2 557 Nm
T3 185.7 Nm
T IP
max
Tr IP T WP
IP WP r
扭转截面系数
max
I p与 Wt 的计算
实心轴
T Ip
max
T Wt
Wt I p / R
1 D3 16
空心轴
则 令
Wt I p /( D / 2)
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
纯剪切
采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
切应力互等定理
由平衡方程
Me 2 r r
，得 0 M
z
Me 2 r 2
'
切应力互等定理：
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
工 程 力 学
(Engineering Mechanics)
六盘水师范学院
矿业工程系
第七章
扭 转
本章主要内容
一、扭转的概念及外力偶矩的计算
二、扭转时的内力
三、圆轴扭转时的应力和强度计算
四、圆轴扭转时的变形和刚度计算
7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
工 程 实 例
实例
汽车传动轴
实例
汽车方向盘
max C
T3 16 185.7 21.98MPa 3 -9 WP 3 π 35 10
2、计算各轴的扭矩 T1 1114 Nm T2 557 Nm
T3 185.7 Nm
T IP
max
Tr IP T WP
IP WP r
扭转截面系数
max
I p与 Wt 的计算
实心轴
T Ip
max
T Wt
Wt I p / R
1 D3 16
空心轴
则 令
Wt I p /( D / 2)
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
纯剪切
采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
切应力互等定理
由平衡方程
Me 2 r r
，得 0 M
z
Me 2 r 2
'
切应力互等定理：
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
工 程 力 学
(Engineering Mechanics)
六盘水师范学院
矿业工程系
第七章
扭 转
本章主要内容
一、扭转的概念及外力偶矩的计算
二、扭转时的内力
三、圆轴扭转时的应力和强度计算
四、圆轴扭转时的变形和刚度计算
7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
工 程 实 例
实例
汽车传动轴
实例
汽车方向盘
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
工程力学(扭转)课件
扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中，扭转力用 于传递扭矩，实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中，扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩，保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中，扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢，变形量较 小；动态扭转力作用迅速，变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步，工程力学 （扭转）的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合，探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现，扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL，其中M为力矩，F 为力，L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零，即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0，其中∑表示求和符号， M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系
工程力学教学课件第4章扭转
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
如图求圆轴指定截面的内力。
由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；
（3）考虑留下部分的平衡
同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。
§4.3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
用截面法，考虑一部分圆管的平衡：
A0为平均半径所作圆的面积。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
二、剪应力互等定理
a
c
d
dx
b
dy
´
´
t
z
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
第 4 章 扭 转
三、剪切虎克定律
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。
扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。
（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用； T称为扭矩。
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩图
§4. 2 扭矩及扭矩图
第4 章 扭 转
解:
(1)计算外力偶矩
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
T = Me
§4.2 扭矩及扭矩图
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
如图求圆轴指定截面的内力。
由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；
（3）考虑留下部分的平衡
同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。
§4.3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
用截面法，考虑一部分圆管的平衡：
A0为平均半径所作圆的面积。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
二、剪应力互等定理
a
c
d
dx
b
dy
´
´
t
z
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
第 4 章 扭 转
三、剪切虎克定律
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。
扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。
（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用； T称为扭矩。
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩图
§4. 2 扭矩及扭矩图
第4 章 扭 转
解:
(1)计算外力偶矩
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
T = Me
§4.2 扭矩及扭矩图
工程力学课件 扭转
A
2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
（3）计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意：Ti 应是代数值，有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
＃刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
（3）计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意：Ti 应是代数值，有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
＃刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
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l1 l2 510mm
l1 298mm
l2 212mm
例题
例 题 2
§12
Mt
扭转
Mt d1 l1 d2 l2
3.校核刚度 对l1段：
M t 180 1145103 103 180 1 GI p1 80103 504 (1 (1 / 2) 4 ) 32 1.43 / m 2 / m
例如，传动轴：主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2 Mt2
(转/分，r/min)
3
Mt3
该轮传递的功率（输入或输出）—— N (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
N ( KW ) M t ( N m) 9549 n(r / min)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向； 从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
7.圆轴扭转的强度与刚度计算
（1）扭转强度条件 工作时最大切应力
max
u
n
T W p max
塑性材料： u s 脆性材料： u b
(12.8)
许用切应力
对等截面圆轴，即：
max
Tmax Wp
3= -
T 各点为纯剪切： Ip
主单元体： 主方向为±45° 主应力： 1= ， 2= 0 ， 3= - -
45°
45 1 =°
4. 扭转应力的测量 T
T
3= - max
45°
max 1= max
（b）
(c) (12.2)
故得出：
d T dx GI p
TR T T T T G (12.3) max I I p W GI p Ip p p R
(12.4)
记扭转截面系数
单位：m3,cm3,mm3
Wp
Ip R
(12.5)
以上分析只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）
1 纯剪应力状态：由广义胡克定律 1 1 ( 2 3 ) E ( max max ) (1 ) 1 45 ( 1 3 ) max E E E
E 45 T max Wp 1
5. 圆轴扭转时的变形分析 T T
O1 A D R
dx O2 B B’ C C’
距离杆的轴线O1O2
半径为处的单元体 的切应变为：
d
d dx dx
d
(a) T
d 常数 在某一横截面上 dx 在横截面上半径为 处切应变 ， 且 半径
d 其中 dx
2228.1N•m x1 2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x2
1273.2N•m T(x1) T(x2)
T ( x1 ) 22281N m .
2228.1N•m
T ( x2 ) 12732 N m .
1273.2N•m (T)
2. 圆轴扭转应力分析
（1）圆轴扭转变形几何关系 Mt Mt
32
(1 4 )
d D
Wp
(1 4 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分布：
实心圆轴： T 空心圆轴： T
T max Wp
T max Wp
T max Wp
T max Wp
max
T Wp
T max Wp
实验：圆轴扭转
3. 扭转时轴内各点的应力状态
A
d1
B
d2
C
Mt1
(T)
Mt2
Mt3
621103 32 180 4 80 40 1.77 / m 1.8 / m
TBC 180 BC段： BC GI p 2
621N•m 1430N •m
1430103 32 180 4 80 80 0.254 / m 1.8 / m
(12.6) 的单位为弧度
扭转变形公式
Tl GI p
(12.6)
其中GIp称为扭转刚度
若轴中扭矩为分段常数
Ti li i Gi I pi
(12.7)
G1Ip1 l1
G2Ip2
l2
G3Ip3
l3
轴向拉压与扭转的比较
轴向拉压 扭转
构件几何 外力 横截面 内力 应力公式
直杆 轴向外力 轴力FN
Hale Waihona Puke 例题例 题 2§12
扭转
Mt d1 l1 d2 l2
Mt 由l2段的强度条件：
2,max
Mt Wp 2
4 D3 (1 2 )
M t Wp 2
3
16
38 4 50 (1 ( ) ) 70 114.5 104 N m m 16 50 1145N m
称为单位长度的扭转角
（2） 物理关系
由剪切胡克定律
d G G dx
（b）
故横截面上半径为 处切应力
圆心 =0处， 0 0
圆截面周边 =R处， R max 横截面上切应力沿半径三角形 分布，且方向垂直于半径。 T
max
由单位长度的扭转角：
A
l
B
x
d T dx GI p
(12.2)
Tdx 故得出相距dx的两截面间的相对扭转角： d GI p A ，B两截面间的相对扭转角为：
AB
Tdx d l 0 GI p
l
（12.5）
若轴在 l 段内扭矩T=常数，则：
Tl GI p
max
d dx dx
（3）静力学关系
d
(a)
d G G dx
（b）
横截面上分布切应力构成的合 力偶矩就是该截面上的扭矩T d d T dA G dA G 2 dA A A dx dx A
记几何量
I p dA
(2)若要求l1， l2两段的扭转角相等， l1和 l2各长多少？ (3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件 []=2º /m是否满足？
例题
例 题 2
解：
§12
Mt
扭转
Mt d1 d2
1.求允许外力偶矩
由l1段的强度条件： l2 l1 Mt 1,max Wp1 D3 (1 14 ) M t Wp1 16 1 4 3 50 (1 ( ) ) 70 161.1104 N m m 16 2 1611 m N
几何量 Ip , Wp :
实心圆轴，直径 D ：
I p dA
2 A
D/2
0
2
3
2d
D
4
D
Wp
Ip R
D
4
D 32 2
D
32
16
空心圆轴，内、外径 d , D , =d/D
Ip 32 D 3
16
:
(D4 d 4 )
Ip D/2
D 4
若已知： n=300 r/min 70KW
30KW
40KW
1
Mt1
2 Mt2
3
Mt3
N 70 M t1 9549 9549 2228 .1N m n 300 30 M t 2 9549 954 .9 N m 300
40 M t 3 9549 1273 .2 N m 300
0.5 ~ 1.0 / m 2.0 / m
刚度要求不高的轴
例题
例 题 1
l1
§12
l2 n
扭转
一阶梯轴，轴直径d2=2d1, 输入功率N3=30KW,输出功 率N1 =13KW, N2=17KW,轴 的转速n=200rpm,若轴材料 的G=80Gpa,[]=50Mpa, (1)根据强度条件设计d1, d2 (2)按此设计若[]=1.8º /m, 校核刚度条件
F N A
l FN l EA
圆截面直杆 横截面内力偶矩 扭矩T
T Ip T max Wp
变形公式
Tl GI p
6.材料扭转时的力学性能
材料的扭转试验： 低碳钢：薄壁圆管扭转 低碳钢 （塑性）： 沿横截面、 纵向线出 现滑移线
铸铁：圆轴扭转
铸铁（脆性）： 沿45°斜面断 开
2 A
T
(12.1)
max
称为截面极惯性矩 ,单位：m4,cm4,mm4
d d 2 T G A dA GI p dx dx d 由此可求出 dx
dA
(c)
max
d
dx
d dx
(a)
T GI p
G G
d dx
d dx
A
d1
B
d2
C
Mt1
(T)
Mt2
Mt3
621N•m 1430N •m
例题
例 题 1
l1
§12
l2 n
扭转
3.强度设计
AB段：
d1
B
1,max
TAB d13
A
d2
C
d1
3
16TAC
16 16 621 103 3 50
Mt1
(T)
Mt2