程序变换技术

3. 程序变换的基本规则


程序变换规则是在程序集合上的一个映射，每个变 换规则一般仅对一类程序有定义，故可用程序模式 的有序对来描述变换规则。 当可用性条件B成立时，输入模式S1可用输出模式S2 来代替。
S1
B
S2
4 基本的变换规则

①. 定义规则

将谓词中的存在量词的每次呈现都用全称量词代替。 容许代入参数的特定值，得到输入模式的一个样品。 展开是将函数调用用相应的函数体来替代。 封叠是展开的逆规则。 容许在程序变换中直接利用各种代数定律。 容许把函数体中的公共子表达式抽象为新的标识符。
5. 程序生成阶段

步骤总结：




对参数分情形进行适当讨论 其中必须包括某些特殊情形作为递归终止条件； 各情形的析取必须为true，以保证程序分支的完备性。 把特殊情形的参数代入程序的形式规定，推导出非递归分支（终止 分支）的计算表达式。 找出一般情形下函数值和“较小”参数的函数之间的等价关系，推 导出递归分支。 把所有分支用条件表达式综合成一个完整的程序，这个程序是一个 可终结的函数型递归程序。
尾递归例子
T2 f(T1 x) { T1 x1; if (b(x)) { return h(x); } else { x1 = k(x); return f(x1); } } T2 f(T1 x) { T1 x1; loop: if (b(x)) { return h(x); } else { x1 = k(x); x = x1; // 注意，这两行语句 goto loop; // 用goto把尾递归改 //为了迭代 } }
5. 程序生成阶段

例4 求实数型数组(x1 , x2 , …xn )的最大元素的函数MAX(x1 , x2 , …xn )。
把实型数组(x1 , x2 , …xn )看成是一个由实数组成的表L。 讨论：当L表只有一个元素时，CDR(L)=NIL， MAX(L)=CAR(L)。 当L表包含两个以上元素时，假定已求出MAX(CDR(L))， 则： ①当CAR(L)>MAX(CDR(L)), MAX(L)=CAR(L)； ②当CAR(L)≤MAX(CDR(L)), MAX(L)= MAX(CDR(L)) 。 递归程序为： MAX(L) ≡if CDR(L)=NIL then CAR(L) else if CAR(L)> MAX(CDR(L)) then CAR(L) else MAX(CDR(L))
6. 程序改进阶段
尾递归型程序

所含有递归调用的分支只递归调用一次； 所含有递归调用的分支都以递归调用结束。 尾递归型程序可以直接转换为迭代程序。
G(x, y) if x = 1 then 1 * y else G(x-1, x * y) F(x) if x=1 then 1 else x*F(x-1)
5. 程序生成阶段

例3，计算正实数x的自然数幂的函数POW(x,n)。 根据定义：POW(x,n) ≡that z:z=x**n 讨论：当n=1时，POW(x,n)=POW(x,1)=x 当n>1时，POW(x,n)=x**n=x**(n-1)*x =POW(x,n-1)*x 递归程序为：POW(x,n) ≡if n=1 then x else POW(x,n-1)*x
Cooper 变换
例子：
是 不是
6. 程序改进阶段
尾递归是指具有如下形式的递归函数
f(x) ≡ if b(x) then h(x) else f(k(x)); 其中： x, k: TYPE1, k(x) x ( 符号 表示偏序) h, f: TYPE2 b: boolean 且b, h, k中都不含f 。
1. 引言

递归程序的优缺点


优点：比较符合人的思维习惯，结构紧凑简洁，容易理 解。 缺点：由于使用堆栈技术，要耗费较多的计算时间和存 储空间。

程序的等价变换：递归 迭代
2. 程序变换的思想

程序变换的基本思想是把程序设计工作分成两个阶 段进行：程序生成阶段和程序改进阶段。
程序生成阶段 设计面向问题的、易于理解的、正确的函数型递归程序， 不考虑效率。 程序改进阶段 通过一系列变换规则，将程序转换成具体的面向过程且 效率较高的程序。

②. 取样规则


③. 则


⑤. 抽象规则

5. 程序生成阶段
思路：分析问题制定形式规定生成函数型递 归程序。 例1，计算自然数n的阶乘函数FAC(n)。

根据定义：FAC(n) ≡that z:z=n!
讨论：当n=1时，FAC(1)=1!=1 当n>1时，FAC(n)=n*(n-1)!=n*FAC(n-1) 递归程序为：

2. 程序变换的思想

程序变换的方法：


即根据某些程序变换规则把一种程序变换成另一新的程 序，这两个程序必须是等价的。 如用Dijkstra的谓词转换器定义，则有程序P1和P2等价， 当且仅当对任意谓词R满足：wp(P1,R)=wp(P2,R)

程序变换可以看作是一种严格的数学演算，因此为 了保证程序的正确性，只要对变换前的程序文本加 以验证就行了，而变换后程序的正确性将由变换规 则加以保证。
FAC(n) ≡ if n=1 then 1
else n*FAC(n-1)
5. 程序生成阶段

例2，计算两个自然数x和y的最大公约数的函数GCD(x,y)。 根据定义：GCD(x,y) ≡that z:max{u,u|x∧u|y} 讨论：当x=y时，GCD(x,y)=max{u,u|x∧u|y} = max{u,u|y}=y 当x>y时，GCD(x,y)=max{u,u|x∧u|y} = max{u,u|x-y∧u|y}=GCD(x-y,y) 当x<y时，GCD(x,y)=max{u,u|x∧u|y} = max{u,u|x∧u|y-x}=GCD(x,y-x) 递归程序为： GCD(x,y) ≡if x=y then y else if x>y then GCD(x-y,y) else GCD(x,y-x)