史上最全常用幂次数
最全心理学专业词汇
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疗失眠催眠疗法音乐疗法冲击疗法森田疗法暗示性塑造法开放性访谈精神药物抗抑郁药物抗精神病药致幻剂安慰剂咨询者热线治疗者来访者中心疗法反向移情电休克治疗对抗性条件作用解释健康保健整体健康社区心理卫生中心应付应付技能训练一级预防三级预防自我实现社会支持替代投射合理化作用防御机制压抑自欺否认躯体虐待性偏离施虐癖露阴癖异装癖同性恋假两性畸形催眠恍惚状态睡行症发作性睡病恋童症纵火狂工业心理学认知工效学人机系统评价人机对话人机功能分配人的因素人的可靠性人的传递函数闭环控制追踪尾随追踪刺激维度信息反馈动态显示视觉编码视觉显示器电子显示器多功能显示器信号灯告警信号听觉编码触觉显示控制器控制器阻力控制-显示兼容性中央控制室链分析训练器培训评估心理负荷负荷应激信息超负荷觉察时间照明效应光源显色性噪声效应振动振动效应高温操作温度习服失重缺氧人体测量学航空航天心理学航空心理学环境心理学技术美学仿生学管理心理学管理信息系统科学管理原理目标管理人力资源管理方格公平理论成就需要理论霍桑效应管理决策任务分析职务分类群体训练内在激励付酬制度绩效评价领导领导行为连续体领导特质理论正式群体官僚机构组织设计组织发展组织变革工业社会心理学劳动心理学工作效率工作姿势工作热量工作丰富化工作评价弹性工作时间操作合理化单调作业疲劳曲线肌肉疲劳动作与时间研究安全心理学安全标准安全评价人为失误事故倾向故障树分析职业心理学职业指导职业选择人员选拔法制心理学法律心理学立法心理学诉讼心理学犯罪心理痕迹审讯心理学律师心理学审判心理学刑罚威慑力供述动机证言心理学证据辨认守法心理学犯罪理论聚合效应论犯罪人格犯罪行为犯罪目的激情犯罪青春期危机犯罪预测矫治心理学罪犯角色偏差罪犯挫折反应罪犯群体动力罪犯心理档案回归心理学体育心理学运动技能学习开放性运动技能动作感觉器械感场地感速度感水感运动表象操作思维动作练习曲线反应类型竞赛心理运动情绪运动竞争情绪激变模型认知性焦虑运动焦虑症比赛心理定向失败定向克拉克现象比赛型运动员心理耗竭心理战术战术思维赛前心理状态赛前盲目自信状态赛前心理准备赛后心理调整最佳唤醒水平运动顶峰体验心理技能训练念动训练内部表象注意控制训练结果性目标自信心训练动机训练自生放松三线放松自我暗示模拟训练运动成瘾主场优势工具性攻击教练员指导方式运动心理诊断滑动模型应用心理学战士心理学特殊环境心理学战斗疲劳宣传妇女心理学商业心理学广告设计消费心理学购买决策购买意识购买过程消费行为消费者消费者行为消费者研究消费水平旅游心理学艺术心理学视觉艺术表现艺术文艺心理学艺术冲动艺术欣赏音乐心理学音乐感受性音乐盲音乐才能宗教心理学。
有理数的乘方
您值得信赖的个性化辅导机构学科教师辅导讲义课 题 有理数的乘方 1.了解有理数乘方的意义，能熟练进行有理数的乘方运算； 2.熟练进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，灵活运用运算律简化运算； 3.进一步感受大数，用科学计数法表示绝对值大于 10 的数； 4.知道一个正数的任何次幂都是正数； 一个负数的奇次幂是负数， 一个负数的偶次 幂是正数； 5.了解近似数的概念，能按要求取近似数，体会近似数在生活中的应用. 难点：理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法； 重点：理解幂的符号法则，会根据定义进行有理数的乘方运算； 会进行乘方、乘、除的简单混合运算 理解乘方的意义；掌握有理数乘方的运算、进行有理数的混合运算.教学目标重点、难点 考点及考试要求教学内容知识回顾1.有理数加减法 (1)有理数加法法则： a、同号两数相加，取 的符号，并把 相加。
b、绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用 减 去 。
互为相反数的两个数相加得 。
c、一个数同 0 相加，仍得 。
(2)有理数的减法：减去一个数，等于 。
(3)有理数加减法运算律：加法交换律、加法结合律 2.有理数乘除法 (1)有理数乘法法则：两数相乘， ， ，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘， 都得 。
(2)有理数乘法步骤：先判断结果符号，再计算结果。
(3)多数相乘结果符号判断：几个不是 0 的数相乘， 的个数是偶数时，积是正数； 的 个数是奇数时，积是负数。
(4)倒数：乘积是 的两个数互为倒数。
(5)有理数除法法则：（1）除以一个不等于 0 的数，等于 。
（2）两数相除， ， ，并把 相除，0 除以任何 一个不等于 0 数，都得 0。
(6)乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
新课知识知识点一：有理数乘方的意义（重点） 1.求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.您值得信赖的个性化辅导机构2.一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即，记作 a n ，读作 a 的 n 次方.当将 a n 看作 a 的n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂，如 32 读作“负3的2次方”或“负3的2次幂”. 3.在 a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，如 53 中，-5为底数，3为指数.（1）一个数可以看作是自身的一次方.例如：3就是 31 ，m 就是 m1 ，通常指数1省略不写. （2）当底数是分数或负数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数，指数要写得小些. 例1.下列各式中，正确的是（ ） A.5×5×5×5=4×5 C. B. 43 34 D. 2 2 2 2 24 ，所以只有 D 符合条件，故选 D.2 2 2 2 3 3 3 33解析：一般地，n 个相同因数 a 相乘，记作 a n ，即 知识点二：有理数的乘方运算及性质（重点） 1.负数的奇数幂是负数，负数的偶次幂是正数. 2.正数的任何次幂都是正数. 3.0的任何正整数次幂都是0,0的0次幂无意义. (1)互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数， 即 a+b=0,则 a 2n1 b2n1 0n为 自 然 数 ，a 0.b 0 a 0.b 0(2)互为相反数的两个非零数的偶次幂相等，即若 a+b=0,则 a 2n b2n n为 自 然 数 ， (3)1的任何次幂都是1；-1的奇次幂都是-1.-1的偶次幂都是1. (4)任何数的偶次幂（排除 00 ）都是非负数（比较常用的是二次方，如 a 2 0 ）. (5)平方等于它本身的数只有0和1；立方等于它本身的数只有0和±1. 例2.不做运算，判断下列个各运算结果的符号：（1） 1111 ；（2） 224 ；（3） 1.72013 ；（4） ；（5） 223 ；（6） 0 2014 . 思路引导：根据有理数乘方的符号法则直接判断即可. 知识点三：有理数的混合运算 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3.如果有括号，就先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的. ① 乘方是三级运算，乘除是二级运算，加减是一级运算，有理数混合运算要从高级到低级依次计算.4 35您值得信赖的个性化辅导机构 ② 含有多重括号时，去括号内的一般方法是由内向外，即依次去掉小括号、中括号、大括号. 例 3.计算 32 2 1 33 1 23解析：首先要计算的是乘方的运算，然后计算乘除，最后计算加减 解：原式 9 1 1 2 27 8 1 2 16 15 3 3知识点四：科学记数法（重点） 1.把一个大于10的数表示成 a 10n 的形式（其中 a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科 学记数法，如 567 000000 = 5.67× 108 . 2.对于小于-10的数也可以类似表示 - 567 000000 = -5.67× 108 . 科学记数法中 a 和 n 的确定 学法指南 （1）确定 a 时，要根据科学记数法的规定，使它为只含有一位整数的数（即 a 大于或 等于1且小于10）； （2）确定 n 一般有两种方法： 方法一：利用整数的位数来求 n,n 等于原数的整数位数减1，如3500是一个4位整数， 则 n=3. 方法二：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n 就等于几，如从3500到3.5， 小数点向左移动了3位，则 n=3. 3.把用科学记数法表示的数转化成原数（重点） ①把科学记数法 a 10n 中的指数加上 1 就得到原数的整数位数，从而确定原数 . 如在 3.4×104 中， n=4,n+1=5.所以原数的整数位数是5，即3.4×104 =34000. ② 科学记数法 a 10n 中的 n 是多少，就把 a 中的小数点向右移动多少位，不够的添0，从而确定原数. 如7.5×106 的指数是6，只要把7.5的小数点向右移动6位，即可化为7500000. 例4.下列各数用科学记数法表示，其中正确的是（ A.105000=10.5×104 B.-4200=-4.2×103 ）您值得信赖的个性化辅导机构C.-10010000=1.001×107D.1010=0.101×104解析： 科学记数法要求把一个绝对值大于10的数写成 a×10n 的形式， 其中 a 是整数数位只有一位的数， 所以 A，D 错误；选项 C，原数是个负数，而写成科学记数法后丢了负号，所以错误；选项 B，-4200 是个负数，写成科学记数法后 a=-4.2,小数点向左移动了3位，10的指数是3，正确. 答案：B 例 5.下列各数的原数是：5.18× 10 =3； 1.02 10 =5。
计量基本知识
计量第一部分计量基本知识：一、计量管理概论：1、计量的一般概念及其发展概况：计量发展的历史是与社会进步联系在一起的，它是人类文明的一个重要组成部分。
人类在认识和改造大自然的过程中，通过思维对自然界的各种现象进行大量的比较，这种用比较方法来确定事物“量”的大小的过程，就是早期“测量”的概念。
测量既然是一个“比较”过程，必然需要一个比较物作为测量的“标准”。
最初作为比较的标准也是任意的，它会因人、因事、因时而改变。
随着人类生产力的发展，人们的劳动成果有了剩余，开始出现了物物交换，出现了商品和商品流通。
商品的流通必须遵循“等价交换”的原则，而经济利益又使人们在交换中“斤斤计较”，这就要求对同一物体在不同的地点，经不同的人的测量结果必须一致，这就是早期的“计量”概念。
计量是以确定量值为目的的一组操作。
计量属于测量的范畴，也可以说是一种特殊形式的为使被测量的单位量值在允许范围内溯源到基本单位的测量。
起初的测量方法是原始的，单位是任意的。
当商品交换、分配形成社会活动的时候，就需要测量的统一，即在一定的准确度内对同一物体在不同地点达到其测量结果的一致。
为此，就要求以法定的形式建立统一的单位制，复现出基准、标准，并以这种基准、标准来检定测量计量器具，保证量值准确可靠，这就出现了“计量”。
因此，计量的含义可以理解为“实现单位统一，量值准确可靠的测量，它涉及整个测量领域”，或者说“是以单位统一，量值准确一致的测量，它对整个测量领域起指导、监督、保证和仲裁作用。
”计量应包括计量学、计量经济、计量法制、计量组织和计量管理等内容。
2、计量学的分类：计量学是计量的基础，它是研究测量、保证测量统一和准确的科学。
计量学包括的专业很多，应用范围十分广泛。
我国目前大体上按专业分为十大类，即几何量计量、温度计量、力学计量、电磁学计量、电子计量、时间频率计量、电离辐射计量、光学计量、声学计量、标准物质计量。
3、计量工作的特点：（1）统一性：统一性是计量工作的本质特征，它主要反映在横向和纵向两个方面。
初中数学知识点总结(史上最全)
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做a.除数，无意义即13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n=(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
《电声像技术》教案(hwq)
《电声像技术》教案一、课程的性质和任务：通过本课程的学习，使学生了解电视节目制作前、后期设备的基本原理和基本技术，能够较熟练地掌握电视节目制作前、后期设备的操作使用。
二、课程的基本要求：1、了解模拟电视系统和数字电视系统的基本原理及其相关基本概念。
2、了解彩色电视摄像机原理，组成结构，视、音频信号与接口。
3、较熟练地掌握电视设录像机的操控和维护保养。
4、了解编辑录像机的原理，格式和性能指标，视音频信号与接口，维护保养。
5、掌握编辑录像机的“组合编辑”和“插入编辑”等操作。
6、掌握非线性编辑软件的使用。
教师：黄文强广东海洋大学教案教学过程：第一章概述介绍本课程学习的目的，电视节目制作设备和操作技术与电视节目制作的关系。
强调学习中实践的重要性，使学生学会各类电视节目制作设备的基本原理和操控。
从学生目前关注的一些具有代表性的电视节目导入课题，引起学生对电视节目制作手段、方法及其流程的兴趣。
播放二部DV短片，供学生观看，以便引起学生对电视制作技术的浓厚兴趣。
第一节电视节目制作技术发展广播电视的发展趋势是数字化、网络化和信息化。
数字化和网络化只是工具，信息化才是目的。
信息业务的三大媒体通信、广播和计算机正因为广播电视数字化而最终融合。
广播电视中心的数字化进展飞速，数字摄录、编辑设备，非线性编辑系统，硬盘存储节目的全自动播出系统，自动播控系统广泛采用；数字演播室、虚拟演播室、数字节目制作岛、数字音频工作站、计算机办公自动化等技术也逐步应用，随着数字广播电视标准的确定，将会有许多新的广播电视业务。
介绍电视诞生初期电视节目制作的设备、材料、手段和方法。
按历史进程时序介绍历次因电视节目制作设备的升级换代，而引起的电视节目制作方法和手段的演进和发展。
课件：介绍观电视节目制作设备和手段、方法发展的历史纪录片片断1．尼普可夫圆盘；2．阴极摄像管；3．贝尔德——电视的发明；以具体的历史画面进一步引起学生注意，加深学习印象。
沪教版七年级数学上册的知识点总结
实用文档沪教版七年级数学上册的知识点总结第九章整式第一节整式的概念9.1 字母表示数字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。
在省略乘号时，要把数字写在字母前面，×用•来代替。
例如，2×a 写成2a，除法运算要用分数线来表示。
例如，C÷2r要写成C/2r。
9.2 代数式代数式是由运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
例如，a。
等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式。
实用文档9.3 代数式的值代数式的值是用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果。
如果代数式中省略乘号，代入后要添上“×”。
如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。
例如，(C/2r)²。
如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号。
如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。
例如，某班有a人，则a必须是正整数。
求代数式的值的步骤：(1) 代入数值；(2) 计算出结果。
9.4 整式一、单项式单项式是由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。
例如，a。
单项式的系数是单项式中的数字因数。
例如，5m。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的实用文档次数。
例如，x²y³。
注意：单项式中不能含有加减运算。
如果分母中含有字母，也算单项式。
二、多项式多项式是由单项式相加或相减而成的代数式。
例如，3x²+2y-5.多项式中次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。
例如，2x³+5x²y-3xy²+4y³的次数是3.多项式是由几个单项式相加而成的代数式。
其中，每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。
多项式的次数是指最高次项的次数，而一个多项式中的最高次项可能不止一个。
人教版初三数学升幂排列和降幂排列
人教A版选修3-1数学史选讲第一讲第三课丰富多彩的计数制度之数与数系的发展课件(共37张PPT)
“数和形的概念不是从其它 任何地方，而是从现实世界中 得来的。”
对数的起源的进程归结为： 依赖于本能感觉，形成一一对 应的计数方法，建立集合的等 价关系并给出其一个标准（或 代表集合）规定符号。
数感，即感知事物多少的 心理能力。
原始人类较早的“有”与 “无”、“多”与“少”的认 识
➢神秘数广泛存在于古代人类社会， 数字在这里不表示什么同类的序列， 也不用于最简单的数学运算，而是利 用数本身的神秘性来预卜事物的未来。 数被想象成具有神秘属性的代表物， 它便通过宗教、神话来影响人类的生 活。 ➢原始人类对自然的认识是有限的， 往往借助数——这个思维的抽象物， 来解释世界上无法理解或控制的各种 现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、 祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为 治国的工具。
如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高 度中抽象出数的理念，
在古代中国的“黄钟起度”的传 说
图3.1是西汉末年王莽律嘉 量斛的结构示意图；中间大 的圆柱为斛量，中间底部圆 柱形为斗，左右两边各有一 耳，都呈圆柱形，左耳为升 量，右耳上为合量、下为龠 量。
数与被计算的东西分离开来了，出现 了1，2，3，…这些无名数，无名数的出 现标志着抽象的数概念的产生，
一次用更大的单位计数的方法。 如，五进制：一五，一十，十五，二 十，……
十进制，这时从1到10的十个数都有 自己的特殊名称，而从11开始，就用10 的进位表示了。在英语中，eleven意指 “剩下”或“比10多1”，twelve意指 “比10多2”，thirteen即“3和 10”，……；twenty意指“两个10 ”，而 hundred则指“10个10”。
某些鸟类和黄蜂具有数感， 例如，乌鸦的数感
一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数 荷马（约公元前9~8世纪）的诗 史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石 子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来 对应自然数
2024届高三新高考改革适应性练习(九省联考题型)数学卷及答案
2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学试题卷（名师教研团队命制2024.2.3）考试须知：1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是A．平均数小、方差大B．平均数小、方差小C．平均数大、方差大D．平均数大、方差小2. 已知复数zz满足|zz|=1 且zz̅=i·zz，则zz可被表示为A．cosππ4+i sin34ππB．cos34ππ+i sinππ4C．cos34ππ+i sin34ππD．cosππ4+i sinππ43. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为A．240 B．480 C．384 D．14404. 抛物线yy2=4xx的焦点为FF，已知抛物线上的三个点AA，BB，CC满足FFAA�����⃗+ FFBB�����⃗+ FFCC�����⃗=0 ，则�FFAA�����⃗�+�FFBB�����⃗�+�FFCC�����⃗�=A．4 B．5 C．6 D．75. 遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率yy与初次记忆经过的时间xx（小时）的大致关系：yy=1−0.6xx0.06若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在A．14：30B．14：00 C．13：30 D．13：006. 已知数列{aa nn}满足aa nn+1=aa nn+aa nn+2(nn∈NN∗)，aa1aa2=4 且aa1,aa2>0 ，则aa1+aa2+⋯+aa2024的最小值是A．4 B．3 C．2 D．17. 已知函数ff(xx)=xx4+4xx3+2(mm+2)xx2+mmxx图像上的一极大值点为(−2,0)，则实数mm的取值范围为A．(−2,+∞)B．(−4,−2]C．(−∞,−2]D．(−∞,−2)8. 在正三棱锥PP−AABBCC中，侧棱PPAA与底面AABBCC所成的角为 60° ，且AABB=3 ，则三棱锥PP−AABBCC外接球的表面积为A．8ππB．12ππC．16ππD．18ππ二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9. 已知aa=sin(sin2024°)，bb=sin(cos2024°) ，cc=cos(sin2024°)，dd=cos(cos2024°)，则A．aa<cc B．bb<dd C．bb<aa D．dd<cc10. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为 2aa、2bb和 2cc的椭圆ΩΩ，点AA是椭圆ΩΩ与其长轴的一个交点，点BB是椭圆ΩΩ与其短轴的一个交点，点FF1和FF2为其焦点，AABB⊥BBFF1．点PP在椭圆ΩΩ上，若PPFF1⊥PPFF2，则A．aa，bb，cc成等差数列B．aa，bb，cc成等比数列C．椭圆ΩΩ的离心率ee=√5+1D．△AABBFF1的面积不小于△PPFF1FF2的面积11. 积性函数ff(xx)指对于所有互质的整数aa和bb有ff(aabb)=ff(aa)ff(bb)的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有A．高斯函数[nn]表示不大于实数nn的最大整数B．最大公约数函数 gcd(nn,kk)表示正整数nn与kk的最大公约数（kk是常数）C．幂次函数VV mm(nn)表示正整数nn质因数分解后含mm的幂次数（mm是常数）D．欧拉函数φφ(nn)表示小于正整数nn的正整数中满足与nn互质的数的数目三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知函数ff(xx)=(xx2−aaxx+aa)ln(xx+1) ,aa∈RR的图像经过四个象限，则实数aa的取值范围是______________．13. 已知等差数列{aa nn}和等比数列{bb nn}满足aa1+aa2=bb1+bb2=30 ，aa3+aa4=bb3+bb4=10 ，则数列{aa nn bb nn}在nn=______________时取到最小值．14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线CC:xx2=4yy上的点PP（不为原点）作CC的切线ll，过坐标原点OO作OOOO⊥ll，垂足为OO，直线PPFF（FF为抛物线的焦点）与直线OOOO交于点TT，点AA(2,0)，则|TTAA|的取值范围是______________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）第一象限的点AA在抛物线ΓΓ1:yy2=2xx上，过点AA作AABB⊥yy轴于点BB，点PP为AABB中点．（1）求PP的运动轨迹为曲线2的方程；（2）记ΓΓ1,ΓΓ2的焦点分别为FF1,FF2，则四边形AAPPFF1FF2的面积是否有最值？16.（15分）如图，已知四棱锥PP−AABBCCAA的底面AABBCCAA是矩形且棱PPAA垂直于其底面．OO为棱PPAA上一点，PPAA= AABB．（1）若OO为PPAA中点，证明：PPBB⊥平面AACCOO；（2）若AAOO为△AAAAPP的高，AAAA=√2AAPP，求二面角PP−AACC−OO的正弦值．17.（15分）从集合{xx∈NN∗|1≤xx≤9}中随机抽取若干个数（大于等于一个）．（1）求这些数排序后能成等比数列的概率；（2）求这些数排序后能成等差数列的概率．18.（17分）已知函数ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)．（1）若ff(xx)的零点也是其的极值点，求aa；（2）若ff(xx)的图像经过四个象限，求aa的取值范围．19.（17分）对于非空集合GG，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”(GG,×)，简记为GG×．而判断GG×是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb∈GG，都须满足aa×bb∈GG；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb,cc∈GG，都须满足aa×(bb×cc)=(aa×bb)×cc；3.（恒等元）存在ee∈GG，使得对任意aa∈GG，ee×aa=aa；4.（逆的存在性）对任意aa∈GG，都存在bb∈GG，使得aa×bb=bb×aa=ee．记群GG×所含的元素个数为nn，则群GG×也称作“nn阶群”．若群GG×的“×”运算满足交换律，即对任意aa,bb∈GG，aa×bb=bb×aa，我们称GG×为一个阿贝尔群（或交换群）．（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群RR+；（2）记CC为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得CC在该运算下构成一个群CC×，并说明理由；（3）所有阶数小于等于四的群GG×是否都是阿贝尔群？请说明理由．2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C A A D C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）题号91011答案ABD BD ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案�−12,0�5或6�√5−1,√5+1�四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）设AA(xx0,yy0)，则有yy02=2xx0，则BB(0,yy0)，因为PP是AABB的中点，所以PP�xx02,yy0�，则yy02=2xx0=4�xx02�，即yy PP2=4xx PP，故点PP在抛物线ΓΓ1:yy2=4xx(yy>0)的上运动．（4分）（2）因为AAPP与FF1FF2平行，所以四边形AAPPFF1FF2是梯形，其上底为AAPP=12xx AA=12xx0，下底为FF1FF2=pp12−pp22=2−1=1 ，高为yy AA=yy0，所以其面积SS=yy02�12xx0+1�，又yy02=2xx0，所以SS=yy02�yy024+1�=18yy03+yy02(yy0>0)（8分）令ff(yy0)=18yy03+yy02(yy0>0)，则ff′(yy0)=38yy02+12>0 ，所以ff(yy0)即SS关于yy0单调递增，（10分）又当yy0→0 时，SS→0 ；yy0→+∞时，SS→+∞，所以SS在yy0∈(0,+∞)上没有最值．（13分）16.（15分）（1）如答图，取PPAA中点FF，连接EEFF，BBFF，因为FF，EE分别为PPAA，PPPP的中点，所以EEFF//AAPP，EEFF=12AAPP．因为AAPP//BBBB，AAPP=2BBBB，所以FFEE//BBBB，EEFF=BBBB，所以四边形EEFFBBBB为平行四边形，BBFF//BBEE，因为BBFF⊂平面PPAABB，BBEE⊄平面PPAABB，所以BBEE//平面PPAABB．（6分）（2）过点BB作BBBB⊥AABB于点BB，连接FFBB．因为BBFF//BBEE，所以直线BBEE与平面PPAABB所成角和直线BBFF与平面PPAABB所成角相等，因为PPAA⊥平面AABBBBPP，BBBB⊂平面AABBBBPP，所以BBBB⊥PPAA，因为PPAA∩AABB=AA，PPAA ,AABB⊂平面PPAABB，所以BBBB⊥平面PPAABB，所以∠BBFFBB为直线BBFF与平面PPAABB所成角，（11分）BBFF=√22+12=√5 ，AABB=√22+12=√5 ，BBBB=1×2√5=2√55，所以sin∠BBFFBB=BBBB BBFF=2√55√5=25故直线BBEE与平面PPAABB所成角的正弦值为25．（15分）17.（15分）（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到．①若抽取的数有1，（I）若抽取三个数，设其他两个数为aa,bb(aa<bb)，则aa2=bb，符合条件的(aa,bb)只能为(2,4)和(3,9)两组，此时所抽取的数为(1,2,4)和(1,3,9)，共两组；（II）若所抽取的数的个数大于3，记此等比数列的公比为qq，则qq≥2 ．若qq=2 ，则所抽取的数为(1,2,4,8)；若qq≥3 ，则该等比数列的最大一项大于等于 33=27 ，明显不符合题意，故该情况仅有(1,2,4,8)1组符合条件．②若抽取的数无1，则抽取的数应在{2,3,4,6,8,9}中．该等比数列公比qq≥2 ，因此若最小的一项为3，则最大一项≥3×22=12 ，矛盾，所以最小的一项应为2．易知符合条件的仅有(2,4,8)1组．综合上述情况，仅有(1,2,4)，(1,3,9)，(1,2,4,8)，(2,4,8)共4组符合条件．（4分）而抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP=4511．（6分）（2）①当抽取的数有3项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3)，(2,3,4)，…，(7,8,9)共7组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5)，(2,4,6)，…，(5,7,9)共5组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd=3 ，则有(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)共3组符合条件．（IV）若该等差数列的公差dd=4 ，则仅有(1,5,9)1组符合条件．（V）若该等差数列的公差dd≥5 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 7+5+3+1=16 组符合条件．（8分）②当抽取的数有4项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4)，(2,3,4,5)，…，(6,7,8,9)共6组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5,7)，(2,4,6,8)，(3,5,7,9)共3组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 6+3=9 组符合条件．（10分）③当抽取的数有5项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4,5)，(2,3,4,5,6)，…，(5,6,7,8,9)共5组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则仅有(1,3,5,7,9)1组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 5+1=6 组符合条件．（12分）以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、3、2、1组，综上所述，满足条件的选取组合共有 16+9+6+4+3+2+1=41 组，（14分）由（1），抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP2=41511．（15分）18.（17分）（1）ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)，xx∈(−1,+∞)，（2分）观察得ff(0)=0 ，即xx=0 为其零点，（4分）ff′(xx)=aa−1−1xx+1−ln(xx+1)所以ff′(0)=aa−2=0 ，即aa=2 ．故aa的值为2．（6分）（2）由（1）得yy=ff(xx)必经过原点，若需使yy=ff(xx)经过四个象限，则ff(xx)需在区间(−1,0)和(0,+∞)上均至少存在一个零点，令 ff (xx )=aaxx −(xx +2)ln (xx +1)=0 ⟹aa =(xx+2)ln (xx+1)xx (xx ≠0) 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根． 设函数 gg (xx )=(xx +2)ln (xx +1)xx，gg ′(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1)(xx +1)xx 2 ， 令 ℎ(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1) ，ℎ′(xx )=2[xx −ln (xx +1)] ， 令 φφ(xx )=xx −ln (xx +1) ，φφ′(xx )=xx xx+1 ，当 xx ∈(−1,0) 时，φφ′(xx )<0 ，φφ(xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞) 时，φφ′(xx )>0 ，φφ(xx ) 单调递增．所以 xx =0 是 φφ(xx ) 的极小值点，φφ(xx )min =φφ(0)=0 ． 所以 φφ(xx )≥0 恒成立，即 ℎ′(xx )≥0 ，故 ℎ(xx ) 单调递增．又 ℎ(0)=0 ，所以当 xx ∈(−1,0)时，ℎ(xx )<ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )<0 ，所以 gg (xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞)时，ℎ(xx )>ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )>0 ，所以 gg (xx ) 单调递增．又当 xx →0 时，gg (xx )→2 ，所以要使得 gg (xx )=aa 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根，aa 需满足 aa ∈(2,+∞) ． 综上所述，若 ff (xx ) 的图像经过四个象限，则 aa ∈(2,+∞) ． （17分） （方法不唯一，若考生从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）19.（17分）（1）我们需证 RR 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：①封闭性：对 aa ,bb ∈RR ，则 aa +bb ∈RR ，封闭性成立．（1分） ②结合律：对 aa ,bb ,cc ∈RR ，aa +(bb +cc )=(aa +bb )+cc ，结合律成立． （2分）③恒等元：取 ee =0∈RR ，则对任意 aa ∈RR ，0+aa =aa ．符合恒等元要求．（3分） ④逆：对任意 aa ∈RR ，bb =−aa ∈RR ，且 aa +bb =aa +(−aa )=0=ee ，满足逆的存在性．（4分）综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群 RR + ． （2）首先提出，BB 的“×”运算可以是复数的乘法：zz 1zz 2 (∀zz 1,zz 2∈BB ) ，理由如下．（6分）即证明 SS 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：①封闭性：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，其中 zz 1,zz 2∈BB ，即 aa 2+bb 2=cc 2+dd 2=1 ．则 zz 1zz 2=(aa +bb i )(cc +dd i )=(aacc −bbdd )+(aadd +bbcc )i ， 所以 |zz 1zz 2|=�(aacc −bbdd )2+(aadd +bbcc )2=√aa 2cc 2+bb 2dd 2+aa 2dd 2+bb 2cc 2 =�cc 2(aa 2+bb 2)+dd 2(aa 2+bb 2)=√cc 2+dd 2=1 ，即 zz 1zz 2∈BB ，封闭性成立． （7分） ②结合律：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，zz 3=ee +ff i ，其中 zz 1,zz 2,zz 3∈BB ，zz1(zz2zz3)=(aa+bb i)[(ccee−ddff)+(ccff+ddee)i]=[aa(ccee−ddff)−bb(ccff+ddee)]+[aa(ccff+ddee)+bb(ccee−ddff)]i(zz1zz2)zz3=[(aacc−bbdd)+(aadd+bbcc)i](ee+ff i)=[ee(aacc−bbdd)−ff(aadd+bbcc)]+[ff(aacc−bbdd)+ee(aadd+bbcc)]对比后容易发现，zz1(zz2zz3)和(zz1zz2)zz3实部和虚部分别对应相等，即zz1(zz2zz3)=(zz1zz2)zz3，结合律成立．（8分）③恒等元：取ee=1∈BB，则对任意zz∈BB，1·zz=zz，符合恒等元要求．（9分）④逆的存在性：对任意zz=aa+bb i∈BB，取其共轭zz̅=aa−bb i ，则zz·zz̅=aa2+bb2=1=ee，满足逆的存在性．（10分）综上所述，BB在复数的乘法运算下构成一个群BB×．（构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法应据实际情况酌情赋分）（3）所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群，理由如下．（11分）若群GG×的阶数为0，则GG为空集，与定义矛盾．所以GG×的阶数为1,2,3,4．下逐一证明．①若群GG×的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（12分）②若群GG×的阶数为2，设其元素为ee,aa，其中ee是恒等元，则ee×aa=aa×ee=aa，符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（13分）③若群GG×的阶数为3，设其元素为ee,aa,bb，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．若aa×bb=aa，又aa×ee=aa，推出bb=ee，则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．所以aa×bb=ee．现要验证交换律，即aa×bb=bb×aa=ee．事实上，若bb×aa≠ee，有前知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以bb×aa∉GG×，与群的封闭性矛盾．所以aa×bb=bb×aa，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（15分）④若群GG×的阶数为4，设其元素为ee,aa,bb,cc，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．由③的分析可知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以aa×bb=ee或aa×bb=cc．若aa×bb=ee．由群中逆的存在性，群GG×中存在一个元素rr使得rrcc=ee，很明显rr≠ee，所以rr=aa或rr=bb．假设rr=aa，即aa×cc=ee，又aa×bb=ee，推出bb=cc则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．故只能aa×bb=cc．先证交换律对aa,bb成立，即aa×bb=bb×aa．事实上，若bb×aa≠aa×bb=cc，则由aa×bb∈GG×，aa×bb只能等于ee．又cc×ee=cc≠ee，cc×bb≠aa×bb=ee（cc和aa同理），不满足群中逆的存在性，矛盾．所以aa×bb=bb×aa=cc．交换律对aa,bb成立．接下来只需证交换律对aa,cc和bb,cc也成立．事实上，由aa和bb的对称性，只需证aa,cc即可．由群中逆的存在性，存在qq∈{aa,bb}使得qq×cc=ee．（I）若qq=aa，则只需证cc×aa=aa×cc=ee．事实上，若cc×aa≠aa×cc=ee，由群的封闭性，cc×aa∈GG×，所以cc×aa只能等于bb，又由前有aa×bb=cc，得cc×aa=aa×bb×aa=bb，即aa×aa=1 ，但aa是任取的，该结论具有局限性，不对一般的aa成立，故矛盾．即cc×aa=aa×cc，此时交换律对aa,cc成立．（II）若qq=bb．群中逆的存在性，存在pp∈{bb,cc}使得pp×aa=ee，又aa×bb=cc≠ee，所以pp只能等于cc，即aa×cc=ee，即证cc×aa=aa×cc=ee，接下来的证法同（I），反证法推出矛盾即可．即此时交换律对aa,cc成立．故群GG×的阶数为4时，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（17分）综上所述，所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群．。
数学史复习资料
1、数学发展史上的三次危机。
①第一次数学危机：无理数的发现毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家，他曾创立毕达哥拉斯学派，“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
毕达哥拉斯定理（勾股定理）提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。
这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
由2000年后的数学家们建立的实数理论才消除它。
②第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
x(n是正整数)求导时既把△x不当做0 1734年英国哲学家、大主教贝克莱一针见血地指出牛顿在对n看而又把△x当作0看是一个严重的自相矛盾，从而几乎使微积分停滞不前。
后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近，但是永远不等于0的变量，这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上，从而消灭的这次数学危机。
③第三次数学危机：集合论悖论（或罗素悖论）的产生十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。
后来集合概念逐渐渗透到众多的数学分支中，并且实际上集合论成了数学的基础。
可是，1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！这就是著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。
然后问：S是否属于S呢？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。
无论如何都是矛盾的。
它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。
比如ZF公理系统。
这一问题的解决现在还在进行中。
罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题。
史上最全的初中数学必考知识点汇总
( x y) 2 4( x y) 12
分析：可看成是 x 2 和(x+y) 的二次三项式，先 用十字相乘法，初步分解。
解：略
[ 规律总结 ] 应用十字相乘法时，注意某一项可 是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时 还需要连续用十字相乘法。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉， 往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反 数。
（ 1）实数 a 的相反数是 -a ； （ 2） a 和 b 互为相 反数 a+b=0
2、倒数：
（ 1）实数 a（ a≠ 0）的倒数是 1 ；（ 2） a 和 b 互
（ 1）如果多项式的各项有公因式，那么先提 公因式；
（ 2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可 否运用公式或十字相乘法；
（ 3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法 分解，不行的再用求根公式法。
（ 4）最后考虑用分组分解法。
四、分式
1 、分式定义：形如 A 的式子叫分式，其中 A、
B
B 是整式，且 B 中含有字母。
2、运算
（ 1）整式的加减：
合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果 作为系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“ +”号，把括号和 它前面的“ +”号去掉，括号里各项都不变；括号 前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉， 括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“ +”号，括到括号 里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号 里的各项都变号。
4、n 次方根
（ 1）平方根，算术平方根：设 a≥0，称 a 叫 a 的平方根， a 叫 a 的算术平方根。
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题看似侮辱智商，实则智商压制这是一篇最近很火的文章。
一个常见题目，貌似易解的题目出发，发现背后竟然蕴藏了深奥的大道理。
这其实是很多问题，尤其是数论题目的特点：很容易理解，但很难做。
在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人（Scridhar，这个人是不是你？）。
我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。
它长这个样：你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。
但这个问题不是。
这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。
大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶级大学非数论方向的数学家。
它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
（顺便说一句。
发布的人实际上不是Scridhar，或者说不能怪他。
）你可能会这样想，如果所有的尝试都失败了，我们还可以直接用电脑计算大力出奇迹。
这年头，写个电脑程序解决这种形式简单的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那电脑最终一定会找出来。
但很抱歉，大错特错。
用电脑暴力计算在这里毫无用处。
如果不把Quora的读者都当作椭圆曲线的入门者的话，我不知道怎么才能写出适合的答案。
我在这能做的只是一个简要的概览。
主要参考文献是最近Bremmer和MacLeod2014年在《数学和信息学年鉴（Annales Mathematicae etInformaticae）》上发表的一篇名为《一个不一般的立体代表性问题（An unusual cubic representationproblem）》的精彩论文。
让我们开始吧。
我们求解的是这个方程的整数解：(为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了)面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。
离散数学(近世代数)
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算.
11
(6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
12
二元运算的表示
算符：∘, ∗, · , 等符号 表示二元运算 , 对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z； 表示二元的方法： 公式、 运算表
13
二元运算的表示（续）
31
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>, <x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2> 例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
18
消去律
实例: Z, Q, R 关于普通加法满足消去律. Z\{0}, Q\{0}, R\{0} 关于普通乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律.
19
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律.
中国古代数学ppt课件
4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
线性代数简史
线性代数简史线性代数是高等代数的一个分支，是研究具有线性关系的代数量的一门学科。
历史上，线性代数中的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又反过来促进了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
此外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促进了线性代数的进一步发展。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式：行列式的概念最初是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一－－莱布尼兹(Leibnitz)。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并指出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704‐1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
1764年，法国数学家贝祖 (E.Bezout,1730‐1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化；对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明了系数行列式等于零是该方程组有非零解的条件。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (Vandermonde，1735‐1796) 。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
1772 年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。
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虽然毕达哥拉斯学派发现了无理数，但他们却严 禁泄露这一重要的发现，原因是这一发现彻底摧毁 了学派赖以安身立命的根本信念：“万物皆数”。 他们认为：“人们所知道的一切事物都包含数，因 此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事 物”。但要注意，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整 数，而分数是被看作两个整数之比。但是很不幸， 是他们自己发现了正方形的对角线与边的长度之比 不能用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表 示，也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即 有理数）使它平方后等于2，这就动摇了他们“万物 皆数”的根本信念。他们无法解释到底世界发生了 什么事情，学派内部引起了极大的思想混乱。
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奇妙的自然数
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数， 是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样 自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认 真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。 聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自 然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的 了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。 数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人 的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。 有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加 法，从1一直加到100数，学史谁简介算ppt 不到就不准回家。
随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心目
中取得合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论。关
于实数理论现在已广泛应用于科学技术和日常生活之
中。
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中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆 周率的计算。不过由于中国古算与古希腊数学有 着不同的传统，希腊人总是将数与形截然分开， 对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度。中国算 学中数与形是有机统一的，中国人自始至终对关 于无限的问题总是泰然处之，能够正视无理数。
职测a类知识点总结
职测a类知识点总结一、常识判断。
1. 政治常识。
- 马克思主义基本原理：包括辩证唯物主义（物质与意识的辩证关系、唯物辩证法的三大规律等）和历史唯物主义（社会存在与社会意识的辩证关系、人民群众是历史的创造者等）。
- 中国特色社会主义理论体系：邓小平理论（改革开放、社会主义市场经济等核心思想）、“三个代表”重要思想（始终代表中国先进生产力的发展要求、始终代表中国先进文化的前进方向、始终代表中国最广大人民的根本利益）、科学发展观（以人为本，全面、协调、可持续的发展观）、习近平新时代中国特色社会主义思想（新时代我国社会主要矛盾的转化、“四个全面”战略布局、“五位一体”总体布局等）。
- 时事政治：关注近一年来国内外重大政治事件，如重要国际会议（如G20峰会等）、国内的重大政策出台（如乡村振兴战略的推进举措等）。
2. 经济常识。
- 微观经济：供求关系（影响价格的因素、均衡价格等）、市场结构（完全竞争市场、垄断竞争市场、寡头垄断市场、完全垄断市场的特点）、企业经营（企业成本、利润、市场竞争策略等）。
- 宏观经济：宏观调控目标（促进经济增长、稳定物价、增加就业、保持国际收支平衡）、财政政策（财政收入与支出、税收政策等）、货币政策（货币供应量、利率、汇率等货币政策工具）、经济全球化（国际贸易、国际投资等相关概念和影响）。
3. 法律常识。
- 宪法：国家的基本制度（国体、政体等）、公民的基本权利和义务、国家机构的组成和职能。
- 民法：民事主体（自然人、法人、非法人组织）、民事法律行为（有效、无效、可撤销等情形）、物权（所有权、用益物权、担保物权）、债权（合同之债、侵权之债等）、婚姻家庭法（结婚、离婚的条件和程序等）、继承法（法定继承、遗嘱继承等）。
- 刑法：犯罪构成（犯罪主体、犯罪主观方面、犯罪客体、犯罪客观方面）、刑罚种类（主刑和附加刑）、常见犯罪类型（如盗窃、抢劫、贪污受贿等犯罪的认定）。
- 行政法：行政主体、行政行为（具体行政行为和抽象行政行为）、行政许可、行政处罚、行政复议、行政诉讼等。
中国数学史
中国数学史数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合．中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号．到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了．西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形．为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具．据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具．商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物．公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子．《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程．春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的．这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高．战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关．名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”．还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题．而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物．墨家给出一些数学定义．例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等．墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点．名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果．名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的．中国古代数学体系的形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展．中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现．《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著．例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的．其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的．就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系．《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等．这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的．秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性．最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的．《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书．它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展．中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高．吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期．赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础．赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一．他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献．在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位．刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者．他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展．刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250．刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题．在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径．东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态．祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步．他们的数学工作主要有：计算出圆周率在 3.1415926～3.1415927之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等．据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果．他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113．祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久．祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理．祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式．隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展．唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况．王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础．此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的．唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人．由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准．李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的．他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的．隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容．算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革．其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革．尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显．但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行．算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用．唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算．中国古代数学的繁荣960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻．这些都为数学发展创造了良好的条件．从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰．从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪．杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子．根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法．这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年．把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益．《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子．秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题．为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型．当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展．在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年．元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题．秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式．用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题．现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》．从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造．留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》．朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中．朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数．重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解．这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年．勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足．李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容．已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算．元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题．不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确．但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径．中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期．宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法．与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现．但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代．宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果．此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的．宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义．秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义．所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素．中西方数学的融合中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度．在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落．16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始．从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及．明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行．前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中．随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善．例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等．程大位的著作在国内外流传很广，影响很大．1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》．1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷．《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说．作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来．在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》．《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用．徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”．《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响．其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》．《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法．《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角．所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的．1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等．穆尼阁去世后，薛凤柞据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来．《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》．前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数．后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等．方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释．对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用．清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等．梅文鼎是集中西数学之大成者．他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机．年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作．清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作．1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书．1721年完成《律历渊源》100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版．其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表．由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响．综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果．这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了．雍正即位以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍．乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派．随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮．其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等．他们的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的．与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人．这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响．1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国．首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学．第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作．其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等．《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本．在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了．戊戌变法以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书．在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果．由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究．直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始．注：以上内容根据中国数学史和网络资料摘编而成。