高数定理定义总结

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高数的经典定理

高数的经典定理一、引言高等数学，作为数学的一个重要分支，主要研究变量、函数、极限、连续性、可微性和积分等概念。

其中，一些经典定理在学科中占据着核心地位，它们不仅展示了数学的严谨性，而且在实际应用中发挥了巨大作用。

本文将介绍几个高数的经典定理，探讨其证明和应用。

二、高数的经典定理1.极限定理：极限定理描述了函数在某点或无穷远点的行为。

特别是，如果一个函数在某点的极限存在，那么在该点附近的行为可以由该极限值来描述。

这个定理在高数的许多其他概念中都有应用，如连续性、可微性和积分。

2.微积分基本定理：微积分基本定理将函数的积分与它的原函数联系起来，为计算定积分提供了有效的方法。

这个定理是微积分学的基石，是解决各种实际问题的有力工具。

3.泰勒展开式：泰勒展开式是一个函数的无穷级数展开，它为研究函数的性质提供了深入的视角。

这个定理在高数和复变函数中都有广泛应用。

三、定理的应用让我们通过一个实际例子来理解这些定理的应用。

考虑如何计算一个复杂函数的定积分。

我们可以使用微积分基本定理将问题转化为求原函数的问题，然后利用泰勒展开式得到一个级数近似，最终找到我们所需的积分值。

这种方法在实际中具有广泛的用途，特别是在处理复杂物理模型时。

四、高数经典定理的价值和重要性高数的经典定理不仅在数学领域内具有重要价值，而且在解决实际问题时也表现出其独特的优势。

这些定理为复杂问题的解决提供了有效的策略和工具，大大提高了问题解决的效率和准确性。

同时，这些定理也展示了数学的严谨性和美感，激发了人们对数学的兴趣和热爱。

五、与其他领域的比较在数学的其他分支和许多专业领域中，也有许多重要的定理和概念。

例如，线性代数中的特征值和特征向量、概率论中的大数定律等。

这些定理都具有深远的影响和应用。

然而，与高数的经典定理相比，它们更侧重于特定领域或问题的解决，而高数的经典定理则具有更广泛的适用性和更强的构造性。

六、结论高数的经典定理是高等数学的核心内容，它们不仅在高数领域中发挥着关键作用，而且在实际应用中也表现出其强大的威力。

高数三大定理

高数三大定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一。

它的基本思想是将函数的导数与函数在两个不同点上的函数值联系起来，从而推导出在这两个点之间存在一个点，使得函数在这个点的导数等于函数在这两个点上的函数值的斜率，即斜率相等。

数学符号表示为：设$f(x)$在区间$[a,b]$内连续，且在区间$(a,b)$内可导，则存在$c\in(a,b)$，使得：$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$其中$c$的取值在$a$和$b$之间。

2.柯西中值定理与拉格朗日中值定理相似，柯西中值定理是另一个在微积分中常见的定理。

假设$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$内均连续，在区间$(a,b)$内均可导，且$g'(x)\neq0$，则存在$c\in(a,b)$使得：$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$柯西中值定理的意义在于，它通过某种方式将两个不同的函数$f(x)$和$g(x)$关联起来，进而描述它们在某个点上的关系。

这个定理在解析几何和微积分中的应用非常广泛。

3.泰勒定理泰勒定理是微积分学中非常基础的定理，它告诉我们在某个点附近，任何光滑函数都可以用它在该点的导数和高阶导数来近似表示。

具体而言，设$f(x)$在$x=a$处具有$n+1$阶导数，则对于$a$的充分小的邻域$U(a)$，存在常数$c_0,c_1,\cdots,c_n$，使得：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+c_n(x-a)^{n+1}$$其中$c_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$，其中$\xi$是$a$和$x$的某个值。

泰勒定理是微积分中的重要工具，它在物理学、工程学和自然科学上具有广泛的应用。

数学高数定理定义总结

数学高数定理定义总结高数定理是数学分析中的重要定理之一，它统一了微积分的各个概念和工具，形成了系统完备的理论体系。

高数定理包括极限定理、连续性定理、导数与微分定理、积分定理等。

首先是极限定理。

极限是研究函数变化趋势的重要工具，极限定理给出了计算极限的有用方法。

其中包括夹逼准则、单调有界数列的极限、函数极限的保号性等等。

这些定理可以用来证明一些重要的极限，如正弦函数的极限、指数函数的极限等。

其次是连续性定理。

连续性是函数的一个重要特性，连续性定理给出了一些充分条件和必要条件。

其中包括闭区间上连续函数的性质、有界函数的连续性、连续函数的保号性等等。

这些定理可以用来证明一些重要的连续函数，如多项式函数的连续性、指数函数的连续性等。

导数与微分定理是高阶微积分理论的核心内容，它们给出了函数的变化率和微分的相关性质。

其中包括导数的定义和性质、微分的定义和性质、函数递增和递减的判定方法等等。

这些定理可以用来证明一些重要的导数和微分公式，如常数函数的导数、幂函数的导数等。

积分定理是微积分中的另一个重要分支，它研究的是函数的区间上的积累性质。

其中包括不定积分的基本定理、定积分的基本定理、微积分基本定理等等。

这些定理可以用来计算一些重要的积分，如多项式函数的不定积分、定积分的性质等。

高数定理的最终目标是建立一个完整的微积分体系，使得我们能够更好地理解和处理实际问题。

在应用中，高数定理可以用来解决诸如曲线的弧长、区域的面积、体积、质心等问题。

同时，高数定理还在其他学科领域发挥重要作用，如物理学中的运动学、力学等。

总之，高数定理是微积分理论的核心内容，它们给出了一些重要的概念和工具，为我们理解函数和计算变化率提供了重要的基础。

通过深入学习和应用高数定理，我们可以提高数学思维能力和问题解决能力，为其他学科领域的研究和应用提供有力支持。

高等数学公式定理(全)

高等数学公式·平方关系：s i n^2(α)+c o s^2(α)=1 t a n^2(α)+1=s e c^2(α)c o t^2(α)+1=c s c^2(α)·积的关系：s i nα=t a nα*c o sαc o sα=c o tα*s i nαt a nα=s i nα*s e cαc o tα=c o sα*c s cαs e cα=t a nα*c s cαc s cα=s e cα*c o tα·倒数关系：t a nα·c o tα=1s i nα·c s cα=1c o sα·s e cα=1直角三角形A B C中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：c o s(α+β)=c o sα·c o sβ-s i nα·s i nβc o s(α-β)=c o sα·c o sβ+s i nα·s i nβs i n(α±β)=s i nα·c o sβ±c o sα·s i nβt a n(α+β)=(t a nα+t a n β)/(1-t a nα·t a nβ)t a n(α-β)=(t a nα-t a n β)/(1+t a nα·t a nβ)·三角和的三角函数：s i n(α+β+γ)=s i nα·c o s β·c o sγ+c o sα·s i nβ·c o s γ+c o sα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·s i nγc o s(α+β+γ)=c o sα·c o sβ·c o sγ-c o sα·s i nβ·s i nγ-s i nα·c o sβ·s i nγ-s i nα·s i nβ·c o sγt a n(α+β+γ)=(t a nα+t a nβ+t a nγ-t a nα·t a nβ·t a nγ)/(1-t a nα·t a nβ-t a nβ·t a nγ-t a nγ·t a nα)·辅助角公式：A s i nα+B c o sα=(A^2+B^2)^(1/2)s i n(α+t)，其中s i n t=B/(A^2+B^2)^(1/2) c o s t=A/(A^2+B^2)^(1/2) t a n t=B/AA s i nα+B c o sα=(A^2+B^2)^(1/2)c o s(α-t)，t a n t=A/B·倍角公式：s i n(2α)=2s i nα·c o sα=2/(t a nα+c o tα)c o s(2α)=c o s^2(α)-s i n^2(α)= 2c o s^2(α)-1=1-2s i n^2(α)t a n(2α)=2t a nα/[1-t a n^2(α)]·三倍角公式：s i n(3α)=3s i nα-4s i n^3(α)c o s(3α)=4c o s^3(α)-3c o sα·半角公式：s i n(α/2)=±√((1-c o sα)/2)c o s(α/2)=±√((1+c o sα)/2)t a n(α/2)=±√((1-c o sα)/(1+c o sα))=s i nα/(1+c o sα)=(1-c o sα)/s i nα·降幂公式s i n^2(α)=(1-c o s(2α))/2=v e r s i n(2α)/2c o s^2(α)=(1+c o s(2α))/2=c o v e r s(2α)/2t a n^2(α)=(1-c o s(2α))/(1+c o s(2α))·万能公式：s i nα=2t a n(α/2)/[1+t a n^2(α/2)]c o sα=[1-t a n^2(α/2)]/[1+t a n^2(α/2)] t a nα=2t a n(α/2)/[1-t a n^2(α/2)]·积化和差公式：s i nα·c o sβ=(1/2)[s i n(α+β)+s i n(α-β)]c o sα·s i nβ=(1/2)[s i n(α+β)-s i n(α-β)]c o sα·c o sβ=(1/2)[c o s(α+β)+c o s(α-β)]s i nα·s i nβ=-(1/2)[c o s(α+β)-c o s(α-β)]·和差化积公式：s i nα+s i nβ=2s i n[(α+β)/2]c o s[(α-β)/2]s i nα-s i nβ=2c o s[(α+β)/2]s i n[(α-β)/2]c o sα+c o sβ=2c o s[(α+β)/2]c o s[(α-β)/2]c o sα-c o sβ=-2s i n[(α+β)/2]s i n[(α-β)/2]·推导公式t a nα+c o tα=2/s i n2αt a nα-c o tα=-2c o t2α1+c o s2α=2c o s^2α1-c o s2α=2s i n^2α1+s i nα=(s i nα/2+c o sα/2)^2·其他：s i nα+s i n(α+2π/n)+s i n(α+2π*2/n)+s i n(α+2π*3/n)+……+s i n[α+2π*(n-1)/n]=0c o sα+c o s(α+2π/n)+c o s(α+2π*2/n)+c o s(α+2π*3/n)+……+c o s[α+2π*(n-1)/n]=0以及s i n^2(α)+s i n^2(α-2π/3)+s i n^2(α+2π/3)=3/2 t a n A t a n B t a n(A+B)+t a n A +t a n B-t a n(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n（2kπ＋α）＝s i nαc o s（2kπ＋α）＝c o sαt a n（2kπ＋α）＝t a nαc o t（2kπ＋α）＝c o tα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n（π＋α）＝－s i nαc o s（π＋α）＝－c o sαt a n（π＋α）＝t a nαc o t（π＋α）＝c o tα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：s i n（－α）＝－s i nαc o s（－α）＝c o sαt a n（－α）＝－t a nαc o t（－α）＝－c o tα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：s i n（π－α）＝s i nαc o s（π－α）＝－c o sαt a n（π－α）＝－t a nαc o t（π－α）＝－c o tα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：s i n（2π－α）＝－s i nαc o s（2π－α）＝c o sαt a n（2π－α）＝－t a nαc o t（2π－α）＝－c o tα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：s i n（π/2＋α）＝c o sαc o s（π/2＋α）＝－s i nαt a n（π/2＋α）＝－c o tαc o t（π/2＋α）＝－t a nαs i n（π/2－α）＝c o sαc o s（π/2－α）＝s i nαt a n（π/2－α）＝c o tαc o t（π/2－α）＝t a nαs i n（3π/2＋α）＝－c o sαc o s（3π/2＋α）＝s i nαt a n（3π/2＋α）＝－c o tαc o t（3π/2＋α）＝－t a nαs i n（3π/2－α）＝－c o sαc o s（3π/2－α）＝－s i nαt a n（3π/2－α）＝c o tαc o t（3π/2－α）＝t a nα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：s i n x=[e^(i x)-e^(-i x)]/(2i)c o s x=[e^(i x)+e^(-i x)]/2t a n x=[e^(i x)-e^(-i x)]/[i e^(i x)+i e^(-i x)]泰勒展开有无穷级数，e^z=e x p(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

常用高数定理

高中常用高数定理1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<c<b)初等作法：形如丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(或者≥），求k取值范围。

解：丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨≤k当x2→x1时，丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨=f'(x1)≤k<=>丨f'(x)丨≤k i丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1令h1(x）=f(x)-kx h2(x)=f(x)+kx由i知h1'(x）=f'(x)-k≤0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-k^2〕/h1'(x）≥0=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+k x1=>k≥丨f'(x)丨max例题：06年四川高考理数21已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,f(x）的导数为f'(x),对任意两个不相等的正数x1、x2证明：当a<4时，丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x1-x2丨解：丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨>1当x2→x1时，丨〔f’(x2)-f’(x1)〕／（x2-x1)丨=丨f'(x1)丨>1<=>丨f''(x1)丨>1 i =>a<4/x+x^2<4丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f'(x2)≥f'(x1)时，f'(x2)-x2>f'(x1)-x1 ii当f'(x1)≥f'(x2)时，f'(x2)+kx2<f'(x1)+kx1 iii令h1(x）=f'(x)-x h2(x)=f'(x)+x由i知h1'(x）=f'(x)-1>0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-1〕/h1'(x）-1<0=>ii、iii成立=>丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨（当a<4时)2：单调有界原理若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。

高数基础知识的简明总结与归纳

高数基础知识的简明总结与归纳
高数，作为数学的一个分支，是许多学科的基础。

本文将简要概述和总结高数中的一些基本概念和定理，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。

一、极限论
极限论是高等数学的基础，它涉及到函数的变化趋势和无穷小量的概念。

极限的定义是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，其中a是x的某一取值，A是f(x)在a处的极限。

二、导数与微分
导数是函数在某一点的切线的斜率，表示函数在该点的变化率。

微分则是函数值变化的近似值。

导数在几何上可以表示曲线在某一点处的切线，也可以用于求解函数的极值。

微分法则提供了计算近似值的方法，例如计算函数的增减性、极值等。

三、积分学
积分学包括不定积分和定积分。

不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算曲线与x轴所夹的面积。

定积分的应用非常广泛，例如计算物体的重心、求解变速直线运动的位移等。

四、多元函数微积分
多元函数微积分是高数的又一重要分支，它涉及到多个变量的函数及其极限、连续、可微、可积等概念。

其中，方向导数和梯度表示
函数在多维空间中的变化率，而多元函数的积分则涉及到重积分、曲线积分和曲面积分等。

五、无穷级数与幂级数
无穷级数是无穷多个数相加的结果，它可以用来表示数学中的一些公式和定理。

幂级数是无穷级数的一种特殊形式，它可以用来近似表示一些复杂的函数。

幂级数的收敛性和函数性质是研究幂级数的重要内容。

数学高数定理定义总结

数学高数定理定义总结高中数学中的高数定理是指一套基本定理和公式，包括中值定理、洛必达法则、微分学基本定理、积分学基本定理、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理等，这些定理和公式可以帮助我们简化和解决复杂的数学问题。

下面将对这些定理进行定义和总结。

1.中值定理：中值定理是微分学中的一个重要定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这些定理都与函数在一些区间内取得特定值或通过其中一点的斜率有关。

-拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于[f(b)-f(a)]/(b-a)。

-柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且g'(x)不为零，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

-罗尔中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

2.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的方法，用于计算形如[0/0]、[∞/∞]、[0*∞]、[∞-∞]等不定型的极限。

- 洛必达法则：设函数f(x)和g(x)在特定点x=a附近都可导，且g'(x)不为零，若lim[x→a]f(x) = lim[x→a]g(x) = 0或∞，则lim[x→a]f(x)/g(x) = lim[x→a]f'(x)/g'(x)。

- 微分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt在(a, b)内可导且F'(x) = f(x)，其中[a,x]表示对f(t)在区间[a,x]上的积分。

- 积分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则该区间上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以通过求该函数的一个原函数F(x)在区间[a, b]上的差F(b) - F(a)来求得。

高数十大定理

高数十大定理高数的十大定理包括有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)、微分中值定理等。

具体来说：1. 有界性：是指给定一个数集和一个常数M，存在一个确定的点，使得数集中的所有数都可以在某个区间上被这个点所限制，即数集中的所有数都不会超过这个常数M。

2. 最值定理：是指在实数集中，每一个函数都有一个最大值和一个最小值，即函数在某个区间内的最大值和最小值。

3. 零点定理：是指如果函数在区间[a,b]的两端取值异号，即f(a)⋅f(b)<0，那么在区间(a,b)内至少存在一个使f(x)=0的点。

4. 费马定理：是指对于实数n，如果有n个正整数a1,a2,...,an满足a1⋅a2...an=p(p为质数)，那么对于任何正整数n，a1,a2,...,an都是p的倍数。

5. 罗尔定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。

6. 拉格朗日中值定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

7. 柯西中值定理：是指如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。

8. 泰勒定理（泰勒公式）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上存在n阶导数，那么对于任何x∈[a,b]，都存在一个以x为中心的极小值点ξ，使得f(x)=f(ξ)+f'(ξ)(x-ξ)+f''(ξ)(x-ξ)^2/2!+...+f^(n)(ξ)(x-ξ)^n/n!+...。

大学数学高等数学的基本概念与定理

大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。

在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。

本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。

第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。

在数学中，数列是研究极限的基础。

极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。

1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。

数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。

2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。

如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。

3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。

1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。

数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。

如果数列不收敛，则称数列发散。

2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。

如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。

第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。

在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。

2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。

考研数学高数定理定义总结

考研数学高数定理定义总结高数定理是大学数学中的重要内容，包括了极限、连续性和可微性、中值定理、导数与微分以及积分和微分方程几个方面。

以下是这些定理的定义总结：1.极限：极限是函数论中最基本的概念之一、设函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，有$，f(x)-A，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

2.连续性和可微性：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义是：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

函数在点$x_0$处可微的定义是：如果函数$f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，并且存在常数$A$，使得$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)A+o(x-x_0)，x\to x_0$$则称函数$f(x)$在$x_0$处可微。

3.中值定理：中值定理是微积分中的重要定理之一、设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可微。

则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$，其中$f'(c)$是$f(x)$在点$c$处的导数。

4.导数与微分：设函数$f(x)$在点$x$处有定义。

如果极限$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$。

函数$f(x)$在点$x$处的微分定义为$df=f'(x)dx$。

5.积分：积分是微积分中的重要概念之一、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]$，其中$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$。

高数高斯定理

高数高斯定理高数高斯定理，又称为高斯积分定理，是数学中的一个重要定理，它是由德国数学家高斯在19世纪初提出的。

高斯定理是微积分中的一个重要工具，它能将曲线的积分转化为曲面的积分，从而简化了计算过程，提高了计算效率。

高斯定理的核心思想是将一个曲线的积分转化为该曲线所围成的曲面的积分。

具体而言，对于一个向量场F，高斯定理可以表示为：∮F·dS = ∬(∇·F)dV其中，∮F·dS表示曲线C所围成的曲面S上的向量场F的法向量与dS的点积的累加和，∬(∇·F)dV表示曲线C所围成的曲面S的内部体积的散度的积分。

高斯定理在物理学中有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，高斯定理可以用来计算电场的通量，即通过一个闭合曲面内的电场总量。

在流体力学中，高斯定理可以用来计算流体速度的通量，即通过一个曲面的流体质量。

为了更好地理解高斯定理，我们可以通过一个简单的例子来进行说明。

假设有一个球体，我们希望计算球体表面上的向外的电场通量。

根据高斯定理，我们可以将这个问题转化为计算整个球体内部的电场散度的积分。

由于球体内部电场的散度为零，所以根据高斯定理，球体表面上的电场通量也为零。

这个例子说明了高斯定理的实际应用。

高斯定理不仅可以用于三维空间中的曲面积分，还可以推广到更高维的情况。

例如，在四维空间中，高斯定理可以用于计算三维曲面围成的四维曲面的通量。

这种推广使得高斯定理在更广泛的数学领域中有了应用。

总结一下，高数高斯定理是数学中的一个重要定理，它能将曲线的积分转化为曲面的积分，简化了计算过程，提高了计算效率。

高斯定理在物理学中有着广泛的应用，可以用来计算电场、流体速度等的通量。

高斯定理可以推广到更高维的情况，扩展了其应用范围。

通过学习和理解高斯定理，我们可以更好地理解和应用微积分中的概念和方法，提高数学和物理学的学习能力和研究水平。

高数极限与数列公式定理总结大全

高数极限与数列公式定理总结大全高数极限与数列公式定理总结大全一、极限1.极限的定义：当一个数列中的项数n无限增大时，如果数列的项趋近于一个确定的数值，则称这个数值为这一数列的极限。

2.极限的性质：极限具有唯一性、有界性、收敛性。

3.极限的求法：通常有直接观察法、定义法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒公式等方法。

4.重要极限：lim(1+1/n)^n=e；lim(sinx/x)=1(x趋向于无穷)。

二、数列1.等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则称这个数列为等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差。

2.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则称这个数列为等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比。

3.数列的求和：通常有公式求和法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法等方法。

4.数列的通项公式：通常有直接观察法、构造法、递推关系式法等方法。

5.数列的极限：当数列的项数n无限增大时，如果数列的项趋近于一个确定的数值，则称这个数值为这一数列的极限。

三、导数与微分1.导数的定义：导数是函数在某一点的变化率，反映了函数在这一点附近的局部性质。

2.导数的几何意义：在曲线上某点的切线斜率即为该点的导数值。

3.导数的运算：导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

4.微分的定义：微分是函数在某一点附近的近似值，可以用来近似计算函数在某一点的值。

5.微分的应用：微分主要用于近似计算和误差估计等方面。

四、积分1.定积分的定义：定积分是函数在区间上的积分和，表示函数在这个区间上的平均值。

2.定积分的性质：定积分具有非负性、可加性、可减性等性质。

3.微积分基本定理：微积分基本定理说明了定积分与被积函数的原函数之间的关系。

4.不定积分的定义：不定积分是函数的一组原函数，表示该函数的无穷多个可能的值。

5.不定积分的性质：不定积分具有线性性、可加性等性质。

6.积分的应用：积分在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用，如求面积、体积、长度等。

高数定理定义总结

高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

数一高数定理定义总结

数一高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

高数定理大解析必背

高等数学定理大解析-考研必捋版考研大纲要求范围+高数重点知识第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界;K1为下界；如果有fx≤K2;则有上界;K 2称为上界..函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界..2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期3、数列的极限定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限..定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛;那么数列{xn}一定有界..如果数列{xn}无界;那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界;却不能断定数列{xn}一定收敛;例如数列1;-1;1;-1;-1n+1…该数列有界但是发散;所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件..定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a;那么它的任一子数列也收敛于a..●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限;那么数列{xn}是发散的;如数列1;-1;1;-1;-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1;{xnk}收敛于-1;{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的..4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0;所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关..定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A;而且A>0或A<0;就存在着点那么x0的某一去心邻域;当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0;反之也成立..●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等;即fx0-0=fx0+0;若不相等则limfx不存在..●一般的说;如果limx→∞fx=c;则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线..如果lim x→x0fx=∞;则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线..5、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1x≥F2x;而limF1x=a;limF2x=b;那么a≥b..6、极限存在准则●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1..●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a;limzn= a;那么limxn=a;对于函数该准则也成立..●单调有界数列必有极限..7、函数的连续性●设函数y=fx在点x0的某一邻域内有定义;如果函数fx当x→x0时的极限存在;且等于它在点x0处的函数值fx0;即limx→x0fx=fx0;那么就称函数fx在点x0处连续..●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但limx→x0fx不存在；3、虽在x=x0有定义且limx→x0fx存在;但limx→x0fx≠fx0时则称函数在x0处不连续或间断..●如果x0是函数fx的间断点;但左极限及右极限都存在;则称x0为函数fx的第一类间断点左右极限相等者称可去间断点;不相等者称为跳跃间断点..非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点无穷间断点和震荡间断点..●定理有限个在某点连续的函数的和、积、商分母不为0是个在该点连续的函数..●定理如果函数fx在区间Ix上单调增加或减少且连续;那么它的反函数x=fy在对应的区间Iy={y|y=fx;x∈Ix}上单调增加或减少且连续..反三角函数在他们的定义域内都是连续的..●定理最大值最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值..如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点;那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值..●定理有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界;即m≤fx≤M..●定理零点定理设函数fx在闭区间a;b上连续;且fa与fb异号即fa×fb<0;那么在开区间a;b内至少有函数fx的一个零点;即至少有一点ξa<ξ<b使fξ=0..●定理介值定理设函数fx在闭区间a;b上连续;且在这区间的端点处取不同的值fa=A; fb=B;那么对于A与B之间的任一数C;在开区间a;b内至少有一点ξ使fξ=C;a<ξ<b..●推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值..第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件●函数fx在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限limh→-0fx0+h-fx0/h及右极限limh→+0fx0+h-fx0/h都存在且相等;即左导数f-′x0右导数f+′x0存在相等..2、函数fx在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数fx在点x0处连续≠>在该点可导..即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件..3、原函数可导则反函数也可导;且反函数的导数是原函数导数的倒数..4、函数fx在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数fx在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导..第三章中值定理与导数的应用1、定理罗尔定理如果函数fx在闭区间a;b上连续;在开区间a;b内可导;且在区间端点的函数值相等;即fa=fb;那么在开区间a;b内至少有一点ξa<ξ<b;使的函数fx在该点的导数等于零：f’ξ=0..2、定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间a;b上连续;在开区间a;b内可导;那么在开区间a;b内至少有一点ξa<ξ<b;使的等式fb-fa=f’ξb-a成立即f’ξ=fb-fa/b-a..3、定理柯西中值定理如果函数fx及Fx在闭区间a;b上连续;在开区间a;b内可导;且F’x在a;b内的每一点处均不为零;那么在开区间a;b内至少有一点ξ;使的等式fb-fa/Fb -Fa=f’ξ/F’ξ成立..4、洛必达法则应用条件●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式..5、函数单调性的判定法●设函数fx在闭区间a;b上连续;在开区间a;b内可导;那么：1 如果在a;b内f’x>0;那么函数fx在a;b上单调增加；2 如果在a;b内f’x<0;那么函数fx在a;b上单调减少..●如果函数在定义区间上连续;除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续;那么只要用方程f’x=0的根及f’x不存在的点来划分函数fx的定义区间;就能保证f’x在各个部分区间内保持固定符号;因而函数fx在每个部分区间上单调..6、函数的极值●如果函数fx在区间a;b内有定义;x0是a;b内的一个点;如果存在着点x0的一个去心邻域;对于这去心邻域内的任何点x;fx<fx0均成立;就称fx0是函数fx的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域;对于这去心邻域内的任何点x;fx>fx0均成立;就称fx0是函数fx的一个极小值..●在函数取得极值处;曲线上的切线是水平的;但曲线上有水平曲线的地方;函数不一定取得极值;即可导函数的极值点必定是它的驻点导数为0的点;但函数的驻点却不一定是极值点..●定理函数取得极值的必要条件设函数fx在x0处可导;且在x0处取得极值;那么函数在x0的导数为零;即f’x0=0..●定理函数取得极值的第一种充分条件设函数fx在x0一个邻域内可导;且f’x0=0;那么：1 如果当x取x0左侧临近的值时;f’x恒为正；当x去x0右侧临近的值时;f’x恒为负;那么函数fx在x0处取得极大值；2 如果当x取x0左侧临近的值时;f’x恒为负；当x去x0右侧临近的值时;f’x恒为正;那么函数fx在x0处取得极小值；3 如果当x取x0左右两侧临近的值时;f’x恒为正或恒为负;那么函数fx在x0处没有极值..●定理函数取得极值的第二种充分条件设函数fx在x0处具有二阶导数且f’x0=0; f’’x0≠0那么：1当f’’x0<0时;函数fx在x0处取得极大值；2当f’’x0>0时;函数fx在x0处取得极小值；●驻点有可能是极值点;不是驻点也有可能是极值点..7、函数的凹凸性及其判定设fx在区间Ix上连续;如果对任意两点x1;x2恒有fx1+x2/2<fx1+fx1/2;那么称fx在区间Ix上图形是凹的；如果恒有fx1+x2/2>fx1+fx1/2;那么称fx在区间Ix上图形是凸的..●定理设函数fx在闭区间a;b上连续;在开区间a;b内具有一阶和二阶导数;那么1若在a;b内f’’x>0;则fx在闭区间a;b上的图形是凹的；2若在a;b内f’’x<0;则fx在闭区间a;b上的图形是凸的..●判断曲线拐点凹凸分界点的步骤1求出f’’x；2令f’’x=0;解出这方程在区间a;b内的实根；3对于2中解出的每一个实根x0;检查f’’x在x0左右两侧邻近的符号;如果f’’x在x 0左右两侧邻近分别保持一定的符号;那么当两侧的符号相反时;点x0;fx0是拐点;当两侧的符号相同时;点x0;fx0不是拐点..●在做函数图形的时候;如果函数有间断点或导数不存在的点;这些点也要作为分点..第四章不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数fx在区间I上连续;那么在区间I上存在可导函数Fx;使对任一x∈I 都有F’x=fx；简单的说连续函数一定有原函数..●分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积;就可以考虑用分部积分法;并设幂函数和指数函数为u;这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次..如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积;就可设对数和反三角函数为u..2、对于初等函数来说;在其定义区间上;它的原函数一定存在;但原函数不一定都是初等函数..第五章定积分1、定积分解决的典型问题1曲边梯形的面积 2变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设fx在区间a;b上连续;则fx在区间a;b上可积;即连续=>可积..●定理设fx在区间a;b上有界;且只有有限个间断点;则fx在区间a;b上可积..3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间a;b上fx≥0则∫abfxdx≥0..●推论如果在区间a;b上fx≤gx则∫abfxdx≤∫abgxdx..●推论|∫abfxdx|≤∫ab|fx|dx..●性质设M及m分别是函数fx在区间a;b上的最大值和最小值;则mb-a≤∫abfxdx≤Mb-a;该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围..●性质定积分中值定理如果函数fx在区间a;b上连续;则在积分区间a;b上至少存在一个点ξ;使下式成立：∫abfxdx=fξb-a..4、关于广义积分设函数fx在区间a;b上除点ca<c<b外连续;而在点c的邻域内无界;如果两个广义积分∫acfxdx与∫cbfxdx都收敛;则定义∫abfxdx=∫acfxdx+∫cbfxdx;否则只要其中一个发散就称广义积分∫abfxdx发散..第六章定积分的应用1、求平面图形的面积曲线围成的面积●直角坐标系下含参数与不含参数●极坐标系下r;θ;x=rcosθ;y=rsinθ扇形面积公式S=R2θ/2●旋转体体积由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成且体积V=∫a bπfx2dx;其中fx指曲线的方程●平行截面面积为已知的立体体积V=∫abAxdx;其中Ax为截面面积●功、水压力、引力●函数的平均值平均值y=1/b-a∫abfxdx第七章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指Px;y以任何方式趋于P0x0;y0时;函数都无限接近于A;如果Px;y以某一特殊方式;例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0x0;y0时;即使函数无限接近某一确定值;我们还不能由此断定函数极限存在..反过来;如果当Px;y以不同方式趋于P0x0;y0时;函数趋于不同的值;那么就可以断定这函数的极限不存在..例如函数：fx;y={0 xy/x^2+y^2 x^2+y^2≠02、多元函数的连续性●定义设函数fx;y在开区域或闭区域D内有定义;P0x0;y0是D的内点或边界点且P0∈D;如果limx→x0;y→y0fx;y=fx0;y0则称fx;y在点P0x0;y0连续..●性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数;在D上一定有最大值和最小值..●性质介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数;如果在D上取得两个不同的函数值;则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次..3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数;则它在该点必定连续;但对于多元函数来说;即使各偏导数在某点都存在;也不能保证函数在该点连续..这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时;函数值fP趋于fP0;但不能保证点P按任何方式趋于P0时;函数值fP都趋于fP0..4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件;但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件;即可微=>可偏导..5、多元函数可微的充分条件定理充分条件如果函数z=fx;y的偏导数存在且在点x;y连续;则函数在该点可微分..6多元函数极值存在的必要、充分条件定理必要条件设函数z=fx;y在点x0;y0具有偏导数;且在点x0;y0处有极值;则它在该点的偏导数必为零..定理充分条件设函数z=fx;y在点x0;y0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数;又f xx0;y0=0;fyx0;y0=0;令fxxx0;y0=0=A;fxyx0;y0=B;fyyx0;y0=C;则fx;y在点x0;y0处是否取得极值的条件如下：1 AC-B2>0时具有极值;且当A<0时有极大值;当A>0时有极小值；2 AC-B2<0时没有极值；3 AC-B2=0时可能有也可能没有..7、多元函数极值存在的解法1 解方程组fxx;y=0;fyx;y=0求的一切实数解;即可求得一切驻点..2 对于每一个驻点x0;y0;求出二阶偏导数的值A、B、C..3 定出AC-B2的符号;按充分条件进行判定fx0;y0是否是极大值、极小值..注意：在考虑函数的极值问题时;除了考虑函数的驻点外;如果有偏导数不存在的点;那么对这些点也应当考虑在内..第八章二重积分1、二重积分的一些应用●曲顶柱体的体积●曲面的面积A=∫∫√1+f2xx;y+f2yx;ydσ●平面薄片的质量●平面薄片的重心坐标x=1/A∫∫xdσ;y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积..●平面薄片的转动惯量Ix=∫∫y2ρx;ydσ;Iy=∫∫x2ρx;ydσ;其中ρx;y为在点x; y处的密度..●平面薄片对质点的引力FxFyFz2、二重积分存在的条件当fx;y在闭区域D上连续时;极限存在;故函数fx;y在D上的二重积分必定存在..3、二重积分的一些重要性质●性质如果在D上;fx;y≤ψx;y;则有不等式∫∫fx;ydxdy≤∫∫ψx;ydxdy;特殊地由于-|fx;y|≤fx;y≤|fx;y|又有不等式|∫∫fx;ydxdy|≤∫∫|fx; y|dxdy..●性质设M;m分别是fx;y在闭区域D上的最大值和最小值;σ是D的面积;则有mσ≤∫∫fx;ydσ≤Mσ..●性质二重积分的中值定理设函数fx;y在闭区域D上连续;σ是D的面积;则在D上至少存在一点ξ;η使得下式成立：∫∫fx;ydσ=fξ;ησ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换●把二重积分从直角坐标系换为极坐标系;只要把被积函数中的x;y分别换成ycosθ、rsinθ;并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ..。

高数重要定理(高数上下)

1.找 n；
2.确定 x0，将函数 f (x)在点 x0处展开成泰勒公式.一般题设中会
提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 x ，通常取 x 为函数值
0
0
为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中
给出的其他特殊的点.
3.将区间端点a和b分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相
加或相减.
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
求导法则： 1．四则运算法则； 2．复合函数求导法； 3．隐函数求导法； 4．反函数求导数； 5．参数方程求导法； 6．对数求导法； 7．高阶导数.
高阶导数
1．归纳法
求一阶 y′、二阶 y′′，归纳n阶导数 y(n)． 2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n) = ∑n Cnk u(k) v(n−k).
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
x→a F ′( x)
( x→∞)

高数十大定理

高数十大定理
1. 极限存在定理：若函数在某一点的左、右极限存在且相等，则该点的极限存在。

2. 泰勒展开定理：任意可导函数在某一点附近可以用其在该点的导数值来逼近。

3. 中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且导数不为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在a 和b处的导数等于函数在c处的导数。

4. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项的差的绝对值小于ε。

5. 泰勒中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上n+1次可导，则对于[a, b]内的任意一点c，存在一个介于a和c之间的点ξ，使得函数在c处的值等于其在a处展开的n次泰勒多项式加上余项。

6. 一致收敛定理：如果函数列在某个区间上点点收敛于另一个函数，且收敛过程中的极限函数仍然在该区间上连续，则称该函数列在该区间上一致收敛于极限函数。

7. 傅里叶级数定理：任意周期函数都可以用一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。

8. 法拉第电磁感应定律：当磁场的变化导致一个闭合回路中的磁通量发生变化时，该回路中将会产生感应电动势。

9. 可积性定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上可积。

10. 柯西-施瓦茨不等式：对于复数域上的两个函数f(z)和g(z)，如果它们在闭区域D上连续，且在该区域上可导，则有|∫_(z∈D) (f(z)g'(z))dz| ≤ ∫_(z∈D) |f(z)g'(z)|dz。

高等数学(上)定义定理归纳(同济六版)

高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）{}{}{}lim ,()n n n n n n n x a N n N x a a x x a x a x a n εε→∞>−<=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2）（数列极限的唯一性）{}n x 如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）{}{}n n x x 如果数列收敛，那么数列一定有界。

（4）（收敛数列的保号性）n lim ,0(0),0,,0(0).n n n x a a a N n N x x →∞=><>>><如果且或那么存在正整数当时都有或（5）（收敛数列保号性的推论）{}00lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.n x a a 如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）0000(),0,0()(),()lim ()()()x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x Ax x εδδε→><−<−<→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8）（函数极限存在的条件）000()()().f x x x f x f x −+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim ()()().x f x x A X x x X f x f x A A f x x f x A f x Ax εε→∞>−<→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10）（函数极限的唯一性）lim ().x x f x →如果存在，那么这极限唯一（11）（函数极限的局部有界性）0lim (),00,0().x x f x A M x x f x M δδ→=>><−<<如果那么存在常数和使得当时，有（12）（函数极限的局部保号性1）0lim (),0(0)00()0(()0).x x f x A A A x x f x f x δδ→=><><−<><如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13）（函数极限局部的保号性2）000lim ()(0),().2x x f x A A x U x x U x Af x →=≠∈>��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14）（函数极限局部保号性的推论）0()0(()0),lim (),0(0).x x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15）（函数极限与数列极限的关系）{}{}000lim (),(),(),()lim ()lim ().n n x x n n n x x f x x f x x x x n N f x f x f x →+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*）（Heine 归并定理）{}000lim (),()(),lim ().n n n x x n n f x x x x n x x n N f x →+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17）（无穷小的定义）0()()lim ()0,()().x x x f x f x f x x x x →→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18）（无穷小与函数极限的关系）0()()lim ()(),.x x x x x x f x A f x A αα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().f x x x M X x x x X f x M f x x x x δδ∀>∃>∃><−<>>→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）.有限个无穷小的和也是无穷小（22）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25）（函数极限运算法则）[]lim (),lim (),(1)lim ()()lim ()lim ();(2)lim[()()]lim ()lim ();lim ()()(3)0,lim .()lim ()x x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26）（数列极限运算法则）{}{}n .lim ,lim ,1lim();(2)lim ;(3)0(),0,lim.n n n n n n n n n n n n n x y A B x y A B x y A B x Ay n N B y B→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27）[]lim (),,lim ()lim ().x x x f x c cf x c f x →∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28）[]lim (),lim ()lim ().nnx x x f x n N f x f x +→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29）()(),lim (),lim (),.x x x x x a x b a b ϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30）（复合函数的极限运算法则）000000[()]()()[()]lim (),lim (),0,(,),(),lim [()]lim ().x x u u x x u u y f g x u g x y f u f g x x g x u f u A x U x g x u f g x f u A δδ→→→→=====∃>∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31）（数列极限的夹逼准则极限存在准则I ）{}{}{}{}001,,2lim ,lim ,lim .n n n n n n n n n n n n n x y z n N n n y x z y a z a x x a →∞→∞→∞∃∈>≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32）（函数极限的夹逼准则极限存在准则I ’）0()()()()1(,)()()()()(2)lim (),lim ,lim ()lim ().x x x x x x x x x x U x r x M g x f x h x g x A A f x f x A →→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈>≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33）（数列极限存在准则极限存在准则II ）.单调有界数列必有极限（34）（函数极限存在准则极限存在准则II II’’）00000()()().(,,,)f x x f x x f x x x x x x x −−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35）（柯西极限存在准则）{}00,,.n n m x N N N m N n N x x εε+∀>∃∈>>>−<数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36）（两个无穷小之间的比较）0:lim 0,lim ,lim 0,;(4)lim 0,0,.(5)lim 1,x x x k x x c c k k αβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠>=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38）（等价无穷小替换定理）''',',limlim lim .''x x x βββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39）（函数连续性的定义1）[]00000()lim lim ()()0,().x x y f x x y f x x f x y f x x ∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40）（函数连续性的定义2）000()lim ()(),().x x y f x x f x f x f x x →==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ff xg x x f g f g g x gx ±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42）（反函数的连续性）{}1()()(),().x y x y f x I x f y I y y f x x I −====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43）（复合函数的连续性1）[][]00000()()(),().lim (),(),lim ()lim ()().f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u →→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44）（复合函数的连续性2）[][][][]000000000()()(),().(),(),(),(),lim ()lim ()()().f g x x u u y f g x u g x y f u U x D u g x x x g x u y f u u u y f g x x x f g x f u f u f g x →→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.f x a b f a f b a b f ξξ⋅<=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().f x a b f a A f b B C A B a b f C ξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49）（介值定理的推论）.M m 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().f x I x I x I x x f x f x f x I εδδε∀>∃>∀∈∀∈−<−<设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51）（一致连续性定理）()[,],.f x a b 如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()lim lim lim x x x x x y f x x x x x x x yy f x x f x xy f x x y f x x f x f x x f x f yf x x x ∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即0000()(),,().x x x x x x x f x dyy x x dxdf x dx===−′−也可记作或（2）（函数可导的充分必要条件）000000()()()()()().f x x f x f x f x f x f x −+−+′′′′′==函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即（3）（可导与连续的关系）(),.y f x x =如果函数在点处可导则函数在该点必连续（4）（函数的和、差、积、商的求导法则）[]2()(),(1)()()()()(2)[()()]()()()()()()()()()(3)(()0).()()u u x v v x x x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x ==′′′±=±′′′=+′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦如果函数及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点具有导数且（5）（反函数的求导法则）{}11()()0,()11(),,().()y x y x f y I f y y f x dy I x x f y y I f x dx f y dxdy−−′=≠=′⎡⎤==∈==⎣⎦′如果函数在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导且或（6）（复合函数的求导法则）[](),()(),(),()().u g x x y f u u g x y f g x x dy dy dy du f u g x dx dx du dx====′′=⋅=⋅如果在点可导而在点可导则复合函数在点可导且其导数为或（7）（微分的定义）000000(),,()()(),,()(),,.y f x x x x y f x x f x y A x x A x y f x x A x y f x x x dy dy A x ο=+∆∆=+∆−∆=∆+∆∆=∆=∆=∆设函数在某区间内有定义及在这区间内如果增量可表示为其中是不依赖于的常数那么称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分记作即（8）（可微与可导的关系）0000()(),(),(),().f x x f x x f x x dy f x dx dy f x dx ′′==函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导且当在点可微时其微分一定是即函数微分的表达式（9）（函数和、差、积、商的微分法则）()()2()(),(1)(2)(3)(0).u u x v v x x x d u v du dv d uv vdu udv u vdu udvd v v v ==±=±=+−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠如果函数及都在点可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可微且（10）（复合函数的微分法则）[]()()()()(),().x u y f u u g x x f g x dy y dx f u g x dx dy f u du dy y du ==′′′′′====设函数及都在点处可导,则复合函数的微分为也可以写成或第三章微分中值定理与导数的应用（1）（费马引理）0000000()(),,(),()()(()()),()0.f x x U x x x U x f x f x f x f x f x ∀∈′≤≥=设函数在点的某邻域内有定义并在处可导如果对有或那么（2）（罗尔定理）[]()()(),(2),;(3),()().,()()0.f x a b a b f a f b a b a b f ξξξ=′<<=如果函数满足：(1)在闭区间上连续;在开区间上可导在区间端点处的函数值相等即那么在内至少有一点，使得（3）（拉格朗日中值定理）[]()()()(1),;(2),;,(),()()()().f x a b a b a b a b f b f a f b a ξξξ′<<−=−如果函数满足：在闭区间上连续在开区间上可导那么在内至少有一点使等式成立（4）()0,().f x I f x I 如果函数在区间上的导数恒为那么在区间上是一个常数（5）（柯西中值定理）[]()()()()()(1),;(2),;(3),,()0;()()(),,.()()()f x F x a b a b x a b F x f b f a f a b F b F a F ξξξ′∀∈≠′−=′−如果函数及满足：在闭区间上连续在开区间上可导对那么在内至少有一点使等式成立（6）（洛必达法则）000000()()()()()0()()()(1)lim ()0lim ()0,lim ()lim ()lim()0;0(2)(),()(),()0;()(3)lim ,()limx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x f x g x g x f x g x U x x X g x f x g x f →→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→→∞→→∞===∞=∞∞∞′>≠′∞′�且或者且，即极限为未定式或在某去心邻域或时可导且存在或为则0()()()lim .()()x x x x f x g x g x →→∞′=′（7）（泰勒中值定理泰勒公式）()()()()0()20000000(1)10(1)0(),(1),,,()()()()()()()()(),2!!()()()().(1)!,,(),()n n n n n n n n f x x a b n a b f x f x f x f x f x x x x x x x R x n f R x x x a b n x a b f x M R x x x ξξο++++∀∈′′′=+−+−++−+=−<<+∈≤=−⋯如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数则对x 恒有其中称为拉格朗日型余项.如果当时则有.n⎡⎤⎣⎦，称为佩亚诺型余项（8）（麦克劳林公式）()20(0)(0)0,()(0)(0)(),2!!n nn f f x f x f f x x x R x n ′′′==+++++⋯在泰勒公式中，当时称为麦克劳林公式.（9）（函数单调性的判定定理）[]()()[]()[](),,,.(1),()0,(),.(2),()0,(),.y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b =′>=′<=设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少将闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论也同样成立.（10）（曲线凹凸性的定义）1212121212(),,()(),()()();22()()(2),()()().22f x I I x x x x f x f x f f x I x x f x f x f f x I ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠设在区间上连续对上任意两点(1)如果恒有那么称在上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有那么称在上的图形是向上凸的或凸弧（11）（曲线凹凸性的判定定理）[]()()[]()[](),,,,(1),()0,(),;(2),()0,(),f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b ′′>′′<设在上连续在内具有一阶和二阶导数那么若在内则在上的图形是凹的若在内则在上的图形是凸的.（12）（函数极值的定义）000000()(),(),()()(()()),()()f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x <>�设函数在点的某邻域内有定义如果对于去心邻域内的任意一点有或那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.（13）（可导函数取得极值的必要条件）000(),,()0.f x x x f x ′=设函数在处可导且在处取得极值那么（14）（判定极值的第一充分条件）()()()()()()000000000000000(),,.(1),,()0,,,()0,();(2),,()0,,,()0,();(3),,(),().f x x x U x x x x f x x x x f x f x x x x x f x x x x f x f x x x U x f x f x x δδδδδδ′′∈−>∈+<′′∈−<∈+>′∈��设函数在处连续且在的某去心邻域内可导若时而时则在处取得极大值若时而时则在处取得极小值若时的符号保持不变则在处没有极值（15）（判定极值的第二充分条件）0000000()()0,()0,(1)()0,();(2)()0,()f x x f x f x f x f x x f x f x x ′′′=≠′′<′′>设函数在处具有二阶导数且那么当时函数在处取得极大值当时函数在处取得极小值.（16）（区间内单一极值时最值的判定）000000()(,),()(),()();(2)()()().f x x x f x f x f x f x f x f x f x 函数在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点是函数的极值点,那么(1)当是极大值时就是在该区间上的最大值当是极小值时,就是在该区间上的最小值第四章~第六章一元函数积分学（1）（原函数的定义）,()(),,()()()(),()()(()).I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I ′∀∈==如果在区间上可导函数的导函数为即对都有或那么函数就称为或在区间上的原函数（2）（原函数存在定理）(),(),()()..f x I I F x x I F x f x ∀∈′=如果函数在区间上连续那么在区间上存在可导函数使对都有即连续函数一定有原函数（3）（原函数之间的关系）{}()().()()(),()()(),(),().f x I f x F x x f x x F x C C f x F x C C ΦΦ−=+−∞<<+∞如果在区间上有一个原函数,那么就有无限多个原函数假设和均为的原函数则为某个常数且的全体原函数所组成的集合就是函数族（4）（不定积分的定义）,()()(()),().,(),(),.I f x f x f x dx I f x dx f x f x dx x ∫∫在区间上函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间上的不定积分记作其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量（5）（不定积分的性质1）[]()(),()()()().f xg x f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫设函数及的原函数存在则（6）（不定积分的性质2）(),()().f x k kf x dx k f x dx =∫∫设函数的原函数存在为非零常数,则（7）（不定积分的凑微分法第一类换元法）[]()(),(),()()()u x f u u x f x x dx f u du ϕϕϕϕ==⎡⎤′=⎣⎦∫∫设具有原函数可导则有换元公式（8）（不定积分的代入法第二类换元法）[]11()(),()0.[()](),()()(),()().t x x t x f x x f x dx f t t dt x x t ψψψψψψψψψ−−=′′=≠⎡⎤′==⎣⎦∫∫设是单调的、可导的函数并且又设具有原函数则有换元公式其中是的反函数（9）（不定积分的分部积分法）()(),.u u x v v x udv uv vdu ===−∫∫设函数及具有连续导数那么（10）（定积分的定义）[][][][][][]{}[][][]012101121112111(),,,,,,,,,,,max ,,,,,,()0,n n n n i i i n i i i ni i i i i i f x a b a b a x x x x x b a b n x x x x x x x x x x x x x x a b f x x x λξξλξ−−−−−==<<<<<=∆=−=∆∆∆∈∆→∈∑⋯⋯⋯设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为记,令若无论区间怎么分划,在时总存在与选取无关的确定的[][][]01(),(),(),()lim (),(),(),,,,,nbi i ai I f x a b I f x a b f x dx I f x f x f x dx x a b a b λξ→===∆∑∫极限,则称函数在上是可积的,这个极限称为函数在区间上的定积分简称积分记作其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分变量叫做积分下限叫做积分上限叫做积分区间.（11）（函数可积的条件1）[][](),,(),.f x a b f x a b 设在区间上连续则在上可积（12）（函数可积的条件2）[][](),,,(),.f x a b f x a b 设在区间上有界且只有有限个间断点则在上可积（13）（定积分的性质1）[]()()()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx±=±∫∫∫（14）（定积分的性质2）()()()bbaa kf x dx k f x dx k =∫∫是常数（15）（定积分的性质3）,()()()bcbaaca cb f x dx f x dx f x dx<<=+∫∫∫设则（16）（定积分的性质4）[],()1,1.b baaa b f x dx dx b a ≡==−∫∫如果在区间上则（17）（定积分的性质5）[],,()0(()0),()0(()0).b baaa b f x f x f x dx f x dx a b ≥≤≥≤<∫∫如果在区间上或则或 ()（18）（定积分性质5的推论1）[],,()(),()()().b baaa b f x g x f x dx g x dx a b ≤≤<∫∫如果在区间上则（19）（定积分性质5的推论2）()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<∫∫ ().（20）（定积分的性质6）[](),,()()())baM m f x a b m b a f x dx M b a a b −≤≤−<∫设及分别是函数在区间上的最大值和最小值则(（21）（定积分中值定理积分中值公式）[][](),,,()()().baf x a b a b f x dx f b a ξξ=−∫如果函数在积分区间上连续则在上至少存在一个点,使得成立（22）（积分上限函数的可导性）[][](),,()(),,()()()xaxa f x ab x f t dt a b d x f t dt f x a x b dxΦ=′Φ==≤≤∫∫如果函数在区间上连续则积分上限的函数在上可导并且它的导数 ().（23）[][](),,()()(),.xaf x a b x f t dt f x a b Φ=∫如果函数在区间上连续则函数就是在上的一个原函数（24）（牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式微积分基本公式）()()[,],()()().baF x f x a b f x dx F b F a =−∫如果函数是连续函数在区间上的一个原函数则（25）（定积分的换元法）[][][]()()()(1)(),();(2)(),(,)()()().bay f x x t t x t a b t f x dx f t t dt βαϕαβϕϕαϕβϕαββαϕϕ==≤≤===′=∫∫假设函数在函数的值域上连续(),函数满足条件：在或上具有连续导数，则有（26）[][]0(1)(),,()2().(2)(),,()0.aaaaaf x a a f x dx f x dx f x a a f x dx −−−=−=∫∫∫若在上连续且为偶函数则若在上连续且为奇函数则（27）[]2200()0,1,(1)(sin )(cos );(2)(sin )(sin ).2f x f x dx f x dx xf x dx f x dx πππππ==∫∫∫∫若在上连续则（28）(),,(1)()();(2)()()().a T Taa nTTaf x T f x dx f x dx f x dx n f x dx n N ++==∈∫∫∫∫设是连续的周期函数周期为则（29）（定积分的分部积分法）[][],()(),.bbba aaa b u x v x udv uv vdu =−∫∫设在区间上函数和可导则（30）（无穷限的反常积分的定义）[)[)[)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,(),(),()tat taaat aaf x a t a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f x dx f x →+∞+∞+∞→+∞+∞+∞+∞>+∞=+∞∫∫∫∫∫∫(1)设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则函数在无穷区间上的反常积分没有意义习惯上称为反常积分(](],().(2)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,().(aabtt bbbtt b bdx f x dxf x b t b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞+∞→−∞−∞−∞→−∞−∞−∞−∞<−∞=∫∫∫∫∫∫∫∫发散这时记号不再表示数值设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散()()03)(),,()(),(),(),()()()lim ()lim (),();t tt t f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞−∞+∞−∞+∞+∞−∞−∞→+∞→−∞+∞−∞−∞+∞−∞+∞=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分和都收敛则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作即这时也称反常积分收敛否则就称反常积分().f x dx +∞−∞∫发散（31）（瑕点的定义）()()().f x a a f x 如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点也称为无界间断点（32）（无界函数的反常积分的定义）(](][)(),,(),lim (),(),,(),()lim ().().,().(2)(),,()btt ab b baatt ab baaf x a b a f x t a f x dx f x a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b b f x ++→→>=∫∫∫∫∫∫(1)设函数在上连续点为的瑕点.取如果极限存在则称此极限为函数在上的反常积分仍然记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散设函数在上连续点为的瑕点.取[],lim (),()lim ().().(3)(),(),().()()()()()lim ()l tat bbt baaat bc abbcbtcaacat ct b f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b c a c b c f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −−−→→→<=<<=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫如果极限存在则定义否则,就称反常积分发散设函数在上除点外连续点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义im ().().btt cbaf x dx f x dx +→∫∫否则,就称反常积分发散（33）（无穷限反常积分的审敛法1）[)[)(),,()0.()(),()xaaf x a f x F x f t dt a f x dx +∞+∞≥=+∞∫∫设函数在区间上连续且若函数在上有上界,则反常积分都收敛.（34）（无穷限反常积分的审敛法2比较审敛原理）[)()(),.0()()(),(),()0()()(),(),().aaaaf xg x a f x g x a x g x dxf x dxg x f x a x g x dx f x dx +∞+∞+∞+∞+∞≤≤≤<+∞≤≤≤<+∞∫∫∫∫(1)设函数和在区间上连续如果并且收敛则也收敛;(2)如果并且发散则也发散（35）（无穷限反常积分的审敛法3比较审敛法1）[)(),(0),()0.(1)01,()(),();0,()(),().p a a f x a a f x MM p f x a x f x dx xNN f x a x f x dx x+∞+∞+∞>≥>>≤≤<+∞>≥≤<+∞∫∫设函数在区间上连续且如果存在常数及使得则反常积分收敛(2)如果存在常数使得则反常积分发散（36）（无穷限反常积分的审敛法4极限审敛法1）[)(),,()0.1,lim (),()(2)lim ()0(lim ()),().p a x ax x f x a f x p x f x f x dx xf x d xf x f x dx +∞→+∞+∞→+∞→+∞+∞≥>=>=+∞∫∫设函数在区间上连续且(1)如果存在常数使得存在则反常积分收敛;如果或则反常积分发散（37）（无穷限反常积分的审敛法5）[)(),.(),().().aaaf x a f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞+∞∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分收敛则反常积分也收敛即绝对收敛的反常积分必定收敛（38）（无界函数的反常积分的审敛法1比较审敛法2）(](),,()0().(1)01,()(),();()(2)0()(),().b q a b a f x a b f x x a f x MM q f x a x b f x dx x a NN f x a x b f x dx x a≥=>>≤<≤−>≥<≤−∫∫设函数在区间上连续且，为的瑕点如果存在常数及使得则反常积分收敛如果存在常数，使得则反常积分发散（39）（无界函数的反常积分的审敛法2极限审敛法2）(](),,()0,().(1)01,lim ()()();(2)lim ()()0(lim ()()),().bq a x abax ax af x a b f x x a f x q x a f x f x dx x a f x d x a f x f x dx +++→→→≥=<<−−=>−=+∞∫∫设函数在区间上连续且为的瑕点如果存在常数使得存在,则反常积分收敛如果或则反常积分发散（40）（Γ函数的相关性质）21101220(1):()(0).0.(2)(1)()(0).,(1)!(3)0,().(4)()(1)(01).sin (5)(),,()2x s x s xs u s e x dx s e x dx s s s s s n N n n s s s s s ss e x dx x u s eu ππ+∞+∞−−−−+++∞−−−ΓΓ=>>Γ+=Γ>∈Γ+=→Γ→+∞ΓΓ−=<<Γ==Γ=∫∫∫函数定义反常积分对任意都收敛递推公式: 当时当时余元公式：在中作代换有2100.11121,()(1).222s u tdu t t s t s e u du t +∞−+∞−++−===Γ>−∫∫再令或即有（41）.光滑曲线弧是可求长的。

高数公式大全

高数公式大全高等数学是一门涉及多个分支和概念的学科，其中包含了许多重要的公式和定理。

以下是一些高等数学中常用的公式和定理的详细内容：1. 极限与连续性：- 极限的定义：对于函数f(x)，当x无限接近于某个值a时，如果f(x)的值无限接近于L，则称L为f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

- 常用极限公式：- lim(x→a)(c) = c，其中c为常数。

- lim(x→a)(x^n) = a^n，其中n为正整数。

- lim(x→a)(sin(x)) = sin(a)。

- lim(x→a)(e^x) = e^a，其中e为自然对数的底数。

- lim(x→∞)(1/x) = 0。

- lim(x→0)(sin(x)/x) = 1。

2. 导数与微分：- 导数的定义：对于函数f(x)，在某个点x=a处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(a)或df(x)/dx|_(x=a)。

- 常用导数公式：- (c)' = 0，其中c为常数。

- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。

- (sin(x))' = cos(x)。

- (cos(x))' = -sin(x)。

- (e^x)' = e^x。

- (ln(x))' = 1/x。

- 微分的定义：对于函数f(x)，在某个点x=a处的微分表示函数在该点的线性近似，记作df(x)。

- 常用微分公式：- df(x) = f'(x)dx。

3. 积分与定积分：- 不定积分的定义：对于函数f(x)，其不定积分表示函数的原函数，记作∫f(x)dx。

- 常用不定积分公式：- ∫(c)dx = cx，其中c为常数。

- ∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1)，其中n不等于-1。

- ∫(sin(x))dx = -cos(x)。

- ∫(cos(x))dx = sin(x)。

- ∫(e^x)dx = e^x。

高数公式定理大全

高数公式定理大全一、导数和微分1.导数的定义：如果函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在x0处的导数为：f'(x0) = lim(x→x0) (f(x) - f(x0))/(x - x0)。

2.常见函数的导数：（1）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)。

（2）指数函数的导数：(a^x)' = a^x ln(a)，其中a是一个正实数。

（3）对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。

（4）三角函数的导数：- (sin x)' = cos x。

- (cos x)' = -sin x。

- (tan x)' = sec^2 x。

- (cot x)' = -csc^2 x。

- (sec x)' = sec x tan x。

- (csc x)' = -csc x cot x。

3.高阶导数：函数f(x)的n阶导数可表示为：f^(n)(x) 或 d^n f / dx^n。

4.微分的定义：函数f(x)在点x0处的微分为：df = f'(x0) dx。

5.微分的性质：（1）微分与导数的关系：df = f'(x) dx。

（2）微分的加法性质：d(u + v) = du + dv。

（3）微分的乘法性质：d(uv) = u dv + v du。

（4）微分的链式法则：如果 y = f(u) 和 u = g(x)，则 dy/dx = dy/du * du/dx。

二、积分1.定积分的定义：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，且在[a, b]上可积，则记作∫(a→b) f(x) dx，表示从a到b的f(x)在x轴正方向的面积。

2.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。

（2）三角函数的积分：- ∫sin x dx = -cos x + C。