大学线性代数考试模拟题线性代数试卷

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线性代数模拟试卷及答案

线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。

填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。

已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。

注若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。

若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。

由此解得3-=k .4。

若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。

故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。

(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。

A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。

A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。

A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。

A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。

答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。

答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。

答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。

答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。

大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别姓名成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是。

线性代数习题及模拟题

习题选作Ch1 行列式一、填空题1．____________)4637251(=τ。

2设行列式1112131112132122233132333132332122233333333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ，则等于。

3．四阶行列式00000000000dc b a = 。

4．行列式222333ab ca b c a b c =___。

5．行列式3214214314324321中第1行第4列元素的代数余子式的值等于。

6．三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。

7．若01400200345678910=x ，则=x 。

8．如果行列式D=12334152--a中第二行第一列的代数余子式A 12=5，则a= 。

9．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ=10．4阶行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=中第一列各元素的代数余子式之和=+++41312111A A A A 。

0二．判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。

（） 2．每作一次对换改变排列的奇偶性。

( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。

（） 4．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。

（）5．设D=|a ij |是n 阶行列式，如果D 的元素中0的个数多于 n(n-1), 则D 的值为零。

（）．6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ).7．333332222211111e d c b a e d c b a e d c b a ++++++=333222111d b a d b a d b a +333222111e c a e c a e c a 。

线性代数模拟题1含答案

（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
模一第 1 页共 2 页
（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A

线性代数模拟题及答案

模拟试题一一. 填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7．设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（）。

长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

长沙理工大学模拟考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………………试卷编号1拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号0701011专业全校各专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有（）2.设是的解，则是的解（）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关（）4.设表示向量的长度，则（）5.设是的解，则是的解（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式＝；2.若为的解，则或必为的解；3.设n维向量组，当时，一定线性，含有零向量的向量组一定线性；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为；三、计算题（每小题10分，共60分）1.；第1页（共2页）2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。

每小题2分，共10分）1，×2，×3，√4,×5,√二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.==5（5分）=5＝5（5分）2.（2分）（5分）若有解，则A的秩与的秩相等，即。

（3分）3.（6分）∴(1)当时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当时，矩阵的秩为3.（2分）第1页（共3页）4.对系数矩阵作作初等行变换得同解方程组令，；得，基础解系为：5.解：∵与相似，∴特征多项式相同，即亦即6.解：的矩阵为∵为正定二次型，∴的各阶主子式大于0．即＞0，＞0＞0第2页（共3页）解联立不等式组＞0或＜0＜＜或＜＜0＜＜0即当＜＜0时，为正定二次型．四、证明题（10分）：证明：设存在一组数使得，（3分）又向量组线性无关，因此，（7分）由此可知，只有当时，等式才成立，即向量组线性无关。

XXXX大学《线性代数》模拟试卷答案(A卷)

RAb RA 2 4,故原方程组有无穷多个解.………………………6 分
导出组的基础解系为
ξ1
112
;
0
0
1
1
ξ2
2 0
，原方程组的一个特解为
η
2 0
0
0
1
0
所以，原方程组的通解可表示为：
x t1ξ1 t2ξ2 η，其中t1和t2为任意常数. ………………………………12 分
第 1 页共 4 页
2 111
2.
求 n阶行列式
Dn
1
2
1
1.
1 112
1 1 1 1
解:
1 Dn [2 (n 1)]
2
1
1 ……………………………………6 分
1 1 1 2
1 1 1 1
n
1
0
21
0
0
0 0 0 21
(n 1) 1n n 1 ……………………………………………12 分
2 2
.
3 3
0
作正交变换 x py 把原二次型化为标准型 f 3 y12 3 y32 .……………12 分
四．证明题(共 1 小题,共 10 分)
已知向量组, , 线性无关，证明向量组 , , 2 3 也线性无关.
证：令 k1 k2( ) k3 2 3 0
1 2
3 0
0
2 1 1 3 2 3 3 3
1
2 2
可得特征值： 1 3, 2 0, 3 3 .……………………………………6 分
对于特征值
1
3
，由 A
3E x
0 得其特征向量为1

线性代数模拟试卷A及答案

线性代数模拟试卷A 及答案（考试时间：120分钟）一、填空题（每小题3分，共15分）1.行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中1111111111111111D -=--。

2.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=420310002A ,则A -1等于。

3.设向量组ααα123,,线性相关，而向量组ααα234,,线性无关，则向量组ααα123,,的最大线性无关组是。

4.3阶实对称矩阵A 的特征值为2、5、5，A 属于特征值2的特征向量是1111Tα=（，，），则A 属于特征值5的两个线性无关的特征向量可以取为2α=_ ；3α=__ 。

5.已知3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=44644325x A 和3阶矩阵对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001B 相似,则=x ___ _____。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设向量组()1,1,1Tαλ=,()21,,1Tαλ=,()31,1,Tαλ=线性相关，则必有（）A.0λ= 或 λ=1B.1λ=- 或 λ=2C.1λ= 或 λ=2D.1λ= 或 λ=-22.设α是n 维列向量，λ为实数，则向量λα的长度λα= ( )A.αλB.αλ⋅C.αλ⋅nD.αλ⋅n3.若向量组r ααα,,,21 可由另一向量组s βββ,,,21 线性表示，则 ( ) A.s r ≤B.s r ≥C.1212(,,,(,,,)r s r r αααβββ≤ ）D.1212(,,,(,,,)r s r r αααβββ≥ ）4．设n 阶矩阵A 与B 相似，则必有（）A.,A B 同时可逆或同时不可逆B.,A B 有相同的特征向量C.,A B 均与同一个对角矩阵相似D.矩阵λE -A 与λE -B 相等5. 设A 为n 阶矩阵，满足2A A =，且A E ¹，则（）A. A 为可逆矩阵B. A 为零矩阵C. A 为不可逆矩阵D. A 为对称矩阵三、计算题（每小题10分，共60分）1.计算行列式 D =--1102334620331247的值2.设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，X 为未知矩阵，且满足：AX B =。

线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

线性代数模拟试题及答案

3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（）。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、在线性方程组 AX = O 中，若末知量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一般解中自由末知量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关）。

线性代数期末模拟试题F(附解答)

线性代数期末模拟试题F一单项选择题（每题3分，共18分）1．设33)(⨯=j i a A 为非零实矩阵，j i j i A a =，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则行列式||A ＝a . 0；b . 1；c . 2；d . 3。

2．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则 a . A A A n 2||)(-**=； b . A A A n 1||)(+**=； c . A A A n 1||)(-**=； d . A A A n 2||)(+**=。

3．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=96342321k A ，0)(33≠=⨯j i b B ，且0=AB ，则a . 当6=k 时，必有秩1)(=B r ；b . 当6=k 时，必有秩2)(=B r ；c . 当6≠k 时，必有秩2)(=B r ；d . 当6≠k 时，必有秩1)(=B r 。

4．设B A ,为 n 阶矩阵,且0=AB ,0≠B ，则必有a . 222)(B A B A +=+；b . 0||=B ；c . 0||*=B ；d . 0||*=A 。

5．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T 为正定矩阵的 a . 充分条件； b . 必要条件； c . 充要条件； d . 无关条件。

6．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2231=-=βαααB ，则行列式 =+B Aa . 12；b . 12-；c . 3-；d . 16-。

二填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 2154301200011311=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 =+2414A A 。

8．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210，则a = ，b = 。

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误:×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵,则 B A B A +=+。

……………………（ )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。

……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ）二、填空题：（每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB 。

5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵，则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA 。

9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时,A 的行向量组线性无关.10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分,共16分）1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ,求4131211132A A A A +-+。

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、（10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

线性代数模拟试卷1,2,3及参考答案(有三处错误)

4．若方阵 A 满足 A 2 A A E 0 ，则 A
3 2
1
E 2 A A2 。
1
版权属于燕山大学应用数学系，如有错误，请联系 zzzlmn@
09 级线代作业参考答案提示： A( A 2 A E ) E 。
2
线代模拟试卷
1
1 5．设 X 满足矩阵方程 a a2
三、计算 n 阶行列式（8 分）
1 2 1 cn 1 2 1 1 2 2 1 解： c1 2 , c2 3 ,设 k n 时， ck k 1 ，由行列式可得关系式 1 2 cn 2cn 1 cn 2 于是在归纳假设下， cn 2cn 1 cn 2 2n (n 1) n 1 ，由数学归纳法 cn n 1 2 1
变换矩阵。（7 分）解： f ( x1 x2 x3 ) x2 4 x3 4 x2 x3 ( x1 x2 x3 ) ( x2 2 x3 )
2 2 2 2 2
y1 x1 x2 x3 , 令 y2 x2 2 x3 , ，即作变换 y x3 , 3 x1 y1 y2 y3 , y2 2 y3 , ， x2 x y3 , 3
2．若非齐次线性方程组 AX=b 无解，则系数矩阵 A 的秩与其增广矩阵 B（Ab）的秩关系为： R(B)=R(A)+1. （√） 3．设 A 是 n 阶矩阵，其秩 r<n，那么 A 的 n 个行向量中的任意 r 个行向量构成其行向量组的一个最大线性无关组。（×）提示：应为 r 个线性无关的行向量。 4．若 n 阶方阵 A 相似于对角阵，则 A 必有 n 个互不相同的特征值。（×）提示：应为 n 个线性无关的特征向量。 5．实对称矩阵 A 的不同特征值所对应的特征向量必正交。（√）二．填空题（40）

线性代数模拟试卷及答案4套

线性代数模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式（12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解（12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系（8分）线性代数模拟试卷(二)三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝。

线性代数模拟试题及答案

...《线性代数期末模拟试题一》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。

2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零，则该三阶行列式的所有项中有项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。

3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。

4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。

5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。

6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。

得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。

9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。

10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（）不正确（A ）若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ）若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ）若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ）系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。

大学线性代数考试题(四套)

第一章行列式（一）一、填空1. 二阶行列式2a ab bb=22a b ab -.2. 四阶行列式1000120012301234= 24 .3. 设311231012D -=--，则元素332a =的代数余子式33A = -11 . 二、选择1. 四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ D ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ） 12341234a a a a b b b b +（C ）12123434()()a a b b a a b b -- （D ）23231414()()a a b b a a b b --2. 若行列式125132025x-=，则x =（ D ）. （A ）-3 （B ）-2 （C ）2 （D ）3 3. 若k =（ A ），则21200111kk=-.（A ）-2 （B ）2 （C ）0 （D ）-3三、计算1. 000x yxz y z-=--（对角线法则） 2. 12311234412345000000000000000b b b a b b b b b a a a a a = （按第一列展开） 3.(1)(2)20000100002000000(1)!02000010000000n n n n n n--=---（二）一、填空1. 若||n ij D a a ==，则||n ij D a =-=(1)na -.2. 若1231231238a a a b b b c c c =，则123123123222222222a a a b b b c c c ------=--- -64 . 3. 设a bc d c b d a D dbc a a b dc=，则14243444A A A A +++= 0 .二、选择1. 设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，则(1)1(1)(1)(1)(1)111(1)11nnn n n n n n n n nn a a a a a a D a a a ------==（ A ）.（A ） D （B ） D - （C ） (1)nD - （D ） 2D 2. 行列式0D =的必要条件是（ B ）. （A ）D 中有两行（列）元素对应成比例（B ）D 中至少有一行元素可用行列式的性质化为零（C ）D 中有一行元素全为零（D ）D 中任意一行元素都可用行列式的性质化为零3. 在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是（ A ）. （A ）-2 （B ）1 （C ）-1 （D ）2三、计算1.41241202010520117=2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++3. n x a a axa D a ax=1()[(1)].n x a x n a -=-+-（三）一、填空1. 齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解的充分必要条件是λ= 1或-2 .2. 若线性方程组x y ax y bλλ-=⎧⎨-+=⎩有唯一解，则λ必须满足1≠±.3. 齐次线性方程组1231231232202405820x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的解的情况是仅有零解 .（填仅有零解或有非零解）二、选择1. 若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D （ A ）.（A ）必为零（B ）必不为零（C ）必为1 （D ）可为任意数2. 设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（ D ）.（A ） 0a ≠且0b ≠ （B ）32a ≠且0b ≠ （C ）32a ≠且32b ≠ （D ）0a ≠且32b ≠3. 当k ≠（ C ）时，齐次线性方程组1312312302020kx x x kx x kx x x +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩只有零解.（A ）0 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2三、计算1. 若齐次线性方程组121232302200ax x x ax x x ax +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有非零解，求a 的值.解：方程组有非零解，则系数行列式21022(4)001a a a a a=-=，则 0a =或2±.2.1111(1)()(1)()1111n n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--，提示：利用范德蒙德行列式的结果.解：将行列式上下左右翻转，即为范德蒙德行列式.11111()(1)n nnna n a n a D a n a n a +--+=--+11().j i n i j ≤<≤+=-∏3. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组1231 2.31230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：方程组的系数行列式必须为01111121D λμμ=32r r -=====1111(1)0λμμλμ=--故只有当0μ=或1λ=时，方程组才可能有非零解.第二章矩阵（一）一．填空1. 设123a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()123b b b =B ，则=AB 1112212223313233a b a b a ba b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；=BA 112233()a b a b a b ++;T ()=AB 112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；T T =A B 112233()a b a b a b ++；T T =B A 112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，而2n ≥为正整数，则12n n --A A =O .3. 设T11(1,,),(1,1,1,)23==αβ，则()n =βα1111231111()162311123n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 二．选择1. 设,A B 都是n 阶方阵且=AB O ,则（ B ）（A ） =B O （B ）||0=A 或||0=B （C ） =BA O （D ）222()-=+A B A B2. 以下结论正确的是（ C ）（A ）若方阵A 的行列式等于0，则=A O （B ）若2=A O ，则=A O（C ）若A 为对称矩阵，则2A 也为对称矩阵（D ）对任意的同阶方阵,A B ，有22()()+-=-A B A B A B 3. 由,m n s t ⨯⨯A B 做乘积TTA B ,则必须满足( B )（A ）m n = （B ）m t = (C) n s = （D ）n t =三．计算与证明1. 设111111111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，123124051⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求32-AB A 及TA B .解： 32-AB A 1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭T A B 111123111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.2. 13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++.4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵.证明：已知：T=A A ，则 TTTTTTTT()()===B AB B B A B A B B AB从而 TB AB 也是对称阵.（二）一．填空1. 设A 为三阶可逆矩阵，且1123012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则*=A123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2. 设100220345⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1()*-=A 10A ；1()-*=A 10A3．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5--=A A -16 . 4. 设α为3维列向量，T 111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则T=αα 3 .二．选择1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ）（A ） 1n -*=A A（B ） *=A A （C ）n*=A A （D ）1*-=A A2. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式=ABC E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） =ACB E （B ）=CBA E （C ）=BAC E （D ）=BCA E3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式2340++=A A E ，则()1-+=A E ( C )（A ）1-+A E （B ）12+E A （C ） 12--E A （D ）4+A E 4. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ D ）（A ）若≠A O 且≠B O ，则≠AB O （B ）若,A B 都是对称阵，则AB 是对称阵 (C)若AB 不可逆，则,A B 都不可逆（D ）若AB 可逆，则,A B 都可逆三．计算与证明1. 求520021*******011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭的逆阵.解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.2. 解矩阵方程25461321-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X解：125461321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭.3. 设1-=P AP Λ, 其中1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P , 1002-⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ, 求11A .解：1-=P AP Λ故1-=A P P Λ所以11111-=A P P Λ3=P 1411*⎛⎫=⎪-⎝⎭P 1141113-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Λ 故11111414103311021133⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭A 27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. （三）一．填空1. 已知2223311x x-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 不可逆，则x = -6或-3 . 2. 设++=A AB B O ，且200000004-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则=B 2000004005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ .3．设300140003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1(2)--=A E 10011022001⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.二．选择1. 设,A B 都是n 阶可逆矩阵，则必有（ C ）（A ） +A B 是n 阶可逆矩阵（B ） |+|=||+||A B A B （C ）只用初等变换可把A 变为B （D ） =AB BA2. 设n 阶矩阵,,,A B C D 满足=ABCD E ，则（ A ）（A ） 1()=-CB CDADAB （B ） 1()=-CB DA （C ） 1()=-CB AD （D ） 1()=-CB DABCDA3. 设=AX B ,则（ B ）（A ）当A 可逆时， 1=-X BA （B ）当A 可逆时， 1=-X A B （C ）当≠B O 时，||0≠A （D ）当≠X O 时，A 可逆三．计算与证明1. 用初等变换求矩阵1011201031203104-⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭的逆矩阵.解：4211410711822262411--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭2. 设,+=AX B X 其中01011111,2010153-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B ，求X .解： 1()-=-X E A B 而 12103321()13311033-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭E A 所以 =X 210332113311033⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭112053-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭312011-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 3. 设三阶矩阵,A B 满足关系式13-=+A BA A BA ，且100310041007⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，求B . 解：13--=A BA BA A ，1()3--=A E BA A ，1300040007-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，11323()112--⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B A E .（四）一．填空1. 设矩阵m n ⨯A 的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则()R =PA r .2. 设四阶方阵A 的秩()2R =A ，则其伴随矩阵*A 的秩为()R *A = 0 .3．设111111111111k k k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()3R =A ，则k = -3 . 二．选择1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则,A B 的秩的关系为（ A ） (A) ()()()1R R R ≥≥-A B A (B) ()()()1R R R ≥>-A B A (C) ()()()1R R R >>-A B A (D) ()()()1R R R >≥-A B A2. 在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1r -阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1r -阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1r -阶子式等于03. 设,A B 都是n 阶方阵，且=AB O ，则必有（ A ） (A) 若()R n =A ，则 =B O (B) 若≠A O ，则 =B O (C) =A O 或者 =B O (D) ||A +||0=B4. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R =A ，而102020103⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ,则()R =AB （C ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三．计算1.求矩阵310211211344⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.解：()2R =A2.设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求k 为何值时可使()R A 等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .解：123~02(1)3(1)003(1)(2)k k k k k -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+⎝⎭A（1）当1k =时，()1R =A ；（2）当2k =-时，()2R =A ；（3）当1k ≠且2k ≠-时，()3R =A .3.设矩阵00121132212645013405-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪---⎝⎭A ，求()R A ，并求一个最高阶非零子式.解：()3R =A ，一个最高阶非零子式为012122245--.第三章线性方程组（一）一、选择1．当( D )时，齐次线性方程组0m n ⨯=A x 一定有非零解。

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。

答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。

答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。

答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。

答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。