人教九年级数学上册-圆周角(附习题)

8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长 DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE 是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°, ∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.
综合应用
下列说法是否正确，为这什两么个？角有什 么关系吗？
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两个.
D
如图所示，连接BO、EO.
O.
显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 360°，
所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = 180°.
B
E
C
在同圆或等圆中，同弦或等弦所直径， ∴ ACB=ADB=90°． 在 Rt△ABC 中，
6
O
A
10
B
BC AB2 AC2 102 62 （8 cm）.
D
∵ CD 平分ACB， ∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ． ∴ AD=BD．
在 Rt△ABD 中， AD2+BD2=AB2 ，
1 2
α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
M
又∠C＝β＝ 12∠AOB,
C
∴β＝
1 2
(90°-α)＝45°-
1 2
α.
课堂小结
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.
圆
定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
周 圆周角定理
角 及其推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论 ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆
24.1.4 圆周角
新课导入
如图，把圆心角∠AOB的顶点 O拉到圆上，得到∠ACB. 问 题 1 ： ∠ ACB 有 什 么 特 点 ？ 它 与 ∠AOB有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给 ∠ACB取一个名字并下定义吗？
C O
A
B
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.
A.40° B.50° C.60° D.70°
解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC,
所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，
∠A=
12∠BOC=
1 2
×80°=40°.
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个 量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一 组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360°
C
圆内接四边形的对角 互补 .
D O
A
B
随堂演练
基础巩固
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( C )
2.如图，⊙O中，弦AB、CD
相交于E点，且∠A=40°，
∠AED=75°，则∠B=( D )
A.15°
B.40°
C.5°
D.35°
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂 直，且∠BAC=40°，则∠BOD=
∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并
给予证明.
C
解：(1)连接OA，交BF于点M. ∵A是B⌒F上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=
1 2
∠AOB=
1 2
×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°-
C
8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
知识点3 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点
C
都在同一个圆上，这个多边形叫 D
做圆内接多边形，这个圆叫做这
O
个多边形的外接圆.
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB= 60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，
∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形.
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
∴ BAD 1 BOD．
2
同理，CAD 1 COD．
B
∴ BAC
2 BAD
CAD
1
BOC．
2
O
C D
第三种情况： 请同学们自己完成证明.
A O
B C
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【对应训练】
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°， 则∠A等于( A )
80°.
4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，
∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=
1 2
∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个 点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧：∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
∴ BAC BDC.
同弧所对的圆周角相等．
O
B
C
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
等，也可能互补.
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
所对应的圆心角为 180°， 则对应的圆周角为 90°.
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，
D
BDC 1 BOC, CAE 1 COE.
O.
2
2
A
又由B⌒C=C⌒E可知，∠BOC=∠COE.
B
E
C
∴ ∠BDC=∠CAE
等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆
同弧或等弧所对的圆周角相等．或等圆中，相等的圆
周角所对应的弧相等， 所对应的弦也相等.
推进新课
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义?
C
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ O
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫圆周角．
A
B
图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样
的关系？
C
先猜一猜，再用 量角器量一量.
O
ACB 12AOB
A
B
（1）在圆上任取B⌒C，画出圆心角∠BOC 和圆 周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三 角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与 ⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方 向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则 x的取值范围是 30≤x≤60 ．
拓展延伸
10.如图，BC为半圆O的直径，点F是B⌒C上一动 点(点F不与B、C重合)，A是B⌒F上的中点，设
A A
A
O
O
O
B
C
B
B
C
C
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半？
第一种情况： A
证明：∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 12BOC.
B
C
第二种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． A ∵OA=OB，
∴∠BAD=∠B．