新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
25
第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
1. 选择题：
(1) 对弧长的曲线积分的计算公式
⎰
L
ds y x f ),(=⎰'+'β
α
φϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要
求 （C ） .
（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β
(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰
L
ds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π12
2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰
+L
ds y x )(，其中L 为
I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2
2
2
R y x =+；
解：I ）
111
()()()()(1)13
222
L
OA
AB
BO
x y ds x y ds x y ds x y ds
xdx y dy +=+++++=+++=
++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
II ）
22
()(cos sin [sin cos ]2L
x y ds R t R t R t t R π
π+=+=-=⎰⎰
(2)⎰
L
yds ，其中L 为x y 22
=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；
解：
2
2
23/21
1
[(1)]3
3
L
yds y ===+=⎰⎰
⎰
26
*(3) ⎰
Γ
+ds y x )(2
2，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；
)20(π≤≤t
解：1/2
222
222222
20
()(sin cos )2x y ds a a t a t b dt
a a π
ππΓ
+=++==⎰⎰⎰
*(4)
⎰
+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；
解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则
ds θ=。
222224sin 8
L
rd d ππ
π
π
π
π
π
π
θθ
θθθ====-=⎰⎰⎰⎰
第二节 对坐标的曲线积分
1．填空题
(1) 对坐标的曲线积分的计算公式
⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'β
α
φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{
中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分
⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是
[(,)cos (,)cos ]L
P x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲
线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.
2．选择题：
(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）
（A ）无关， （B ）有关；
(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰
-
+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，
（B ）
⎰
-
+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(.
27
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)⎰
+L
dx y x )(2
2，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(2
2
=+-y x
(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；
解：L
的方程为
22
1(1)y x =--，
:01x →，则
1
1
2222
()[1(1)]21L
x y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰
-L
ydx xdy ，其中L 为2
x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；
解：1
1
2
2
1
1
2
23
L
xdy ydx x xdx x dx x dx ---=
-==-⎰
⎰
⎰
。
(3)
⎰+L
xdy y ydx x
32
，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界
（按逆时针方向绕行）；
解：2
1:,:11L x y y =→-, 2:1,:11L x y =-→, 则
1
2
2323231
1
1
55361
1
1
4
(2)27
L
L L x ydx y xdy x ydx y xdy x ydx y xdy
y y y dy y dy y dy ---+=+++=++==-
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
*(4)zxdz xydy dx y ++⎰
Γ
2
，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着
I ）直线段； II ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、
)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；
解：I ）Γ的参数方程为x t
y t z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，01t ≤≤，则
原式=
1
2220
()1t t t dt ++=⎰
II ）OA: 0x t y z =⎧⎨==⎩, 01t ≤≤; AB: 1
x y t z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩,01t ≤≤;
BC: 11x y z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
.01t ≤≤.
原式=
11
20
01OA
AB
BC
y dx xydy zxdz tdt tdt +
+
++=++=⎰
⎰
⎰⎰⎰