初中数学校本教材
初中数学校本教材
初中数学校本教材数学是科学的基础知识，也是解决生活问题的关键。
为了培养学生的兴趣和正确的科学态度，我们开发了数学校本课程。
这个课程要尊重学生的实际和兴趣，让学生在生活中实践体验，提高他们的观察和分析能力，培养创造性和解决问题的能力。
同时，我们也注重学生的动手操作能力的训练，鼓励他们展示自己的研究成功，培养成功心态，使学生的心理得到健康的发展。
本课程由八年数学教师具体负责实施，主要内容包括让学生体会数学在我们的生活中的应用，让他们在课堂上多设情景，应用数学解决问题，感受到数学的乐趣。
我们希望在愉快、轻松的研究过程中，让学生掌握数学知识，培养良好的研究惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
在课程内容和活动安排上，我们选取了一些学生生活实践中的鲜活材料，如几何、归纳、勾股定理、纳税、节能等问题，让学生在解决问题的过程中，充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣。
我们的目标是让每位学生都能充分体现自己的能力，培养成功心态。
第一节课我们将讨论生活中的数学问题，例如钟面上的数字问题。
我们将引导学生思考如何在某些数的前面添加负号，使它们的代数和为零。
通过这个问题，我们希望让学生了解到数学来源于生活，同时也可以服务于生活。
1、数学问题1）10撕5次，共有多少张纸片？答：10撕5次，共有32张纸片。
2）撕8次、10次各有多少张纸片？答：撕8次共有256张纸片，撕10次共有1024张纸片。
3）撕n次，共有多少张纸片？答：撕n次，共有2的n次方张纸片。
4）撕成22张，需撕几次？答：撕成22张，需撕4次。
5）能否将纸片撕成1993片？为什么？答：不能将纸片撕成1993片，因为1993不是2的幂次方。
2、机器人问题在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5有5个机器人在工作，现欲设一零件供应点，问应设于何处，可使5个机器人与它的距离总和为最小。
如果是6个机器人，则怎样？一般地，n个机器人的情况下，又应如何设置？答：对于5个机器人，零件供应点应设在A3处，使得5个机器人与它的距离总和为最小。
九年级数学校本教材
第一讲：反证法反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设命题的结论不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与已知的定理、公理等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：1．假设命题的结论的反面是正确的；（反设）2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件或者与已知的定理、公理等矛盾；（归缪）3．由推理判定假设不正确，从而推出命题的结论是正确的.（结论）疑惑：思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.什么叫反证法?学以至用已知：在△ABC中，AB≠AC求证：∠B ≠∠ C证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．例题例1．求证：两条直线相交只有一个交点.已知：；求证：；证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点”矛盾，所以假设不成立，则．例2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.已知：；求证：；证明：假设，则可设它们相交于点A。
那么过点A 就有条直线与直线c平行，这与“过直线外一点”。
矛盾,则假设不成立。
∴。
例3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：；求证：；证明：假设，则。
∴，即。
这与矛盾．假设不成立．∴．随堂练习1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
（1）已知：（2）求证：（3）三角形的内角和等于（4）这个命题如果不成立，那么其“反面”2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.3．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。
初中《数学》校本课程教材
初中《数学》校本课程教材初中《数学》校本课程教材的开发与实践初中阶段是学生数学学习的重要阶段，这一时期的学生不仅需要掌握基本的数学知识，还需要培养数学思维和解决问题的能力。
然而，传统的数学教材有时难以满足不同学生的学习需求，因此，开发适合学生实际情况的校本课程教材显得尤为重要。
一、确定教材定位和目标初中《数学》校本课程教材的定位应为辅助性教材，旨在补充传统教材的不足，满足学生多元化的学习需求。
教材的目标应包括以下几个方面：1、拓展数学知识，加深学生对教材内容的理解。
2、培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3、提高学生的学习兴趣和积极性。
二、分析学生需求和学习内容在校本课程教材的开发过程中，学生需求和学习内容是两个关键因素。
首先，我们需要了解学生的学习需求，包括学生对数学学习的兴趣、学习难点以及对数学知识的需求等。
其次，我们需要分析学习内容，确定教材的知识点、难度和趣味性。
三、设计教材结构和内容在分析了学生需求和学习内容后，我们需要设计教材的结构和内容。
结构上，教材可以包括基础知识、拓展知识、练习和实践等部分。
内容上，可以选择与生活实际相关的案例和问题，引导学生运用数学知识解决实际问题。
此外，还可以设计一些趣味性的数学游戏和活动，提高学生的学习兴趣。
四、深入剖析重难点在校本课程教材的开发过程中，深入剖析重难点是至关重要的。
对于数学教材中的重难点内容，我们需要通过多种方式进行讲解和练习，帮助学生理解和掌握。
例如，可以设计一些探究性问题，引导学生自主探究和解决数学问题。
五、实践运用与反思总结实践是检验真理的唯一标准。
在校本课程教材的使用过程中，我们需要密切关注学生的反馈，了解他们对教材的使用情况。
对于教材中的不足之处，需要及时进行调整和改进。
还需要对教材的使用效果进行反思和总结，以便更好地服务于学生。
总之，初中《数学》校本课程教材的开发与实践是一项具有挑战性的任务。
通过明确教材定位和目标、分析学生需求和学习内容、设计教材结构和内容、深入剖析重难点以及实践运用与反思总结等环节，我们可以逐步完善教材，使其更加符合学生的学习需求。
中学《生活中的数学》校本课程教材
《生活中的数学》校本课程目录第一讲: 生活中的趣味数学第二讲:数学中的悖论第三讲：对称自然美的基础第四讲：斐波那契数列第五讲：龟背上的学问第六讲：巧用数学看现实第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题第八讲:生活中的优化问题举例第一讲：生活中的趣味数学1•“荡秋千”问题：我国明朝数学家程大位（1533〜1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案：如图，设绳索AC=AD=x（尺），贝U AB= （x+1）-5 （尺），BD=10 （尺）在Rt△ ABD中，由勾股定理得A B"+B D=A D，即（x-4 ）2+102=x2,解得x=14.5，即绳索长为14.5尺.2 •方程的应用：小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。
小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。
”爸爸踌躇一下，有些为难。
你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？方法一：设带出去x元,y角.根据”剩下的元数是带出去角数的一半”知道y是偶数花了的钱分x为奇数与偶数情况(1)x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2 元,(y/2+5)角根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角有二元一次方程组：(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8(2)x是偶数时候，花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角剩下的同上面情况有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法不符合实际(舍)• ••答案是9元8角方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角按照用掉一半还剩一半的等式：10a + b = ( 10x + y)/ 2又因为：a = y / 2b = x带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8因为y只能是小于10的整数所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！3. 工资的选择：假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：(A)工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；(B)工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
初一数学校本课程教材
初一数学校本课程走进数学世界晋江市磁灶中学涂友利1、数学伴我们成长2、人类离不开数学3、4、5、6、目录人人都能学会数学让我们来做数学（1）让我们来做数学（2）让我们来做数学（3）7、第7课自测题（A卷）8、第8课自测题（B卷）第1课数学伴我们成长宇宙之大（海王星、流星雨），粒子之微（被原子、氯化钠晶体结构），火箭之速（火箭），化工之巧（陶瓷），地球之变（陨石坑），生物之谜（青蛙），日用之繁（杯子、表）, 大千世界，天上人间，无处不有数学的页献，让我们共同走进数学世界，去领略一下数学的风采，体会数学的魅力。
出生一一学前一一小学，我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗？不妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子，试一试。
2. 进入小学，我们正式开始学习数学，回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些？数与式：认识、计算、方程、解应用题；图形：图形的认识、图形的画法、图形的计算；统计知识。
4.数学知识的学习，不仅开阔了我们的视野，而且改变了我们的思维方式，使我们变得更加聪明了。
发挥一下我们的聪明才智，尝试解决下面的2个问题：（1）计算并观察下列三组算式：/8X 8 = 64, X 5 = 25,V7X 9 = 63; l4X 6 = 24;/12X 12 =…-'ll X 13 =---（2）已知25X25=625,则24X26=.（不要计算）（3）你能举出一个类似的例子吗？（4）更一般地，若axa=m,则（a+1）（a —1）=•通过刚才的解题，可以看出同学们都非常聪明，其实不仅我们每个人离不开数学，而且整个人类、整个社会也离不开数学，数学对促进人类社会发展的重大作用。
习题A组1、猜谜语（各打数学中常用字）①千人分在北上下；②1人立在口上边.2、在与伙伴玩“24点”游戏中，使数1, 5, 5, 5通过运算得24?3、只允许添两个“一”、一个“十”和一个括号，不改变数字顺序，把1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9这九个数字连成结果为100的算式：1 2 3 4 5 6 7 8 9 =1004、把长方形剪去一个角，它可能是儿边形？5、有一个正方形池塘如图，在它的四个角上有四棵大树，现在为了扩大池塘，要把池塘面积扩大一倍，但是，这四棵树不便搬动，也不能使它淹在水里，而且扩大后的池塘还是正方形，这该怎么办呢？B组1、一个长方形，长19cm,宽18cm,如果把这个长方形分割成若干个边长为整数的小正方形，那么这些小正方形最少有多少个？如何分割？2、在操场上，小华遇到小冯，交谈中顺便问道：“你们班有多少学生？”小冯说：“如果我们班上的学生像孙悟空那样一个能变两个，然后再来这么多学生的L,再加上4班上学生的最后连你也算过去，就该有100个了那么小冯班上有多少学生？4第2课人类离不开数学我们已经知道，数学伴随我们的一生，实际上整个人类社会都离不开数学。
初中数学校本教材
初中数学校本教材第一章兴趣数学1 Konigsberg 七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
练习：[你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。
（不走重复线路）图例1图例2图例3图例42四色问题人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。
初中数学校本教材———— 《生活与数学》序言
初中数学校本教材————《生活与数学》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。
这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。
现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。
有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。
二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。
作为精神产品的数学就具有上述美的特点。
简练、精确是数学的美。
数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。
数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。
数学很讲究它的逻辑美。
数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。
尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。
抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。
抽象的数学不正展示它的魅力吗？数学上有很多知识是和对称有关的。
对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。
七年级数学校本教材
七年级上数学思维拓展训练第一章兴趣数学七桥问题（一笔画问题）18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地 D 与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f 、g 各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有 4 个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
初中《数学》校本课程教材
校本课程目录数学与美----------------------------------------第2页中学数学与数学美--------------------------------第6页数学与文化--------------------------------------第8页数学文化欣赏-----------------------------------第14页从《数学与文化》中感受数学之美-----------------第17页三角函数历史-----------------------------------第19页解析几何建立的故事-----------------------------第28页数学生活---------------------------------------第32页半生痴迷数学著书立说---------------------------第36页山沟里的数学家---------------------------------第38页数学家们的生活趣事-----------------------------第40页牛顿与莱布尼茨的数学微积分之争-----------------第43页怎样才能学好数学呢-----------------------------第46页高中数学学习方法-------------------------------第50页华罗庚谈学数学方法-----------------------------第54页怎样才可以学好数学呢---------------------------第55页数学与美数字，在人们生活中广泛应用；数字，创造了许多如诗如画的篇章。
值此第24届国际数学家大会在北京召开之际，南京大学教授方延明写一篇妙趣横生的关于数字的文章，今转载于此，以飨读者。
我们国家是一个数学大国，也是一个数学古国，早在2000多年前，我们的祖先就有“周三经一”的思想，也就是今天人们讲的圆周率π，而西方国家到了17世纪才有这样的概念，陈景润关于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震惊。
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初中数学校本教材第二章最完美的数完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到:数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:若2n-1是素数,则数2n-1[2n-1] (1) 是完全数.两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为12n的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2496=1+2+3+4+...+31=31*32/2 ....2n-1(2n-1)=1+2+3+...+(2n-1)=(2n-1)2n/22：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),22(23-1)=28=13+3324(25-1)=496=13+33+53+7326(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)33：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如: 1/2+1/3+1/6=11/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.第四章归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：1；第二层有点数：1×6；第三层有点数：2×6；第四层有点数：3×6；……第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？(2)这n个圆共有多少个交点？分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n 个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．由表18．1易知S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，……由此，不难推测S n-S n-1＝n．把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到S n-S1＝2＋3＋4＋…＋n，因为S1=2，所以下面对S n-S n-1=n，即S n=S n-1＋n的正确性略作说明．因为S n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P 时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S n-1上，所以有S n=S n-1＋n．(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．由表18．2容易发现a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，……a n-1-a n-2＝n-2，a n-a n-1＝n-1．n个式子相加注意请读者说明a n=a n-1＋(n-1)的正确性．例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n(n 是自然数)，试问这样的三角形有多少个？分析与解我们先来研究一些特殊情况：(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：例4设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.分析与解先观察特殊情况：(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n=2！×3+3！×3+…＋n！×n=3！+3！×3+…+n！×n＝…=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有。
初二数学校本课程教案
初二数学校本课程教案精品文档初二数学校本课程教案1(储蓄银行对存款人付给利息，这叫储蓄(存入的钱叫本金(一定存期内的利息对本金的比叫利率(本金加上利息叫本利和(利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有i=prn，s=p(例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元,本利和为多少元,解i=2000×0.0171×3=102.6(s=2000×=2102.6(答某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元(以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金(相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息(目前我国银行存款多数实行的是单利法(不过规定存款的年限越长利率也越高(例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22(1所示( 用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是1 / 15精品文档r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,…，sn，则s1=p，s2=s1=p=p2，s3,s2=p2=p3，……，sn=pn(例小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多,解按表22(1的利率计算(连续存五个1年期，则5年期满的本利和为200005?25794(先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为20000?3?25898(先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为200002??26003(先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为20000??26374(先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为20000?+0.0522)2?26268(2 / 15精品文档存一个5年期，则到期后本利和为20000?26660(显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的(2(保险保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业(例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等(下面举两个简单的实例(例假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22(2所示(试问:设想平均每年在1000家中烧掉几家,如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本,解因为1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11，365+371+385+395+412+418+430+435+440，445=4096(11?4096?0.0026(300000×0.0026=780(答每年在1000家中，大约烧掉2.6家(投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费(例财产保险是常见的保险(假定A种财产保险是每投3 / 15精品文档保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费(B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年(期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费(今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年(试问兄弟二人谁投的保险更合算些,解哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费80000?1000×3=80×3=240(弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交80000?1000×25=2000，而2000元一年的利息为2000×0.0522=104.4(兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约240-104.4=135.60(因此，弟弟投的保险更合算些(201至01学年度下学期初中八年级4 / 15精品文档趣味数学2013年3月初中数学校本教材————《校本课程》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”《数学课程标准》中指出:“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。
湖阳初中校本课程教材(生活中的数学)
校本课程（数学学科）主编：邢一民邢金标当涂县湖阳初中数学组编序言数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。
创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。
”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。
我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。
数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。
选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。
使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。
学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
我们的数学校本课程方案包括两个基本部分：一般项目和基本具体方案。
课程纲要一、课程目标：以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。
二、课程概况：本课程由邢一民、邢金标编写，数学组老师具体负责实施。
本课程在初一、初二、初三年级实施。
三、课程内容与活动安排：让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
初中数学校本教材(完整版)
初中数学校本教材(完整版)————《生活与数学》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。
这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。
现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。
有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。
二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。
作为精神产品的数学就具有上述美的特点。
简练、精确是数学的美。
数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。
数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。
数学很讲究它的逻辑美。
数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。
尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。
抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。
抽象的数学不正展示它的魅力吗？数学上有很多知识是和对称有关的。
对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。
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初中数学校本教材——《校本课程》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”《数学课程标准》中指出:“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。
这说明数学来源于社会，同事也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，他已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。
现代数学论认为:数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。
有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。
二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”数学家克莱因认为:“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
”美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有:匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。
作为精神产品的数学就具有上述美的特点。
简练、精确是数学的美。
数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便又印象深刻。
数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这样简洁性有助于思维的效率。
数学很讲究它的逻辑美。
数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。
尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。
抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。
抽象的数学不正展示它的魅力吗,数学上有很多知识是和对称有关的。
对称给人协调，平稳的感觉，象圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。
正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。
中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只有我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又是教学韵味深厚。
第一章兴趣数学1 Konigsberg 七桥问题(一笔画问题)18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示:河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题:一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点,大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉(1707—1783)的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题:怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形(即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复)，并且最后返回起点,欧拉经过研究得出的结论是:图是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢,如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连;如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出;否则它不可以一笔画出。
练习:[你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗,试试看。
(不走重复线路)图例1图例2图例3图例42 四色问题人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。
这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。
大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。
所以，很早的时候就有数学家猜想:“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。
”这就是“四色问题”这个名称的由来。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是:“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”(右图)这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。
当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。
于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。
一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息:美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的～他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题,轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
3 麦比乌斯带每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。
这是德国数学家麦比乌斯(Möbius.A.F 1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。
有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展。
4 分割图形分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。
我们先来看一个简单的分割图形的题目??分割正方形。
在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。
用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。
那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢,请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。
想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗,应该怎样分,5数学故事(1)奇特的墓志铭在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形:一个圆球镶嵌在一个圆柱内。
相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。
在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位数值。
这个数值被叫做。
”鲁道夫数”。
它是鲁道夫毕生心血的结晶。
大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。
因为他是在完成了正17边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。
他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题: “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。
他生命的1,6 是幸福的童年，生命的1,12是青少年时期。
又过了生命的 1, 7他才结婚。
婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。
孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。
过路人，你知道丢番图的年纪吗,”丢番图的年纪究竟有多大呢,设他活了X岁，依题意可列出方程。
这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。
这段墓志铭写得太妙了。
谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程;而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。
在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。
现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。
他尤其擅长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。
丢番图也是古希腊最后一个大数学家。
遗憾的是，关于他的生平。
后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。
幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享有84岁的高龄。
(2)希腊十字架问题图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。
(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。
奇妙的是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个正方形。
(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其长是宽的两倍。
第二章归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段(这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法(下面举几个例题，以见一般(例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点,这个点阵共有多少个点,分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数( 第一层有点数:1;第二层有点数:1×6;第三层有点数:2×6;第四层有点数:3×6;……第n层有点数:(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个(n层共有点数为例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问:(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域,(2)这n个圆共有多少个交点,分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个,为此，我们列出表18(1(由表18(1易知S-S=2， 21S-S,3， 32S-S,4， 43S-S,5， 54……由此，不难推测S-S,n( nn-1把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到S-S,2，3，4，…，n， n1因为S=2，所以 1下面对S-S=n，即S=S，n的正确性略作说明( nn-1nn-1因为S为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点n-1P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S上，所以有S=S，n( n-1nn-1(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决(为此，可列出表18(2(由表18(2容易发现a,1， 1a-a,1， 21a-a,2， 32a-a,3， 43a-a,4， 54……a-a,n-2， n-1n-2a-a,n-1( nn-1n个式子相加注意请读者说明a=a，(n-1)的正确性( nn-1例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a?b?c，如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个,分析与解我们先来研究一些特殊情况:(1)设b=n=1，这时b=1，因为a?b?c，所以a=1，c可取1，2，3，…(若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形;若c?2，由于a，b=2，那么a，b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个((2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18(3(这时满足条件的三角形总数为:1+2=3((3)设b=n=3，类似地可得表18(4(这时满足条件的三角形总数为:1，2，3=6(通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为:这个猜想是正确的(因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a 的每个值，不妨设a=k(1?k?n)(由于b?c,a，b，即n?c,n，k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n，1，n，2，…，n，k-1)(所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为:例4 设1×2×3×…×n缩写为n～(称作n的阶乘)，试化简:1～×1，2～×2，3～×3，…，n～×n.分析与解先观察特殊情况:(1)当n=1时，原式=1=(1，1)～-1;(2)当n=2时，原式=5=(2，1)～-1;(3)当n=3时，原式=23=(3，1)～-1;(4)当n=4时，原式=119=(4，1)～-1(由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)～-1.下面我们证明这个猜想的正确性(1+原式=1+(1～×1，2～×2，3～×3+…+n～×n)=1～×2，2～×2，3～×3+…+n～×n=2～+2～×2，3～×3，…+n～×n=2～×3+3～×3+…，n～×n=3～+3～×3+…+n～×n,…=n～+n～×n=(n，1)～，所以原式=(n+1)～-1.32 例5 设x,0，试比较代数式x和x+x+2的值的大小(分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路(为此，设x=0，显然有32x,x+x+2(?32 设x=10，则有x=1000，x+x，2=112，所以32x,x+x+2(?32 设x=100，则有x,x+x+2(32 观察、比较?，?两式的条件和结论，可以发现:当x值较小时，x,x+x+2;32当x值较大时，x,x+x+2(32 那么自然会想到:当x=,时，x=x+x+2呢,如果这个方程得解，则它很可能就32是本题得解的“临界点”(为此，设x=x，x，2，则32x-x-x-2,0，32(x-x-2x)，(x-2)=0，2(x-2)(x+x+1)=0(2 因为x,0，所以x+x+1,0，所以x-2=0，所以x=2(这样32 (1)当x=2时，x=x+x+2;(2)当0,x,2时，因为2x-2,0，x+x+2,0，2 所以 (x-2)(x，x+2),0，即32x-(x，x+2),0，32 所以 x,x，x，2.(3)当x,2时，因为2x-2,0，x+x+2,0，2 所以 (x-2)(x+x+2),0，即32x-(x，x，2),0，32 所以 x,x，x，2(综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答( 练习七1(试证明例7中:2(平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点(试求:(1)这n条直线共有多少个交点,(2)这n条直线把平面分割为多少块区域,然后做出证明.)5 3(求适合x=656356768的整数x(55 (提示:显然x不易直接求出，但可注意其取值范围:50,656356768,60，所22以50,x,60()。