[2020理数]课时跟踪检测(五十三) 抛物线

课时跟踪检测（五十三） 抛物线

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1

2

B ．x ＝－1

2

C ．y ＝1

8

D ．y ＝－1

8

解析：选D 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ,其准线方程为y ＝－1

8

.

2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程是( )

A ．y 2＝±22x

B ．y 2＝±2x

C ．y 2＝±4x

D ．y 2＝±42x

解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(－2,0),(2,0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p ＞0),则p

2

＝2,所以p ＝22,所以抛物线C 的方程为y 2＝±42x .故选D.

3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ,n )到其焦点的距离为5,则n ＝( ) A ．194

B ．92

C ．3

D ．4

解析： 选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1,根据抛物线的定义可知,5＝n ＋1,得n ＝4,故选D.

4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线,经抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴；反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后,必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则直线AB 的斜率为( )

A.43 B ．－4

3

C ．±43

D ．－

169

解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x 可得x ＝1

4,即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由题可知,直线AB 经过焦点F (1,0),所以直线AB 的斜率k ＝

1－014

－1＝－4

3,故选B.

5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在

第一象限,PA ⊥l ,垂足为A ,|PF |＝4,则直线AF 的倾斜角等于( )

A.7π12

B.2π3

C.3π4

D.5π6

解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0),准线l 的方程为x ＝－1,由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4,所以点P 的坐标为(3,23),因此点A 的坐标为(－1,23),所以k AF ＝23－0－1－1

＝－3,所以直线AF 的倾斜角等于2π

3,故选B.

6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝1

4

x 的焦点坐标是________．

解析：由于抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0,因此抛物线y 2＝1

4

x 的焦点坐标为⎝⎛⎭

⎫116，0.

答案：⎝⎛⎭⎫116，0

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l ,若|NF |＝4,则M 到直线NF 的距离为( )

A. 5 B ．2 3 C ．3 3

D ．2 2

解析：选B ∵直线MF 的斜率为3,MN ⊥l ,∴∠NMF ＝60°,又|MF |＝|MN |,且|NF |＝4,∴△NMF 是边长为4的等边三角形,∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.

2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交但不经过圆心

D ．相交且经过圆心

解析：选B 设圆心为M ,过点A ,B ,M 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|,|AF |＝|AA 1|,∴|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|,|MM 1|＝1

2|AB |,即圆心M 到准线l 的距离等于圆的半径,故以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切．

3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且满足|NF |＝

3

2

|MN |,则点F 到MN 的距离为( )

A.12 B ．1 C. 3

D ．2

解析：选B 由题可知|MF |＝2,设点N 到准线的距离为d ,由抛物线的定义可得d ＝|NF |,因为|NF |＝

32|MN |,所以cos ∠NMF ＝d |MN |＝|NF ||MN |＝3

2

,所以sin ∠NMF ＝1－

⎝⎛⎭⎫322＝12

,

所以点F 到MN 的距离为|MF |sin ∠NMF ＝2×1

2

＝1,故选B.

4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ,过点F 作斜率为

3

3

的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ,过点A 作抛物线准线的垂线,垂足为H ,则△AHF 的面积是( )

A ．4

B ．3 3

C ．4 3

D ．8

解析：选C 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |,∵直线AF 的斜率为

3

3

,∴直线AF 的倾斜角为30°,∵AH 垂直于准线,∴∠FAH ＝ 60°,故△AHF 为等边三角形．设A ⎝⎛⎭⎫m ，m

2

4,m ＞0,由|AF |＝|AH |,得m 24－1＝12·⎝⎛⎭⎫

m 24＋1,解得m ＝23,故等边△AHF 的边长|AH |＝4,∴△AHF 的面积是1

2

×4×4sin 60°＝4 3.故选C.

5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝⎛⎭⎫12，2,其准线与x 轴交于点B ,直线AB 与抛物线的另一个交点为M ,若MB ―→＝λAB ―→

,则实数λ为( )

A ．13

B ．12

C ．2

D ．3

解析：选C 把点A ⎝⎛⎭⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×1

2,解得p ＝2,所以抛物线的方程为y 2

＝4x ,则B (－1,0),设M ⎝⎛⎭⎫y 2

M 4，y M ,则AB ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，－2,MB ―→＝⎝⎛⎭

⎫－1－y 2

M 4，－y M ,由MB ―→＝λAB ―→,得⎩⎪⎨⎪⎧

－1－y 2

M 4＝－32λ，

－y M ＝－2λ，

解得λ＝2或λ＝1(舍去),故选C.

6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ,Q 两点,过P ,Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ,N 两点,若|MN |＝

163

3

,则a ＝( )