线性代数期中考试卷(A)
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《 线性代数 》课程期中考试试卷（A 卷）
考核方式：闭卷考试 请独立完成！谢谢合作！
一、简答题（每小题5分，共35分，写出必要的过程）
1.已知11
12
132122
233132331
2a a a D a a a a a a ==，求11131112
12123212231333132
222222a a a a D a a a a a a a a -=--。
2.线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 有非零解，求.k
3.设123ααα，，是四元线性方程组AX b =的三个解向量，且()3,r A =
123(1,0,3,4),(0,1,2,5)T T ααα=+=，求AX b =的通解。
4.
11213141,.x a a a a x a a
D A A A A a a x a a
a a x
=+++求（其中ij A 为ij a 的代数余子式）
5. 把136122032142643A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭矩阵化为等价标准形，并求)(A r .
6. 设齐次线性方程组的系数矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=168649343622
75
21a A ，且该齐次线性方程组的
基础解系有两个解向量，求a ．
7.设A A T T T 求,,)1,1,1,1(,)1,1,1,1(αββα=--=--=。
二、行列式的计算（18分，每小题6分）
37242513
1.
13124638
------，
1
2311
1
100
2.
,(01,2,,)1001
i n
a a a i n a a ≠=
其中，
0000
0000003.
0000
n x y x y x D x y y
x =
三、向量间的线性关系（20分）
1. 向量组()()()1231124031,230714T
T
T
ααα=-==，，，，，，，，，，，
()
()
45122021510T
T
αα=-=，，，，，，，，
()1求12345(,,,,)r ααααα，并由此判断该向量组的线性关系；
()2求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组
线性表示。（10分）
2. 判断向量组)1,3,1,1(),3,1,2,3(),2,1,1,1(),1,1,2,1(321-=---===βααα，问β能否用321,,ααα线性表示？若可，写出一种表达式。（10分）
四、线性方程组的求解和讨论（20分）
1. 当λ取何值时，线性方程组 123
123
12321321341
x x x x x x x x x λλλ+-=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
有唯一解；无解；无穷多解。（不必求解） （10分）
2. 求线性方程组1234512345
23451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 的全部解。（若有一般解，用
导出组的基础解系表示其一般解）。（10分）
五、证明题(7分)
设321,,ηηη是齐次线性方程组O AX =的一个基础解系，证明：
1213233,32,2ηηηηηη++-2也是方程组的一个基础解系。