编号626.4用一次函数解决问题(4)

运用一次函数解决实际问题教案

一次函数是初中数学学习的一个主要内容，它在数学中是一个非常基础的知识点，但是在现实生活中却具有重要的应用价值。

一次函数的解法能够帮助我们解决许多实际问题，比如求解直线方程、计算速度、距离等。

如何将一次函数的知识点应用到实际问题中，是初中数学学习最为重要的一环，下面将介绍一些教学案例，帮助学生更好地理解和掌握一次函数的应用。

一、直线方程问题：在解决直线方程问题时，一次函数是非常有用的。

比如说，兔子在跑步时，经过起点时速度是20米每秒，然后随着时间推移速度逐渐增加，最后在10秒钟时超过终点，求兔子的速度公式。

首先我们可以使用速度等于距离除以时间的公式：v=d/t。

因为兔子是在一条直线上跑步，所以可以将问题转化为一个直线方程。

在这个例子中，兔子的起点坐标为(0,0)，速度为20米每秒，所以直线方程为y=20x。

这个方程描述的是兔子的速度随着时间而变化的过程。

二、距离问题：距离问题也是一次函数非常有效的应用场景。

比如，一个人从起点出发，以10米每秒的速度向前行走，每40秒钟会有一个休息的时间，休息时不计算时间消耗，请计算出这个人在3分钟内行走的距离。

在这个例子中，我们可以将这个问题转化为一个一次函数的形式。

人的速度为10米每秒，因此他每走1秒的距离就是10米，一段时间内走的距离就是这段时间内的秒数*10米，如果这段时间中有多段时间休息，那么可以将这段时间分成多个小段，然后求各小段内的距离总和即可。

因此，这个问题转化成一次函数的形式为f(x)=10x-40*floor(x/40)。

三、速度问题：速度问题也是一次函数的应用场景之一。

比如，在一辆汽车行驶的过程中，它的速度随时间而变化，如果我们知道汽车在某一时刻的速度，可以计算出汽车行驶的距离、时间和最终速度。

在解决速度问题时，我们需要使用以下公式：v=dx/dt，其中v表示速度，d表示距离，t 表示时间。

因为速度是在一条直线上变化的，所以我们可以使用一次函数来描述速度-时间的关系，将速度公式转化为直线方程。

用一次函数解决问题

y/元
1200 800
O
800
分析：先确定函数表达式；再
y1
求交点；画图像，看图说话.
y2
y1＝1.5x，
y2＝800＋0.5x，
交点（800， 1200）．
x/km
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6.4 用一次函数解决问题（2）
【练习】 A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠
活动，两家旅行社的票价均为90元/人，但优惠办
【小结】
通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？
转化
实际问题
数学模型 (一次函数)
解决
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感谢您的观看！
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6.4 用一次函数解决问题（2）
【思考】某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：
运输方式速度/(千米/时) 途中综合费用/ (元/时）
汽车
60
270
火车
100
240
（1）请分别写出汽车、火车运输 y/元总费用y1(元）、y2(元)与运输路程 x(千米)之间的函数表达式．
6.4 用一次函数解决问题（2）
讨论：每月用车里程为x 千米，甲公司的月租费是 y1元，乙公司的月租费是y2元．函数图像如图：
y/元
2000 1000
O 10002000
分析：看图像, 找交点.
y1 y2
（1） x为何值，y1＝y2.
（2）x在何范围，y1＜y2.
（3）x在何范围，y1＞y2.
x/km （1）x＝2000时，y1＝y2. （2）x＜2000时，y1＜y2. （3）x＞2000时，y1＞y2.

用一次函数解决问题详解课件

局限性
一次函数只能描述线性关系，对于非线性问题可能无法准确描述，且对于多变量问题可能无法全面考虑。
如何提高解决一次函数问题的能力
掌握基本概念
理解一次函数的基本概念和性质，包括斜率、截距、单调性等。
强化计算能力
提高计算能力和技巧，能够快速准确地求解一次函数的表达式和值。
实际应用练习
通过实际问题的解决，加深对一次函数的理解和应用能力。
详细描述
在斜率与距离问题中，我们需要找到斜率和距离之间的关系。通过设定一次函数模型，我们可以表示斜率和距离之间的关系，从而解决实际问题。
03
一次函数问题的解决步骤
建立一次函数模型
识别问题中的变量和参数
代入已知条件求解
首先需要从问题描述中识别出变量和参数，并理解它们之间的关系。
将已知条件代入一次函数模型中，解出 k 和 b 的值。
用一次函数解决问题详解课件
contents
目录
• 一次函数简介 • 一次函数的应用场景 • 一次函数问题的解决步骤 • 一次函数问题的实例解析 • 总结与思考
01
一次函数简介
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中x为自变量，y 为因变量。
k
斜率，表示函数图像的倾斜程度。
单调递减。
奇偶性
02
一次函数无奇偶性。
值域
03
对于任意x，y都有唯一确定的值，因此一次函数的值域为全体
实数。
02
一次函数的应用场景
线性关系问题
总结词
线性关系问题是一次函数最直接的应用场景，通过建立一次函数模型，可以解决实际问题中关于两个变量之间线性关系的问题。

利用一次函数解决实际问题课件

y= 4x+2(x>2)
叫做分段函数. 注意：1.它是一个函数； 2.要写明自变量取值范围.
｛ y = 5x(0≤x≤2) 的函数图象为: 4x+2(x>2)
y
y=4x+2(x>2)
14
10
y=5x(0≤x≤2)
O 123
x
例1 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以
一户每月用水x立方米，应缴水费y元。
（1）求出y关于x的函数解析式；
解：y关于x的函数解析式为：
(1+0.3)x =1.3x，
y=
(0≤x≤8)
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2. (x＞8)
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量。
解: (1)设函数解析式为y=kx＋b，
y/元
由图可知图象过(0，40),(4，120) 120
80
∴
0 k b 40, 4k b 120,
解得
k 20, b 40,
40
o 1 2 3 4 5 x/月
∴这个函数的解析式为y=20x+40。
(2)当y=200时，20x+40=200, 解得x=8
解：(1)y = -5x + 40
(2)8 h
例1 “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折。
（1）填写下表：
购买种子数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/ 元2.557.5 10 12

八上数学课件用一次函数解决问题(课件)

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
苏教版
6.4 用一次函数解决问题
八年级上数学第六章
本节课学习目标
学习目标
1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式。 2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题 3.通过具体问题的分析，发展解决问题的能力，增强应用意识．
问题1：玉龙雪山雪线的海拔是________m,雪线每年上
例题1答案
一次函数的应用
例题2
一次函数的应用
例题3
一次函数的应用
例题3答案
一次函数的应用
练习1
一次函数的应用
练习2
一次函数的应用
练习2答案
一次函数的应用
练习3
一次函数的应用
练习3答案
总结
1.根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式． 2.实际问题中自变量取值范围与函数图像之间的关系。
升约为____m，所以雪线海拔y(m)是时间x(年)的
________函数，函数的表达式为
；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题2：5年后，雪线的海拔是
m；
问题3：大约年后，雪线退至山顶而消失．
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
课堂小结
1.你能够根据实际问题列一次函数关系式了吗？ 2.你对一次函数的应用理解了多少呢？

利用一次函数图像解决实际问题

利用一次函数图像解决实际问题从近几年黑龙江省的中考试卷可以看出，中考命题增大了对一次函数图像的应用考查的力度和强度，题型由选择题、填空题攀升到分值比重较大的解答题，直至难度较大的实际应用题.特别是利用一次函数图像解决实际问题这类题目，正逐步成为中考命题的热点.因此，列举几道近年来黑龙江省各地区的中考题进行考点解析、考题精讲、中考预测等几方面的诠释，供广大考生在复习时参考.一、考点解析1. 考点应用（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式；（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y＝kx＋b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；（4）体会一次函数与二元一次方程（组）的关系；（5）能用一次函数（图像）解决简单的实际问题.2. 考点指明（1）利用一次函数图像的应用题考查的考点集中在以下几方面：①对数形结合的认识和理解情况；②将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；③对分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的掌握；④对一次函数与方程（组）、不等式（组）关系的理解与转化能力.（2）利用一次函数图像解决实际问题这类的题目，通常表现为图像信息题，是中考的热点考题.解答这类问题的重点是要抓住以下几点：①读懂图像，结合分析找出有用信息；②利用信息抽象出数学模型（如一次函数）；③带着实际问题的限制条件解数学模型.（3）利用一次函数图像解决实际问题时，深刻理解一次函数的图像要注重以下几点：①分清一次函数中的分段函数，要特别注意相应的自变量变化区间，在解析式和图像上都要反映出自变量的相应取值范围.由几条线段（或射线）组成的折线将函数图像分段，其中每条线段（或射线）代表每一段函数图像，代表某一个阶段的情况.②弄清两个坐标轴代表的实际意义，分析分段函数的图像要结合实际问题背景.二、考题精讲例1：（2014年黑龙江省齐齐哈尔市）已知，A、B两市相距260千米.甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计）.乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市.如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图像，结合图像回答下列问题：（1）甲车提速后的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时，点C的坐标为；（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间.【考点应用】一次函数图像的应用.【详解详析】（1）由甲车行驶2小时到M地可知M地距A市80千米，由此求得甲车原来的速度为40千米/时，进而求得甲车提速后的速度；根据乙车从出发到返回的时间以及速度，求得点C的坐标；（2）设乙车返回时y与x的函数关系式y＝kx＋b，代入点C和（4，0）求得答案即可；（3）求出甲车提速后到达B市时间减去乙车已返回A市的时间即可.【解答过程】【总结点评】此题考查一次函数的实际运用，结合图像，理解题意，正确列出函数解析式解决问题.例2：（2015年黑龙江省齐齐哈尔市）甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图像解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t= 小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．【考点应用】一次函数图像的应用．【详解详析】（1）首先求得乙车的速度，然后求出乙车到达A地用的时间是多少；最后求出甲车的速度，求出t的值是多少即可；（2）根据题意分三种情况求出甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x的函数关系式，写出自变量的取值范围；（3）根据题意分三种情况求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．【解答过程】4小时、6小时后两车相距120千米．【总结点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系．。

初中数学八年级上册《6.4 用一次函数解决问题》PPT课件 (5)

3、某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：
（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
2．某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某
树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳
树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数棵树苗批发价格（元）
杨树 3
丁香树 2
已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9 米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要 A种布料 1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元.若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获（总1）利求润y为与yx元的.函数关系式，并求出自变量的取值范围；
柳树 3
设购买杨树为x株，购买三种树苗总费用为w元
（1）写出w与x之间的函数关系式，并求出自变
量的取值范围；
（2）如果你是小区负责人，请你计算最低费用。
6.4一次函数的应用(3)
一次函数y=-2x+4 （（12））函当数y2随着xx的3增时大，而函_数__y_的_取__值__范_ 围
是_________
例1．华联超市欲购进A、B两种品牌的书包共400个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个，且所购进的两种书品牌包能全部进价卖（出元，/个获）得的总利售润元（为元w/元个）．

一次函数解决实际问题的一般步骤

一次函数解决实际问题的一般步骤一、引言在我们的日常生活和工作中，常常会遇到各种各样的实际问题需要解决。

而数学中的一次函数则是一种常用的工具，可用来解决实际问题。

本文将深入探讨一次函数解决实际问题的一般步骤，帮助读者更好地理解和运用这一数学工具。

二、了解一次函数的基本概念在讨论一次函数解决实际问题的一般步骤之前，我们需要首先了解一次函数的基本概念。

一次函数是指函数的自变量的最高次数为1的一种函数，通常表示为y = kx + b。

其中，k为斜率，b为常数项。

一次函数的图像为一条直线，通过斜率和常数项可以确定直线的斜率和截距，进而分析其特性和规律。

三、实际问题的建模与分析解决实际问题首先需要将问题进行数学建模，将实际问题转化为数学问题。

在建模过程中，我们可以运用一次函数来描述和分析问题。

某物品的售价与销量之间的关系、运动物体的位移与时间之间的关系等都可以用一次函数来建模。

在建模的基础上，我们需要对实际问题进行深入的分析和探讨。

我们可以通过观察数据、制作表格、绘制图表等方法，分析一次函数的斜率、截距以及函数的变化趋势。

这些分析将有助于我们更好地理解实际问题，并为后续的解决提供依据。

四、一次函数解决实际问题的一般步骤1. 确定问题在解决实际问题时，我们首先需要确定问题的具体内容和要解决的核心。

我们可能需要确定要分析的变量、需要测量的数据等。

2. 建立模型在确定问题后，我们需要根据实际情况建立一次函数的数学模型。

通过观察数据或实际情况，我们可以确定函数的斜率和截距，进而建立数学模型。

3. 分析模型建立数学模型后，我们需要对模型进行深入的分析，探讨其特性和规律。

这包括分析斜率和截距的意义、函数的变化趋势等。

4. 解决问题我们可以利用建立的一次函数模型来解决实际问题。

根据已知条件，我们可以通过函数模型来预测未知数值、分析问题趋势等，为实际问题的解决提供数学支持。

五、个人观点和总结在实际问题解决中，一次函数作为数学工具能够有效地帮助我们建立模型、分析问题、预测趋势等。

用一次函数解决生活中的问题

用一次函数解决生活中的问题在日常生活中，我们经常面临各种问题和挑战。

有时候，我们可以利用一次函数来解决这些问题，这是一种简单而有效的工具。

本文将探讨如何利用一次函数来解决生活中的问题，并提供一些实际应用案例供参考。

一、什么是一次函数一次函数也被称为线性函数，其数学表达式为y = ax + b。

其中，a 和b是常数，x和y分别代表自变量和因变量。

一次函数有以下几个特点：1.一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。

2.当x为0时，函数的值为b，代表y轴截距。

3.当y为0时，函数的值为-a/b，代表x轴截距。

二、一次函数在生活中的应用1.匀速直线运动一次函数可以应用于描述匀速直线运动的物理问题。

假设一个小车以每小时60公里的速度匀速行驶，经过t小时后所走的距离d与时间的关系可以表示为d = 60t。

这就是一个一次函数，通过这个函数可以求出任意时刻小车所走的距离。

2.物品价格与销量的关系在市场经济中，很多商品的价格与销量存在着关联。

假设某种商品的价格为p元，销量为q件，通过实际数据分析可以得出一个关系表达式，比如p = 10 - 0.2q。

通过这个一次函数，我们可以计算不同销量下的商品价格，或者推算出满足某一价格需求的销量。

3.简单的财务规划一次函数也可以用来进行简单的财务规划。

例如，假设你每月的收入为y元，开销为k元，那么你每月的储蓄s可以用一次函数来表示，即s = y - k。

利用这个函数，你可以根据自己的收入和开销情况来计算每月的储蓄金额，并做出相应的调整。

4.温度变化与时间的关系以实际应用为例，我们考虑研究一天的温度变化情况。

假设早晨六点的温度为10℃，随着时间逐渐升高，每小时增加2℃，那么任意时刻t的温度可以用一次函数T = 10 + 2t来表示。

这样，我们可以根据时间来计算任意时刻的温度，并做出相应的安排。

5.电费计算在家庭生活中，电费计算是一个每个人都会遇到的问题。

一次函数可以帮助我们计算不同用电量下的电费。

利用一次函数解决问题

利用一次函数解决问题一次函数（也称为线性函数）是数学中常见且重要的函数类型之一。

它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，具有许多应用领域。

本文将介绍如何利用一次函数解决问题。

一、利用一次函数解决实际问题一次函数在实际问题中的应用非常广泛。

它可以描述物体的直线运动、收入与支出的关系、成本与产量的关系等。

下面举例说明：例1：小明每天骑自行车上学，他发现骑行的时间与距离之间存在一定的关系。

他测量了两天的数据，如下所示：时间（分钟）：10 20 30 40距离（千米）：1 2 3 4小明想要知道骑行 50 分钟可以骑多远，他可以利用一次函数解决这个问题。

解：我们可以先通过已知数据构建一个一次函数。

选择时间作为自变量 x，距离作为因变量 y。

现在我们来求解 a 和 b 的值。

已知点 A (10, 1) 和点 B (20, 2)，可以利用两点间的斜率公式计算 a的值：a = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (20 - 10) = 1 / 10 = 0.1接下来，我们可以代入其中一点的坐标和已知的 a 值，求解 b 的值：1 = 0.1 * 10 + bb = 1 - 1 = 0所以，一次函数为 y = 0.1x + 0。

现在可以利用求得的一次函数来解决问题。

当 x = 50 时，我们可以通过函数表达式求得对应的 y 值：y = 0.1 * 50 + 0 = 5因此，小明骑行 50 分钟可以骑行 5 千米。

二、利用一次函数解决图像问题一次函数的图像是一条直线，通过直线的性质，我们可以解决一些与图像相关的问题。

下面举例说明：例2：某公司生产零件，每天生产数量与花费的时间之间呈一次函数的关系。

已知当生产数量为 1000 时，需要 4 小时。

而当生产数量为2000 时，需要 8 小时。

现在需要求解该函数的表达式并计算生产 3000 个零件所需的时间。

一次函数解决实际问题

一次函数解决实际问题我们知道，在一般情况下，一次函数y＝k＋b（k、b为实数，且k≠0）的自变量取值范围是全体实数，函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线．但是，在实际问题中，自变量的取值常常受到一定的限制，导致函数的图像发生变化，由直线变为其它图形．一、图像变成射线例1甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地出发到乙地去，到达乙地后继续以每小时60千米的速度向前行驶，求汽车行驶t小时后与甲地距离S（千米）之间的函数关系式，并画出函数的图像．解由题意得，S＝60t＋20，其中t≥0．当t＝0时，S＝20；当t＝1时，S＝80．以A（0，20）为端点，作射线AB，使它经过点B（1，80）（如图1），则射线AB为所求函数的图像．【评注】当自变量≥a（或≤a，a为实数）时，函数y＝k＋b的图像是一条射线．特别地，当自变量＞a（或＜a）时，函数y＝k＋b的图像不包括射线的端点，此时，射线的端点画成空心圆圈．二、图像变成线段例2柴油机开始工作时，油箱中有油60升，工作时每小时耗油5升，求油箱的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并画出该函数的图像．解由题意得，Q＝－5t＋60，其中0≤t≤12．当t＝0时，Q＝60；当t＝12时，Q＝0．以点A（0，60）、B（12，0）为端点作线段AB（如图2），则线段AB为所求函数的图像．【评注】当自变量取值满足1≤≤2（1＜2）时，函数y＝k＋b的图像是一条线段．特别地，当1＜＜2时，函数y＝k＋b的图像不包括线段的端点，此时，线段的端点画成空心圆圈．三、图像变成离散的点例3小敏带3元钱去文具店买圆珠笔，已知每支圆珠笔的售价为0。

25元，试写出所剩钱数y（元）与购买的圆珠笔的支数（支）之间的函数关系式，并作出函数图像．解由题意得，y＝3－0。

25，其中0≤t≤12，且为整数．显然，y与之间的对应关系可用下表表示：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点（如图3），则这些离散的点组成的图形就是所求作的函数图像。

第19章一次函数解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题(含答案)

解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义 ◆类型一　费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？一、两个一次函数图象结合的问题5．A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5 km?二、分段函数问题6．暑假期间，小刚一家乘车去离家380 km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5 h后离目的地有多远？一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得{14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得{m ＝2，n ＝3.5.答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝{2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得{20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得{k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝{8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴{x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得{2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得{m ＝0.7，n ＝600，所以y 乙＝{x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）.(2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2　30　20　解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20.(2)设甲出发x h 两人恰好相距5 km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3 h 或1.5 h 两人恰好相距5 km.6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4 h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得{k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得{k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)．(3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.7．①②④8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得{2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得{k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.。

(完整版)利用一次函数解决实际问题(含答案)

利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。

因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中的速度最大，的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。

八年级数学上册6.4用一次函数解决问题

指出自变量x的取值范围; y=10x(x≥0)
（2）写出乙离开出发地的路程y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围;
y=25x-75(x≥3)
（3）在同一直角坐标系中，画出（1）（2）中函数的图像，并结
合实际问题，解释图像中交点的意义.
y/千米
50
40
30 甲y=10x
20
10
乙y=25x-75
解：① B 市运往 C 市机器x台，则有题意可知： W = 300x + 500 （6-x） + 400（10-x） +800〔12（10-x）〕
= 200 x + 8600 （ 0 ≤ x ≤ 6 ） ∴总运费W（元）关于x的函数关系式为： W = 200 x + 8600 （ 0 ≤ x ≤ 6 ）
分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x 元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用（60x+1000）元．问题变为比较80x 与 60x+1000 的大小了．
解法一：设该单位参加旅游人数为x.
那么选甲旅行社，应付费用80x 元；
选乙旅行社，应付（60x+1000）元
记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1与y2的图象交于点（50,4000）.
y=
(0≤x≤8)
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2 (x＞8)
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8. 答：应缴水费为15.8元
（3）因为1.3×8=10.4<26.6，所以该用户用水量超过8立方米. 所以2.7x-11.2=26.6，解得x=14 答：该户这月用水量为14吨

利用一次函数解决实际问题典型例题

利用一次函数解决实际问题典型例题例1、已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x为何制值时；（5）当时y 的取值范围；（6）时x 的取值范围；（7）求的面积；（8）方程的解分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．解：列表：描点连线得图象(1)当x=-1时，(2)当y=2时，x=2；(3)A(6，0)、B(0，3)；(4)x＜6时，y＞0；x=6时，y=0；x＞6时，y＜0(5)当时，(6)当-1≤y＜4时，-2＜x≤8；(7)(8)方程的解是x=6说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x值可求y 的值；(2)已知y的值可求x的值；(3)已知x的变化范围可求y的变化范围，反之也可求．函数方程当y为零时x的值就是方程方程的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。

例2、正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k、b的情况：分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方来决定b的正负．正比例函数过原点b=0．解：图(1)中k＞0，b=0；图(2)中k＜0，b=0；图(3)中k＜0，b＞0；图(4)中k＜0，b＜0．例3、已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MON的面积转化为M点的纵坐标解：根据题意画示意图，过点M作MC⊥ON于C∵点N的坐标为(-6，0)∴|ON|=6∴MC=5∵点M在第二象限∴点M的纵坐标y=5∴点M的坐标为(-4，5)∵一次函数解析式为y=k1x+b正比例函数解析式为y=k2x直线y=k1x+b经过(-6，0)∵正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，例4、在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．分析：根据题意画出示意图因为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可．点P的位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其二在O，B之间，如果P点在OB 之外，则不满足四边形ABPC的条件，所以点P只能在O，B 之间，所以S=S△AOB-S△COP，故只要求出两个三角形面积即可．解：∵一次函数在y轴上交点B的坐标是(0，5)根据题意：得A(10，0)∴OB=5，OA=10∵点C坐标为(6，0)，点P坐标是(0，y)∴OC=6，OP=y∵S=S△AOB-S△COP∴S=25-3y即S=-3y+25∵点P在O与B之间∴自变量y的取值范围是0＜y＜5∴当∠PCO=30°时，在Rt△COP中说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合．。

利用一次函数解决实际问题(含答案)

利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。

因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中的速度最大，的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。

编号626.4用一次函数解决问题(4)

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