第七章自旋与全同粒子

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第七章-自旋和全同粒子

第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋一电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。

实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。

描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B e s 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。

3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。

强调两点：●相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。

●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。

实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。

特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。

二电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。

电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s = ，波函数写为(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫= ⎪⎝⎭r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。

第七章电子自旋

（7.2-19）
亦即故有
（7.2-20）
（7.2-21）
最后得到的表达式为：
因为：
（7.2-22）
利用厄密矩阵的性质及反对易关系式得到(见附录IV)
所以：
（7.2-23）
（7.2-24）
此3 个矩阵称为泡利矩阵。
3. 电子波函数的归一化及几率密度
由
由波函数定义的几率
密度为
表示的电子波函数的归一化除了对空间坐标积分之外,还要对自旋求和, 即：
这两个分量可以排成一个二行一列的矩阵: （7.2-15）
如果电子处于
的自旋态,则其波函数表示为:
（7.2-16）
如果电子处于的
自旋态,则其波函数表示为（7.2-17）
由矩阵的乘法规则可知,自旋算符应当是二行二列的矩阵。
设（7.2-18）
对应于本征值为本征值方程为：
的
同样, 对应于本征值为
的本征值方程为：
(1) 每个电子均具有自旋角动量只能取
,它在空间任何方向的投影（7.1-1）
(2)每个电子具有自旋磁矩 ,它和自旋角动量的关系为：
(SI) （7.1-2）
在空间任意方向上的投影只能取两个数值:
其中为玻尔磁子。
(SI) （7.1-3）
(SI) （7.1-3）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率,它等
例题: 在σz 的表象中,求σ·n 的本征态,n=(sinθcosφ,sinθ sinφ,cosθ) 是(θ,φ)方向上的单位矢。
§ 7.3 简单塞曼效应氢原子和类氢原子的电子由于受到外磁场的作用而引起的附加能量为:
哈密顿算符为: 其中: 则体系的定态薛定谔方程为:

7.1自旋与全同粒子量子力学课件

2020/5/10
1
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为（2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构。比如，对应于氢原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等
(1)每个电子具有自旋角动量s，它在空间任何方向上的投
影只能取两个数值：
sz
; 2
(7.1 1)
(2)每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s的关系是
Ms
e
s, (SI );
Ms
e
c
s, (CGS
)
(7.1 2)
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4
Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
M sz
e
2
M B , (SI )
M sz
e
2c
M B , (CGS)
(7.1 3)
M
玻尔磁子。
B
由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
M Sz e , (SI ); M Sz e , (CGS ) (7.1 4)
sz
sz
c
这个比值称为电子自旋的回SI ); M L
e
2c
L, (CGS )
3、斯特恩—盖拉赫实验（1922年）基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向的两束。如图：
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2
2020/5/10
3
结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角动量。自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。

《量子力学》课程19

j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z

1 2
z
1 2

1 2
z
ˆ Sz
1 2

2

1 2
ˆ Sz1
2
2

1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道

自旋与全同粒子

√
电子自旋(1/2)

斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场，射到照相片 PP 上，出现两条分立线分立线：氢原子具有磁矩两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)

电子的自旋自旋算符：对易关系：平方算符：

泡利矩阵：自旋算符函数自旋算符函数对自旋求平均：对坐标和自旋求平均：

自旋波函数：

无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√

小结(2/3)

两电子体系的自旋函数：

算符
和
在
中的本征值

简单塞曼效应：
的共同本征函数

耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)

有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)

微扰的自旋与轨道相互作用

耦合表象的基矢零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正用到的公式

矩阵元

久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)

能量的一级修正

对易关系

本征值

自旋角动量算符的矩阵形式态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)

自旋角动量算符的矩阵形式
(

、和
称泡利矩阵)
其它关系正交归一关系：

第七章自旋与全同粒子c

第七章自旋与全同粒子§1.1 学习指导本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系。

根据光谱的精细结构和Stern —Gerlach 等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度。

通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立非相对论的含自旋的运动方程。

真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的（对应于玻色子）或者反对称的（对应于费米子）。

因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统。

本章的主要知识点有 1．电子自旋 1）泡利算符泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄密算符，定义为ˆˆˆˆx y z i i k σσσσ=++rr r r（7-1）其分量z y x σσσˆ,ˆ,ˆ满足下列对易关系和反对易关系 [,]2,{,}2i j ijk k i j ij i σσεσσσδ== （7-2）由此可以推出i j ijk k ij i σσεσδ=+ （7-3）由于2ˆ1z σ=，因此ˆz σ的本征值为1±，对应的本征态记为()z χσ±。

取χ±为基矢，建立z σ表象，可以得到泡利算符的矩阵表示，即泡利矩阵01010ˆˆˆ,,10001x y z i i σσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7-4）2）电子自旋角动量借助泡利算符，电子自旋角动量S v可以表示为12ˆˆˆˆˆx y z S S i S j S k σ=++=v v v v v h （7-5）自旋角动量S v满足对易关系ˆˆˆS S i S ⨯=r r r h ，自旋角动量平方为3224ˆS =h ，自旋角量子数为12s =；自旋在z 轴方向的投影为ˆz S ，本征值为s m h ，其中12s m =±称为自旋磁量子数，对应的本征函数为12()()z z s χχσ±±=。

7第七章自旋与全同粒子

2
，所以ˆi 的本征

2 i

2 x

2 y

2 z
1
(22)
泡利矩阵：
ˆx பைடு நூலகம்10 10
ˆ y

0 i
i 0

ˆ z

1 0
01
(23)
• 考虑到自旋后，归一化形式为：
d
(1 *

2
*)
（空间量子化）
3）实验解释：
，氢原子处于S态时，l＝0，轨道角动
量平方 L2 l(l 1) 2 0
Lz m 0(m 0,1,2,....., l)
M
e
L0
2
在此状态下，原子轨道角动量基轨道磁距均为0。如果仍发现有磁距，必为其他磁矩。
2. 碱金属原子光谱的双向结构钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm,
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
2
- 2 2 nlm U r nlm Enl nlm （7）
当B=0： nlm是lz的本征函数：
Lz nlm m nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
第七章自旋与全同粒子
7.1 电子自旋
一、电子自旋的实验现象 1.斯特恩-盖拉赫实验
1）
N
z
ko
S
p
N-S磁铁之间为不均匀磁场 k0:氢原子源,H原子束经狭缝准直后,穿过不均匀B,屏上两条黑线。

量子力学自旋和全同粒子

可证：但是：
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。象称为耦合表象，在这个表象中 J z 1 2
第 7 章自旋和全同粒子 7.4、两个角动量的耦合
7.4.3、耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、耦合表象和非耦合表象的变换将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，

m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1

j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章自旋和全同粒子 7.4、两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章自旋和全同粒子 7.4、两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2

《量子力学教程》_课后答案

其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当

量子力学7自旋与全同粒子-2qz

3
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
1 1 1 0 2
代入 S—方程
或
21
2
0 2
2 2 eB ˆ ˆ V (r ) ( Lz 2 S z ) 2 2 c

ˆ ˆ J x J y2 ,

ˆ ˆ J x Jz2,
ˆ ˆ J x Jz

ˆ Jx

ˆ ˆ Jx Jy,

ˆ ˆ ˆ ˆ J x J y Jz Jz ,

ˆ ˆ J x Jz ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i J y J z i J z J y i J z J y i J y J z

ˆ 2 J 2 J 2 2J J , ˆ ˆ J1 1 2 1 2
ˆ ˆ J 12 J 2 2 ,

i 1,2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 x J 2 x J 1 y J 2 y J 1 z J 2 z , ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 y J 2 y ,
ˆ J 22 0

ˆ J 12
Jˆ
1z ,
ˆ ˆ J 12 J 2 z ,

ˆ J 12

0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可知：四个角动量算符
ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 , J z , J 12 , J 2 2
两两对易
ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 , J 1z , J 2 2 , J 2 z

7 自旋与全同粒子

A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略：一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直接证实了这一属性。无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题

第七章自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件

q, 1
q 2
分别代表两个粒子的坐标（r,s）
思考：两个全同粒子所处的态不一定相同，当处于同一态
时交换两粒子不影响态的变化。
思考题 1：①求由三个玻色子组成的全同粒子体系，波函数个数（设粒子之间无相互作用，每个粒子只有两个单态） ②求由三个费米子组成的体系的全同粒子的波函数个数（设粒子之间相互作用，每个粒子只有两个可能的单粒子态）
结论：1）电子将在不违背泡利原则的原则下首先占领最低的能级，因而在零级近似下，电子将按主量子数增加的次序填充到各个层上。
2）当原子序数增大时，电子之间相互作用是不能完全忽略的，电子的能量不但与 n 有关，还与 l 有关，因而有出现 n 大 l 小的能级，比 n 小 l 大的能级能量低，所以先填充 n 大 l 小的壳层。
若φ反对称，对称
电子填充规律：电子的填充并不是杂乱无章的，它们必须服从下面
两个定理。 1、泡利原理：在同一个原子中，不可能有两个或两个
以上的电子处在完全相同的状态（即具有完全相同的
量子数 n,l,m,m s ）,或都说每个确定的状态，最多只能容纳一个电子，因而第 N 个能级上最多只能容纳 2N 2 个电子。 2、能量最小原理：原子中电子分布。将尽可能的使原子系统的能最低。
即
(
q
i
q
j
）=c
(
q
j
q
i
)
＝
C
2
(q i
q
j
）
C 2 =1, C =±1。
当 c=＋1 是对称的(qi q j ）=(q j qi )
当 c=－1 是反对称(qi q j ）=－(q j qi )
结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。

第七章自旋与全同粒子1

（一）自旋角动量
轨道角动量 r ˆ L r r r ˆ ˆ ˆ L × L = ih L ˆ ˆ ˆ [ L x , L y ] = ih L z ˆ ˆ ˆ [ L y , L z ] = ih L ˆ ˆ ˆ [ L z , L x ] = ih L
x y
自旋角动量 r ˆ S r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S ˆ [S ˆ ˆ , S y ] = ih S ˆ ] = ih S
h 2 h 2
,t) ,t)
写成列矩阵
r ψ 1 ( r , t ) Φ= r ψ ( r , t ) 2
若已知电子处于S 若已知电子处于 Sz = h/2 或 Sz = -h/2 的自旋态，则波函数可分别写为：的自旋态，则波函数可分别写为： r 0 ψ 1 ( r , t ) Φ1 = Φ−1 = r 2 2 0 ψ 2 ( r , t )
处于 S 态的氢原子
（3）讨论
r r 设原子磁矩为 M，外磁场为 B，则原子在 Z 向外场 v B 中的势能为：中的势能为：
r v U = − M • B = − MB z cos θ
原子 Z 向受力
磁矩与磁场之夹角
∂Bz ∂U Fz = − cos θ =M ∂z ∂z
分析
若原子磁矩可任意取向， +1）若原子磁矩可任意取向，则 cos θ 可在（-1，+1）之间连续变化，之间连续变化，感光板将呈现连续带
最后得 SZ 的矩阵形式
h 1 0 Sz = 2 0 − 1
是对角矩阵， SZ 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值± /2。元是其本征值±h/2。
（2）Pauli 算符

第七章自旋与全同粒子十九讲 ppt 量子力学教学课件

由上式变成
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦合表象中是对角阵，所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数：则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝＋＋ 1z 2z 2x 2 1x

量子力学第七章自旋与全同粒子

7.5 光谱的精细结构
Fine structure of the spectrum
7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles
7.7 全同粒子系统的波函数泡利原理
The wave function of similar particle system Pauli principle
2 ˆ ˆ x2 y2 z2
ˆ ,2 x ] 0 ˆ [ ˆ ,2 y ] 0 ˆ [ ˆ ˆ [ ,2 z ] 0
12
ˆ ˆ [ ] 0
2 ,
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数（续 5）
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
7.1 电子自旋
Electron spin
7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function
7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect
7.4 两个角动量的耦合
Coupling of two angular momentum
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ y z y z y y z y z y ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i
S ，它在空间任意方
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的
e MS S
（SI）

lz4自旋与全同粒子

将两个粒子互换后,H 不变 H (q1 , q2 qi q j q N , t ) = H (q1 , q2 q j qi q N , t )
(2)
由 s q 方程
i Φ (q1q2 qi q j q N , t ) t = H (q1q2 qi q j q N , t )Φ (q1q2 qi q j q N , t )
+ * 1 * 2
点周围单位体积内找到电子 ( S z = ± ) 的几率. 2
∫ψ3; ψ 2 )dτ = 1
2 2
自旋算符应该是二行二列的矩阵
= a b Sz c d 2 ψ = ψ 1 Sz 1 2 2 2 ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ1 = 0 2
将这两个分量排成一个二行一列的矩阵
ψ 1 ( x, y, z , t ) ψ = ψ ( x, y, z, t ) 2
ψ 1 :电子S z = 的几率
2
2
ψ 2 : S z = 的几率
2
2
ψ1 2 2 = ψ 1 + ψ 2 表示在 t 时刻在( x, y, z ) ψ ψ = (ψ ψ ) ψ 2
第七章自旋与全同粒子
§7.1
一,Stern-Gerlach实验 Z
电子自旋
S
B
N
P
U = M B = MB cosθ U B Fz = =M cosθ z z
M:原子的磁矩
1,原子具有磁矩,对于处于S态的原子 l = 0, L = 0 l ML = L = 0 没有轨道磁矩,所以原子所具有的磁矩是 2 电子固有的磁矩,称为自旋磁矩. 2,自旋磁矩在磁场中只有两种取向. 1925年,Vhlenbeck 和 Goudsmit 假设: (1)每个电子具有自旋角动量 S ,它在空间任何方

量子力学-自旋与全同粒子

自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易，定值。所以，定值。所以，只能用某一方向的分量来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点。一般用Sz ，即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象）立Sz 表象（或称 S 2和 Sz 的共同表象）， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态研究电子的运动状态。在Sz 表象研究电子的运动状态。（1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电在年根据上述现象提出，自旋。没有经典对应，子具有一种特殊的运动——自旋。该运动方式没有经典对应，子具有一种特殊的运动自旋该运动方式没有经典对应不能用经典运动来解释（与自转有本质区别）不能用经典运动来解释（与自转有本质区别）。这就是电子的自旋假设：自旋假设：自旋角动量，（ 1）电子具有自旋角动量，它在空间）电子具有自旋角动量任何方向上的投影只能取两个值：上的投影只能取两个值任何方向上的投影只能取两个值：自旋磁矩，（ 2）电子具有自旋磁矩，它与自旋角）电子具有自旋磁矩动量的关系为：动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ，中的势能为：原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：

16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

ℏ 同理，同理，λ = − （自旋朝下）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论：讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值，（1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上）设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ˆ χ 1 ( S ) = ℏ 0 −i 1 = ℏ 0 = i ℏ χ ( S ) Sy z z −1 2 2 i 0 0 2 i 2 2 ℏ 0 −i 0 ℏ −i = −i ℏ χ ( S ) ˆ 1 S y χ− 1 (S z ) = z = 2 0 2 2 2 2 i 0 1
θ
2
和 sin
2
θ
2
。
的概率：也可以采取下面的办法求 S z = ±ℏ / 2 的概率：
S z = ±ℏ / 2 的概率分别为
Pz (↑) = ↑ z ↑n
2
cos(θ / 2) 2θ = (1 0 ) iϕ = cos 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↓) = ↓ z ↑n
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符实验测得：实验测得： S n = ±ℏ / 2

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4
2
Sz ms
ms
1 2
自旋磁量子数
ms s, s 1, s 2, ,s 1,s
15
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
二.电子自旋态的表示方法
1、考虑了电子自旋的电子波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子
运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (自旋在某方向的投影，如Sz），于是含自旋的电子波函数需写为：
子的固有磁矩，即自旋磁矩。
8
§7.1 电子自旋
三.电子自旋的假设
为了解释Stern-Gerlach 实验中原子束偏移的现象， Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年提出了电子自旋假设，认为不能把电子看成一个简单的点电荷。电子除了绕原子核运动（公转）外，还有一个绕自身轴线的自转——“自旋”。
•自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别。
通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数:
Fˆ Fˆ (r , pˆ )
自旋角动量与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
13
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
与其他力学量一样，自旋角动量可以用算符描写为 Sˆ
(x, y, z, Sz ,t) (x, y, z, t)(Sz )
其中 (SZ ) 是描写电子自旋状态的自旋函数。
自旋算符只对自旋函数产生作用
22
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
求：Sˆz 的本征函数
Sˆz 的本征方程: Sˆz (Sz ) 2 (Sz )
令1 (Sz ), 2
1 2
23
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
代入本征方程得：
2
1 0
0
1
a1 a2
2
a1 a2
a1 a2
a1 a2
aa12
a1 0
由归一化条件确定a1
11 a1* 22
0
a1 0
1
| a1 |2 1
a1 ei
习惯上取β=0,
得到： 1
2
1 0
向外场中的势能为：
U Ms B MsBz cos 原子 Z 向受力：
磁矩与磁场之夹角
Fz
U z
Ms
Bz z
cos
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在（-1，+1）
之间连续变化，感光板将呈现连续带。但是实验结
果是出现的两条分立线，对应cos = -1和 +1 ，处于
S态的原子没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电
(x, y, z, Sz ,t)
由于 Sz 只取 ±/2 两个值，所以上式可写为两个分量：
1(x, y, z,t) (x, y, z, 2 ,t)
2 (x, y, z,t) (x, y, z, 2 ,t)
16
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
2、两个分量排成一个二行一列的矩阵（旋量）
量子力学
第七章自旋与全同粒子
1
§7.1 电子自旋
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
§7.3 简单塞曼效应
§7.4 两个角动量的耦合
§7.5 光谱的精细结构
§7.6 全同粒子的特性
§7.7 全同粒子体系波函数 Pauli 原理
§7.8 两个电子的自旋函数
§7.9 氦原子
§7.10 氢分子
2
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率，计算原子对光的吸收和发射系数等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
3、斯特恩—盖拉赫实验（1922年）基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向的两束。
5
§7.1 电子自旋
二.Stern-Gerlach 实验
1、实验描述
S 态（基态）的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
z
I.氢原子有磁矩，原子束通过非均匀磁场受力的作用发生偏转；
n =1，l =0，则ml =0 。将氢原子置于外磁场中，电子的附加能量为0。如果让这样的氢原子垂直通过
磁场，则氢原子的运动方向将保持不变。
原子的磁矩在空间有两个取向，很显然，这决不是轨道角动量空间量子化造成的。原子具有的这个磁矩是电子固有的磁矩。
7
§7.1 电子自旋
3、讨论
设原子固有磁矩为 M s，外磁场为B ，则原子在Z
(x,
y,
z, t )(a 1
2
b
1 2
)
(x, (x,
y, y,
z, z,
t)a t)b
25
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
五.泡利算符
1、泡利算符
为了方便，实际计算常使用泡利算符来表示自旋：
Sˆ ˆ
2
2、性质
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y Sˆz 2 ˆz
(1)对易关系
(x, (x,
y, y,
z, t) z, t)
波函数归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即
d
1*
* 2
1 2
d
[| 1 |2 | 2 |2 ]d 1
20
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
2、概率密度 w(x, y, z,t) | 1 |2 | 2 |2
w1(x, y, z,t) w2(x, y, z,t)
与坐标、动量无关
r pˆ 不适用
满足一般角动量的对易关系：
轨道角动量
自旋角动量
Lˆ Lˆ Lˆ i Lˆ [Lˆx , Lˆy ] i Lˆz [Lˆy , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆy
Sˆ Sˆ Sˆ i Sˆ [Sˆx , Sˆy ] i Sˆz [Sˆy , Sˆz ] i Sˆx [Sˆz , Sˆx ] i Sˆy
同理
1 2
0 1
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交：
0
1 2
1 2
1
1 0
0
24
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
一般的自旋部分的波函数：
(Sz )
a1
2
b
1 2
=
a b
一般的波函数（无自旋轨道相互作用）：
(x, y, z, Sz ,t) (x, y, z, t)(Sz )
L 2me
L 2mec
电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍
11
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
一.自旋算符二.电子自旋态的表示方法三.含自旋波函数的归一化和概率密度四.自旋波函数五.泡利算符六. 力学量期望值
12
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
一.自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。电子的自旋是相对论效应，严格处理应当用Dirac 方程，在非相对论量子力学中是作唯象处理。
t
)
17
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
3、Sz的矩阵形式
电子自旋算符（如Sz）作用在电子波函数上，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，则电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵。如：
a b
Sz
2
c
d
因为Ψ1/2 描写的态，Sz有确定值 /2，所以Ψ1/2 是 Sz 的本征态，本征值为 /2，即有：
4
§7.1 电子自旋
一.提出电子自旋的依据
1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为（2l+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构。比如，对应于氢原子 2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等。
II.只有两条分离线，说明氢原子磁矩在磁场中只有两种取向，
即空间量子化。
6
§7.1 电子自旋
2、结论
Z向外磁场中轨道角动量的附加能量： n 1, 2,3,
U
M L
B
M Lz B
ml
e 2mec
B
(CGS)
l 0,1, 2, , n-1 ml 0, 1, 2, l
对氢原子而言，若它的核外电子处于1s态，即
思考：轨道角动量算符与自旋角动量算符是否对易？
14
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
因为Sˆ 在任何方向的投影都只能取两个值 / 2 ，
因此 Sˆx , Sˆy , Sˆz 的本征值都只能有两个值 / 2 ，则各
分量平方算符的本征值为：
引入 Sˆ2
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
2
S
2 x
S
2 y
S
MSz
e 2me
M B (SI );
MSz
e 2mec
M B (CGS)
玻尔磁子 10
§7.1 电子自旋
四.回转磁比率
（1）电子自旋回转磁比率：自旋磁矩和自旋角动量之比
Ms e , (SI ); Ms e , (CGS)
S
me
S
mec
（2）轨道运动回转磁比率：轨道磁矩与轨道角动量之比
ML e ,(SI ); ML e ,(CGS)
1 ( x, 2 (x,
y, y,
z, t) z, t)
规定列矩阵: 第一行对应于Sz = /2，第二行对应于Sz = -/2。
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态（Sz本征态），则波函数可分别写为：
1 2
1
(