压杆的稳定性问题
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(1) 狭长矩形截面梁在横向 力超过一定数值时，会突 然发生侧向弯曲和扭转。
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
精品课件
F
a)
q
b)
第十章 压杆稳定
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。
失稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的
变化或破坏过程。
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A0 A sikn l0
sikn l0 y
m
m
w
x B
讨论： 若
A0,w0
则必须 sik n l 0k l nπ(n0,1,2, )
精品课件
k2F k ln π (n0,1 ,2, )
EI
x
Fn2π l2 2EI(n0,1,2, )
F
令 n = 1, 得
Fcr
2EI l2
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2EI l2
欧拉公式
l
l/4
0.7l
2l
l
l/2 l
l
l/4
0.3l
F cr
2EI (2l)2
Fcr
2EI (l / 2)2
Fcr
2EI (0.7l)2
Fcr
π 2 EI
( 精品l )课2件
l—相当长度
—长度因数
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩.
取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.
若杆端在各个方向的约束情况不同（如
x y
z
柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳
时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力.
然后取小的一个作为压杆的临界压力.
cr精品课件 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 （1）大柔度杆
P
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆 S P
σcrab
（3）小柔度杆
S
σ σ cr s 精品课件
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力 crFA cr(l2)E2AI(l2/E i)2
精品课件
λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取
决于材料的力学性能。
例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可
得
p
E p
206109 200106
100
因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
Fcr
π2EI l2
Fcr
π2EI (0.7l )2
Fcr
π2EI (0.5l )2
Fcr
π 2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π 2 EI
(l )2
精品课件
10.1.3 三种类型压杆的不同临界状态
精品课件
精品课件
10.2 细长杆的临界载荷—欧拉临界力
10.2.1 两端铰支的细长压杆
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。
x
F
lm
m
w
x
y
B
y mB
精品课件
F M(x) = - Fw
x m
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 wf(x) 该截面的弯矩 M(x)Fw
精品课件
10-3 长细比的概念 三类不同压杆的判断
10.3.1 长细比的定义域概念
cr
Fcr A
2 EI (l)2 A
2E (l)2
i 2
2E ( l )2
2E 2
i
——临界应力的欧拉公式
l ——压杆的柔度（长细比） i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
F
F<Fcr
F>Fcr
压杆在轴向压力F作用
下处于直线的平衡状态。 F1
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态
2. 不稳定平衡
F a)
3. 临界力
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时
的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
精品课件
其他形式的工程构件的失稳问题
杆的挠曲线近似微分方程
EI'' w M (x)F（w a)
令 k2 F EI
得 w ''k2w0
m
y
B
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
wAsik nxBcoksx(c) （A、B为积分常数）
精品课件
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
A s 0 B i c n 0 0 o B 0 s
第十章 压杆的稳定性问题
§10-1 压杆稳定性的基本概念 §10-2 细长压杆的临界载荷-欧拉临界力 §10-3 长细比的概念 §10-4 压杆稳定性计算 §10-5 压杆稳定性计算示例 §10-6 结论与讨论
精品课件
10.1 压杆稳定的基本概念
10.1.1 平衡状态的稳定性和不稳定性
1. 稳定平衡
（
精品课）件
为压杆的长度因数
Fcr
π 2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
5.讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
精品课件
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
精品课件
不稳定平衡
10.1.2 临界状态与临界荷载
满足强受度压要杆求，即
不产生破坏，安全
max []
产生突然的横向弯曲
而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
工作最大值 < 临界值
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）。
x
y
B
挠曲线方程为
w
sinkl
sinkx
2
当 klπ时， w sinπx 挠曲线为半波正弦曲线.
l 精品课件
10.2.2 其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支
一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
精品课件
2.其它支座条件下的欧拉公式
式中，i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
引入符号
λ称为压杆的柔度
l i
cr
2E 2
欧拉公式的另一形式。 精品课件
只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的 失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的适用范围为
cr
2E 2
p
或写成
E p
令
p
E p
通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
精品课件
F
a)
q
b)
第十章 压杆稳定
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。
失稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的
变化或破坏过程。
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A0 A sikn l0
sikn l0 y
m
m
w
x B
讨论： 若
A0,w0
则必须 sik n l 0k l nπ(n0,1,2, )
精品课件
k2F k ln π (n0,1 ,2, )
EI
x
Fn2π l2 2EI(n0,1,2, )
F
令 n = 1, 得
Fcr
2EI l2
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2EI l2
欧拉公式
l
l/4
0.7l
2l
l
l/2 l
l
l/4
0.3l
F cr
2EI (2l)2
Fcr
2EI (l / 2)2
Fcr
2EI (0.7l)2
Fcr
π 2 EI
( 精品l )课2件
l—相当长度
—长度因数
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩.
取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.
若杆端在各个方向的约束情况不同（如
x y
z
柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳
时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力.
然后取小的一个作为压杆的临界压力.
cr精品课件 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 （1）大柔度杆
P
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆 S P
σcrab
（3）小柔度杆
S
σ σ cr s 精品课件
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力 crFA cr(l2)E2AI(l2/E i)2
精品课件
λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取
决于材料的力学性能。
例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可
得
p
E p
206109 200106
100
因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
临界力的欧拉公式
Fcr
π2EI l2
Fcr
π2EI (0.7l )2
Fcr
π2EI (0.5l )2
Fcr
π 2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π 2 EI
(l )2
精品课件
10.1.3 三种类型压杆的不同临界状态
精品课件
精品课件
10.2 细长杆的临界载荷—欧拉临界力
10.2.1 两端铰支的细长压杆
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。
x
F
lm
m
w
x
y
B
y mB
精品课件
F M(x) = - Fw
x m
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 wf(x) 该截面的弯矩 M(x)Fw
精品课件
10-3 长细比的概念 三类不同压杆的判断
10.3.1 长细比的定义域概念
cr
Fcr A
2 EI (l)2 A
2E (l)2
i 2
2E ( l )2
2E 2
i
——临界应力的欧拉公式
l ——压杆的柔度（长细比） i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
F
F<Fcr
F>Fcr
压杆在轴向压力F作用
下处于直线的平衡状态。 F1
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态
2. 不稳定平衡
F a)
3. 临界力
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时
的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
精品课件
其他形式的工程构件的失稳问题
杆的挠曲线近似微分方程
EI'' w M (x)F（w a)
令 k2 F EI
得 w ''k2w0
m
y
B
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
wAsik nxBcoksx(c) （A、B为积分常数）
精品课件
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
A s 0 B i c n 0 0 o B 0 s
第十章 压杆的稳定性问题
§10-1 压杆稳定性的基本概念 §10-2 细长压杆的临界载荷-欧拉临界力 §10-3 长细比的概念 §10-4 压杆稳定性计算 §10-5 压杆稳定性计算示例 §10-6 结论与讨论
精品课件
10.1 压杆稳定的基本概念
10.1.1 平衡状态的稳定性和不稳定性
1. 稳定平衡
（
精品课）件
为压杆的长度因数
Fcr
π 2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
5.讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
精品课件
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
精品课件
不稳定平衡
10.1.2 临界状态与临界荷载
满足强受度压要杆求，即
不产生破坏，安全
max []
产生突然的横向弯曲
而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
工作最大值 < 临界值
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）。
x
y
B
挠曲线方程为
w
sinkl
sinkx
2
当 klπ时， w sinπx 挠曲线为半波正弦曲线.
l 精品课件
10.2.2 其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支
一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
精品课件
2.其它支座条件下的欧拉公式
式中，i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
引入符号
λ称为压杆的柔度
l i
cr
2E 2
欧拉公式的另一形式。 精品课件
只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的 失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的适用范围为
cr
2E 2
p
或写成
E p
令
p
E p
通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。