静电场高斯定理

n
E j dS 0
i 1 S i 1
1
0
q
i 1
k
1
i
0
q
内
3、高斯定理的微分形式 若高斯面内，电荷连续分布，则： 1 1 e E dS q内 e dV
s
利用矢量分析的奥-高公式(Ostrovski-Gauss formula)
2
例：有一无限长的均匀带电直线， 单位长度上的电量为λ，求该带 电直线产生的电场对一半径为 R 的同轴圆柱面的通量。
已知E

R
l
E
解： S闭合 ＝S上 ＋S下 ＋S侧
2 0 r
m
m
S上
S下 0 0 E侧 dS
S侧
E
上
E dS dS E

q
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
q 4 0 R 2
E
R
O
R
r
如果电荷在球体内非均匀分布
ε (r )
其分析的思路和计算方法上有哪些差异？
例3. 求均匀带电无限大平面的电场，已知
解: E具有面对称 高斯面:柱面 e E dS E dS E dS E dS
2
E
S1 ER
S2 S1
2
2、当场源分布具有特殊对称性时求场强分布
利用高斯定理解题的思路和步骤： ⑴ 分析电荷及电场分布的对称性 ⑵ 选取恰当的高斯面 ⑶ 计算通过高斯面的电通量 ⑷ 计算高斯面内包围电量的代数和 ⑸ 利用高斯定理求出电场强度
例1. 求均匀带电球面的电场。已知R、 q>0 解: 对称性分析
0
0
V
其中divE E
E dS divEdV
s V
divE
1
算符＝ i j k x y z
0
e
——电场强度的散度
E 0 该矢量场有源 e 0 E＝0 该矢量场无源 e 0
q2
2．如图 讨论 移动两电荷对场强及通量的影响
0 q e 24 0
q1
课堂练习
n
Βιβλιοθήκη Baidu
n
O
E
S1
求均匀电场中一半球面的电通量。
S n
S2
1
E dS
S1
R

n
S1
E cosdS
S1
EdS

E S2
S1 S 2 ER
4 3 qi 4 3 3 r R 3 3 q
q
E
R
S1
场强 E
1 qr E 4r 3 R 0 qr
2
r
高斯面
4 0 R
3
r
q
内
S2
在r＞R区域，作高斯面 S2 电通量 e E dS E 4r 2 2 q E 4r q 0 E 4 0 r 2
E= ΔΦe/ ΔS⊥
电场线上任意点的切线方向与该点处电场强度的方向一致;电 场中任意点附近的电场线密度与该点处电场强度的大小相等.
⑵电场线的特征
(i)由正电荷出发，不中断、不闭合，止于负电荷或无穷远; (ii)任意两条电场线都不相交.
2、电通量（电场强度的通量） ⑴电通量的形象定义 电通量的定义：通过电场中任意给定面积S的电场线 数叫做通过该面积的电场强度通量， 简称电通量Φe
q E r 3 4 0 r 1
E Ey 2 0a
E Ey cos 1 2 0a E＝ 2 0
§9－2 静电场的高斯定理
一、电场线与电通量 1、电场线(在电场中假想的一系列曲线) ⑴画电场线的原则
画电场线时有如下规定：使穿过垂直于场强方向的面元ΔS⊥的 电场线条数ΔΦe与该面元的比值等于场强大小，即：
⑵ e E S＝E cosS ES m 2 2 2 而 E E E E 235300 S x y z E
S 528 1.09 235300
课堂讨论
1．立方体边长 a，求
●q ●q
位于中心
q
过每一面的通量
位于一顶点
q e 6 0
r R时
e E1 dS
电通量
E 具有球对称
作高斯面——球面
E1 dS E1 4r 2
电量
qi 0
s1
用高斯定理求解 2 E1 4r 0 E1 0
+ R r + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
r R时
1 ES1 ES2 0 S 0 1 E 2 ES S
S1 S2 S侧
高斯面
S2
S
0
E
E 2 0
S侧
σ
S1
例4. 均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度 带电量为 高
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面 (1) r <R e E dS E dS E dS E dS
+q
e 0
E dS 0
s
P qn qi qk
k
⑵ 点电荷系的电场
e E dS S E1 dS E2 dS En dS
s S s
E E1 E2 En
s
0
q
内
dS E
电通量=味道；闭合曲面=包子皮； 电量的代数和=馅
q
2、定理的验证 ⑴ 点电荷的电场 a、点电荷位于闭 球面中心
+
r
e E dS S
S
q 4 0 r
2
2
r0 dS
q 4 0 r
2
dS
S

q 4 0 r
2
4r
4、高斯定理的意义 ⑴ 反映了静电场是有源场 ⑵ 在电荷分布具有特殊对称性时，可利用高 斯定理求解场强分布
5、理解上的注意点 ⑴ E、q、φe是三个不同的物理量 ⑵ E与φe的关系为φe＝∮E· dS ⑶ q与φe的关系为φe＝∑q/ε0 ⑷ φe＝0只说明Σq内＝0
⑸空间任意点的场强都是所有电荷共同产生的
ds
⑴选取面积元 ⑵计算 d e E dS
⑶计算 e
E dS 或
S
e

E dS
S
例题分析 例：求均匀电场 E （ 240i 160 j 390k） N c
2 对面元 S （ 1 . 1 i 4 . 2 j 2 . 4 k ） m 的通量 , S在垂直于 E 方向的平面上的投影是多少? 解： （1）e E S E x S x E y S y Ez S z （ 240i 160j 390k） （ 1.1i 4.2 j 2.4k） 2 264 672 936 528( N m c)
e E2 dS E2 dS E2 4r 2
qi q
E2
s2
q
E 2 4r q 0
2
2
场强分布曲线
4 0 r
E
q 4 0 R 2
1 r2
+ + R r O + + + q + + + + + +
+
+ +
+
E
O
R
r
例2. 求均匀带电球体的电场。已知q,R 解：在r<R 区域，作高斯面S1 e E dS E 4r 2
即：de E dS E cos dS EdS
对有限曲面S的通量： e E dS
s
对闭合曲面S的通量： e

s
E dS
闭合曲面的法线n正方向统一指向闭合曲面的外侧。
⑶电通量的计算
n
在已知场强分布函数的条件 下，计算给定曲面 S的电通量的 方法如下：

E
S
n n
E
n
s

E
E

均匀电场
e ES

S
s
S S cos ; e ES cos E S
非均匀电场 闭合曲面
ds
e d e E dS
s s
e

s
E dS

s
E cos dS
几种常见电场的电场线
正电荷
负电荷
均匀电场
三、高斯定理的应用
1、利用高斯定理求某些电通量 例：设均匀电场 E 和半径 R 为的半球面的轴平行， 计算通过半球面 S1的电通量。
q内 0 e E dS 0
S
S S 1 S 2
而 S1 S2 0
S1 ( ER ) 0
s 上底 下底 侧面
斯 面
r l
E
0 0 E 2rl E 2rl
qi 0
E内 0
(2) r >R时，作高斯面如图
e E dS
s
上底

E dS
下底
E dS
侧面
E dS
E 2rl
由e 1
平行板
+
+
+
电偶极子的电场线 一对等量正点电荷的电场线 ⑶由电场线看静电场的特征 有源场 唯一性
⑵电通量的数学定义
矢量函数E E( x, y, z )有定义的区域称为矢量 场 在该矢量场中任取一面 积元dS 用矢量函数E与面积元dS作标量积E dS 用d e代表，称为电场强度E对于面元dS的通量
qj
＋ q1
e1 e 2 en ei ei
i 1 i 1
n
j k 1

n
ej

k k e E dS Ei dS ei S
j k 1


n
ej

j k 1 s
S
下
dS E侧 dS
S侧
E
S侧
侧
cos0 dS

1 2Rl l 20 R 0
二、高斯定理 1、定理内容 在真空中的任意静电场内，通过任一闭合曲面S的电 通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除 以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
1 e E dS
上节回顾
已知电荷分布求场强分布函数的思路和步骤 1、画示意图、选电荷元 dq dl、dS或dV 2、确定dq产生的dE的大小和方向 3. 建立坐标，将 dE 投影到坐标轴上
dE x、 dE y、dE z
4. 根据几何关系和已知条件选择并统一积分变量 5. 通过积分计算出结果并加以分析 典型结果
q
0
高 斯 面
内
l
q
内
可得
E外
2 0 r
E
r
l
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
rR
2 E 2rl r l 2 0 R
l r R E 2rl 0 r rR 2 2 0 R E r R 2 0 r
q
0
q 0 e 0 q 0 e 0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 b、点电荷位于闭曲面内任意点 若q不在球面中心，积分值不变。 若封闭面不是球面，积分值 不变。 q
+q
即：
E dS
s
0
c、点电荷在闭曲面外 因为有几条电力线进面 内必然有同样数目的电力 线从面内出来。