原子物理学习题答案(褚圣麟)

1．原子的基本状况

1.1解：根据卢瑟福散射公式：

2

02

22

442K Mv ctg

b b Ze Ze

αθ

πεπε== 得到：

21921501522

12619

079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)

Ze ctg ctg b K ο

θαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米 式中2

12K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为

2202

1

21

()(1)4sin m

Ze r Mv θ

πε=+ ，

试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？

解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：

2min

202

1

21()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929

619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο

--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。当

入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

22

0min

124p Ze Mv K r πε==，故有：2

min

04p

Ze r K πε=

192

9

13619

79(1.6010)910 1.141010 1.6010

---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

1.4 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。试求所有散射在90οθ>的α粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。

解：散射角在d θθθ+:之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：

dn

Ntd n

σ= 其中单位体积中的金原子数：0//Au Au N

m N A ρρ==

而散射角大于090的粒子数为：2'dn dn nNt d ππ

σ=⎰=⎰

所以有：

2

'

dn Nt d n

ππσ=⎰

2

221800

2

903

cos

122(

)(

)4sin 2

Au

N Ze t d A Mu ο

ο

θ

ρπθθπε=

⋅⋅⎰

等式右边的积分：180********

3

cos sin 2221sin sin 2

2

d I d οο

ο

οθθ

θθ

θ

=⎰

=⎰=

故'22202012()()4Au N dn Ze t n A Mu

ρππε=⋅⋅ 64

00

8.5108.510--≈⨯=⨯

即速度为71.59710/⨯米秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90ο以上的粒子数大约是4008.510-⨯。

1.5 α粒子散射实验的数据在散射角很小15οθ≤（）时与理论值

差得较远，时什么原因？

答：α粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而α粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的θ角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，α粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知α粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：α粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后α粒子与电子的速度分别为：

',',0,e v v v r r r 。根据动量守恒定律，得：'

'e v m v M v M ρρρ+=αα

由此得：'''7300

1e e v v M m v v ρρρρ==-αα …… (1) 又根据能量守恒定律，得：

2

'2'22

12121e mv Mv Mv +=αα 2

'2

'

2e v M

m v v +

=α

α ……（2） 将（1）式代入（2）式，得：

整理，得：0cos 73002)17300()17300('

2'2=⨯-++-θ

ααααv v v v

0)73001

7300'2'

=-∴=-∴≥ααααv v v v ϖϖϖϖΘ（上式可写为： 即α粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-⨯的银箔上，α粒子与银箔表面成ο60角。在离L=0.12米处放一窗口面积为25100.6米-⨯的计数器。测得散射进此窗口的α粒子是全部入射α粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z 。

解：设靶厚度为't 。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中

通过的距离不再是靶物质的厚度't

1-1所示。

2

'2

'2

)

(7300ααα

αv v v v ϖϖ-+=