第讲 微分方程模型
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微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
第3讲 微分方程模型
再编写一个M文件
clear all; close all; t=0:1:20; x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; plot(t,x,'o'); hold on; c(1)=3.9; c(2)=mean(diff(x)./diff(t)./x(1:20)); k=lsqcurvefit(@fun,c,t,x) tt=[21 22]; xx=fun(k,tt); plot(tt,xx,'r*'); tt=0:0.1:22; xx=fun(k,tt); plot(tt,xx,'r'); hold off
问题的提出
人口的增长情况是当前世界引起普遍关注的问题， 早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了。 20世纪90年代，我们经常可以在报刊上看见关于 人口增长的预报，说到20世纪末，或21世纪中叶， 全世界（或某地区）的人口将达到多少多少亿。 这些人口预报的数值是从哪里来的？准确不准确？ 你能不能对某地人口数目的演化进行一下估算？
要用模型的结果来预报人口，必须对其中 的参数r进行估计，这可以用表中所给的数 据通过拟合得到.
拟合的关键问题
1. t的变换
指数函数exp(t)当t很大时可能会溢出,为了减小 数据误差,首先将时间域变换至[0,20],所用的变 换为: t=1800+(t-1800)/10
2. x0和r初值的确定
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
数学建模--微分方程第一讲
考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原 则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？ 还是必须去推导呢？大部分微分方程模型 符合下面的模式：
净变化率=输入率—输出率
2、准确性和总体特征
微分方程式一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分 方程模型，首先要把注意力放在方程文字 形式的总关系上：
5、概念框架
前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临 一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架 （建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。 具体如下： （1）把用语言描述的情况转化为文字方程。 （2）陈述出所涉及的原则或物理定律。 （3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。 （4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。 （5）给出微分方程的解。 （6）求出微分方程的常数。 （7）给出问题答案。 （8）检验答案是否满足问题的要求。 在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成 框架中每一步所要做的事情。
dN (t ) rt rN (t ) 变量分离解得：N (t ) ce dt
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现， 人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率， d为死亡率），即： 1 dN dN rN r 或 （3.5） dt N dt （3.1）的解为： N (t ) N er (t t ) 0
解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下 午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将 张某排除。 设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0， 则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时 体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时 间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是 否是嫌疑犯。 人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。 假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体 温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即： dT k (T 21.1) dt
第四章 微分方程模型
第四章微分方程模型一、微分方程模型的建立在实际问题中经常需要寻求某个变量y 随另一变量t 的变化规律：y=y(t)，然而常常不能直接求出。
有时容易建立包含变量及导数在内的关系式，即建立变量能满足的微分方程。
通过求解微分方程对所研究的问题进行解释说明。
因此，微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程模型应用也十分广泛。
建立微分方程模型时，经常会遇到一些关键词，比如“速率”、“增长”“衰变”，“边际”等，常涉及到导数，再结合问题所涉及的基本规律就可以得到相应的微分方程。
常用微分方程建立数学模型的方法有：（1）按规律直接列方程例1一个较热的物体置于室温为1800c 的房间内，该物体最初的温度是6000c ，3分钟以后降到5000c .想知道它的温度降到3000c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？模型建立：根据牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。
设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差，成正比与即m T dtdT−。
建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT(4.1)其中参数k >0，m =18.求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,或,0,≥+=−t ce m T kt代入条件，求得c=42，k=－2116ln 31,最后得().0,42182116ln 31≥+=t et T t (4.2)结果：（1）该物体温度降至3000c 需要8.17分钟。
（2）10分钟以后它的温度是()102116ln 31421810e T +==25.870c（2）微元分析法该方法的基本思想是通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,寻求一些微元之间的关系式。
例2一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米模型建立：首先对孔口的流速做两条假设：(1)t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t )。
数学建模微分方程模型
忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D 0
<
1
s
>
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
《微分方程模型》PPT课件
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一
第五章 微分方程模型讲1
σ >1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
建模讲座第1讲 微分方程模型
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]; ydata = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 ...
92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4]; r0 = 0.25; % 初始猜测值 [r, resnorm] = lsqcurvefit(@malthus,r0,xdata,ydata)
50 0 1750
1800
1850
1900
1950
2000
指数增长模型拟合曲线图（1790-2000年）
N(t) N0ert
N0=3.9 （百万） r = 0.0212/年
学习文档
18
% Malthus模型 1790-2000年 function Malthus clc clear all xdata = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 ...
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 2012
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 70
学习文档
8
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二 个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过 快，如下表：
年份 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95
假定传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健 康人可再次被感染
92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4]; r0 = 0.25; % 初始猜测值 [r, resnorm] = lsqcurvefit(@malthus,r0,xdata,ydata)
50 0 1750
1800
1850
1900
1950
2000
指数增长模型拟合曲线图（1790-2000年）
N(t) N0ert
N0=3.9 （百万） r = 0.0212/年
学习文档
18
% Malthus模型 1790-2000年 function Malthus clc clear all xdata = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 ...
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 2012
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 70
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8
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二 个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过 快，如下表：
年份 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95
假定传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健 康人可再次被感染
第1讲_微分方程模型方法714
示
意
图
1
下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时
S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间： 午前 0
1
x
已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3
模
型ห้องสมุดไป่ตู้
t到t+Δt时刻： （1）铲雪容量：b*Δt （2）忽略Δt下雪量，雪量增加容量：
a (t x0 ) S
>> double([c,k,x])
-0.4404
2.0781
1.2361
案例2 人口指数增长模型 常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口
xk x0 (1 r )
k
1.指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
w 3、体重的变化／天＝ t
dw (公斤／天) t 0 dt
单位匹配
有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式 (公斤)给出，考虑单位的匹配，利用
公斤 / 天
焦/ 天 41868焦 / 公斤
建立表达式
dW (10467 5038) 69 * W dt 41868
x dx r ( x) x rx (1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
dt
3> 配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位． 4> 确定条件：
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
第二章微分方程模型-21简单模型
x(t) Cekt
(2.1.5)
设生物体的死亡时间是t=0，其时 的含量
为 x0 ，代入（2.1.5）有
x(t) x0ekt
（2.1.6）
设 C14的半衰期（给定数量的 蜕变到一半
数量所用的时间）为T（常数），则有
x(T ) x0
（2.1.7）
2
将式（2.1.7）代入（2.1.6），得
k
ln 2 T
射大气层的强度自古至今基本不变）；
（2）C14 的衰变速度与该时刻 的含量成正比
（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。
建模过程
设在时刻t（年）生物体中 C14 的存量为 x(t) ，
由假设（2）知
dx dt
kx
（2.1.4）
其k（>0）为衰变常数，负号表示 C14 的存量
是随时间递减的。
方程（2.1.4）的通解是
的角 的正方向. 则由Newton第二定律, 得到
摆的运动方程为
m
d 2
dt 2Biblioteka mg lsin .
附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小
时, 可以取近似值 sin : , 代入上式, 这样就
得到微小振动时摆的运动方程:
d 2 g .
dt 2
l
这是一个线性微分方程
附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆
的 与空气中的 有相同的百分含量。生物体死后它停止
摄取 ，因而尸体内的 C14 由于不断衰变而不断减少。
碳定年代法就是根据 的衰变减少量的变化情况来判定
生物的死亡时间的。
C14
基本假设
（1）现代生物体中 C14 的衰变速度与古代生
物体中 的衰变速度相同（依据是地球周围大气
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迭代初值
已知数据点
注意: 1.如无合理初值，那就只能给出一个猜想初值 2.拟合结果是初值敏感的，因为找到的不一定是全局最优 而可能是初值附近的局部最优.
例 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k
tj
c(t ) a be0.02 kt
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.4 900
3.2
人口演化模型
预备知识:最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x ) 在数据点( xi , yi ) 处的偏差,即 i ( xi ) y i (i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点 的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
c j 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min F (a, b, k ) [a be
j 1 10 0.02 kt j
c j ]2
解法
1）编写M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k; 2）输入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39, 6.50,6.59]; x0=[0.2,0.05,0.05]; x=lsqcurvefit ('curvefun1',x0,tdata,cdata)
c
14
与
c
12
的比例仅仅
是活组织内的6.24%，能否判断此动物生活在多
少年前？
背景
c
14
年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性
同位素
c
14
，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层
大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活
组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着
在活体中， c 的数量与稳定的 每年八千分之一的速度减少。
y0 e
t 8000
y ke
.
当y 0.0624y0 时
求得 t 8000ln 0.0624 22194
此即所求死亡年数。
用Matlab求解对数
log(x) x的自然对数 log2(x) x的以2为底的对数 log10(x) x的以10为底的对数 以a为底x的对数，根据换底公式可表示为： log(x)/log(a)
下表是近两百年的美国人口统计数据，试依此建立美国人 口增长的数学模型，最后用它预报2000年、2010年美国 人口.
年（公元） 人口（百万） 年（公元） 人口（百万） 年（公元） 人口（百万）
1790 3.9 1860 31.4 1930 123.2
1800 5.3 1870 38.6 1940 131.7
|
i 1
m
2 i
| ( ( x i ) y
i 1
m
i)
2
最小,此即称为最小二乘原理
用Matlab作非线性最小二乘拟和
Matlab的最优化工具箱中提供了求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit，调用格式为： x = lsqcurvefit (‘fun’, x0, xdata, ydata,…); fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复
问题的提出
人口的增长情况是当前世界引起普遍关注的问题， 早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了。 20世纪90年代，我们经常可以在报刊上看见关于 人口增长的预报，说到20世纪末，或21世纪中叶， 全世界（或某地区）的人口将达到多少多少亿。 这些人口预报的数值是从哪里来的？准确不准确？ 你能不能对某地人口数目的演化进行一下估算？
14
c
12
的数量成定比，
生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以
设 t 为死后年数，
r (t ) xc14 (t ) xc12
14 12
则t 0时, r r0 , 即活体中 c 与 c 数量的比例 .
dxc14 dt
积分得
xc14 8000
t 8000
dy y dt 8000
第3讲 微分方程建模方法及案例
在研究实际问题时，常常会联系到某些变 量的变化率或导数，这样所得到变量之间 的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分 方程。
求解微分方程的方法
求解微分方程有三种方法 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现
象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
3.1 年代鉴定问题
在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代某种动 物特征的骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳 14年代测定，分析表明，
Matlab中的求解方法
-8000*log(0.0624) ans = 2.2194e+004
c
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年代测定的修订
1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福尼亚 大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在 2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本 原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的 峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误 差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期