基于非概率模型的结构可靠性优化设计

1 引 言
结构设计受控于材料特性、 作用载荷及其它参 量的不确定性。 传统的方法是用安全因子处理不确 定性。近二十年来 , 人们更感兴趣的是采用更为合 理的概率可靠性优化设计。其中 , 将结构的不确定 参量作为随机变量或随机过程, 在设计中要求结构 系统或元件失效的概率小于容许的最高限度或尽 可能小。在过去的几十年中 , 基于概率模型的可靠 性优化设计在结构设计中得到了成功的应用。 当具 有足够的数据信息描述不定参量的概率特征时 , 概 率可靠性方法是一种较为理想的分析和设计模型。 但在很多情况下, 可得到的关于不定参量的数据信 息可能不足以精确定义概率参数。 尤其是在结构设 计阶段。 有关研究
2
( 6)
)= 0
( 7)
) 为标准化区间变量向量。 按
( 6) 式定义的非概率可靠性指标 为标准化区间变 量的扩展空间中, 按 ‖ ‖∞ 度量的从坐标原点到 失效面的最短距离。 只要 > 1, 则不定参量的实际 波动区域 C 和失效域不交, 结构可靠。 且 越大, C 距失效域越远 , 结构能容许的不定参数的不确定程 度越高 , 其稳健性越好 , 安全程度越高。 3. 2 可靠性优化设计 设 x = { x 1, …, x m } 为 m 个优化设计变量。 类 似于概率可靠性优化, 结构的非概率可靠性优化问 题可描述为 min W ( x ) s. t .
( 8)
m in W =
∑( iL iA i ) =
i= 1
L ( ∑A i +
i= 1
2 ∑A i )
i= 7
200
计
i
算
力
学
学
报
min i
第 19 卷
s. t .
≥
m in i
( i = 1, 2, …, 11)
的一致性是必然的。 对
> 1 时的可靠性要求及
A j ≥ 0. 64516 ( j = 1, 2, …, 10) 其中, i ( i = 1, … , 11) 为与应力和位移约束对应的 非概率可靠性指标。 假设载荷 P 1、 P 2、 P 3 的变异率 为 10% , 当
为结构体系的非概率可靠性指标。s 为相
s
应 可接受的最低水平。 只要
≥ 1, 则在所给条件
下 , 结构是可靠的。 为了保证所设计的结构对不确 定因素具有一定的稳健性, 可适当取更大一点的
m in s
值。 由于结构元件和体系的可靠性指标
i
和
s
通常很容易求解 , 尤其是对线性功能函数。 且非概 率不确定结构的数值计算比随机结构更加简便 , 因 而 , 结构的非概率可靠性优化的整个计算量比概率 可靠性优化要小得多。 ( 5)
i l m in i
假设作用载荷在如下有界闭区域内变化 , 即: C p = { P i ≤ P i ≤ P i , i = 1, 2, 3} 因此 , 该 10 杆桁架结构的优化设计可描述为
l u
≥
i = 1, … , n
u
10
6
10
x j ≤ x j ≤ x j j = 1, …, m
min
= 1) = 1)
m in
应力和位移限有 10% 变异 31. 7666 0. 64516 48. 9681 100. 9940 30. 6652 0. 64516 88. 8817 0. 64516 21. 8449 0. 91239 942. 7639
郭书祥1, 吕震宙2
( 1. 西安 空军工程大学 工程学院 力学教研室 , 西安 710038; 2. 西北工业大学 飞机工程系 , 西安 710072) 摘 要 : 结构设计受控于诸多因素的不确定性。 基于可靠性方法的优化设计是结构设计的合理 途径。 不确定结构 的可靠性优化设计 , 通常是用概率模型求解。 但概率模型的应用是以有足够的数据信息为基础 的。 且结构的概率 可靠性优化设计通常计算量很大 , 设计效率低。 本文基于不确定性的凸集模型描述 , 提出了 一种不同的基于非概 率可靠性的结构优化设计模型。 它只需知 道不定参量的界限 , 而不要求其分布型式。 可显著 降低可靠性优化的计 算工作量。且由于对初始数据的要求低 , 具有较强的适用性。实例计算表明文中方法是实用和有效的。 关键词 : 非概率模型 ; 优化设计 ; 结构可靠性 ; 可靠性优化 中图分类号 : T B 114. 3; T B21 文献标识码 : A
[ 1, 3]
优化不确定性, 找出一已知设计的最不利响应。对 较为 简 单的 问 题, 此 两 级 优化 是 可 能 的。已 被
[ 4] [ 5] Elishakof f 、 L om bardi 等成功地用 于桁架结构
的优化设计。Ganzerli[ 6] 等将凸集模型用于不确定 结构的优化设计 , 是利用叠加方法直接获取结构响 应的极值, 可不用反优化计算。非概率方法用于结 构设计已显示出良好的应用前景。 本文基于非概率 可靠性模型 , 直接以可靠性指标作为约束 , 参量 不确定性及其变化范围的影响直接反映在可靠性 指标中, 可保证一定的可靠性要求 , 并有效地降低 计算工作量。 且从理论上使非概率结构的设计更为 合理。
min
考虑各种可能失效模式的体系可靠性优化, 在直接 的凸集模型优化方法和反优化方法中是难以合理 考虑的。
= 1和
m in
= 1. 5 时, 结构的优化计
5 结 论
在结构设计中, 需要合理地定量处理各种影响 结构性能的不确定性。 不确定性的凸集模型描述已 成为结构分析和设计中很有前途的发展方向。 本文 用凸集模型描述结构的不确定性, 提出了基于非概 率可靠性的结构优化设计方法。 其中, 是以结构元 件或体系的可靠性指标为约束, 进行重量优化。 从 理论上讲, 也可以以重量为约束 , 以非概率可靠性 指标为目标, 进行结构的稳健设计。 文中提出的非 概率可靠性优化设计方法和常规的概率可靠性优 化方法是平行和类似的。 和常规的概率可靠性优化 方法相比, 本文方法对已知数据的要求低。 它只需 知道不定参量的界限或范围, 而不要求其内部结 构。 其整个计算工作量也因此而大大降低。 文中方 法可根据对不确定界限的置信程度和对结构的稳 健性要求, 提出一定的可靠性设计指标。 参量不确 定性及其范围的影响, 直接由此设计指标进行控 制。 不仅可有效地减少约束的数目 , 降低计算工作 量 , 且可使结构的设计更加合理。
算结果如表 1、 表 2 所示。 这里的功能函数为载荷效 应量 ( 位移和应力) 的线性函数 , 而载荷效应量可 由区间有限元方法 [ 8] 计算。 其计算量不大。 表 1 桁架结构的最优设计 ( T ab. 1 Opt imal 10 bar t russ (
设计变量 ( cm 2 ) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 重量 ( kg) 名义值 26. 0323 0. 64516 26. 0323 78. 0578 24. 9309 0. 64516 72. 6627 0. 64516 17. 7901 0. 91239 725. 0632 不计应力和 位移限变异 28. 6127 0. 64516 44. 0941 90. 9588 27. 5114 0. 64516 79. 9614 0. 64516 19. 6148 0. 91239 849. 1502
为由结构的失效准则确定的功能函数 , 且为 y 的连 续函数。 失效面 g ( y ) = 0 将不定参量空间分为失 效域{ y ∶g ( y ) < 0} 和安全域 { y ∶g ( y ) > 0} 两部 分 , 由基于区间分析的结构非概率可靠性理论 [ 7] , 对应于 ( 5) 式功能函数的非概率可靠性指标可表 示为 = min( ‖ ‖∞ ) 满足条件 M = g ( y 1, … , y n ) = G ( 1, …, 其 中, = ( 1, …,
收稿日期 : 2000-07-26. 基 金项目 : 国 家自然科 学基金 ( 59575040, 59775032) 和航空 基金 ( 00B53010) 资助课题 . 作者简介 : 郭书祥 ( 1964-) , 男 , 教授 , 博士 .
其中, x 为设计变量向量 , m 为约束数。 一般, 目标 函数 f ( x) 和约束函数 g j ( x ) 与不定参数有关。 若 参数的不确定性可由概率分布特征化时 , 可用概率 约束。 当没有足够数据描述参数的概率特性时, 宜 用集合模型 为 m in f ( x) s. t . g j ( x , p ) ≥ 0, j = 1, 2, … , m , 上式对 p 的所有值满足, 因而等价于 p ∈ C p ( 2)
n n
= 2. 768 ×
10 kg/ cm , 材 料 的 弹 性 模 量 E = 6. 895 × 10 kN/ cm 。 作用载荷的名 义值 P 1 = P 2 = 444. 8kN, P 3 = 1779. 2kN 。 除 9 号杆的最大许用应力为 51. 7125kN/ cm 外, 其余杆件的拉压许用应力均为 17. 2375kN/ cm 2。 结点 2 处铅垂方向的最大容许位 移 为 12. 7cm 。 各 杆 横 截 面 积 的 下 限 取 为 0. 64516cm 2。 在应力和位移约束下 , 进行桁架结构 的最小重量设计。
[ 7]
2 非概率优化设计
结构优化问题, 一般可描述为 min f ( x ) s. t . g j ( x ) ≥ 0 j = 1, 2, …, m ( 1)
发现, 概率参数的小偏差可导
致结构概率计算出现较大误差。 进而可能导致不可 靠的设计结果。因而, 概率模型在统计数据较少或 计算模型不够精确时, 不是一种理想的模型。作为 一种 选择, Ben -Haim 和 Elishakof f[ 1, 2, 3] 提出 了描 述不确定性的凸集模型。 它将不确定参量视为有界 的 , 将其包含在一凸集合中, 通过反优化考虑不确 定性。 包括定义不定参量的界限和构造一变化的区 域 , 在其中求取最不利的情况。反优化思想用于结 构优化设计时, 实际上是两级优化问题: 在上一级 优化设计变量 , 获取最优设计; 在低一级通过反
p
s. t . min gj ( x, p) ≥ 0 p ∈C
pห้องสมุดไป่ตู้
( 4) 其中,
s
s
≥
m in s min
( 9)
在 C p 上极小化 g j ( x , p ) 是对每一级约束求 p 的最不利值的过程。 此过程即为所谓的反优化。 显 然 , ( 4) 式为两级优化问题。 此优化比一般的概率 优化的计算量小, 且对已知数据的要求低。 但由于 反优化一般是在每一迭代过程中求取 , 其计算量仍 较大。 且不易考虑可靠性要求。
p
为元件或失效模式 i 的
可 靠性指标。 ( ≥ 1) 为相应可 接受的最 小值。 x j , x j 为设计变量 x j 的上、 下限。 ( 8) 式为元件级的 可靠性优化问题。 对 结构体系的非概率可靠性优 化 , 可将( 8) 式中的可靠性约束改写为
一般情况下的非概率优化模型可表述为 m in m ax f ( x , p ) p ∈C
3 非概率可靠性优化
3. 1 非概率可靠性方法简述 假设设计问题中的不定参量为区间变量。 取 M = g ( y ) = g ( y 1 , y 2, … , y n)
4 算 例
为 便于比较 , 以图 1 所示的 10 杆桁架结构为 例。 已 知: L = 914. 4cm, 质 量密度
- 3 3 3 2
[ 4, 6]
。 设描述问题的参数集 p 属于界限
集 C p , 考虑不定参数仅影响约束时, ( 1) 式可表述
第 2 期
郭书祥 , 等 : 基于非概率模型的结构可靠性优化设计 其中, W ( x) 为目标函数 , ( 3)
min i u l i
199
min f ( x ) s. t . min g j ( x , p ) ≥ 0, j = 1, 2, …, m p ∈C
第 19卷第 2 期 2002 年 5 月
计 算 力 学 学 报 Chinese Journal of Computational Mechanics
V ol . 19, N o . 2 M ay 2002
文章编号: 1007-4708( 2002) 02-0198-03
基于非概率模型的结构可靠性优化设计