第二章定解问题

r H
1 c
r Et
方程：Ett Htt
c2E c2H
.
题4：导出理想传输线的电报方程
Vtt Itt
a 2Vxx a2 I xx
,
其中，V 和I分别是理想传输线上的电压和电流，
a2 1 ,C和L分别是单位长度上的电容和电感。 CL
§2.3 定解条件
P(l x,t)
F
l x l x
第二章 定解问题
主要内容：
1、掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步 骤。 2、掌握三类典型数理方程的推导过程和建立 （导出）数理方程的一般方法，步骤。 3、正确写出一些典型物理问题的定解问题和定 解条件。
§2.1 引言
一、数学物理方程简介：
数学物理方程是指从物理问题中导 出的反映客观物理量在各个空间、时刻 之间相互制约关系的一些偏微分方程。 方程可以分为线性和非线性方程。
牛二律
为杆内任意点的应力
物体冷却时放出的热量－ku与物体 外界的温度差（u |边 ＝u0 )成正比
h k E
欧拉方程： x2 y 2xy l(l 1) y 0
作业 2
1、长为l两端固定的弦，作振幅极其微小的横振动，试写出其定解条件。 2、半无限的理想传输线，一端加上正弦电压，试写出其定解问题。 3、长为l的均匀杆，两端受拉力F (t)而作纵振动，写出边界条件。 4、长为l的均匀杆，两端有恒定热流流入，其强度为q0 , 试写出这个热传导 问题的边界条件。 8、长为l的均匀弦，两端x 0和x l固定，弦中张力为T0,在x h点，以横向 力F0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。
T (x,t) T (x) (t)
对x受力分析，由牛顿第二定律 得
T2 cos 2 T1 cos
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x, t) ( 2 1)
注意到
sin
tan tan2
ux 1 ux2
ux
sin 1 ux (x, t)
2 2 2 2 x2 y2 z2
三维拉普拉斯算符
[
]
:不随时间变化
0r
D E
作业 1
题1：在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速度成正比的阻尼， 试导出弦的阻力振动方程为：utt cut a2uxx , 其中，c是常数。又考虑回复力与弦的位移成正比时的情形，证 明这时所得到的数理方程为：utt cut bu a2uxx ,其中b是常数， 此方程称为电报方程。 题2： 设扩散物质的源强为F (x, y, z,t)(单位体积内，在单位时间
（2）物理问题的数学抽象：
1）由于弦是“细长”的，所以 (x,t) t
忽略重力
2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有 拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张 力总是弦线的切线方向；
3）由于弦作“微小”的横向振动，故相邻点沿振动方向位移的 差别很小，即
u | ux || x |= 1 无穷小量
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
题3：真空中电磁场的Maxwell方程组微分形式
r E 0
r E r
1 c
r Ht
,
试由该方程导出电磁波
H 0
整理得
utt
(x
2 x, t )
T
ux
(x
x, t ) x
ux
( x, t )
F(x
1x,t)
对上式两边取x0 时的极限
utt a2uxx f (x, t)
即：弦的微小横振动方程是一维的波动方程
其中： a2 T
表示振动在弦上的传播速度
f (x,t) F (x,t) 表示力密度，表示时刻t，作用于x处 的单位质量上的横向外力。
sin 2 ux (x x,t)
cos 1 1 sin2 1 1 cos 2 1 sin2 2 1
得：
T1 T2 T
T2 cos 2 T1 cos
(x)utt (x 2x,t) F(x 1x,t)x T ux(x x,t) ux(x,t)
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x,t)
以上这三类方程，从方程本身来看，其特点是二阶线性偏微分方程。可以看出， 方程中它们都是关于空间的二阶偏导数，关于时间分别是二阶，一阶偏导数和与 时间无关。因此，这三类方程在数学上又是三类不同的方程，依次分别可以称为 双曲型、抛物型和椭圆型方程。
§2.2 三类数理方程的导出
一、弦的横振动方程（波动方程的建立）
Y
F(x,t)
M2
T2
2
ux2
M1
1
有了以上对问题的数学描述，下边我们 来具体推导方程
T1
x
xx
X
Y
F(x,t)
M2
M1
1
T2
2
T1
x
xx
X
F(x 1x,t)x
注意到在振动过程中
xx
xx
M¼1M2
1 (ux )2 dx dx x
x
x
即这一小段的长度在振动过程中可以看作是不变的。因此， 由胡克(Hooke)定律知张力和线度都不随而变，即
若 f 0
称为弦的自由振动，振动过程中不受外力。
utt a2uxx
齐次波动方程
事实上，除了以上一维波动方程，像薄膜振动（二维），电 磁场方程（三维）等，均属于波动方程：
utt a2u f (x, y, t)
Байду номын сангаас
uxx
uyy
2u x2
2u y 2
utt a22u a2 (uxx uyy uzz )
偏微分方程的基本概念：
u u u
mu
F(x1, x2,L
, xn,u, x1
, x2
,L
, xn
,L
, x1m1x2m2
L
xnmn
)
0
m m1 m2 L mn
注意：
（1）方程的阶数 （2）线性和非线性 （3）齐次和非齐次
例如：
A(
x,
y)
2u x2
B(
x,
y
)
2u y 2
C(x, y)u
f (x, y)
1、物理模型：
设有一根细长柔软的弦线，绷紧于A，B两点之间，在平衡 位置AB附近产生振幅极为微小的横振动，求这弦上各点的 运动规律。
Y
Y
F(x,t)
T2
M2
2
M1
1
2、分析：
A x x x
B
X
T1
x
xx
X
（1）确定研究对象：设 u(x,t) 为弦位移，则u满足规律所 求。为了研究u，在x位置处取x小段弦为研究对象。