第一讲定解问题

设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
(
x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M,t)|t0(M) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；

a2

2u x2

2u y2

2u z 2


a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
其中 f F . c
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
忽略重力作用：
2u t 2

a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
混合问题：同时有边界条件和初始条件。
定解问题的适定性
适定性的意义
定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模 型能否反映实际问题的一般要求。
适定性的内容
存在性 唯一性 稳定性
不适定问题举例
一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； 条件多了，将会破坏解的存在性； 条件少了，将会破坏解的唯一性。
0.
(1.2.6)
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传
导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均
为常数
c
u t

x

k
u x


y
k
u y


z

k
u z
.
令 a2 k c
，则方程(1.2.6)化为
u t
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题 定解问题的组成
定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
三者成正比, 即
dQ k u dSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
需的热量为
Q2
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
V
c u dvdt
t
其中k=k(x, y, z)是物体在M(x, y, z)处
的热传导系数，取正值。我们规定
外法线方向n所指的那一侧为dS的正
侧。上式中负号的出现是由于热量
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" pyqy0 , 二阶线性齐次常微分方程
y'a22y xln x , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx 5 f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy" xy'2y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程
x
x
tt
由微分中值定理得
Tu (x x,t)x F(x,t)x u x0, 1.
xx
tt
消去x, 并取x 0极限得
Tu (x,t) F(x,t) u ,
xx
tt
即
u tt
a2u xx

f (x,t),
0 x L,t
0,
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F
推广3 情况：三维情况
分析：温度u成为空间变量x,y,z和 时间t的函数
方程：
cut(x, y,z，t) k(uxx uyy uzz)
cut(rv,t) ku ut(rv,t) a2u
三、稳定场方程
由温度高的地方流向温度低的地方。
故当u 0 时，
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
k udSdt S n
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ

k1(u

u1)dSdt

k
u n
dSdt
k1交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
S
k1
k
第三类边界条件
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
第四节、定解条件与定解问题
定解条件
初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题
定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
T'
'
M

gds
T
x
x dx x
T T'
其中： m ds
T

u(x dx,t) x

u ( x, x
t)



gds

ma
2u( x, t ) a t 2
ds dx
T

线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件；
按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或：u(a,t) 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力
的 (3)作弹用性,支其承为端：：T在xux=ax端a 受0到，弹性ux系x数a 为0，k u的x(弹a,簧t) 的 0
支承, 其为:
T
u x
xa

k
u
xa
或

u x

u

xa

0
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界 第一类边界条件
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u n
s

0
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件

u |t0 (x)
u t
t0

简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma y
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
u(x dx,t) x

u( x, t ) x



gdx


2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x

u ( x, t ) x

x
u(x,t) x

dx

2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
（Gauss）公式得
由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内
任意一点都有
t2 t1
V

c

u t

x

k
u x


y

k
u y


z

k
u z
dvdt

本
章
小
结
定解问题
泛定方程
推广1
情况：当考虑的问题是一根均 匀细杆, 如果它的侧面绝热且 在同一截面上的温度分布相同,
那么温度u只与x,t有关
方程：c ρut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(cρ)
推广2 情况：扩散问题
分析：浓度→温度u，扩散系 数D→热传导系数k，质量守
恒→能量守恒，扩散定律→ 热传导定律


g

dx


2u( x, t ) t 2
dx

T

u2(x,t) x2

Hale Waihona Puke g dx


2u(x,t) t2
dx
T

u2(x,t) x2

g

2u(x,t) t 2
令：a 2

T

2u t 2

a2
u2 x2

g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
utt(x, y,z，t) T(uxx uyy uzz)
utt(rv,t) Tu utt(rv,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
2u x2

2u y2

2u z2

0
,
二阶线性齐次偏微分方程
第三节 三类典型方程的导出
一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广
二、热传导方程 热传导方程 推广
三、 稳定场方程
一、 波动方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。