第一讲定解问题
方程解应用题第一讲
例1．有一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数比原数小27，求这个两位数．例2．暑假期间，小文外出旅游一周，这7天日期之和是84，请问：小文是几号回家的？例3．牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过程人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧！”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只？例4．在一次数学测验中，小明认为自己可以满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍，正确答案是多少？例5、小林家的电话号码是七位数，其中前四位是3275，后面三个数字是从小到大的连续自然数，且这三个数字之和等于最后一位数字的2位加2，小林家的电话号码是多少？例1、某部队派出一支由25人组成的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每两人每小时可抬土14袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净？例2、一张方桌由一个桌面和四个桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好制成方桌多少张？例3、将若干练习本分给若干名同学，如果每人分４本，那么还余２０本；如果每人分８本，那么最后一名同学分到的不足８本，求学生人数和练习本数。
例4、某工厂104名工人分别生产甲、乙两种产品，已知每个工人可生产甲种产品8个或乙种产品12个或15个丙产品，3个甲种产品、2个乙种产品和5个丙产品配成一套，问应怎么分派工人才能使生产出的产品配套？1、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。
同济大学 数物物理方法 第一讲
α1α2
u(x,t)u(x+Δx,t)
F T1=F T (x)
F T2=F 一、弦的横振动
一根柔软轻质弦，初始时处于平衡位置，假如给弦中的某一点一个速度，且弦在平衡位置附近做微小振动，问接下来弦上的各点纵向位移随时间
、一根完全柔软的弦，平衡时垂直于地
作用，试求弦作横向微振动的方程。
()
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂=∂∂x u x L x t u 2222221ω
A B C
C
B A u u+du 问题的提出：一个均匀杆，其某一小段有一个横向的初速度时，这一小段杆必然挤压和拉动其相邻部分小段杆做横向运动，邻段杆的横向振动必然又带动其相邻段做横向运动，如此任一小段的横向运动就会传播到整个杆上，问此时杆的横向位移随时间和空间的分布是怎样
x+Δx
u+du
（x,y,z ）dx
（x+dx,y+dy,z+dz ）
dy
x z
y 0。
第一讲 2023年高考椭圆小题突破之用椭圆定义解题1
用椭圆定义解题1――直接用定义 1.（1）设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点E (0,t )(0<t<b ).已知动点P 在椭圆上,且P ,E ,F 2三点不共线,若△PEF 2的周长的最小值为3b ,则椭圆C 的离心率为 (D ) A .√32 B .√22 C .12 D .√53 [解析] 如图,连接EF 1,F 1P ,易知|EF 1|=|EF 2|,△PEF 2的周长为|PE|+|PF 2|+|EF 2|=|PE|+2a-|PF 1|+|EF 2|=2a+|EF 2|+|PE|-|PF 1|≥2a+|EF 2|-|EF 1|=2a=3b ,所以e=c a =√1−(b a )2=√1−49=√53,故选D . （2）设椭圆E ：x2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)，点A (-2,1)为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得|P A |+|PF |=8，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．44,97⎡⎤⎢⎥⎦⎣ B ．44,97⎛⎫⎪ ⎭⎝ C ．22,97⎡⎫⎪⎢⎭⎣ D ．22,97⎡⎤⎢⎥⎦⎣ 【答案】A 【详解】记椭圆的左焦点为()12,0F -，则1111,AF PF PA AF =≤+112189a PF PF PA AF PF ∴=+≤++≤+=，即92a ≤，11PF PA AF ≥-，112817a PF PF PA AF PF ∴=+≥-+≥-=，即722,2,97222c a c e a ≥=∴≥=≥，即4497e ≤≤ ， 椭圆E 的离心率的取值范围是44,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A.（4）已知F 是椭圆E ：x2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，点P 在椭圆E 上，线段PF 与圆(x -c 3)2+y 2= b29 相切于点Q (其中c 为椭圆的半焦距)，且PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =2QF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则椭圆E 的离心率为 A ．53 B ．52 C ．13 D ．12【答案】A 【详解】设椭圆的左焦点为F 1，连接F 1，设圆心为C ，则 ∵22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴圆心坐标为(c 3,0)，半径为r=b 3 ∴|F 1F|=3|FC|，PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2QF⃑⃑⃑⃑⃑ ∴PF 1∥QC ，|PF 1|=b ∴|PF|=2a ﹣b ∵线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（其中c 2=a 2﹣b 2）相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ∴PF 1⊥PF ∴b 2+（2a ﹣b ）2=4c 2∴b 2+（2a ﹣b ）2=4（a 2﹣b 2）∴32a b = ∴2252c a b b =-=∴53c c a == （5）设F 是椭圆C ：x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2+y 2=a 29与直线PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【详解】如图，取AB 中H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE.A 、B 三等分线段PF ，H 也是AB 中点，即OH ⊥AB设OH ＝d ，则PE =2d ，PF =2a -2d ，AH =a−d3，在Rt △OHA 中，OA 2=OH 2+AH 2，解得a=5d .在Rt △OHF 中，FH =4a5，， OH =a 5，OF ＝c ，由OF 2＝OH 2＋FH 2化简得17a 2=25c 2，175c a =.即C 的离心率为175. 3353104175。
五年级上册数学讲义-简易方程第一讲(用字母表示数)-人教版(含答案)
简易方程第一讲（用字母表示数）学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容用字母表示数，解简易方程课型教学目标1、弄清用字母表示数和方程的含义及解方程的原理。
2、掌握解方程的方法并能准确解答。
3、会灵活运用方程解决问题。
重、难点1、弄清用字母表示数和方程的含义及解方程的原理。
2、会灵活运用方程解决问题。
课首沟通师述：这次学习的主要是要求我们学会用字母可以表示我们已经学过的数、（）、（）和常见的数量关系。
当在数字与字母或数字与括号之间相乘时，中间的乘号可以记作“・”，也可以（），但在省略乘号的时候，要把数字写在字母或括号的（）。
当字母在等式中代表什么数时，我们应当怎么去解决的问题。
知识导图课首小测口头小测提问：8+9=17 a+b=c 90+3x=120这些可以统称为什么；又有哪些区别？口答：加法：一个加数=（）；减法：被减数=（），减数=（）乘法：因数=（），除法：被除数=（），除数=（）书面小测1. 解下列方程90+3x=120 x-12×3=20【学有所获】进一步弄清数量之间的等量关系，掌握用等式的性质来解答的方法。
导学一：典型例题与易错题分析知识点讲解 1例如：a×b×7.5可以简写为：7.5・a・b或7.5ab。
例 1. 结合a2和2a 的表达方式填空。
42 =（）×（）=（）；52 =（）×（）=（）4×2 =（）+（）=（）；5×2=（）+（）=（）我爱展示1.省略乘号，写出下面各式。
（1）8×a=（）（2）25×a×b×s=（）（3）m×10=（）（4）8×x×x=（）（5）x×x-4=（）（6）C×8＋a=（）2.用字母表示下面的数量关系。
（1）a表示工作效率，t表示工作时间，s表示工作总量S= a= t=（2）v表示速度，t表示时间，s表示路程S= v= t=（3）a表示单价，x表示数量，c表示总价C= a= x=3.一块地为a公顷，另一块地为b公顷，共收粮食x千克，这两块地平均每公顷收粮食（）千克。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
《结构化思考之问题分析与解决》
结构化思考之问题分析与解决课程背景：为什么你看了很多的沟通书籍，听了很多的沟通培训，你的沟通能力还是极其有限？为什么你掌握了很多沟通技巧，在实际生活、工作中却无法有效应用？你体会过和他人把聊天聊死的感觉吗？你的产品很好，你的解说貌似也很好，但是客户为什么没有成交？你以为你很懂沟通，但你会发现工作、生活中沟通冲突不断，为什么？让我们从思维、技能和应用三方面，全方位提升你的的结构性思维与影响力表达。
应用结论先行、以上统下、归类分组和逻辑递进，让你在日常工作无论是日常沟通表达、汇报演示还是梳理分析问题都能都得心应手，解决工作中的实际问题。
让表达更高效、沟通更轻松、做事更清爽，进而提高工作能力和提升工作成效！课程收益：１.意识：让高管及核心管理层从思维的层面意识到如何理清思路，思考更清晰２.知识：让高管及核心管理层掌握金字塔原理与结构性思维的四大原则及相关知识３.技能：全面提升高管及核心管理层在表达、呈现、内训、路演等方面的技能４.落地：531落地实施计划、三分法笔记法，助力落地实施课程目标：1．快速理清思路，有说服力地表达：通过具有逻辑性的金字塔思维，将大脑中的信息进行梳理，让表达更加系统、清晰、有逻辑，可以直接应用在客户沟通、工作汇报、提案沟通等方方面面。
2．建立职场专业、严谨的语言表达风格：使表达具有良好的引导性和说服力，避免千篇一律的表达呈现，使得表达更形象、更有力，形成独特的个人风格，塑造绝佳的影响力。
3．通过金字塔结构快速产生想法、解决问题：金字塔结构不仅可以用在表达当中，还可以直接应用在职场问题分析与解决上，能够帮助我们快速明确问题、查明原因和找到解决方案。
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课程中提供的工具和技巧：1．金字塔模型——逐层细化，系统思考2．结构化思考——结构清晰，逻辑严谨3．思维导图——发散性思考，突破思维限制4．MECE法则——不重复、无遗漏5．逻辑树图——结构化分解的强力工具6．复盘——优化思维逻辑，提升思考力课程模型：课程时间：2天，6小时/天授课对象：各级经理人；想要提高效率的职场精英；授课方式：互动式讲授+案例分析+小组讨论课程大纲导入：你的灯亮着吗？为什么下水道的盖子总是圆的？第一讲：界定问题一、问题是什么？二、问题该由谁解决？三、问题来自哪里？四、你真的想解决问题吗？案例：雷龙塔的电梯（需提前预习）第二讲：分析问题模型介绍：内部私董会一、提案二、表决三、阐述四、提问五、澄清六、分享和建议总结演练：现场私董会解决实际问题第三讲：表达问题：金字塔原理一、金字塔基本原理介绍1．逻辑思维始于图形语言2．图形的优势练习：哪些是图形语言（判断）3．金字塔四个基本特点4．接受信息的三个基本步骤5．MECE法则演练：任职资格／业绩汇报的编写二、金字塔内部结构1．纵向结构分层次什么是垂直思维：概念、图形、比喻案例演练：产销环节；低工资引起的问题链；说服过程拓展演绎：5WHY分析法、"SOWHAT"的妙用互动环节：产假增加到五年，会怎样？/请用垂直思维图形，解析如果你完成了……，你的生活未来会怎样/如果你的团队完成了……，你所在的企业未来会怎样？2．横向结构选顺序什么是平行思维：概念、图形、比喻演练：半杯水拓展演绎：头脑风暴，你用对了吗？归类是一种能力3．基于目标定主题什么是逆向思维：概念、图形、比喻互动环节：沟通的效果取决于谁？拓展演绎：怎样沟通更有说服力？总结：三种思维方式的功能特点--解析"为什么下水道的盖子总是圆的"（思维不同，体现出能力、价值和潜力不同）本培训使用的是哪种方式？三种方式各有所长，具体情况具体分析阶段练习：如何表达你希望加薪20%？第四讲：金字塔原理的日常应用一、面对问题有思路导入：单身的结婚狂该怎么做？1．单一思路2．系统思路解决问题的模型一：起点型发现问题→分析问题→解决问题常见陷阱解决问题的模型二：终点型目标→方向→选择→执行综合练习：假设你刚被晋升了一级，请梳理出这个角色转变而带来的工作思路的不同。
小学数学难题讲解及答案
第一讲速算与巧算例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9第二讲速算与巧算例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.第三讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
高考数学重难点第一讲(全国通用) 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)(老师专用)
重难点第一讲利用基本不等式求最值8大题型【命题趋势】基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a bλμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【热点题型】第2天掌握直接法及配凑法求最值模型【题型1直接法求最值】例1（辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（）A．16B．25C．36D．49【答案】C【解析】因为0,0x y >>，12x y +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（）B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则21833x y =+≥+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（）A．13C．9D．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当3a b ==时取等号，所以239ab ．故选:C．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（）A．2B．12C．14D．4【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥.又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D 【题型2配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =值为________．【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+==≥-=-，当且仅当229x x -=，即322x =-时取等，所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______.【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-，当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号，所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）A．36B．25C．16D．9【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（）A．15B．110C．115D．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>，故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛⎫++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当23323223a b a b a b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.第3天掌握消元法及代换法求最值模型【题型3消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（）A．122C．324【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故22232224x x +-===≤⨯=，当且仅当22232x x =-，即x 的最大值为4.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4a b -的最小值为（）A．1C．2D．【答案】B【解析】,0a b > ,2240a ab -+=，则有22a b a=+，224244a a a a b a a ∴-=+-=+ 24a a =，即a =时b =【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（）A．0B．2C．1D．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A．0B．3C．94D．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++- ，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=，所以2211818282222a a aa b c a b c a a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++，当且仅当222822a a a a +=+，即2a =±【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤，所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅= ，当且仅当1||x 时，等号成立，所以21x y ⋅2≤，当且仅当21x y ==21x y ==时取等号，所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____．【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥=，当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222b b a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当222b a =时取等号故4b a b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x yx ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（）A．34B．1C．43D．4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+ ；又2AG GM =，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）；所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ ；因为,,G P Q 三点共线，则133x y+=，化得()14x y ++=；由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B第4天掌握双换元法及齐次化求最值模型【题型5双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________.【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b--+=++-++-++14724(a b =--++1141()()7a b a b =+++141(147b a a b =++++1161(577≥+⨯+=；当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号，则,x y 分别等于48,33时，2212x yx y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（）A．54B．83C．43D．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m n y -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥-=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A．8B．16C．D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a ++++++++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝；当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号；所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________.【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩；所以()()1113213939x y x y y ++=+++；整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++；所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭ .经验证当12x y ==时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________.【答案】2-【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b 都是负实数，所以20,0a b ba >>，所以2a b b a +≥2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++，所以1323a b b a -≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++.即2a b a b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设x y ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2.第5天掌握构造不等式法及多次使用不等式求最值模型【题型7构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【答案】9【解析】由212ab a b =++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +的最大值是5.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________.【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>；由1425y x x y+++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+，故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去），故2x y +的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba ba ++的最小值为（）A．B．C．1D．1【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以24422224b a a a b a a ++≥=+≥，当且仅当24b ba =且42a a =，即ab ==即242ba b a ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．(0C．(]0,2D．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min 1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；02,20x a a x <<∴-> ，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，212a ∴≥，解得a ≤0a ≠，又0a >，实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（）A．92B．2C．6D．212【答案】D【解析】()()121121221925542222baa b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=，当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b cθ+++ 恒成立，则θ的取值范围是（）A．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a ca b c θ+++ 恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ ，因为,,a b c +∈R，所以)))2222222ab aa b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当a =时等号成立；)))2222222bc cc c b ⎤=++⎥⎦，当且仅当c 时等号成立.所以()2222222222244b a c ab bc a b c a b c ++=≤++++=，当且仅当a c ==时等号成立，所以()22224b a c a bc +++，所以cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A．12B．14C．22【答案】A【解析】因为a ，b均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=++++12==≤=，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c +++的最大值为12．故选：A．第6天融会贯通限时练习（1）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C 2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（）A．2B．1C．4D．3【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（）A．9lg2B．212C．252D．12【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >，()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（）A．19B．16C．13D．12【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（）A．9+C．7【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1521454444⎛++≥++=+= ⎝（当且仅当6b a a b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A．43B．103C．3D．2【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+ 1()3AB AC =+，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >）所以1AB AM x = ，1AC AN y = ，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅ .因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y+=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+=（当且仅当433y x x y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x =的定义域为R ，则22a b a+的最小值是（）A．4B．6C．D．2【答案】A【解析】∵()f x =定义域为R，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b +=又∵0,0a b >>∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥=当且仅当22a bb a=，即21,33a b ==时取等号.故选：A.8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ --⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--所以11()44x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x yy z ⎛⎫≤-⋅+⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C第7天融会贯通限时练习（2）1．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（）A．15a ≤B．1a b +<C．2244453a b ≤+≤D．25a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确；取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤故D 正确.故选：ACD.2．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（）A．2168a a +>B．219ab+≥5≥D．35422a b a +-<<-【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-= ，12ba ∴+=.又0,0a b >> 212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，≥C 选项正确；对于D 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----，当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD3．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（）A．141a b b +--的最小值为24B．141a b b +--的最小值为25C．2ab b a b --+的最大值为14D．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+--()()414171b a b a b b --=++--17≥+25=；当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD .4．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（）A．4y xx=+B．0)y x =>C．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D．144xx y -=+【答案】BD【解析】对于A，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，A 错误；对于B，y =，因为0x >1>，4=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确；对于C，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y y x y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94.6．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=，当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b +=±，所以22a b a b+-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1ab+≤；所以22a ab b+-.综上，22a ab b+-的最大值.7．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++，即322223221)6914384384y x xy x x y xy yx xy y y x ++=+++=+；所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xy x xxy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++=；所以，22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()292718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+；所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====时，即x y ==时，等号成立.8．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤，当且仅当a b =时，等号成立，所以当a bc+取得最大值时，a b =，42a b a c +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
【精品】 六年级下册数学培优-第一讲-圆柱与圆锥
【精品】六年级下册数学培优-第一讲-圆柱与圆锥一、圆柱与圆锥1．一个圆柱形的汽油桶，底面半径是2分米，高是5分米，做这个桶至少要用多少平方分米的铁皮？它的容积是多少升？【答案】解：3.14×22×2+3.14×2×2×5=3.14×4×2+3.14×4×5=25.12+62.8=87.92（dm2）3.14×22×5=62.8（dm3）62.8dm3=62.8L答：做这个桶至少要用87.92平方分米的铁皮。
它的容积是62.8升。
【解析】【分析】需要铁皮的面积就是油桶的表面积，用底面积的2倍加上侧面积就是表面积，圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的容积=底面积×高，根据公式计算即可。
2．一种圆柱形状的铁皮油桶，量得底面直径8dm，高5dm．做一个这样的铁皮油桶至少需多少平方米铁皮？（铁皮厚度不计，结果保留整数）【答案】解：8dm＝0.8m5dm＝0.5m0.8÷2＝0.4（m）3.14×0.8×0.5+3.14×0.42×2＝1.256+3.14×0.16×2＝1.256+1.0048＝2.2608（平方米）≈3（平方米）答：做一个这样的铁皮油桶至少需3平方米铁皮。
【解析】【分析】1dm=0.1m；d=2r；所以做一个这样的铁皮油桶至少需要铁皮的平方米数=πdh+2πr2，据此代入数据作答即可。
3．填写下列表格（cm）。
圆柱5104282.631412431.412.562040531406280圆锥24 2.4——10.0480.51 4.5—— 1.1775【解析】【分析】已知圆柱的底面半径和高，求直径，用半径×2=直径，要求表面积，用公式：圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱的体积=底面积×高，据此列式解答；已知圆柱的底面直径和高，先求半径，用直径÷2=半径，求表面积，用公式：圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱的体积=底面积×高，据此列式解答；已知圆锥的底面直径和高，先求半径，用直径÷2=半径，求圆锥的体积，用公式：圆锥的体积=×底面积×高，据此列式解答；已知圆锥的底面半径和高，求圆锥的体积，用公式：圆锥的体积=×底面积×高，据此列式解答.4．把一个底面半径是4厘米，高是6分米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？【答案】解：×3.14×42×6=×3.14×16×6=3.14×16×2=50.24×2=100.48（立方厘米）答：有100.48立方厘米的水溢出.【解析】【分析】根据题意可知，将圆锥放入盛满水的桶里，溢出的水的体积等于圆锥的体积，依据圆锥的体积=×底面积×高，据此列式解答.5．圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它浸入一个均匀水槽内的水中，量得水位上升了4厘米．再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸入水中，水位又上升了 4.5厘米．求圆锥的高．【答案】解：3.14×22×2÷4=3.14×4×2÷4=6.28（平方厘米）6.28×4.5×3÷[3.14×（6÷2）2]=3.14×27÷[3.14×9]=3（厘米）答：圆锥的高是3厘米。
解析几何中的定值(修改教师版) 丁左军 海安高级中学
解析几何中的定值问题 海安高级中学 丁左军第一讲 定值问题方法初探一、定值问题的概念及解题思路1.定值问题的概念在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何量具有定值特征,这类问题称之为定值问题．2.解题思路定值问题基本的求解思路是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．二、基本的解题策略：【策略一】特值验证，一目了然，特值探路，方向明确，极限思想，极端考虑. 【策略指导】：1.在求解与定值有关的问题时，运用满足题设条件的特殊位置、特殊图形进行检验或推理，从而判断.2.根据特殊性与普遍性(个性与共性)的辨证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.例1 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+ y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则 AC 2+BD 2=______.【解析】法1. 当弦AC ⊥x 轴、弦BD ⊥y 轴时直接求解.法2. 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为12d d ，，则22222212124(4)4(4)324()AC BD d d d d +=-+-=-+=232420OM -=．【拓展】：已知AC 、BD 为圆O ： x 2+y 2=r 2的两条相互垂直的弦，垂足为M (a ，b )，则AC 2+BD 2 =8r 2-4(a 2+b 2). 【评注】：定值问题常用方法：考虑用特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形、极端位置、极限位置，求出定值.【练习】：1．已知0a >，过(0)M a ，任作一条直线l 交抛物线22(0)y px p =>于P 、Q 两点，若2211MPMQ+为定值，则a = .【解析】当直线l 的方程为x a =时，22111paMPMQ+=；当直线l 的方程为0y =时，222111a MPMQ+=.由211pa a =，得a p =.2．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作直线l 交抛物线于P 、Q 两点.求证： 11PF QF+为定值.【证明】当直线l y ⊥轴时，114a PF QF+=. 下面只需证明一般情形下114a PF QF +=即可.设直线l 的方程为14y kx a=+，代入方程2y ax =消去x 并整理，得222168(12)10a y a k y -++=.设11()P x y ，，22()Q x y ，，则有212122k y y a ++=，122116y y a=. 所以21211144k PF QF y y a a a++=+++=， 21212122211111()()()444164k PF QF y y y y y y a a a a a +⋅=++=+++=. 所以114PF QF a PF QF PF QF++==⋅. 故11PF QF+是定值，定值为4a .【策略二】引入参数，构造方程，消去参数，直达彼岸，等价转化，恒等求解. 【策略指导】：(1)定值问题中，“若存在与k 参数无关”类问题，大多数有“隐含”条件，求解方法是：第一歩，将表达式转化成含“参数k ”的多项式；第二歩，化简，若结果里的参数自动消除得到定值正好，否则可令含“参数k ”的项的系数为零，得到求解结论．其理论依据：函数)(x f 是常数函数⇔所有含x 项的系数＝0，即“零次”多项式理论.(2)圆锥曲线定值问题往往运算量大，占用时间长，而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担.例 2 已知椭圆C 经过点A 3(1)2，，两个焦点为(10)(10)-，，，.(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值．并求出这个定值．【解析】(1)由题意，1c =，可设椭圆方程为222211x y b b +=+， 因为A 在椭圆上，则2219114b b +=+，解得23b =或234b =-（舍去） 则椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设AE 的方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得：2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=，设E ()E E x y ，，F ()F F x y ，，因为点A 3(1)2，在椭圆上，则2234()1232342E E E k x y kx k k --==+-+，， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式以-k 代k ，可得2234()1232342F F F k x y kx k k +-==-+++，， 则直线EF 的斜率()212F E E F EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--，即直线EF 的斜率为定值12. 【评注】：(1)消去参变数才可得常数(定值)，这是证题的重要依据.(2)PB k 、AB k 与PA k 具有对应表达式，只要求得PA k ，即知PB k 和AB k 的表达式，从而有效地避免了重复运算，简化了证题过程.【拓展】：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a ，，E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，则直线 EF 的斜率为椭圆C 在点2()b c a-，处切线的斜率e ．(2)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作直线OA 的平行线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=0.【练习】：3．已知圆229x y +=，点(50)A -，，直线20l x y -=：.(1)求与圆C 相切且与直线l 垂直的直线方程；(2)若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上的任意一点P ，PB PA为定值，求所有满足条件的定点B 的坐标．【解析】 假设存在这样的点(0)(5)B t t ≠-，，使PB PA为常数λ，则22PB PA λ=对于圆C 上的任意点P 恒成立，即22222()(5)x t y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦对任意实数x ，y 恒成立，将229y x =-代入，得2222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-， 即2222(5)3490t x t λλ++--=对[]33x ∈-，恒成立，所以222503490t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩ ，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）. 所以存在定点9(0)5B -，，对于圆C 上的任意一点P ，都有PBPA为定值. 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e ，直线:l y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 在该椭圆的一个公共点.求证：AMBM为定值. 【分析】设AM AB λ=，只要构造方程，求出λ即可.【证明】由题意，可得A 、B 两点坐标分别为(0)a e-，、(0)a ，.联立22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以点M 的坐标是2()b c a -，. 设AM AB λ=，得2()()a b a c a e a e λ-+=，，，所以得a a c e eλ-+=，解得21e λ=-，故AMBM为定值. 【评注】：引入参数，构造方程，也是求解定值问题的重要途径. 【策略三】利用整体不变，简捷明快，紧扣定义，整体把握. 【策略指导】：圆锥曲线的定义（第一定义和第二定义）与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问题，均可考虑用定义，整体把握，巧妙消参，迅速求解.例3 已知斜率为1且过椭圆22233x y b +=的右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.设M 为椭圆上任意一点，且(R)OM OA OB λμλμ=+∈，.求证：22λμ+为定值.【证明】设()OM x y =，，11()A x y ，，22()B x y ，.设直线AB 的方程为y x c =-，代入22233x y b +=，化简得22246330x cx c b -+-=，又2212b c =，所以1232x x +=，21238x x c =.由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，，所以1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩.因为()M x y ，在椭圆上，所以2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=. 即()2222222112212123(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= （*） 因为1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++222393022c c c =-+=，又2221133x y b +=，2222233x y b +=，代入（*）得221λμ+=. 故22λμ+为定值，定值为1.【评注】：无论1x ，1y ，2x ，2y 如何变化，22113x y +与22223x y +都整体不变，设而不求，简捷明快! 【练习】：5． 已知(03)C -，，(03)D ，，求证：无论动点Q 在椭圆221010x y +=上如何运动，22QC QD OQ QC QD OQ⋅+⋅-恒为一个常数.【证明】因为(03)C -，，(03)D ，为椭圆221010x y +=的两个焦点，所以210OC OD +=设()Q x y ，，则222()240QC QD QC QD QC QD +=++⋅=.因为222222222[(3)][(3)]2()18218QC QD x y x y x y OQ +=++++-=++=+. 所以2218240OQ QC QD ++⋅=，即211OQ QC QD +⋅=，又22222(9)()9QC QD OQ x y x y ⋅-=+--+=-，所以22119QC QD OQ QC QD OQ⋅+=-⋅-. 【策略四】平几性质，代数解决. 【策略指导】：解析几何依然研究平面上的几何图形及其性质．因此在解题的过程中如果能充分挖掘图形的几何性质，从平面几何的视角去思考，往往能“出其不意，攻其不备”、“事半功倍”．例 4 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为2l x =：. (1)求椭圆的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值.【解析】(1)由题意知，椭圆方程为2212x y +=，(2)记直线l 与x 轴交点为H ，OM 与过F 的垂线交点为G ，因为OM 是圆的直径，所以90ONM ︒∠=， 由于NG OM ⊥，由射影定理知 2ON OG OM =⋅.又因为90FGM FHM ︒∠=∠=，所以F ，G ，M ，H 四点共圆，由圆幂定理OG OM OF OH ⋅=⋅，所以22ON OG OM OF OH =⋅=⋅=，从而2ON =，即线段ON 的长为定值2.第二讲 定值问题题型初探一、定值问题的题型定值问题是指某些几何量，线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. 二、题型分类【题型一】参变量系数的表达式(直线的截距、斜率)为定值.例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点2(2)2，．(1)求椭圆方程；(2)设不过原点O 的直线)0(≠+=k m kx y l ：，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足k = k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解析】(1)依题意可得2222222((2)213b c aa b c +=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+⎪⎩ ，解得a =2，b =1，所以椭圆方程是2214x y += . (2)当k 变化时，m 2为定值，证明如下：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2－1)=0.设P (x 1， y 1)， P (x 2， y 2).则x 1+ x 2= 2814km k -+ ，x 1﹒x 2=224(1)14m k -+ . 直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，且k = k 1+k 2，则1212y y k x x =+=11kx m x + +22kx m x +，则 2k x 1﹒x 2=m (x 1+ x 2)，则m 2=12，经检验满足0∆>.【评注】：直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N .设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.【解析】由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1x 0. 又点P 在椭圆上，所以220014x y +=(x 0≠0)，从而有k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14.【练习】：1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点(22)A ，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.【解析】取特殊点B (02)-，，则BC 的方程为22y x +=，由2222242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C (220)，所以22202222AB AC k k ++=+=-. 【评注】：定值问题可以选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果.【拓展】：(1)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12k k ，，则12k k ⋅=22b a-.(2)过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ，A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，设MF 、NF 的斜率分别为k 1、k 2，则12k k ⋅=－1.(3)AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即2020=-AB b x k a y .【题型二】几何量表达式为定值(点到直线的距离、线段长、几何图形的面积). 例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F：22(5x y +=．(1)设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标；(2)若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证 明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．【解析】(1)由题意得''(()1，，由，F F M m n MF MF ⋅=得222(1 4.m m n m n +=+=即①又22( 5.m n +=②由①，②得m n ==M M ∴或 (2)设点00()P x y ，，则圆22220000()().P x x y y x y -+-=+的方程为 即2200220.x y x x y y +--=③又圆22( 5.F x y +=的方程为④ 由③，④得直线QT的方程为00(10.x x y y +-=所以FH ==因为00()P x y ，在椭圆上，所以2222000011.44x x y y +==-，即所以 2.FH ====【评注】：定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，在一般计算推理求出其结果.【练习】：2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT += .【解析】设1122 () () ()Q x y T x y S x y ，，，，，， 12 QA QA ，斜率为12k k ，，则OT OS ，斜率为12k k ，， 且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT + =22222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++. 【评注】：到直线的距离可以用点到直线的距离公式或者三角形面积等积法求得，在此过程中要对变化的量进行正确的表述，合理地引进参数，通过研究变化的量与参数无关，从而找到求定值的方法.3．如图，点(20)A -，，(20)B ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右顶点，P M N ，，为椭圆C 上非顶点的三点，直线AP BP ，的斜率分别为12k k ，，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON .(1)求椭圆C 的方程；(2)判断OMN ∆的面积是否为定值？【解析】(1)由题意得22111442AP BPb k k b a a ⎧=⎪=-⇒⇒=⎨⎪=⎩，，，椭圆22:14x C y +=.(2)设直线MN 的方程为y kx t =+，11()M x y ，，22()N x y ，，则由22222(41)844014y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，，，则122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，1212121212114044y y k k y y x x x x =-⇒=-⇒+=，则12124()()0kx t kx t x x +++=，即221212(41)4()40k x x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++则()()22121241440kx x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++， 则2212(1)()MN k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-22222844(1)[()4]4141kt t k k k -=+-++2212241k k +=+，即21t d k =+，222212214112t t k S k k t+==⨯=++.则OMN ∆的面积为定值1.【评注】：定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是定值. 【题型三】其它一些数学表达式(向量数量积)为定值：例4 过点C (0,1)的椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a ，0)、B (－a ，0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋11(0)2k k ≠≠且. 代入椭圆方程化简得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方 程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为222814()4141k k k k --++，.又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为1(0)k-，. OPABDCx yQl【评注】：定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.第三讲 定值问题拓展性研究一、定值问题的拓展性结论【定理1】设A 、B 是过定点(0)(0)F p p ≠，的直线与抛物线2:2(0)E y tx t =>的两个交点，直线OA 、OB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则OA OB k k ⋅为定值2tp-，OM ON ⋅为定值()22q p t p-.【证明】 设2()2A A y A y t，，2()2B B y B y t ，，()M M q y ，，()N N q y ，.则由A 、F 、B 三点共线知2222A B A B y y y y p p tt=--，化简，得2A B y y pt =-.又2OA A tk y =， 2OB Bt k y =， 所以242OA OBA B t tk k y y p⋅==-.因A 、F 、B 三点共线，故OM OA k k =，即得2M A qt y y =.同理，2N Bqt y y =，于是222224(2)M N ABq t q p t OM ON q y y q y y p-⋅=+=+=. 【定理2】设P 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点，过定点(0)()F p p a ≠，的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，直线P A 、PB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则PA PB k k ⋅为定值22()()b p a a p a +-，PM PN ⋅为定值222()()[1]()b p a q a a p a +-+-. 【定理3】一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点A (x 0，y 0) 为椭圆上一定点，点B 、C 是椭圆上任意两点（异于点A ），当直线AB 、AC 斜率都存在且ABAC k k +=0时，k BC =2020b x a y .二、定值问题的思想与方法圆锥曲线中的定值问题解决的关键就是从变量的联系中找准所求问题，灵活应用已知条件，巧设变量，在变形过程中，应注意各变量之间的关系，善于捕捉题目的信息，运用大处着眼，小处着手的策略，从整体上把握问题给出的综合信息，并处理问题，综合运用函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想. 【例题精析】例1 在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，且BF 2＝m ．(1)已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值；(2)已知定点A (－2，0)．当m ＝1时，记M 为椭圆C上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值．【解析】(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1． 所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． (2)法一：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)．由AM ＝λAP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝y 1． 从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋2(－1)，y 0＝y 1．因为x 022＋y 02＝1，所以[x 1＋2(－1)]22＋(y 1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2 (－1)x 1＋3＝0．所以λ＋μ＝6．法二：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得[12(x 0＋2)2＋y 02)x 2＋4y 02x ＋4y 02－(x 0＋2)2 ＝0(*)．因为x 022＋y 02＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 02x －3x 02－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－20003423x x x ++，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3．因为AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋μ为定值6．【拓展】：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，记M 、P 、Q 为椭圆C 上的动点，且A (－m ，0)，B (m ，0)，若MA ＝λAP ，MB ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值22222()a m a m +-.xy A O BM P QF 2 F 1 l例2 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：2OP OM ON =+ ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，说明理由．【解析】 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由2OP OM ON =+得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以221124x y +=，222224x y +=，故x 2＋2y 2＝(22124x x +＋4x 1x 2)＋2(22124y y +＋4y 1y 2)＝(22112x y +)＋4(22222x y +)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 22221(25)(10)x += 上的点，设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，则|PF 1|＋|PF 2|为定值，且两定点分别为F 1(10-，、F 210，.. 【评注】：定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．【拓展】：椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，动点P 满足：a OP OM ON b=+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－22b，则存在两个定点F 1 (－44a b -0)，F 244a b -0)，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值2242a b a b +.【练习】：1．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝21t ，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； (2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′ C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)， 又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①O P NM x ＝22 x y O A 2 DA O x y A 1B C直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，②由①②得y 2＝21221y x a-- (x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=.从而222112(1)x y b a=-，代入③得x 2a 2－y2b 2＝1(x ＜－a ，y ＜0). (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故22221122x y x y =因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 222112(1)x x a -＝b 222222(1)x x a-，由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以21x ＋22x ＝a 2.从而21y ＋22y ＝b 2，因此21t ＋22t ＝a 2＋b 2为定值． 【评注】：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。
第一讲定解问题
第一讲：定解问题随着科学技术的不断发展和深入，越来越多的问题得以被解决。
然而，即使是现代科学也不能解决所有的问题。
有些问题，尤其是在数学和物理学领域中，是无法通过直接计算或实验解决的，而需要通过求解问题的定解问题才能得出答案。
本文将介绍定解问题的概念、意义、性质以及解决方法。
一、定解问题的概念定解问题是指确定一组条件，使得某一数学模型或物理问题的解唯一存在的问题。
一般来说，一个数学模型或物理问题会有多种解法，即使这些解法在最终结论上是等价的。
解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
二、定解问题的意义1、确保答案的正确性解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
这可以确保问题的答案是正确的。
在一些实际应用中，问题的解法必须是唯一的，才能得到正确的结果。
2、简化问题的解决解决定解问题可以简化问题的解决。
在问题的解法唯一的情况下，我们只需要根据给定的条件寻找问题的解，而不需要试错或者对所有可能的解进行验证。
这样可以节省时间和精力，提高问题的解决效率。
3、研究模型的性质定解问题的解决还可以帮助我们研究模型的性质。
通过分析模型的条件和解，我们可以更好地理解模型的规律和本质，根据这些规律和本质，我们可以推广模型，让它适用于其他应用领域或者更为复杂的问题。
三、定解问题的性质定解问题需要满足一定的性质，才能确保问题有唯一解。
以下是定解问题的几个基本性质：1、解的存在性定解问题必须存在解。
也就是说，通过给定的条件，我们必须能够找到至少一组符合条件的解。
2、解的唯一性定解问题的解必须是唯一的。
也就是说，通过给定的条件，我们只能得到一组解，而不能得到多个或者任意个解。
3、解的光滑性定解问题的解必须是光滑的。
也就是说，解在给定域上可以连续且具有光滑性质。
这个性质可以保证解在求导或者积分的过程中不会出现矛盾或无限大的情况。
四、解决定解问题的方法1、分离变量法分离变量法是定解问题中常用的解决方法。
五年级奥数“牛吃草“(1)第一讲
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第1讲 “牛吃草”（1）
例 例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周
题 精
或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
讲
设每头牛每周吃1份草
27×6=62 份 23×9=207 份 207－162=45 份 每周长：45÷（9－6）=15 份 原有草：162－15×6=72 份 分15头吃每周长的新草 剩21－15=6头牛吃原来的草 需要72÷6=12（周）
12＋12=24只牛吃25天。
18×40=720 份 24×25=600 份 每天长：（720－600）÷（40－25）=8 份 原有草：720－8×40=400 份 共需牛：（16×8＋400）÷16=33 （头） 还需羊：（33－17）×3=48（只）
答：
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第1讲 “牛吃草”（1））
练 练习3：有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，
习 题
可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，
那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
解：设1只牛每天吃1份 4只羊每天也吃1份 则4只羊吃的→1只牛吃的 80只羊吃的=20只牛吃的 16×20=320 份 20×12=240 份 每天长：（320－240）÷（20－12）=10 份 原有草：320－10×20=120 份 10头牛与60只羊=25头牛 可吃：120÷（25－10）=8（天）
了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
解：20×5=100 15×6=90
每夜掉：（100－90）÷（6－5）=10 井深： 100＋5×10=150（米）
第一讲 整数解问题
第一讲整数解问题
本讲主要涉及：整除性分析法、局部分解法、△完全平方数分析法、反客为主法、韦达定理消元法、穷举法等。
1.整数——整数（前一个指系数，后一个指根）
例1.p为自然数且关于x的方程：(k-1)x2-px+k=0有两个正整数解，求p的值。
例2、求x为何整数时，代数式9x2+23x-2可以分解为两个连续正整数的积。
例3、求使方程x2-pqx+p+q=0有整数根的所有正整数p和q。
例4、方程2x2-xy-3x+y+2012=0的正整数解共有几对。
例5、已知t=2-1,若正整数a,b,m,使(at+m)(bt+m)=17m成立，求ab的值。
2、有理数、实数——整数
例6、方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根为整数，求实数k的值。
例7、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0只有整数根。
3、整数——至少一个整数根、有理根
例8、关于x的方程：ax2+2(a-3)x+a-13=0至少有一个整数根，且a为非负整数，求a的值。
例9、当m为整数时，关于x的方程：（2m-1）x2-(2m+1)x+1=0是否有有理数根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由。
例10、已知a是正整数，如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。
第一讲 用椭圆定义解题2 —焦点三角形(课件)-高考数学二轮专题之椭圆小题突破
+
= 上的任意一点，点
F1，F2分别为该椭圆的上下焦点，设α＝∠PF1F2，
β＝∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为
.
（2）已知点P为椭圆
+
= 上的任意一点，点F1，F2分别为该椭圆的上下焦
点，设α＝∠PF1F2，β＝∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为
则2c>2a-2c且4c>2a-2c，得
1
1
e ,e ,
3
2
则2a-2c >2c且4c>2a-2c，得
1
1
e ,
3
2
（7）已知椭圆方程为
+
= (a> )，A，B是
上､下顶点，P为椭圆上的一个动点，且∠APB的最
大值为120°，若M(0, ),N(0,− )，则
|PF1|=λ|PF2|(1≤λ≤3)，∠F1PF2＝ ，，则椭圆离心率的取值范围为
解：
PF1 PF2 PF2 PF2 1 PF2 2a
PF1 PF2 2 PF2 PF2 2 1 PF2 4c 2
2 1
c2
2 1
1
a
PI
2
（5）已知椭圆C：
+ = > > 的左、右
焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2
＝120°，且△F1PF2内切圆的半径大于 a，则C的
2013考研第一讲：积分及其等式、不等式问题(数学三)
∫ g(t ) f (t )dt
a
x
∫ g(t )dt
a
x
在 (a , b]上单调增加 ]
解 对于 x ∈(a,b]
F'( x) = g( x) f ( x)∫ g(t )dt − g( x)∫ g(t ) f (t )dt
a a x x x
(∫ g(t )dt )2
a
=
g( x) (∫ g(t )dt )2
b a
∫ f ( x) g( x)dx = f (ξ)∫ g( x)dx
a
b
(7)定积分值与变量的名称无关 定积分值与变量的名称无关: 定积分值与变量的名称无关 若 y= f (x)在 [a, b] 上连续 , 则 在 ]
b a
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt
a
b
(8)微积分第一基本定理 若 f (x) 在 [a, b]上连续 , 则变 微积分第一基本定理: 微积分第一基本定理 ] 上限积分函数 F( x) = ∫ f (t )dt 在[a, b]上可微 且有 ]上可微,
定积分及其等式、 第一讲 定积分及其等式、不等式问题
1°定积分的概念 °
b
(1) 定积分的定义 定积分的定义:
∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξi )∆xi
n λ→0 i =0
其中极限值与区间 [a , b] 的划分 , ξi ∈[ xi −1, xi ] 的 ] 选取无关 . (2) 定积分的几何意义 定积分的几何意义: 曲边梯形的面积: 曲边梯形的面积
0
1
试证: 试证 在 (0 , 1) 内至少存在一点 ξ , 使
f (ξ) + ∫ f ( x)dx = 0
四年级奥数第一讲_速算与巧算含答案解析
第一讲 速算与巧算一、 知识点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
二、典例剖析：例（1） 19199199919999199999++++分析：运用凑整法来解十分方便，也不容易出错误。
解：原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215--练一练：898998999899998999998+++++=答案：1111098例（2）10099989796321+-+-++-+分析：暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
解：原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+100491=++150=练一练：989796959493929190894321+--++--++---++答案：99例（3） 1111111111⨯分析：111,1111121,11111112321⨯=⨯=⨯= 解：1111111111123454321⨯=练一练：2222222222⨯答案：493817284例（4） 1234314243212413+++分析：数字1、2、3、4，在个位、十位、百位、千位上均各出现一次。
解：原式1111222233334444=+++ 1111(1234)=⨯+++ 111110=⨯ 11110=练一练：5678967895789568956795678++++答案：388885例（5） 339340341342343344345++++++分析：这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
解：原式3427=⨯ 2394=练一练：(445443440439433434)6+++++÷答案：439例（6） 482594115932359⨯+⨯-⨯分析：先改变运算顺序，把4159⨯与32359⨯交换位置，48259⨯与32359⨯都有公共因素59，将48259⨯与32359⨯的差算出再与41159⨯求和。
第三章 第一讲 问题解决的策略
发散性思维训练
1、流畅性训练
用词流畅性训练：成语接龙 联想流畅性训练：“yi zhi”
表达流畅性训练：造句 观念流畅性训练： “如何提高学生 的创造力”
发散性思维训练
2、变通性训练 物体功能变通性训练：桌子、木块的用途 遥远联想变通性训练：蝴蝶和海啸；羊毛 和马里亚那海沟；恐龙和桌子； 问题解决变通性训练：一题多解；以少胜 多的战役。 结构扩散:日加一笔变个字;8 的一半是多少 形态扩散：列举绿色的物品 方法扩散：用“敲”能解决的问题。
（二）指导学生选择课题及策略
•
宏观方面的策略：价值性和可行性
1）价值性：一是指选取的研究课题应当满足社会 和科技发展的需要，二是指选取的课题应当满足学 生自身发展和提高的需要。 2）可行性：主要指学校或者学校附近是否提供科 研的必需条件。选题不能好高骛远。例如研究“如 何攻克癌症”。有价值但不可行！
学科领域的问题解决策略 2
一、学科领域问题解决策略的三阶段模型
研究方法：优差生思维过程对比 传统方法：让优生介绍学习经验
为什么会不同？
看看心理学上是怎么研究的……
三阶段模型
分析题意的思维策略 解答习题的思维策略 反思总结的思维策略
1.分析题意的思维策略
1）仔细读题审题
小王家兄弟五个,都未婚,他们每个 人都有一个姐姐和妹妹,如果把王妈 妈也算在内,试问他们家有几个女人? 某城市有15%的人不把电话号码放 入电话簿上,如果你从电话簿上随机 抽取200个号码,问其中有多少人是 不把电话号码放入号码簿上的?
酝酿效应
知识经验： 专家与新手
三、影响问题解决的因素
问题表征的方式 有一个人用600元买了一匹马， 又以700元卖了出去，然后他又 用800元买回来，再以900元卖出 去。问：他赚了多少钱？ 和尚上山问题
数理方法-第一讲-定解问题
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
小学四年级奥数第一讲找规律
⼩学四年级奥数第⼀讲找规律第⼀讲找规律（⼀）解题⽅法我们常见到⼀些寻找⼀组数规律的题,⼀般情况下是观察前后两个数或⼀组数的变化规律。
也可以根据相隔的每两个数之间的关系找出规律,从⽽推断出要填的数。
例题1 找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。
0、3、9、18、（）、（）……步骤由上表可知它们的差分别是3、6、9……即按照3的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍??这样的规律排列的,所以应填30、45。
引申1、找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。
1、5、25、125、（）……解：在1、5、25、125中，后⼀个数等于前⼀个数乘5，根据这⼀规律可以确定括号内应填6252、找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。
1、4、7、10、（）、16……解:在这列数中,每⼀个数加上3都等于后⾯的⼀个数,这列数排列的规律相邻两个数的差是3,所以括号内应填13。
3、找出下列数列的排列规律,并填上合适的数。
1、15、3、20、5、（）、（）、……例题2 找规律，在括号中填⼊适当的数。
1、2、4、7、11、（）、（）、……（）思考：先仔细观察这列数，第⼀个数是1，第⼆个数是1+1=2，第三个数是1+1+2=4，第四个数是1+1+2+3=7，第五个数是1+1+2+3+4=11，…那么第n 个数是1+1+2+3+…+（n-1），根据规律可得答案。
由上⾯的规律可得第6个数是1+1+2+3+4+5=16,第7个数1+1+2+3+4+5+6=22,第43个数是1+1+2+3+4+5+6+…+42=904。
引申1、先观察,再按规律填数。
1、4、9、16、（）、（）、…、（）答案：25、36、100002、先观察,再按规律填数。
2、4、6、8、（）、（）、…（）、…（）第43个第100个第20个第61个解:仔细观察可知,第1个数×2得2,第2个数×2得4,第3个数×2得6,?,第n 个数×2得2n,所以第1个空填10,第2个空填12,第20个空填40,第61个空填122。
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(
x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M,t)|t0(M) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
其中 f F . c
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
混合问题：同时有边界条件和初始条件。
定解问题的适定性
适定性的意义
定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模 型能否反映实际问题的一般要求。
适定性的内容
存在性 唯一性 稳定性
不适定问题举例
一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； 条件多了，将会破坏解的存在性； 条件少了，将会破坏解的唯一性。
0.
(1.2.6)
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传
导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均
为常数
c
u t
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
.
令 a2 k c
，则方程(1.2.6)化为
u t
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题 定解问题的组成
定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
三者成正比, 即
dQ k u dSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
需的热量为
Q2
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
V
c u dvdt
t
其中k=k(x, y, z)是物体在M(x, y, z)处
的热传导系数，取正值。我们规定
外法线方向n所指的那一侧为dS的正
侧。上式中负号的出现是由于热量
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" pyqy0 , 二阶线性齐次常微分方程
y'a22y xln x , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx 5 f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy" xy'2y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程
x
x
tt
由微分中值定理得
Tu (x x,t)x F(x,t)x u x0, 1.
xx
tt
消去x, 并取x 0极限得
Tu (x,t) F(x,t) u ,
xx
tt
即
u tt
a2u xx
f (x,t),
0 x L,t
0,
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F
推广3 情况：三维情况
分析：温度u成为空间变量x,y,z和 时间t的函数
方程：
cut(x, y,z，t) k(uxx uyy uzz)
cut(rv,t) ku ut(rv,t) a2u
三、稳定场方程
由温度高的地方流向温度低的地方。
故当u 0 时，
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
k udSdt S n
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
k1(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
k1交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
S
k1
k
第三类边界条件
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
第四节、定解条件与定解问题
定解条件
初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题
定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T T'
其中： m ds
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
2u( x, t ) a t 2
ds dx
T
线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件；
按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或：u(a,t) 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力
的 (3)作弹用性,支其承为端：：T在xux=ax端a 受0到，弹性ux系x数a 为0，k u的x(弹a,簧t) 的 0
支承, 其为:
T
u x
xa
k
u
xa
或
u x
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界 第一类边界条件
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u n
s
0
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)