定解问题
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
第2章定解问题
第2章定解问题第2章定解问题1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。
3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的衔接条件有⼏个？应如何表⽰？7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会发⽣怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？第3章⾏波法1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否⽤公式求解如下定解问题？5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？6、你能否根据直⾓坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程化为关于平均值的⼀维⽅程吗？8、在Poisson 公式中，?若已知9、对于定解问题除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？令使由公式可求得⽽显然，所满⾜的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是…吗？为什么？12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解吗？5章特殊函数>> 1）勒让德多项式1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？8、你能否⽤关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导出的正交归⼀性？15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件的特解是什么?16、独⽴的l阶球函数共有多少个？17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？2）贝塞⽿函数1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a>0），你能利⽤Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。
数学物理方程_定解问题
根据边界条件确定任意函数 f：
令 故
规定，当
时
4、定解问题是一个整体
达朗贝尔公式的求解过程，与大家熟知的常 微分方程的求结果成完全类似。
但遗憾的是，绝大多数偏微分方程很难求出 通解；即是求出通解，用定解条件确定其中待 定函数往往更为困难。这说明，达朗贝尔公式 不适用于普遍的数学物理定解问题的求解？
（7.1.8）
称式（7.1.8）为弦的自由振动方程。
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为
(7.1.9)
式中
称为力密度，为 时刻作用于
处单位质量上的横向外力
式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.
2、 均匀杆的纵振动
一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使 它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使 它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵 振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是纵波.
泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类:
1、在边界上直接给定未知函数 , 即为第一类边界条件．
2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数 的数值
u n
x0 , y0 ,z0
f (x0, y0, z0,t)
（7.2.3）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在 边界上的数值
（7.2.4）
其中 是时间 的已知函数， 为常系数．
7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件
数理方法定解问题
初始速度分布— ut (x, t) t0 (x)
其中 ut
u t
2.2 输运问题 方程中含有对 t 的一阶偏导数
初始温度或浓度分布— u(x, y, z, t) t0 (x, y, z)
稳定场不随时间变化，故没有初始条件.
2 边界条件—待求量及其导数或两者的线性组合在边界上的值
3.在静电场问题中，由介电常数分别为 1 和 2 的两种介质组成系统的分界面 S 处的衔接条件有几个？
具体如何表述？它们的物理意义是什么？ 4.在杆的纵振动中，在 x=l 端自由，这个边界条件如何写？你能从 Hooke 定律出发证明吗？ 5.在杆的热传导问题中，若 x=0 端绝热，这个边界条件如何写？你能从一物理定律出发证明吗？ 作业：p196：9.7 (1)、(3)，9.8 (3)、(4)
v u(r, t; r0, t0 )dr0dt0
是 L[v] f (r, t; r0, t0)dr0dt0
[
v n
v]s
g(t, t0 )dt0 的解
解的叠加原理是线性问题的必然结果，对非线性问题不适用.
2 求解定解问题的一般步骤
4
1)定解问题的适定性
解的存在性 实际物理线性系统演化 发展的结果是确定的 解的唯一性 确定的状态是唯一的 解的稳定性 因测量导致定解条件的 微小改变引起的解的变 化也很微小
u n
S
b k
(u
S
u0 )
( u n
hu)
S
hu0
(h b 0) k
特别，若 u0
0 ，则 (u n
hu) S
0
→ 一维系统 (a x b)
∵ u u ，则
第九章：数学建模--数学物理定解问题
常见问题第九章 数学建模--数学物理定解问题 问题一； 设一长为l 的杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，写出此定解问题.【解】 (1)泛定方程：因杆作自由纵振动，自由即无外力作用，所以泛定方程为20tt xx u a u -= (2)边界条件：原来杆受压，放手后作自由振动，即这时两端无外力作用，这意味着杆的两端自由.“自由”表示在两端点处张应力为零．如果杆的材料的杨氏模量是Y ，根据胡克定律，而张应力等于杨氏模量Y 与相对伸长x u 的乘积，故 0|0, |0x x x x l Yu Yu ====即 0|0, |0x x x x l u u ====(3)初始条件：杆由长l 压缩为(12)l ε-，共缩短了2l ε，压缩率为22l l εε=，又杆的中点2l 压缩前后不变，即位移2|0l x u ==，以中点2l 为标准，左边位移为正，右边位移为负.根据上述分析，初始时刻0t =时的位移为2(,0)()2l l u x x l ε=-，初始速度为零，即(,0)0t u x =.综上所述：定解问题为20 (0,0) (0,)0,0 (0)(,0)2(),(,0)0 ( 2,)tt xx x x t u a u x l t u t u t l u x t x u x l ε-=<<>==≥=-= (0)x l ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩问题二； 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，近端短路，试写出其定解问题.【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.20xx a -=tt v v（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ∂∂++=∂∂v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L xt ∂∂=-∂∂v ，代入条件|0x l i ==有 (,)||0x x l x l i i l t L L t t ==∂∂=-=-=∂∂v而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0|(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时的电流0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ∂∂++=∂∂v v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i tC x ∂∂=-⋅∂∂v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==∂∂∂=-⋅=-⋅=∂∂∂v 综上所述，故其定解问题为200000 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0) xx x x x l t t t a x l t t x l ====⎧-=<<>⎪=≥⎨⎪=≤≤⎩tt v v v v |=v v v |=。
定解问题
2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。
这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。
求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。
量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。
任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。
而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。
每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。
3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。
2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。
6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。
这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。
713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。
()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。
求定解问题数学物理方法例题
求定解问题数学物理方法例题1. 一辆汽车从A点出发，经过2小时行驶到B点，然后再经过3小时回到A点。
假设这两段行驶均在同一条直线上，求这辆车的平均速度。
答：假设AB之间的距离为d，时间 t1=2 小时，时间 t2=3 小时。
根据平均速度的定义，平均速度 = 总路程 / 总时间。
总路程 = 2d （从A到B）+ 2d （从B到A）。
总时间 = t1 + t2 = 5小时。
所以平均速度 = 总路程 / 总时间 = (2d + 2d) / 5 = 4d / 5。
2. 一个投掷物从地面上以速度 v0 垂直向上抛出，忽略空气阻力。
求物体到达最高点的时间和最大高度。
答：假设加速度 g = 9.8 m/s²是重力加速度，v0 是初始速度。
根据运动学公式，物体到达最高点时，垂直速度为 0，所以 v = v0 - gt = 0。
解出时间 t = v0 / g。
最大高度为 h = v0 * t - 1/2 * g * t² = v0² / (2g)。
3. 一个弹簧常数为 k 的弹簧，两端有各自质量为 m1 和 m2 的物体。
当这两个物体振动时，求两个物体的共同频率。
答：假设物体1的振动频率为 f1，物体2的振动频率为 f2。
根据振动的基本原理，弹簧的劲度系数k = m1 * (2πf1)² = m2 * (2πf2)²。
解方程组可以得到f1 = sqrt(k / (4π²m1))，f2 = sqrt(k /(4π²m2))。
所以两个物体的共同频率为sqrt(k / (4π²m1)) = sqrt(k / (4π²m2))。
希望以上例题能对您有帮助！请注意，这些例题仅供参考，并不代表所有数学和物理的定解问题。
第4节(达朗贝尔公式-定解问题)
只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0
如图所示：
(x)
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
u0
(x)
2u0
x2 x x2 x1
0
x1
2
x2
x
x2
x1
x2
x1 x2
x
2
达朗贝尔公式给出
x x1 , x x2
u( x, t) 1 ( x at) 1 ( x at)
从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下 求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从 数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解 必条件，须同时考虑方程本身和定解条件来求解！ （和常微分方程不同!）
不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是
一个整体！而不能割裂开。
把初始条件代入通解得到：
f1(x) f2 (x) (x) af1(x) af2(x) (x)
即
f1(x)
f2(x)
解方程 f得1( x)f1f(2x()x)
(x)
1
1
a
(
x x0
x)
(
1
)d
x
(
f1( x0
)d
)
1[
2
2a x0
2
f2( x0 )
f1( x0 )
f2 ( x0 )]
描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为
反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓
半波损失。
12
u
t8
x
t7
定解问题和本征值问题课件
04
定解问题实例分析
一维波动方程的定解问题
总结词
描述一维波动现象，如声波、地震波等。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，如声波在空气中传播、地震波 在地壳中传播等。通过求解一维波动方程，可以得到波的传播规律、波动速度 、波动强度等参数。
热传导方程的定解问题
总结词
描述热量在物体中的传递过程。
02
本征值问题概述
本征值问题的定义
本征值问题是指在某个特定算子或矩 阵的作用下，求解特定方程以得到一 组解的问题。这些解被称为本征值和 本征向量。
本征值问题在物理、工程、化学等领 域有着广泛的应用，如量子力学、振 动分析、信号处理等。
本征值问题的分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为离散型和连续型两 类。离散型本征值问题通常涉及到矩阵，而连续型本征值问 题则涉及到微分方程或积分方程。
02
热传导方程
热传导方程也是定解问题的一个例子，它描述了热量在物体中的传递和
分布。同时，热传导方程的本征值问题也具有实际应用，例如在热传导
模式的稳定性分析中。
03
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是描述物理中静电场、稳态热流等问题的定解问题。同时
，它也是一些本征值问题的形式，例如在量子力学中的粒子在势阱中的
运动。
微分算子的本征值问题
总结词
微分算子的本征值问题是一个经典的数学问题，它涉及到微分方程的解和函数的本征值，对于理解函 数的性质和解决实际问题具有重要意义。
详细描述
微分算子的本征值问题主要研究微分方程的解和函数的本征值，即找到一个函数使得该函数是这个微 分方程的解，并且这个函数是这个微分算子的一个特定的值。在解决实际问题时，微分算子的本征值 问题常常用于求解波动方程、热传导方程、薛定谔方程等领域。
定解问题和本征值问题
13
utt a u 0
2 2
u a 2 2 u 0 t
u0
2
2
一般情况 输运 方程
稳定态
u 不随 t 变化 泊松方程
u 2 u f t
2u f /
f 0: u 0
2
拉普拉斯方 程
uf /a
2
u 不随 t 变化
2
泊松方程
(b) 0
C 0 0 D 0
仅有零解
X ( x ) C Dx
C 0 D 0 仅有零解
11
C 0 代入边界条件： Dl 0
X '' X 0 X (0) X (l ) 0
(c ) 0
X ( x) C cos x D sin x
（1）杆的两端温度保持零度； 设 u(x, t) 为杆 （2）杆的两端均绝热； （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。 的温度函数
三种情况下的边界条件分别为：
（1） u x0 0, u xl 0
u u （2） 0, 0 x x 0 x x l
（3） u x 0 u u 0, 0或 0, u x l 0 x x l x x 0
u(r , t ) |t 0 (r )
波动方程：
初始分布
u(r , t ) |t 0 ( r ) u(r , t ) (r ) t t 0
初始位移分布 初始速度分布
第二章定解问题
（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
微分方程定解问题的基本概念
微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。
微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。
微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。
二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。
定解问题可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。
初值问题通常用初值问题解法求解。
边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。
边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。
三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。
例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。
例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。
例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。
2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。
3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。
偏微分方程定解问题
05 偏微分方程的数值解法
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过 在离散点上逼近微分算子，将微分方程转化为离散的差分方程
组。
02
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区 域。
03
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较 低。
有限元法
有限元法是一种将偏微分方程转化为有限元方程的方法，通过将连续的求解区域离散化 为有限个小的子区域（即有限元），将微分方程转化为离散的有限元方程组。
弦或梁的振动模式。
Fisher方程的初值问题
总结词
Fisher方程描述了生物种群的增长或扩散过程，其初值问题涉及到种群在初始时刻的状 态。
详细描述
Fisher方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = frac{partial^2 u}{partial x^2} + cu$，其中 $u$ 是种群密度，$t$ 是时间，$x$ 是空间位置，$c$ 是种群扩散系数。 初值问题通常包括初始条件（如 $u(x,0) = f(x)$），其中 $f(x)$ 表示种群在初始时刻
混合问题
同时给定初始条件和边界条件，求解偏微分方程在整个定义域内的解。
定解问题的求解方法
分离变量法
将多维偏微分方程转化为多个一维常微分方程，通过求解 这些常微分方程得到原方程的解。
有限差分法
将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代求解差分方程得 到原方程的近似解。
有限元方法
将偏微分方程的定义域划分为有限个小的子域（即有限元 ），在每个子域上构造近似函数，通过求解这些近似函数 的线性方程组得到原方程的近似解。
分类
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
微分方程定解问题解析
微分方程定解问题解析微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的很多现象和规律。
在微分方程中，定解问题是一个常见的研究对象，它要求在给定的边界条件下，找到满足微分方程的特解。
本文将对微分方程定解问题进行详细解析，并讨论求解定解问题的一些常见方法和技巧。
1.微分方程的类型微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中，未知函数只依赖于一个变量，而偏微分方程中，未知函数依赖于多个变量。
2.定解问题的定义定解问题是给定一个微分方程和一组边界条件，要求找到满足这些条件的特解。
边界条件可以是函数在某个点上的给定值，或者是函数的导数在某个点上的给定值。
3.常见的定解问题类型常见的定解问题类型包括：3.1. 初值问题：在微分方程中给定函数在某点上的值，求解满足该条件的特解。
3.2. 边值问题：在微分方程中给定函数在多个点上的值，求解满足这些条件的特解。
3.3. 自由边值问题：在微分方程中给定函数在某些点上的值，以及函数的导数在另外一些点上的值，求解满足这些条件的特解。
4.求解定解问题的方法求解定解问题的方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
4.1. 分离变量法：对包含未知函数及其导数的微分方程两边进行适当的变换，将未知函数和其导数分离到方程的两边，最后通过积分得到解。
4.2. 线性微分方程方法：对于一阶线性微分方程，可以通过乘以适当的积分因子，将其转化为可积的形式，并求解。
4.3. 变量替换法：通过对未知函数和自变量的合适替换，将原微分方程转化为更简单的形式，再进行求解。
4.4. 数值方法：对于复杂的微分方程，常常无法通过解析方法求解，此时可以利用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，来近似求解微分方程。
5.案例分析为了更好地理解微分方程定解问题的解析过程，考虑一个具体的例子。
假设有一个一阶常微分方程：dy/dx = x，边界条件为y(0) = 1。
首先，我们可以使用分离变量法，将方程变形为 dy = xdx。
第一讲定解问题
第一讲：定解问题随着科学技术的不断发展和深入，越来越多的问题得以被解决。
然而，即使是现代科学也不能解决所有的问题。
有些问题，尤其是在数学和物理学领域中，是无法通过直接计算或实验解决的，而需要通过求解问题的定解问题才能得出答案。
本文将介绍定解问题的概念、意义、性质以及解决方法。
一、定解问题的概念定解问题是指确定一组条件，使得某一数学模型或物理问题的解唯一存在的问题。
一般来说，一个数学模型或物理问题会有多种解法，即使这些解法在最终结论上是等价的。
解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
二、定解问题的意义1、确保答案的正确性解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
这可以确保问题的答案是正确的。
在一些实际应用中，问题的解法必须是唯一的，才能得到正确的结果。
2、简化问题的解决解决定解问题可以简化问题的解决。
在问题的解法唯一的情况下，我们只需要根据给定的条件寻找问题的解，而不需要试错或者对所有可能的解进行验证。
这样可以节省时间和精力，提高问题的解决效率。
3、研究模型的性质定解问题的解决还可以帮助我们研究模型的性质。
通过分析模型的条件和解，我们可以更好地理解模型的规律和本质，根据这些规律和本质，我们可以推广模型，让它适用于其他应用领域或者更为复杂的问题。
三、定解问题的性质定解问题需要满足一定的性质，才能确保问题有唯一解。
以下是定解问题的几个基本性质：1、解的存在性定解问题必须存在解。
也就是说，通过给定的条件，我们必须能够找到至少一组符合条件的解。
2、解的唯一性定解问题的解必须是唯一的。
也就是说，通过给定的条件，我们只能得到一组解，而不能得到多个或者任意个解。
3、解的光滑性定解问题的解必须是光滑的。
也就是说，解在给定域上可以连续且具有光滑性质。
这个性质可以保证解在求导或者积分的过程中不会出现矛盾或无限大的情况。
四、解决定解问题的方法1、分离变量法分离变量法是定解问题中常用的解决方法。
数学物理方法 第7章 定解问题
2
2
T
，
f ( x, y, t )
1
F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )
这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
数理方法-第一讲-定解问题
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
定解问题讲解
Mathematical Methods for Physics第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。
－牛顿中心：将物理问题翻译成数学语言 目的:1、如何用数理方程研究物理问题2、如何导出方程3、能正确写出定解问题§ 6.1 引言Introduction第六章 定解问题Mathematical Problem1、数学物理方程概念：数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。
数学物理方程 ♣ 线性方程♦♥ 非线性方程一、数理方程简介：§ 6.1 引言一、数理方程简介§ 6.1 引言ttu =a2⊗u +fut=D⊗u +f2、数理方程的产生和发展：(1)十八世纪初期(2)十九世纪中期三类数学物理方程：波动方程u -波动，a-波速，f-与源有关的函数输运方程u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量泊松方程h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量+fxx2Taylor ：utt=a u⊗u =-h一、数理方程简介：§ 6.1 引言a u2、数理方程的产生和发展：(3)十九世纪末到二十世纪初高阶方程（梁的横振动）：utt= 2xxxxf ( x, t )非线性方程KdV：ut+σuux+uxxx= 0∂ψh2schro&-dinger：i h∂t=-Δψ2μ+U(r)ψ+1、写出定解问题♣ 泛定方程：数理方程(一般规律)♦♥ 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)如：y '(t) - 4 y = 0♣y ' -4y = 0 －泛定方程♠y(0) = 0 ↔ y = C e 2t+ C e -2t♦ ← －定解条件 12－通解♠♥y '( 0) = 4↑♦1、写出定解问题2、求解：求解方法: 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 ♣ 物理意义3、分析解答：♠♠ ♣存在 ♠♥ 适定性 ♦唯一♠♥稳定数学物理方法物理（内容）桥梁数学（成果）、数理方法的特点三 § 6.1 引言。
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2元二阶线性微分方程的分类
一般形式：
判断：
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+ d2uy + e u = f(x,y)
特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0
auxx 2auxy auyy cu y 0 uxx yuxy 2ux 6u y 0
utt
(r ,
t)
Tu
utt
(r ,
t)
a
2u
稳定场方程
概念
产生：
• 在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对 应的方程称为稳定场方程。
形式：
• 在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。
分类
无外界作用情况
• 拉普拉斯方程： Δu = utt + uyy + uzz = 0
二阶方程：uxy = 0
• 对y偏积分： ux = C(x) • 通解： u = ∫C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y)
达朗贝尔公式的推导
定解问题 通解 特解 意义
utt u
a2uxx 0,
|t0 (x),
x
ut |t0 (x)
定义：
根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同 类别
作用：
使大量繁杂的材料系统化和条理化，以便揭示对象间的相 互关系，探索内在规律，便于理解、应用和记忆。
方法：
比较是分类的前提和基础， 分类是比较的深化和结果
步骤：
进行比较，建立标准，分门别类，逐步细化。
[T (x) u ]
x
x
波动方程
推广3
情况：均匀杆的纵振动问题
分析：张力T变成杨氏模量Y
方程： ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广4
情况：三维情况
分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程：
utt (x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
有外界作用情况
• 泊松方程：Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
数学物理方程的分类
科学分类方法 泛定方程的一般分类 2元二阶线性微分方程的分类 叠加原理
科学分类方法
u|t=0 = hx/c，
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
• 初始速度
• 处于静止状态： ut|t=0 = 0 • 在c点受冲量I： ut|t=0 = I δ(x-c)/ρ
边界条件
意义
反映特定环境对系统的影响
分类
按条件中未知函数及其导数的次数分：
• 线性边界条件和非线性边界条件；
cdm。设杆中的热流沿x轴正向， q(x,t) = -k ux(x,t)
强度为q(x,t)，温度分布为
代入前面的式子，得到
u(x,t)，则
c ρut = k uxx ut = a2 uxx
输运方程
推广1
情况：内部有热源(或侧面不绝热)
分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt
方程 u”(x) = 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
由此可归纳出
n 阶常微分方程的通解含有n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加n个条件。
初始条件
意义
反映系统的特定历史
分类
初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示。
一维热传导
• 恒温端 u |x=0 = a • 绝热端 ux|x=0 = 0 • 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题
定解问题的组成
泛定方程：反映同一类现象的普遍性； 定解条件：描述具体对象的特殊性。
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)
• 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
典型例子
一维热传导
• 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件
• 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b • u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
一维弦振动
• 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件
• 初始位移
• 处于平衡位置： u|t=0 = 0 • 两端固定，在c点拉开距离h：
边值问题
• 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）
• 第一边值问题(Dirichlet Problem) • 第二边值问题(Neumann Problem) • 第三边值问题(Robin Problem)
混合问题
• 同时有边界条件和初始条件。
定解问题
定解问题的适定性
适定性的意义
数学物理方法
第七章 数学物理定解问题
数学物理定解问题
数学物理方程的导出 数学物理方程的分类 定解条件 达朗贝尔公式 本章小结
数学物理方程的导出
输运方程
一维热传导方程 推广
波动方程
均匀弦的微小横振动方程 推广
稳定场方程
输运方程
一维热传导
问题：一根长为L的均匀导热细杆， 由能量守恒定律
两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的 解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。
定解问题
问题的提出 定解条件
初始条件 边界条件
定解问题
初值问题 边值问题 混合问题
定解问题的提出
方程 u’(t) = 0
能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
(Hale Waihona Puke ) g(x)1 a
(s)ds
由此解得：
f
(x)
1 2
( x)
1 2a
g( x)
1 2
(
x)
1 2a
x
(s)ds
x
(s)ds
x at
代入通解得：u( x)
1 2
[ ( x
at)
(x
at)]
1 2a
(s)ds
x at
达朗贝尔公式的推导 意义
utt
a
u |t0
2u e
xx x2
,
0, ut
线性边界条件中
• 按给出的是函数值或导数值分：
• 第一、二、三类边界条件；
• 按所给数值是否为零分：
• 齐次边界条件和非齐次边界条件。
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
• 固定端 u |x=0 =0 • 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
• 固定端 u |x=0 = 0 • 自由端 ux|x=0 = 0 • 受力端 ux|x=0 = F/YS
判别式
= b2 － 4ac
uxx 2uxy 5u y sin y
分类 > 0 为双曲型，如波动方程； uxx 2uxy xu yy 0
= 0 为抛物线型，如热传导方
程；
uxx 3uxy 2u yy sin u
< 0 为椭圆型，如稳定场方程。
方程：c ρut = k uxx+ F
ut = a2 uxx+ f，f=F/(c ρ)
推广2
情况：细杆不均匀
分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的函数
方程：
c( x) ( x)ut
[k(x) u ]
x
x
输运方程
推广3
情况：扩散问题
分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数k，质量守 恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t) 于是有
u(x,t)，则
T2 =T1 =T
dmutt=T[ux(x+dx,t)- ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
波动方程
一般分类
按自变量的个数，分为二元 和多元方程；
按未知函数及其导数的幂次， 分为线性微分方程和非线性 微分方程；
按方程中未知函数导数的最 高阶数，分为一阶、二阶和 高阶微分方程。
线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数 是否变化分为常系数和变系 数微分方程
按自由项是否为零分为齐次 方程和非齐次方程
波动方程
均匀弦的微小横振动
由牛顿第二定律
问题：一根长为L的均匀弹性弦，不 dmutt=T2sinα2- T1sinα1 计 密重度力为ρ，。不求受弦外的力微。小其横张振力动为的T规，律线。微振0 动= 条T2件cosα2- T1 cosα1
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上 从x到x+dx的一段(代表)，其质量为 dm= ρdx。设弦的横振动位移为
对偏积分得：u f1( )