K字图形中的相似三角形
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题【原创实用版】目录1.题目背景及要求2.K 字形三角形的定义和性质3.相似三角形的判定方法4.K 字形三角形相似的例题解析5.总结与拓展正文1.题目背景及要求在解决数学问题时，我们经常会遇到一些形状特殊的图形，如 K 字形三角形。
这类题目在初中、高中数学题中比较常见，要求学生掌握一定的解题技巧和方法。
本篇文章主要针对 K 字形三角形的相似问题进行探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一类型的题目。
2.K 字形三角形的定义和性质K 字形三角形是指三角形中有两条边相等，且这两条边所在的直线互相垂直。
它具有以下性质：（1）K 字形三角形的两个底角相等；（2）K 字形三角形的两个斜边互相垂直；（3）K 字形三角形的面积可以通过底边和高来计算。
3.相似三角形的判定方法要解决 K 字形三角形相似问题，首先要了解相似三角形的判定方法。
相似三角形的判定方法有以下几种：（1）AA 相似定理：两个角相等，则两个三角形相似；（2）SAS 相似定理：两边和夹角分别相等，则两个三角形相似；（3）SSS 相似定理：三边分别相等，则两个三角形相似。
4.K 字形三角形相似的例题解析例题：如图，在三角形 ABC 中，AB=AC，BD=DC，且∠BDA=90°。
求证：三角形 ABD 与三角形 CBD 相似。
解析：根据题目条件，我们可以得到两个相等的角（∠ADB=∠CDB）和一个相等的边（BD）。
因此，根据 AA 相似定理，我们可以得出三角形 ABD 与三角形 CBD 相似。
5.总结与拓展在解决 K 字形三角形相似问题时，我们要灵活运用相似三角形的判定方法，注意观察题目中给出的条件，寻找相等的角和边。
同时，多做一些类似的例题，提高自己的解题能力和技巧。
K字型复习
“K”字型复习（三等角型相似三角形）引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
课前演练：1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFE3.（2012•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）．连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．精选例题：例1.（2015•贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）例2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．当堂巩固：练习1:.（2012秋•洛江区期末）如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．（1）求证：△BDE∽△CEA；（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．2.（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.课后巩固练习：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
相似三角形复习2—K字型
G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题一道关于图形相似的题目，要求判断两个三角形是否相似。
在这里，我们可以通过计算各个角度和比较边长比例来判断。
首先，我们需要知道K字形三角形的特征：
1. 两个直角三角形（其中一个角为90度，另外两个角分别为45度和4 5度）；
2. 两个直角三角形的斜边长度相等；
3. 两个直角三角形的直角边长度比例为1:√2。
现在，假设我们有两个K字形三角形，分别为△ABC和△DEF，我们需要判断它们是否相似。
步骤1：计算各个角度
- 计算△ABC的各个角度：∠A、∠B、∠C
- 计算△DEF的各个角度：∠D、∠E、∠F
步骤2：计算边长比例
- 计算△ABC的边长比例：AB/BC、BC/AC
- 计算△DEF的边长比例：DE/DF、DF/DE
步骤3：比较角度和边长比例
- 比较∠A和∠D是否相等，如果相等，继续比较∠B和∠E是否相等，以及∠C和∠F是否相等；
- 比较边长比例：如果AB/BC = DE/DF 且BC/AC = DF/DE，则可以判断两个三角形相似。
注意事项：
- 如果题目给出的三角形不是K字形，请先判断是否符合K字形三角形的特征；
- 在计算角度和边长比例时，请确保精度，以便更准确地判断相似性；
- 在比较角度和边长比例时，请仔细观察每个条件是否满足，从而得出最终结论。
中考数学专题之“一线三角”(K型图)证相似
初中数学，一线三角图（ K 型图）在几何中具有相当重要的位置，常用来证明三 角形全等或者相似，善于构造 K 型图有利于解决几何问题，我们先来看下 K 型 图解决相似三角形的题目。
基本模型图（三垂直）2.从特殊到一般3.相似中K 型图常见形态（A字型、8 字型）例题1：已知△ABC 中AB=AC、BC=8，D是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E，AC 边上有一点F，使∠ EDF= ∠ C. 已知BD=6 、BE=4，求CF的长。
分析：这是一道典型的K 型图，已知∠ EDF= ∠C=∠B，从而可以得到△BDE∽△CFD例题2：如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P 为线段OC 上一点，且PA⊥ PB．求点P 的坐标。
分析：这是三垂直模型图（∠ AOP= ∠AOB= ∠BCP=9°0 ），我们很快可以得到△AOC 与△BCP 相似例题 3：已知矩形 ABCD 中， CD=2 ，AD=3 ，点 P 是 AD 上的一个动点，且和 点 A ，D 不重合，过点 P 作 PE ⊥CP ，交边 AB 于点 E ，设 PD=x ，AE=y ，求 y y 的最大值。
解析：由图可知：∠ A=∠EPC= ∠D=90°，是三垂直模型，可以得到 △EAP ∽△ PDC ，通过比例式得到 x 与 y 的函数关系式，进而求出 y的最大值Zi-1•等∣∣fΔJkBC l AB=AC= 8 , ZDAC=I20°F P为BC的中点，小9>⅜含30：角的透明三角板，便抄角的顶点落在点P,三角板级P点旋無•（L）如图L当三角板的两边分別交AB ∙ AC于点EP时.束证？ABPE^∆CFPJC2）揉仕箝三角板境点PfiH刚囹b惜形叭三超板的两边分别交BA的延长线、边Ae于点E、F.G）搽究Iz ABPE与ZXFP还相似吧？（只需写比结论）©持究2:连结EF, ∆BPE ⅛∆PFE g否相似？请说明環由d® IS EF=ιt, ∆EPF的面枳为S,试用氏的代数式未示S∙rSbS□①求证：ZkOCPSAPDA;②若AOCP与ZXPDA的面枳比为U 4,求边AB州Q（2）若圄1中的点P恰好罡CD边的中点丿求/OAB的度数；<3>如凰2,在⑴条件下，揀去折痕込线段申连结叭动点Jl在纟網AP上〈点M与点P. A 不重合》,动点“在线段AB的延冷虹，且盼PIv送结加交PB于点巧作KElBP于点匚试问当点讥H在移动过程中，线段EF的*度是否发主超匕？若鸡匕说明理由丿若不氐求出线段EF的≡.Zl-4阅渎理解:如團Ii 在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E ｛点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC, 可以把四边形APCD 分成三个三角形，如果Rd 有两个三角形相似啟们我把E 叫做四边形ABCP 的边AB 上的“相攸点” > 如杲这三个三角形訓目饥 我们蒯巴E 叫傲四边形ABCD 的边AB 上 的“强«似点"・〈】〉扣图b ZA=ZB=ZPEC=45d ,试判浙点E 罡否定囚边形ΛK D 的边AE 上的相似駄 并说 明理由,（2） 如因2,在矩形ABS P A∙ B. C 、D 四点均在正万形网榕（网格中毎个小正万形的边长为 1>的林点〈卬厨个小正方形的顶点）上，试衽图2中画出矩形ABCD 的边AB 上泪相似点； （3） 如图3,砌返形ABCD 沿CM 折崑 使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好定四边形 Δ≡的边AB 上的T 、窗出忙包・试抹究AB 与DC 的刘蚩关系3己知正方形ABcD 的边长为码 T 以点A 为顶点前笳。
专题14 全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角条件：A CED B∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,⇒≅∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACEA B C BED异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED∠=∠=∠+任意一边相等证明思路：,⇒≅∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACEA B C BED例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕点B逆（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN ⊥于点E ，过点D 作DF MN ⊥于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，60ADE ∠=︒，若4BD DC =， 2.4DE =，则AD 的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2A ．3B ．5C ．2D ．1例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．边的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BECE 的值．B和射线例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 上的两点，连接则DE CF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD 中，7AD =，4CD =，E 是AD 上的一点，连接CE ，BD ，若课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中()0,4A 、()6,0C ，BC x ⊥轴，存在第一象限的一点(),25P a a -使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ．()3,1或()3,3B ．()5,5C ．()3,1或()5,5D ．()3,3A ．()9,3B ．()9,23＝5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB ＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．为边的运动过程中，△CEF面积的最小值是．9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC ，若测得斜边AB 的两端点到桌面的距离分别为AD ，BE ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若10DE =，7AD =，求BE 的长．10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ∠=∠=∠，AC CE =，AB CD ⊥于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE =，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN ⊥于点M ，BN MN ⊥于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ∠=︒，求证：AM BN MN +=．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ==，90CAD ∠=︒，8AB =，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB =，QA QB ⊥，AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()3,0-，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ∠=︒，4OA AB ==，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．的两个等腰直角三角形，∠N(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当90∠=︒时，求证：AEF DCEFEC△△；∽18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．BC=．点E是线段AD上的动点（点E不20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．与点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题相似三角形是指具有相同形状但大小不一定相同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一个重要的研究对象。
本文将介绍K字形三角形相似的性质、判定方法及其应用。
一、相似三角形的概念及判定条件相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
判定两个三角形相似的条件有：1.两个三角形有两个对应角相等；2.两个三角形的对应边长成比例。
二、K字形三角形相似的性质K字形三角形是指由两个相似三角形组成，其中一个三角形的顶点在另一个三角形的内部。
K字形三角形具有以下性质：1.K字形三角形的两个相似三角形必为全等三角形；2.K字形三角形的相似比为1：1；3.K字形三角形的中心角平分线、角平分线、高、中线、边心距等线段相等。
三、K字形三角形相似的判定方法1.判断两个三角形是否具有相同的形状，即判断它们的对应角是否相等；2.判断两个三角形的边长是否成比例，即判断它们的对应边长是否成比例；3.利用相似比，判断两个三角形是否满足K字形三角形的性质。
四、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有许多应用，如建筑、制图、测量等领域。
通过相似三角形的性质，可以解决一些实际问题，如求解比例、计算距离等。
五、例题解析下面通过一个具体的例子来说明K字形三角形相似的判定过程。
题目：已知三角形ABC和三角形DEF相似，求证：三角形AGF与三角形BHD相似。
证明：1.由于三角形ABC和三角形DEF相似，故有∠ABC = ∠DEF，AB/DE = BC/EF；2.∠AGF = ∠ABC，∠BHD = ∠DEF，故有∠AGF = ∠BHD；3.由于AB/DE = BC/EF，故有AF/BD = AG/BE = FC/BD；4.故三角形AGF与三角形BHD相似。
综上所述，K字形三角形相似的性质、判定方法及应用已为大家讲解清楚。
在解决实际问题时，要学会运用相似三角形的知识，灵活处理问题。
相似三角形的基本模型——“K”字型
相似三 角形 的基本模型
葛 浩 亮
“ Ｋ ＂ 字型
一
、
剖 析 中考题
塔 位 于 点Ａ（ ４ ０ ０， ３ ０ ０ ） ， 从 古 塔 出发 沿 射 线 Ｏ Ａ方 向前 行 ３ ０ ０ ｍ是 盆 景 园曰， 从 盆景 园 向 左４ ￣ － ９ ０ 。 后 直行 ４ ０ ０ ｍ到 达梅 花 阁Ｃ， 则 点
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戈 轴， ． ． ． ＬＢ ＥＯ ＋ Ｌ∞ ＝ １ ８ Ｏ 。 ，
Ｃ船 ＝９ ０。． ． ‘ ． Ｃ船 ＝ ＥＤ ，
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边 长 为６ ｃ ｍ的 等 边 三 角形 ， 动． ｓ ． ｐ、 Ｑ同
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【 思路分析 】 核心条件１ ： Ｂ ， Ｄ ， ｃ 三点共线 ； 核心条件２ ： ＬＢ ＝ ＬＥ ＤＦ ＝ Ｃ ＝ ． 基 本 图形 ２ 是“ Ｋ” 字 型 相 似 问 题 的 一 般模 型 ， 同样 是 要 发 现 “ 三 点一线” （ ， Ｃ， Ｄ 三点共 线 ） ， “ 三 角相 等 ” （ Ｂ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｄ Ｆ＝
因 为 ＝ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ ÷ ５ ：
所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｖ ， Ａ Ａ Ｄ Ｅ ， 相似比 ＝ ÷，
根据题 意 ， 得｛ Ｙ ５
解 决 ．方 程 思 维 方 式 在 数 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 ，在 数 学 解 题 中 所 占 的 比 例 较 大， 综合性广 ， 题型多 ， 应用灵 活 ， 特别是在 利 用 三 角 形 的 相 似 进 行 有 关 的计 算 时 ， 我
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题相似三角形是指具有相同形状但大小不一定相同的三角形。
在几何学中，判定两个三角形相似的方法有很多，其中一种常见的方法是利用角度相等和比例相等这两个条件。
而K字形三角形是指在一个三角形中，有两个角度分别为90度和非90度角，形状类似于字母K。
首先，我们来了解一下K字形三角形的特点。
K字形三角形的一个角度是90度，另外两个角度的和也为90度。
根据这个特点，我们可以将其分为两个直角三角形。
而直角三角形相似的条件是：两个直角三角形的对应角度相等，对应边的比例相等。
那么，如何判定K字形三角形相似呢？我们可以利用相似三角形的判定条件，即AA（角-角-相似）和SAS（边-角-边相似）。
首先，判断两个K字形三角形的对应角度是否相等，如果相等，再判断它们的对应边是否成比例。
如果满足这两个条件，那么这两个K字形三角形就是相似的。
相似三角形在实际生活中的应用非常广泛，例如建筑、制图、测量等领域。
以制图为例，当我们需要绘制一个复杂的图形时，可以通过将已知的相似三角形进行组合来实现。
这时，我们就需要掌握相似三角形的判定方法和应用技巧。
下面我们来看一个例题解析。
题目：已知两个K字形三角形，其中一个直角三角形的直角边长分别为3和4，另一个直角三角形的直角边长分别为6和8，求这两个K字形三角形是否相似。
解：首先，我们可以计算出两个直角三角形的斜边长分别为5和10。
然后，我们可以发现两个三角形的直角边长之比为3:6，即1:2。
同时，两个三角形的斜边长之比也为1:2。
根据相似三角形的判定条件，我们可以得出这两个K 字形三角形是相似的。
综上所述，掌握相似三角形的判定方法和应用技巧对于解决实际问题具有重要意义。
在解决类似问题时，我们可以先分析三角形的形状和角度，然后利用相似三角形的判定条件进行判断，最后得出结论。
相似三角形的证明——K字型相似教案
课题：相似三角形的证明---- K型相似（教案）学校：茶陵思源实验学校教师姓名：段中明教学目标：1、通过习题引入，了解“ K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；2、利用“ K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“ K型图”相似解题的特点与经验。
教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征一一“ K型”；2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“ K型”图形；3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
学情分析：学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如“A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。
结合中考试题探究“ K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。
教学过程：一、课前寄语：学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！二、复习与回顾：1. 相似三角形的判定3条定理；2. 相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型……3. 图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。
三、新课讲解：（一）.呈现学习目标：（1）.能利用k形图证明三角形相似；（2）.能构造k形图解决相关问题（3）.体会分类讨论”的数学思想（二）.轻松一刻：（突出快乐学习）同学们，这幅画美吗看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗对，是《小池》。
它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。
今天我们边欣赏古诗边学习新课。
下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。
（三）•例题探究：1. 如图，在矩形ABCD中，E在AD 上, EF丄BE，交CD于F，连结BF,已知AE=4,ED=2 AB=3 贝U DF= _______2. 在等边△ ABC中，D 为BC 边上一点,E为AC 边上一点，且/ ADE=60° ,BD=2,CE=1,则厶ABC的边长为 _______________ .A EB 4•如图，已知直线11 // 12// 13 // 14 // 15 // 16，如果正方形 ABCD 的四个顶点在平行直线上相邻 两条平行直线间的距离相等且为 1，AB 与14交于点G.(1)求正方形的面积；(2)求CG 的长课堂练习:1.如图，折叠矩形的一边 AD ，点D 落在BC 边上的点F 处，已知 AB=8cm, AD=10cm ，3•如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是边AB 上的动点,(1)若 DE 丄 EF ，求证：△ ADE ^A BEF ;⑵若BF=1,当厶ADE 与厶BEF 相似时，求AE 的长。
相似三角形——“K字型”相似模型
相似三角形——“K 字型”相似模型教学目标：1、理解“K 型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，2、利用“K 型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题；教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“K 型”；2、在非“K 型”图形中画辅助线，得到“K 型”图形；3、在“K 型”图的两个三角形中，探索其相似条件。
教学过程：一、前测练习1.如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连结BF ，则∆ ∽∆2.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°, 则∆ ∽∆二、模型探究课前完成填空，上课请学生回答答案，根据答案回答以下问题：问题1判定这两个三角形相似的依据是什么？学生答：两个角对应相等的两个三角形相似。
问题2图中已知角有什么共同特征？学生答：图1中顶点共线三角都是直角，图2中顶点共线三角都是60°。
问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°，对应两个三角形还相似吗？图形演示，提问：此时这两个三角形相似吗？请同学们自己画图并证明。
请学生叙此时述证明过程：已知： n C ADE B =∠=∠=∠求证：ABD ∆∽DEC ∆证明： n B =∠n ADB BAD -=∠+∠∴180 AB D En ADE =∠n ADB CDE -=∠+∠∴180CDE BAD ∠=∠∴C B ∠=∠ABD ∆∴∽DEC ∆（或者依据外角等于不相邻的两内角之和）展示学生书写，教师分析，该同学找出的两三角形相似的第一个条件是（C B ∠=∠）第二个条件是（CDE BAD ∠=∠），他是怎么证明这两个角相等呢？方法1、外角等于不相邻的两内角之和；方法2、三角形的内角和等于平角求解，都可行。
问题4若保持共线三等角的度数不变，改变边的长度，对应两个三角形还相似吗？学生答：相似。
因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
中考数学难点突破与经典模型精讲练相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版)
专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型【模型展示】如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.CA222“三垂直”模型如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.“一线三等角”模型如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.【题型演练】一、单选题1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（）A．163B．4C．3D．2【答案】C【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明∠ABF∠∠DAE，可得AF DEAB AD=，即可求解．【详解】解：∠矩形ABCD，∠∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8∠∠BAG+∠DAE=90°∠折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，∠BF垂直平分AG∠∠ABF+∠BAG=90°∠∠DAE=∠ABF，∠∠ABF∠∠DAE∠AF ABDE AD=即648AF=解之：AF=3．故答案为：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2．如图，边长为10的等边ABC中，点D在边AC上，且3AD=，将含30°角的直角三角板（30F∠=︒）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q．连接PQ，当//EF PQ 时，DQ长为（）A．6B C．10D．【答案】B【分析】过点Q作QK AC⊥于K，根据等边三角形，和含30︒角的直角三角形，易证得ADP BPQ∽△△，从而求得线段BP，AP，BQ，CQ，CK，QK，DK的长度，最后在Rt DQK△中利用勾股定理可以求得DQ 的长度．【详解】解：过点Q 作QK AC ⊥于K ，在等边ABC 中，60∠=∠=∠=︒A B C ，10AB BC AC ， 在Rt EFD 中，60E ∠=︒，30F ∠=︒，∠//EF PQ ，∠60DPQ ∠=︒，30DQP ∠=︒，∠APD ADP APD QPB ∠+∠=∠+∠，∠ADP QPB ∠=∠，又∠∠A =∠B =60°，∠ADP BPQ ∽△△， ∠AD AP PD BP BQ QP==， ∠在Rt PQD △中，30DQP ∠=︒， ∠12PD QP =， 即12PD QP =， ∠12AD AP PD BP BQ QP ===， ∠3AD =， ∠312BP =， ∠6BP =，已知10AB =∠1064AP AB BP =-=-=， ∠412BQ =， ∠8BQ =，∠1082CQ BC BQ =-=-=，在Rt CQK △中，60C ∠=︒，∠30KQC ∠=︒， ∠2122CQ KC ===， ∠DK AC AD KC =--，∠10316DK =--=，而sin KQ C CQ ∠=,∠sin 602KQ ︒==∠KQ =在Rt DQK △中，DQ∠DQ =即DQ =故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan∠AEB 43=，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当APD '△是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°，根据勾股定理求得AE ，当∠APD '是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；【详解】∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ，∠B ＝90°，∠CD ＝4，tan∠AEB 43=，∠BE ＝3，在Rt ∠ABE 中，AE 5=，∠E 是BC 的中点，∠AD ＝6，由折叠可知，PD ＝PD '，设PD ＝x ，则PD '＝x ，AP ＝6﹣x ，当∠APD '是直角三角形时，∠当∠AD 'P ＝90°时，∠∠AD 'P ＝∠B ＝90°，∠AD ∠BC ，∠∠P AD '＝∠AEB ，∠∠ABE ∠∠PD 'A ， ∠AP PD AE AB '=， ∠654x x -=， ∠x 83=， ∠PD 83=； ∠当∠APD '＝90°时，∠∠APD '＝∠B ＝90°，∠∠P AE ＝∠AEB ，∠∠APD '∠∠EBA ， ∠AP PD BE AB '=， ∠634x x -=， ∠x 247=， ∠PD 247=； 综上所述：当∠APD '是直角三角形时，PD 的值为83或247； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．【详解】解：连接EG ，四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，AE DG ∴=，//AE DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AD EG ∴=，矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，∴四边形EHGF 是平行四边形，HF AD EG ==，∴四边形EHGF 是矩形，90EHG ∴∠=︒，90A D ∠=∠=︒，90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEH DHG ∴∠=∠，AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH=，设AH x =，则5DH x =-，122AE DG AB ===， ∴225x x=-， 解得，1x =或4，1AH ∴=或4，当1AH =时，4DH =，则HE =HG∴四边形EFGH 的周长2=⨯=同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．5．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC 则下列结论：∠∠DGA =∠CGF ；∠∠DAG ∠∠CGF ；∠AB =2；∠BE CF ．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【分析】由余角的定义可推出90DGA CGF ∠+∠=︒，并不能说明DGA CGF ∠=∠，说明∠错误；再根据90DAG DGA ∠+∠=︒，可推出DAG CGF ∠=∠，进而可证明DAG CGF ，说明∠正确；连接BD ，由三角形中位线可知12GF BD =DAG CGF 可进一步推出2CF CG CG CF =，即2CF =，即BE =，说明∠正确；在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即可求出CG 长度，即可求出AB=2，说明∠正确．【详解】解：∠90AGF ∠=︒，∠90DGA CGF ∠+∠=︒，∠不能说明DGA CGF ∠=∠，故∠错误．∠90DAG DGA ∠+∠=︒，∠DAG CGF ∠=∠，又∠90ADG GCF ∠=∠=︒∠DAG CGF ，故∠正确．如图连接BD ，由题意可知AC BD =∠G 和F 分别为CD 和BC 的中点，∠12GF BD = ∠DAG CGF ∠AD DG GC CF =，即2CF CG CG CF=，∠CF =在Rt GCF 中，222GF CF CG =+，即222)CG =+, 解得1CG =∠22AB CG ==，故∠正确．∠BE CG =，∠CF BE ，即BE ，故∠正确． 综上正确的有∠∠∠共3个．故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明DAG CGF 是解答本题的关键．6．如图，在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒．连接BD ．下列结论正确的有（ ）个∠4BC =；∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=；∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切； ∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC 可判断∠，利用勾股定理求AC ，BD ，AG ，再用正切锐角三角函数定义求值可判断∠，利用相似三角形判定与性质，可判断∠，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断∠【详解】解：在ABC 中，490,5cm,cos 5C AB B ∠=︒==． 4cos 545BC AB B =⋅=⨯=， 故∠4BC =正确；作AG ∠BD 于G ，在Rt∠ABC 中，3AC =，∠AD =AB =5，AG ∠BD∠CD =AD -AC=5-3=2，DG =BG ，在Rt∠DCB 中，BD =∠DG =BG在Rt∠BGA 中，AG =∠tan 2AG ABD BG ∠===， 故∠当AD AB =时，tan 2ABD ∠=正确；AD =t ，BE =2t ，cos A =35AC AB =， 当2513t =时，2513AD t ==，2550221313BE t ==⨯=， ∠50155251313AE AB BE t =-=-=-=， ∠1531325513AE AD ==， ∠cos A ==AE AC AD AB，∠DAE =∠BAC ， ∠∠ADE ∠∠ABC ，∠∠AED =∠ACB =90°，∠∠DEB =90°，∠DE 与B 相切，故∠以点B 为圆心、BE 为半径画B ，当2513t =时，DE 与B 相切正确；过E 作EH ∠AC 于H ，当CBD ADE ∠=∠时，∠∠EHD =∠DCB =90°，∠∠EHD ∠∠DCB ， ∠HE DH CD CB=， ∠AE =5-2t ，∠AH =()35-25t ，EH =()45-25t ，3CD t =-，6113355HD AD AH t t t =-=-+=-， ∠()4115235534t t t --=-， 整理得211801250t t -+=，因式分解得()()112550t t --=， ∠2511t 或5t =（舍去），故∠当CBD ADE ∠=∠时，2511t正确；正确的结论有4个．故选择D ．【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．二、填空题7．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．【分析】根据 正方形的性质求出5AO BO CO ===，证明EBO EAF ∽△△得到EF AE OE BE =，即可求出答案.【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB =90AOB ∠=︒∴，OA=OB=OC=OD ，∠222OA AB =,∠5AO BO CO ===，AF BE ⊥，EBO EAF ∴∠=∠，EBO EAF ∴∽△△，即EF AE OE BE= 2OE =，5OB OA ==，BE ∴=7AE =，2EF ∴=EF =. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.8．如图，在矩形ABCD 中，9AB =，12BC =，F 是边AD 上一点，连接BF ，将ABF △沿BF 折叠使点A 落在G 点，连接AG 并延长交CD 于点E ，连接GD ．若DEG △是以DG 为腰的等腰三角形，则AF 的长为________．或9 2【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x，证明∠BAF∠∠ADE，推出AB AFDA DE=，可得DE=43x，再证明AM=MD=6，在Rt∠FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM∠AD于M，GN∠CD于N．设AF=x．∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，由翻折的性质可知，AF=FG，BF∠AG，∠∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，∠∠ABF=∠DAE，∠∠BAF=∠ADE=90°，∠∠BAF∠∠ADE，∠AB AF DA DE=，∠912xDE=，∠DE=43x，∠GM∠AD，GN∠CD，∠∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，∠四边形GMDN是矩形，∠GM=DN=EN=23 x，∠GD=GE，∠∠GDE=∠GED，∠∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，∠∠GDA=∠GAD，∠GA =GD =GE ，∠GM ∠DE ，∠AM =MD =6，在Rt ∠FGM 中，则有()222()263x x x =-+，解得x =（舍弃），∠AF ． 如图2中，当DG =DE 时，由翻折的性质可知，BA =BG ，∠∠BAG =∠BGA ，∠DG =FE ，∠∠DGE =∠DEG ，∠AB ∠CD ，∠∠BAE =∠DEG ，∠∠AGB =∠DGE ，∠B ，G ，D 共线，∠BD 15=，BG =BA =9，∠DG =DE =6，∠∠BAF ∠∠ADE ， ∠AF AB DE AD =， ∠9612AF =， ∠AF =92，综上所述，AF 或92．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE 沿直线DE 翻折得到FDE ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．【分析】根据∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，可证∠BDF ∠∠CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ∠AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求DE AF ⋅= 【详解】解：如图，作∠ABC 的高AL ，作∠BDF 的高DH ，∠∠ABC 为等边三角形，∠ADE 与∠FDE 关于DE 成轴对称，∠∠DFE =∠DAE = 60°，AD = DF ，∠∠CFE +∠FEC =∠CFE +∠DFB = 120°，∠∠DFB = ∠CEF ，又∠B =∠C = 60°，∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠BD CF BE CE= ， 即BF CF CE BD ⋅=， 设CF = x (x > 0)，∠BF =4CF ，∠BF = 4x ，∠BD =3， ∠243x CE =， ∠45BC BF CF x x x =+=+=，∠53AD AB BD BC BD DF x =-=-==-，2453x AE EF x ==-， ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠DF BD EF CF=， ∠2533453x x x x -=- 解得：x =2，∠CF =4，∠BC =5x =10，∠在Rt ∠ABL 中，∠B =60°，∠AL =AB∠S △ABC=1102⨯⨯= ∠在Rt ∠BHD 中，BD =3，∠B =60°，∠DH =BDsin60°=3= ∠S △BDF=11822BF DH ⋅=⨯= ∠∠BDF ∠∠CFE ， ∠223924BDF CFE S BD S CF ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∠S△BDF =∠S △CEF ， 又∠AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，∠AD =DF ，∠ADF 为等腰三角形，DE ∠AF ，∠S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF==，∠DE AF⋅=故答案为．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．三、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k使得∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k ∠AEF 与∠BFC 相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD∠=︒，若CE CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝α，可得∠ADP =∠BPC ，即可证到∠ADP ∽∠BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证∠ABD ∽∠DFE ，求出DF =4，再证∠EFC ∽∠DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∠∠DPC =∠A =∠B =90°，∠∠ADP ＋∠APD =90°，∠BPC ＋∠APD = 90°， ∠∠ADP = ∠BPC ，∠∠ADP ∽∠BPC ，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC∴=， ∠AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=， ADE 是等腰直角三角形，DE ∴=， 2AB =4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD∴=， 5EC =4CD DF FC FC =+=+， ()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=， 1FC ∴=，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．12．【感知】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ∠=∠=∠=︒．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图∠，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC ∠=∠=∠．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图∠，在ABC 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ∠=∠，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或203． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明∠ACP ∠∠BPE ，分CP =CE 、PC =PE 、EC =EP 三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∠DPB ∠是APD △的外角，∠DPB A PDA ∠=∠+∠，即DPC CPB A PDA ∠+∠=∠+∠，∠A DPC ∠=∠，∠PDA CPB ∠=∠，又∠A B ∠=∠，∠DAP PBC △△∽， ∠PD AP PC BC=， ∠4PD =，8PC =，6BC =， ∠486AP =， 解得：3AP =；拓展：∠AC =BC ，∠∠CPB 是∠APC 的外角，∠∠CPB =∠A +∠PCA ，即∠CPE +∠EPB =∠A +∠PCA ，∠∠A =∠CPE ，∠∠ACP =∠BPE ，∠∠A =∠B ，∠∠ACP ∠∠BPE ，当CP =CE 时，∠CPE =∠CEP ，∠∠CEP ＞∠B ，∠CPE =∠A =∠B ，∠CP =CE 不成立；当PC =PE 时，∠ACP ∠∠BPE ，则PB =AC =8，∠AP =AB -PB =12-8=4；当EC =EP 时，∠CPE =∠ECP ，∠∠B =∠CPE ，∠∠ECP =∠B ，∠PC =PB ，∠∠ACP ∠∠BPE ， ∠AC AP PC BP BE EP ==， 即8128PB PB PB BE BE-==-， 解得：163PB =， ∠AP =AB -PB =16201233-=， 综上所述：∠CPE 是等腰三角形时，AP 的长为4或203． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1615【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ∠ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得； （2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ∠ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE 中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∠1λ=， ∠1AD AE=， ∠AD AE =，又∠四边形ABCD 是矩形，∠90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∠DAF AEB ∠=∠，∠DF AE ⊥，∠90DFA B ∠=∠=︒，∠在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DFA ∠ABE △，∠AF BE =，∠=AE AD BC =，∠AE AF BC BE -=-，∠CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∠3,4AB AD ==，∠5BD =，∠DF AE ⊥， ∠1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∠341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∠165DF ==， ∠169555BF BD DF =-=-=， ∠//AD BE ， ∠在ADF △和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∠ADF △∠EBF △， ∠AD DF EB BF=， 即164595EB =， ∠94EB =，∠154AE ==， ∠14161554AD AE λ===．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ，点G 在线段EF 上，满足FG∠GE ＝1∠2，设BE ＝x ． （1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在∠ADF 的内部时，用x 的代数式表示∠ADG 的余切；（3）当∠FGD ＝∠AFE 时，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）361x x --；（3． 【分析】（1）根据题意可证明∠DAF ＝∠BAE ，又由于∠ABE ＝∠ADF ＝90°，即证明∠ADF∠∠ABE ，所以AD DF AB BE=． （2）作GH∠CF 于H ，根据题意可求出DF ＝3BE ＝3x ，根据平行线分线段成比例得出13GH FH FG EC FC FE ===，即可列出关于x 的等式，从而得出GH 和FH 的长，即可求出HD 的长，cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD，即可求出结果． （3）作EM//GD 交DC 于点M ，即可知12FD FG DM GE ==，可求出DM ，从而求出CM ，根据图形可证明∠ABE∠∠ECM ，即可得到AB EC BE CM=，即列出关于x 的方程，解出x 即可． 【详解】（1）如图，因为AF∠AE ，∠∠EAF ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°．∠同角的余角相等，∠∠DAF ＝∠BAE ．∠∠ABE ＝∠ADF ＝90°．∠∠ADF∠∠ABE ． ∠AD DF AB BE=．（2）由31DF AD BE AB ==，得DF ＝3BE ＝3x ． 如图，作GH∠CF 于H ，那么GH//BC//AD ． 根据题意结合平行线分线段成比例得：13GH FH FG EC FC FE ===． ∠EC BC BE =-，FC CD DF =+， ∠13313GH FH x x ==-+．即GH ＝1(3)3x -，FH ＝1(31)3x +． 在Rt∠GHD 中，HD ＝DF －FH ＝13(31)3x x -+＝123x -＝1(61)3x -， ∠∠ADG ＝∠DGH ，∠cot∠ADG ＝cot∠DGH ＝GH HD ＝1(3)31(61)3x x --=361x x --．（3）当点G 在∠ADF 内部时，很明显∠FGD 和∠AFE 不相等．所以点G 在∠ADF 外部． 如图，作EM//GD 交DC 于点M ，那么12FD FG DM GE ==． ∠DM ＝6x ，∠MC ＝1－6x ．如果∠FGD ＝∠AFE ，那么AF//GD//EM ．∠∠AEM ＋∠EAF ＝180°．∠∠AEM ＝90°．∠∠ABE∠∠ECM ． ∠AB EC BE CM =．即1316x x x-=-． 整理，得x 2－9x ＋1＝0．解得1x =23x >（不符合题意，舍去）．所以BE【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．15．如图，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 边上的一点，∠APD ＝90°． （1）求证：ABP PCD △△；（2）若BC ＝10，CD ＝3，PD ＝AB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAP CPD ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC 的长，从而可得BP 的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1）90,90B C APD ∠=∠=︒∠=︒，90BAP APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=∴︒，BAP CPD ∴∠=∠，在ABP 和PCD 中，BAP CPD B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABP PCD ~∴；（2）在Rt PCD 中，3,CD PD ==6PC ∴，10BC =，4PB BC PC ∴=-=，由（1）已证：ABP PCD △△，AB PB PC CD ∴=，即463AB =， 解得8AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ，若∠AFG ＝∠ACD ．（1）求证：∠∠MFC ∠∠MCA ；∠若AB ＝5，AC ＝8，求CF BE的值． （2）若DM ＝CM ＝2，AD ＝3，请直接写出EF 长．【答案】（1）∠见解析；∠FC EB ＝85；（2）EF 【分析】（1）∠根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．∠证明∠AEF∠∠ABC ，推出AF AC ＝AE AB ，推出AF AE ＝AC AB，推出∠FAC∠∠EAB ，可得结论． （2）利用勾股定理求出AM ，AC ，由MFC∠∠MCA ，推出CM AM ＝FM CM ，求出MF ，AF ，由∠AEF∠∠ABC ，推出EF BC ＝AF AC ，可得结论． 【详解】（1）∠证明：∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠FCA +∠F AC ＝∠FCA +∠MCF ，∠∠F AC ＝∠MCF ，∠∠FMC ＝∠CMA ，∠∠MFC ∠∠MCA ．∠解：∠四边形AEFG ，四边形ABCD 都是矩形，∠FG ∠AE ，CD ∠AB ，∠∠AFG ＝∠F AE ，∠ACD ＝∠CAB ，∠∠AFG ＝∠ACD ，∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠AEF ＝∠ABC ＝90°，∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠AF AC ＝AE AB ， ∠AF AE ＝AC AB， ∠∠F AE ＝∠CAB ，∠∠F AC ＝∠EAB ，∠∠F AC ∠∠EAB ， ∠FC EB ＝AC AB ＝85． （2）解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠D ＝90°，AD ＝BC ＝3，∠DM ＝MC ＝2，AD ＝3，∠CD ＝4，AM AC 5， ∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM AM ＝FM CM，∠FM ＝2CM AM∠AF ＝AM ﹣FM ∠∠AEF ∠∠ABC ， ∠EF BC ＝AF AC ，∠3EF ＝135，∠EF【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABEEBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点E 为AD 的中点．理由见解析【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE =∠DEF ，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出AB AB DE AE=，即可得出DE =AE ． 【详解】（1）证明∠四边形ABCD 是正方形，∠∠A =∠D =90°，∠∠AEB +∠ABE =90°，∠EF ∠BE ，∠∠AEB +∠DEF =90°，∠∠ABE =∠DEF ．在∠ABE 和∠DEF 中， ABE DEF A D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∠∠ABE ∠∠DEF ；（2）∠∠ABE ∠∠DEF ， ∠AB BE DE EF=， ∠∠ABE ∠∠EBF ，∠AB BE AE EF=，∠AB AB DE AE=，∠DE=AE，∠点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．18．如图，正方形ABCDP是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．（1）求证：∠BEP∠∠CPF；（2）当∠P AB＝30°时，求∠PEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）2-【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证∠BEP∠∠CPF；（2）由题意可知∠BPE＝30°，60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】（1）∠PE平分∠APB，PF平分∠APC，∠∠APE＝12∠APB，∠APF＝12∠APC，∠∠APE+∠APF＝12（∠APB+∠APC）＝90°，∠∠EPF＝90°，∠∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∠∠BEP＝∠FPC，∠∠B＝∠C＝90°，∠∠BEP∠∠CPF；（2）∠∠PAB＝30°，∠∠BPA＝60°，∠∠BPE＝30°，在Rt∠ABP中，∠PAB ＝30°，AB∠BP ＝1，在Rt∠BPE 中，∠BPE ＝30°，BP ＝1，∠EP ∠CP1，∠FPC ＝60°，∠PF ＝2CP ＝2，∠∠PEF 的面积为：12PE•PF ＝2 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．19．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE =_________； (2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE 是等腰三角形时，请求出x 的值．【答案】(1)4AB =,34PE PB = (2)PE PB 为定值，34PE PB = (3)75x =或4x = 【分析】（1）作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．由BMP PNE ∆∆∽，推出PE PN PB BM =，只要求出PN 、BM 即可解决问题；（2）结论：PE PB的值为定值．证明方法类似（1）； （3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作PM AB ⊥于M 交CD 于N ．四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，5AC =，90ABC ∠=︒，4AB ∴=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，45AM =， 165BM AB AM ∴=-=， 3MN AD ==，125PN MN PM ∴=-=， 90PMB PNE BPE ∠=∠=∠=︒，90BPM EPN ∴∠+∠=︒，90EPN PEN ∠+∠=︒，BPM PEN ∴∠=∠，BMP PNE ∴△∽△， ∴12351645PE PB===， 故答案为4，34． （2） 结论：PE PB的值为定值． 理由：由PA x =，可得35PM x =．45AM x =，445BM x =-，335PN x =-， BMP PNE △∽△， ∴33354445x PE PN PB BM x -===-； （3）∠当点E 在线段CD 上时，连接BE 交AC 于F ．90PEC ∠>︒，所以只能EP EC =，EPC ECP ∴∠=∠，90BPE BCE ∠=∠=︒，BPC BCP ∴∠=∠，BP BC ∴=，BE ∴垂直平分线段PC ，在Rt BCF 中，cos CF BC BCF BC AC∠==， ∴335CF =， 95CF ∴=， 1825PC CF ∴==， 187555x PA ∴==-=． ∠当点E 在DC 的延长线上时，设BC 交PE 于G ．90PCE ∠>︒，所以只能CP CE =．CPE E ∴∠=∠，90GPB GCE ∠=∠=︒，PGB CGE ∠=∠，PBG E CPE ∴∠=∠=∠，90ABP PBC ∠+∠=︒，90APB CPE ∠+∠=︒，4AB AP ∴==，综上所述，x 的值为75或4． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．20．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）DE =（3【分析】（1）根据ASA 证明BCE CDG △△≌； （2）由（1）得9CE DG ==，由折叠得BCF BFC ∠=∠，进一步证明HF HG =，由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE ，分点H 在D 点左边和点H 在D 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE 的长，再由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，BFE △由BCE 折叠得到，BE CF ∴⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒． 又四边形ABCD 是正方形，90D BCE ∴∠=∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠， 又 正方形,ABCD,BC CD ∴=，()BCE CDG AAS ∴△△≌．（2）如图，连接EH ，由（1）得BCE CDG △△≌， 9CE DG ∴==，由折叠得BC BF =，9CE FE ==，BCF BFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，BCG HGF ∴∠=∠，又BFC HFG ∠=∠，HFG HGF ∴∠=∠，HF HG ∴=． 45HD HF =，9DG =， 4HD ∴=，5HF HG ==．90D HFE ∠=∠=︒2222HF FE DH DE ∴+=+，2222594DE ∴+=+，DE ∴=DE =-． （3）如图，连结HE ，由已知45HD HF =可设4DH m =，5HG m =，可令DE x EC=， ∠当点H 在D 点左边时，如图，同（2）可得，HF HG =，9DG m ∴=，由折叠得BE CF ⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒，又90D ∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又90BCE D ∠=∠=︒，CDG BCE ∴△∽△，DG CD CE BC∴=， CD AB k BC BC ==， 91m k CE ∴=， 9m CE FE k∴==， 9mx DE k ∴=． 90D HFE ∠=∠=︒，2222HF FE DH DE ∴+=+，222299(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =舍去）．DE EC∴=∠当点H 在D 点右边时，如图，同理得HG HF =，DG m ∴=，同理可得BCE CDG △∽△， 可得m CE FE k ==，mx DE k∴=， 2222HF FE DH DE +=+，2222(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =．DE EC∴=【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．在矩形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，将ADE 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处．（1）如图1，若3tan 4EFC ∠=，求:AB BC 的值；（2）如图2，在线段BF 上取一点G ，使AG 平分BAF ∠，延长AG ，EF 交于点H ，若FG BG CF =+，求:AB BC 的值．【答案】（1）45；（2）35． 【分析】（1）根据3tan 4EFC ∠=，可设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ==，再证明ABF FCE ~，由相似三角形性质即可用k 表示出BF ，从而求得比值；（2）过点G 作GM AF ⊥于点M ，由FG BG CF =+可得1122FG BC AF ==，再证MFG BFA ，从而12GM FM FG AB BF AF ===，设BG x =，由角平分线性质可得：BG MG x ==，2AB AM x ==，设FM y =，则2BF y =，由222AB BF AF +=列方程即可求出43y x =，再根据AB AB BC AF=即可求出比值． 【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，90B C D ︒∴∠=∠=∠=，由折叠的性质得：90AFE D ︒∠=∠=，EF ED =，AF AD =，3tan 4CE EFC CF ∴∠==， 设3CE k =，则4CF k =，5DE EF k ∴==，又90AFB BAF ︒∠+∠=，90AFB EFC ∠+∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，∠ABF FCE ~，AB BF CF CE∴=， ∠843k BF k k=， 6BF k ∴=，∠6410BC BF CF k k k =+=+=，84105AB k BC k ∴==； （2）如解图2，过点G 作GM AF ⊥于点M ，FG BG CF =+，=FG BG CF BC ++， 1122FG AD BC ∴== AD AF =，12FG AF ∴= MFG BFA ∠=∠，90FMG FBA ︒∠=∠=， MFGBFA ∴， ∠12GM FM FG AB BF AF ===， 设BG x =， AG 平分,,BAF GB AB GM AF ∠⊥⊥， BG MG x ∴==，2AB AM x ==， 设FM y =，则2BF y =，222AB BF AF +=222(2)(2)(2)x y x y ∴+=+，解得43y x = 而=AF AM MF +，∠410233x x x +=， ∠231053AB AB x BC AF x ===． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．22．问题提出（1）如图1，在矩形ABCD 中，4cm AB =，点E 为AB 的中点，点F 在BC 上，过点E 作//EG BC交FD 于点G ．若5cm EG =，则EFD △的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形ABCD 中，6cm,9cm AB BC ==，点P 是AD 边上一动点，点Q 是CD 的中点将．ABP 沿着BP 折叠，点A 的对应点是A '，将QDP △沿着PQ 折叠，点D 的对应点是D ．请问是否存在这样的点P ，使得点P 、A '、D 在同一条直线上？若存在，求出此时AP 的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD 中，4cm BC =，点D 到BC 的距离为5cm,AD CD ⊥，且CD =．若过点D 作//BC MN ，过点A 作MN 的垂线，交MN 于点E ，交CB 的延长线于点H ，过点C 作CF MN ⊥于点F ，连接AC ．设AE 的长为(cm)x ，四边形ABCD 的面积为()2cm y ． ∠根据题意求出y 与x 之间的函数关系式；∠在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 1.73)【答案】（1）210cm ；（2）存在，6cm AP =或3cm AP =；（3）∠210y x =+⎝⎭；∠963.3元．【分析】（1）先由矩形的性质得//,4AD BC CD AB ==，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，再证BAP PDQ ∽，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；（3）∠先证得AED DFC ∽，然后根据相似三角形的性质求得DE DF ==，然后根据面积公式列式求解；∠根据二次函数性质求最值【详解】解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠//,4AD BC CD AB ==．∠//EG BC ，∠////AD EG BC ．∠点E 为AB 的中点，∠EFD EGD EGF S S S =+111222EG CD =⨯⨯+12EG CD ⨯⨯ 12EG CD =⨯⨯ 1542=⨯⨯ 10=故答案为：210cm ；（2）存在，理由如下：∠四边形ABCD 是矩形，∠90,9,6cm BAD ADC BC AD AB CD ∠=∠=︒===．∠Q 是CD 的中点，∠3cm DQ =．由折叠的性质得：,APB A PB DPQ D PQ ∠=∠∠'=∠'，当点P 、A '、D 三点在同一条直线上时，180APB A PB DPQ D PQ ∠+∠+∠+=''∠︒， ∠90APB DPQ ∠+∠=︒．∠90APB ABP ∠+∠=︒，∠ABP DPQ ∠=∠．∠∠90BAP PDQ ∠=∠=︒，∠BAP PDQ ∽， ∠AB AP PD DQ =，即693AP AP =-， 解得：6cm AP =或3cm AP =；（3）∠根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：5CF EH ==．∠AD CD ⊥，∠90EDA CDF ∠+∠=︒．∠CF MN ⊥，∠90DCF CDF ∠+∠=︒，∠EDA DCF ∠=∠．又∠90AED DFC ∠=∠=︒，∠AED DFC ∽， ∠CF DF CD DE AE DA==． 由AE x =，则5AH x =-．∠5,CF CD ==，∠5DF DE x==∠DE DF ==， ∠EACF DEA DFC ABC y S S S S =--+四边形1111(5)542222x x ⎫=+⨯-⨯+⨯⨯⎪⎪⎝⎭(5)x -2210x x =- 210x =++⎝⎭∠由∠知，210y x =+⎝⎭，当x =时，四边形ABCD 的面积取得最小值为210cm ⎛+ ⎝⎭，∠最低造价为1060963.3⎛⨯≈ ⎝⎭（元）， ∠四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。
探究“K”字的相似模型1
E
C
A
A
抓问题的本质，才 A F F F 是解决问题的根本 α α α α 60 ° α α 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° E C BB E
在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P 为BC上一动点(不与B、C重合），过点P 作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B.设 BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式。
课堂小结
数 形 结 合
1.从数上看——“一线三等角”
∠B=∠APD=∠C
2.从形上看——“K”字形
结论：△ABP∽△PCD 方程思想 分类讨论思想 特殊到一般思想 转换思想 类比思想
变式1：如图，矩形ABCD，AD=10，CD=8，现将该矩 形沿对角线AC折叠，使得点D落在点D′处， 以B为原点O， 以射线BC为x轴正半轴，建立平面直角坐标系， 当边OC 要向下平移a个单位长度时，D′会落在平移
C
A
图形变式 拓展延伸
△ABE∽ △ECF （ 12 ）点 EE 为 BC 上任意一点， （ ）点 为 BC 上任意一点 ∠B=∠C=∠AEF= 60°,则α, 若 ∠B= ∠C= ∠AEF=
△ ABEABE 与△与△ ECF的关系还成立 则△ ECF的关系 F 吗？说明理由 还成立吗？
B
A
M B
P
C
(2010.泉州改编）如图所示，已知抛物 线y=0.25x2-x+1的图像与y轴相交于点 B(0,1），点C（m，n）在该抛物线图像 上，且以BC为直径的圆M恰好经过顶点A （点C异于点A）。求点C的坐标。
C
2015福州一检
25题（2）
（2015福州二检25)
3
2
1
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K 字图形中的相识三角形
一、探究基本图形的性质：
如图∠C=∠D=∠1=90O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?
如图∠C=∠D=∠1=60O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?
如图∠C=∠D=∠1=n O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?
探究：当点C ，点P ，点D 在同一直线上，且满足条件___________________时，△APC 与△BPD 相似。
1 B A C
D P D
1 B
A C P
二、基本图形的应用：
例1：
在矩形ABCD 中，AB=10，AD=8，F 是CD 上一动点，沿EF 折叠后，点C 恰好落在AB 上G 处,E 在BC 上
（1）F 与D 重合时，求折痕EF 的长
（2）BG=6时，能求折痕EF 的长吗？
（3）试求BG 的取值范围
突破题（课后完成）：
（4）F 与D 重合时，是否存在过点G 的直线L 、直线DE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线DE 与y 轴所围成的三角形相似,如果存在,请直接写出解析式,
E E C B
在等边△QCD 中，P 为CD 上一点，B 为QD
上一点，且∠3=60o ，CP=1，BD= . 求△QCD 的边长？
变式1：如图，△QCD 为等边三角形，点A 、P 、B 分别在QC 、CD 、QD 上，且△APB 也为等边三角形
（1）除已知等边三角形的边相等外，请猜想还有哪些边相等，并证明结论
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？
变式2：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA=7，AB=4，∠COA=60o ,点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于D ，当点P 运动到什么位置时，使得 ∠CPD=∠OAB,且 ，求这时点P 的坐标。
3
2Q C D
P
85AB BD C
已知：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD, AB=10，BC=3 （1）如图，点M为AB上一点，且满足∠1=∠A，求AM的长；
（2）如图，点M在AB上移动（M不与A、B重合），且满足
∠1=∠A，MN交BC的延长线于点N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数关系式？
N
A M
1、已知：QC=QD=2，∠C=∠D=∠3=45o ，P 在CD 上运动不与C 、D 重合，设CP=x ，QB=y,求y 关于x 的函数关系式
变式：若QC=QD=2，∠C=45o =∠3，点P 在CD 的中点处，∠3绕中点旋转，∠3的两边分别与射线CQ 、DQ 相交于点E 、F ，设CE=x,DF=y
(1)求y 与x 的关系式
(2)∠EPF 在旋转的过程中，△PEF 是否能为等腰三角形？若能，求出等腰三角形时x 的值，若不能，请说明理由。
Q C D P C D P C D P C D P
2、在等腰三角形中，CQ=DQ=8，∠CQD=120o P为CD中点，小惠拿着含30度角的透明三角板，使30o角的顶点落在点P，将三角板绕点P顺时针旋转（1）当三角板的两边分别与QC、QD交于点E、F时，求证△CPE∽△DPF
Q
C
（2）当三角板的两边分别交CQ的延长线，边DQ于点E、F
①探究：△CPE与△DPF还相似吗?
②探究：连接EF,△CPE与△EPF是否相似,试说明理由
③设EF=m,△EPF的面积为S,试用含m的代数式表示S
P。