K字图形中的相似三角形

K 字图形中的相识三角形

一、探究基本图形的性质：

如图∠C=∠D=∠1=90O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?

如图∠C=∠D=∠1=60O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?

如图∠C=∠D=∠1=n O 时，△APC 与△BPD 有什么关系?

探究：当点C ，点P ，点D 在同一直线上，且满足条件___________________时，△APC 与△BPD 相似。

1 B A C

D P D

1 B

A C P

二、基本图形的应用：

例1：

在矩形ABCD 中，AB=10，AD=8，F 是CD 上一动点，沿EF 折叠后，点C 恰好落在AB 上G 处,E 在BC 上

（1）F 与D 重合时，求折痕EF 的长

（2）BG=6时，能求折痕EF 的长吗？

（3）试求BG 的取值范围

突破题（课后完成）：

（4）F 与D 重合时，是否存在过点G 的直线L 、直线DE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线DE 与y 轴所围成的三角形相似,如果存在,请直接写出解析式,

E E C B

在等边△QCD 中，P 为CD 上一点，B 为QD

上一点，且∠3=60o ，CP=1，BD= . 求△QCD 的边长？

变式1：如图，△QCD 为等边三角形，点A 、P 、B 分别在QC 、CD 、QD 上，且△APB 也为等边三角形

（1）除已知等边三角形的边相等外，请猜想还有哪些边相等，并证明结论

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？

变式2：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA=7，AB=4，∠COA=60o ,点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于D ，当点P 运动到什么位置时，使得 ∠CPD=∠OAB,且 ，求这时点P 的坐标。

3

2Q C D

P

85AB BD C

已知：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD, AB=10，BC=3 （1）如图，点M为AB上一点，且满足∠1=∠A，求AM的长；

（2）如图，点M在AB上移动（M不与A、B重合），且满足

∠1=∠A，MN交BC的延长线于点N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数关系式？

N

A M

1、已知：QC=QD=2，∠C=∠D=∠3=45o ，P 在CD 上运动不与C 、D 重合，设CP=x ，QB=y,求y 关于x 的函数关系式

变式：若QC=QD=2，∠C=45o =∠3，点P 在CD 的中点处，∠3绕中点旋转，∠3的两边分别与射线CQ 、DQ 相交于点E 、F ，设CE=x,DF=y

(1)求y 与x 的关系式

(2)∠EPF 在旋转的过程中，△PEF 是否能为等腰三角形？若能，求出等腰三角形时x 的值，若不能，请说明理由。

Q C D P C D P C D P C D P

2、在等腰三角形中，CQ=DQ=8，∠CQD=120o P为CD中点，小惠拿着含30度角的透明三角板，使30o角的顶点落在点P，将三角板绕点P顺时针旋转（1）当三角板的两边分别与QC、QD交于点E、F时，求证△CPE∽△DPF

Q

C

（2）当三角板的两边分别交CQ的延长线，边DQ于点E、F

①探究：△CPE与△DPF还相似吗?

②探究：连接EF,△CPE与△EPF是否相似,试说明理由

③设EF=m,△EPF的面积为S,试用含m的代数式表示S

P