数学知识点：完全平方数和完全平方式
4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件
知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.6.1《完全平方公式》课件
知3－练
10 利用完全平方公式计算： (1)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋4(x－y)2；
解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－4(x2－y2)＋4(x2－2xy＋y2) ＝x2－6xy＋9y2.
知3－练
(2)
60
1 60
2
;
(3)2 0162－4 032×2 015＋2 0152.
解：(2)原式＝
知2－练
知2－练
4 【2017·台州】下列计算正确的是( D ) A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
知识点 3 完全平方公式的应用
知3－讲
例5 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) = x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .
总结
知2－讲
本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三 项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就 符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相 乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括 号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平 方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可 得结果．
9
总结
知1－讲
在应用公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b， 同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的 完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两 数的平方相等．
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
平方数的基本知识
平方数在数学上，如果某个整数n可以写成另一个整数的平方，我们就称这个整数n是一个平方数，也叫完全平方数。
例如：9=3×3=32，9就是一个完全平方数。
完全平方数有很多特殊的性质。
一、完全平方数的个位数字只可能为0，1，4，5，6，9 这六个数。
1、一个数若以0 结尾，这个数的平方必以00 结尾；2、一个数若以 1 或9 结尾，这个数的平方必以1 结尾；3、一个数若以 2 或8 结尾，这个数的平方必以4 结尾；4、一个数若以 3 或7 结尾，这个数的平方必以9 结尾；5、一个数若以 4 或 6 结尾，这个数的平方必以6 结尾；6、一个数若以 5 结尾，这个数的平方必以25 结尾。
7、一个完全平方数，个位数字是6时，十位上数字为奇数，个位数字不是6时，十位上数字为偶数。
注：把任意某个数看着一个整十数和一个一位数的和，运用完全平方公式，可以证明这个数的平方符合第7条性质。
本组前6条性质，可以通过实例证明。
二、整除性质。
1、每个完全平方数分解质因数后，质因数的指数都是偶数。
每个完全平方数都有奇数个不同的因数。
（反之亦成立）2、一个完全平方数如果是偶数，它一定是某个偶数的平方，能被4 整除；3、一个完全平方数如果是奇数，它一定是某个奇数的平方，被8 除余1；4、一个完全平方数如果能被 3 整除，它一定能被9 整除；如果不能被 3 整除，它一定被3 除余1；5、不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
6、两个完全平方数的积还是完全平方数，一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数；三、完全平方数也叫正方形数，即一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形点阵，使得每行每列的点都一样多。
如下图：观察上面的方阵，可以推出以下几条性质：①对于一个整数n，n2就等于前n 个正奇数的和。
在上图中，从1开始，第n 个平方数就等于前一个平方数加上第n 个正奇数。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方公式
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与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
小学奥数知识点：完全平方数
小学奥数知识点：完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
小学奥数经典题
1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？
2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？
3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？
4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？
5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。
完全平方数和完全平方式(初三)
初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
完全平方数及完全平方数式方程式浅析
完全平方数及完全平方数式方程式浅析摘要：本文由一元二次方程式的求根公式将求根公式的判别式，推导出另一个一元二次方程式，将这个方程式，令名为“完全平方数式方程式”关键词：完全平方数，完全平方数式方程式，扩值参数式（一）“完全平方数”及“完全平方数式方程式”概念“完全平方数”概念：在自然数域集合里（Z-整数集合），一个任意自然数设为：m即是：m*m=m²m名为“自乘数”m²的数值，就为“完全平方数”“完全平方数式方程式”概念完全平方数式方程式是由未知数项和常数项，用运算符号链接的数学方程式。
这个方程式运算的终结数值为某个自然数的平方值。
例如本文推导出的数学方程式：g²+2ag-n=k²此式中：g、k为未知数，a、n为已知数，这是本文所要研讨的数学方程式。
（二）：构建完全平方数式方程式：抄录引入：作者发表在数学期刊试题与研究“2020年26期”充分大奇合数因数分解方程式“推介”文中：充分大奇合数是自然正整数，非人为构建的合数，设为m。
是两个奇数p和q的乘积：m=p*q。
可设：m变形【】²+n令：【】=a 得m=a²+n由设定：m=p*q令p>a则p=a+x；q得：m=（a+x）（a-y）·····（1）式化简（1）式，求y的解a²+n=a²+a（x-y）-xy得：xy-a（x-y）-n=0令：x+y g为x-y的差即 g=x-y代入：（y+g）y-a（y+g-y）-n=0得：y²+gy-ag-n=0用求根公式： -g±Y = 2在此式中：a与x、y互为奇偶数X与y同为奇偶数则x±y均为偶数，x-y=g为偶数可将此时中的分母约去y=-g±化简得：y=-g± ····（2）式从（2）式中得知，要使y 有正整数解 数式的数值必须是完全平方数令：g²+2ag -n=k²这就是推导出的“完全平方数式方程式” ：如何求解“完全平方数式方程式”构建“初始完全平方数式方程式”在g²+2ag -n=k²式中，k²是完全平方数，他的特征是 k²被16整除的小於16的余数是：0、1、4、9.以16为同余式的模mod16构成同余式方程： g²+2ag -n≡k²（mod16） g 除以16，有1≤g 。
初一数学完全平方公式（最全面的考点设计）
全新题型归类总结圆学霸之梦1 第三讲：完全平方公式一、常用公式1、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。
()abb a b a 2222++=+()abb a b a 2222-+=-22212)1(xx x x +±=±注意：上述中的a,b 不仅可以是单独的一个数或一个字母，也可以是多项式或分式。
2、变形公式（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+（2）])()[(212222b a b a b a -++=+（3）ab b a b a 4)()(22=--+（4）2222111()2()2a a a a a a+=+-=-+（5）[]222222)()()(21222a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++3、补充公式：(1)立方和公式：))((2233b ab a b a b a+-+=+(2)立方差公式：))((2233b ab a b a b a++-=-(3)和立方：3223333)(bab b a a b a +++=+(4)差立方：3223333)(b ab b a a b a -+-=-(5)三项的完全平方：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++acbc ab c b a c b a 222)(2222-+-++=--二、经典题型汇总题型一、完全平方公式的判断题型一、完全平方公式的判断例1、下列哪个不是完全平方式？（下列哪个不是完全平方式？（）） A 、22x B B、、269x x -+ C C、、225101x x -+ D D、、222121x x ++ 练习：练习：1、下列哪个不是完全平方式？（、下列哪个不是完全平方式？（ ））A A、、24x + B B、、244x x ++ C C、、2441x x ++ D D、、214x x ++ 2、下列计算正确的是、下列计算正确的是( ) ( )A.22(1)1m m -=- B.2(1)(1)1x x x x ++=++ C.22211()24x y x xy y -=-- D.2244()()()x y x y x y x y +--=-题型二、计算题专练题型二、计算题专练 例1、计算、计算 （1）21(12)4a -- （（2）、()()b c b c +-- （（3）(3)(3)a b a b +---（4）22(23)(23)m n m n -+ （（5）2(5)(2)(3)x x x +--- （（6）2()m n p +- 练习：练习：（1）、2222(54)(54)x y x y -+- （（2）(2)(2)a b c a b c +---（3）)132)(132(--++--c b a c b a （4）22(2)(2)(4)x y x y x y +--（5）22222)()()(x y y x y x -++ （6）2)23(z y x -+题型三、简算题型三、简算 例1、请简算、请简算（1）2197 （（2）7655.0469.27655.02345.122´++练习：练习： （1）、2202 （2）、16913402620132+´-题型四、化简求值题型四、化简求值例1、 已知2810x x +-=，求代数22(1)(1)(2)2(3)x x x x -++--+的值。
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
第4讲 完全平方公式七年级数学下册同步精品讲义
第4讲 完全平方公式1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】完全平方公式1．（2021秋•白云区期末）计算：9992＝ ．2、 下列各式是完全平方式的是（）．知识精讲目标导航A ．412+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x3.（1）如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 ； （2）如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为 . 4．（2021秋•天河区期末）若x +y ＝3，且xy ＝1，则代数式x 2+y 2的值为 ．5．（2021秋•永吉县期末）a ，b 是两个实数，若a +b ＝﹣3，ab ＝﹣10，则a 2+b 2的值为 ． 6．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若x ﹣y ＝8，xy ＝40．则x 2+y 2＝ ；（2）已知，若x 满足（25﹣x ）（x ﹣10）＝﹣15，求（25﹣x ）2+（x ﹣10）2值．7．（2021秋•通榆县期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：x （x +2y ）﹣（x +1）2+2x＝（x 2+2xy ）﹣（x 2+2x +1）+2x 第一步 ＝x 2+2xy ﹣x 2+2x +1+2x 第二步 ＝2xy +4x +1第三步（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 （2）写出此题正确的化简过程．8．（2021秋•成都期末）若实数x 、y 满足x ﹣2＝y ，则代数式x 2﹣2xy +y 2的值为 ．9．（2021秋•洪山区期末）若（2022﹣a ）（2021﹣a ）＝2020，则（2022﹣a ）2+（2021﹣a ）2＝ ．10．（2021秋•铁西区期中）已知（a ﹣b ）2＝6，（a +b ）2＝4，则a 2+b 2的值为 ． 11．（2021秋•海淀区期末）化简：（x ﹣2）2+（x +3）（x +1）．12．（2021秋•丰台区期末）计算：（2x ﹣3）2﹣（x ﹣3）（2x +1）．13.（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+．【知识拓展2】完全平方公式的几何背景14．（2021秋•越秀区期末）小张利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（2a +b ）2＝4a 2+4ab +b 2C ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4abD ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 215．（2021秋•丰台区期末）如图，根据正方形ABCD 的面积，写出一个正确的等式16．（2021秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：，．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A＝，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．17．（2021秋•桦甸市期末）如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为．（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB ＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．18．（2021秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为．【知识拓展3】完全平方式19．（2021秋•绥棱县期末）要使x2+kx+4是完全平方式，那么k的值是（）A．k＝±4B．k＝4C．k＝﹣4D．k＝±220．（2021秋•铁锋区期末）如果多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是．21．（2021秋•河东区期末）已知关于x 的多项式16x 2+mx +1是一个完全平方式，则常数m 的值是 ． 22．（2021秋•无为市期末）若4x 2﹣12x +k 是完全平方式，则k 的值为 ．类型一、公式法——完全平方公式 例1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．例2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．能力拓展【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法分解因式例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用例4、若a 、b 、c 为三角形的三边边长，试判断222222()4a b c a b +--的正负状况．【变式】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.题组A 基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•江油市期末）已知x 2﹣2mx +9是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．±3B ．3C ．±6D ．62．（2021秋•集贤县期末）已知x 2﹣4x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（ ） A ．2B ．±2C ．4D ．±43．（2020秋•宜宾期末）若a +b ＝﹣3，ab ＝﹣10，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或7B ．0或﹣13C ．﹣7或7D ．﹣13或13二．填空题（共5小题）4．（2021秋•西城区期末）若a 2+ka +9是一个完全平方式，则常数k ＝ ．5．（2021秋•克东县期末）如果x 2﹣2（m +1）x +m 2+5是一个完全平方式，则m ＝ ． 6．（2021秋•郾城区期末）如果x 2+mx +9是完全平方式，则m ＝ ．7．（2021秋•双辽市期末）若x 2﹣2（m ﹣1）x +16是一个完全平方式，则为m 的值 ． 8．（2021秋•武威月考）下面两个图形能验证的乘法公式是 ．分层提分三．解答题（共4小题）9．（2021秋•汝南县期末）认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．10．（2021秋•昌吉州期中）（1）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+3n的值．（2）已知x+y＝6，，求x2+y2的值．11．（2021春•石景山区校级期中）已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）的值．12．（2021春•甘孜州期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•崇川区校级月考）若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（）A．11B．3C．11或27D．3或112．（2021春•迁安市期末）对于等式（a+b）2＝a2+b2，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（）甲：无论a和b取何值，等式均不能成立．乙：只有当a＝0时，等式才能成立．丙：当a＝0或b＝0时，等式成立．A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人说法均不正确3．（2021春•沙坪坝区校级期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（）A．0B．﹣5或7C．7D．94．（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab5．（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30B．34C．40D．44二．填空题（共6小题）6．（2021秋•科左中旗期末）若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝．7．（2021秋•勃利县期末）若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则k＝．8．（2021秋•铁西区期末）多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m＝．9．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是．10．（2021春•醴陵市期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是．11．（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．三．解答题（共3小题）12．（2021秋•海淀区校级期末）已知x+y＝7，xy＝﹣8，求（1）x2+y2的值；（2）（x﹣y）2的值．13．（2021秋•吉林期末）有若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中A型、B型卡片分别是边长为a、b的正方形．C型卡片是长为a、宽为b的长方形．【操作一】若用图①中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张；【操作二】将C型卡片沿如图①所示虚线剪开后，拼成如图②所示的正方形，则选取C型卡片张，阴影部分图形的面积可表示为；【操作三】如图③，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图②中阴影部分的面积为4，图③中阴影部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为S A、S B、S C，求S A+S B+S C的值．14．（2021秋•滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．题组C 培优拔尖练1．（2021秋•虹口区校级月考）若，x+＝3，则＝．2．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝．3．（2018秋•西湖区校级月考）已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝．4．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．5．如果x﹣y＝+1，y﹣z＝﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx＝．6．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．7．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．二．解答题（共7小题）8．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．9．（2021秋•平邑县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？10．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为或，这就验证了乘法公式（用式子表达）；（2）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：13+23+33＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝．11．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．12．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．（1）用含a、b的代数式表示GC＝；（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝．13．（2021秋•石景山区校级期中）下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b）7的展开式共有项，（a+b）n的展开式共有项，各项的系数和是．14．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．（1）图2的阴影部分的正方形的边长是．（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．【方法1】S阴影＝；【方法2】S阴影＝；（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．。
数学知识点：完全平方数和完全平方式 (1)
数学知识点：完全平方数和完全平方式一、解答题（共12小题，满分84分）1．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．2．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．3．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．4．（9分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．5．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．6．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？7．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．8．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？9．（7分）是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？10．（6分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．11．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？12．（6分）证明：是一个完全平方数．数学知识点：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分84分）1．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．，则，则2．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．可得3．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．4．（9分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．解：设，（两位数），（两位数）关键是设，5．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．6．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？7．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．取最小值，8．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？9．（7分）是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？从而∴10．（6分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．11．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？12．（6分）证明：是一个完全平方数．各个数位上不同的数字用科学记数法表示，是一个完全平方数．中。
完全平方数和完全平方式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式
课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
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数学知识点：完全平方数和完全平方式填空题
1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=_________．
2．若=5，则=_________．
3．x2﹣3x+_________=（x﹣_________）2．
4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是_________．
5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=_________
6．已知=6，则=_________．
7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=_________，a=_________．
8．x2+kx+9是完全平方式，则k=_________．
9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=_________．
10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是_________．
11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=_________．
12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=_________．
13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=_________．
14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是
_________．
15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=_________．
16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．
17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=_________．
18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=_________．
19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于_________．
20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=_________．
21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_________．
22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=_________．
23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=_________．
24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=_________．
解答题
25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即
“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；（2）xy．
28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．
29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为_________；
（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是_________；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_________；_________
（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
30．阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：_________；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
数学知识点：完全平方数和完全平方式
参考答案与试题解析
填空题
1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=30．
2．若=5，则=23．
a+=25
3．x2﹣3x+=（x﹣）2．
×
（3x+
4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是±5．
5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=﹣8
6．已知=6，则=32．
+
a+=36
）2+
7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=﹣，a=．
，．
8．x2+kx+9是完全平方式，则k=±6．
9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=±4．
10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是±12．
11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=．
，
）．
．
12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=±24．
13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=±12．
14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是
±20．
15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=±2．
16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=±8．
17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．
18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=±4．
19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于±3．
20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=±2．
21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=±4．
22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．
23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=±12．
24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．
解答题
25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即
“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
）2
a+
ab+b
ab+
b+
﹣
26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．
28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．
29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；
（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；
（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=5；﹣5
（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
30．阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
（答案不唯一）。