高中高三立体几何试题及答案
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1.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱 AD 上一点,且AP =a
3,过B 1,D 1,P 的平面交底面ABCD
于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ =________.
2.如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,∠ADC =90°, 且AA 1=AD =DC =2,M ∈平面ABCD , 当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时,DM =________.
3.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,P A =AB =2,BC =4,E 是PD 的中点.
(1)求证:平面PDC ⊥平面P AD ; (2)求点B 到平面PCD 的距离;
4.如图,PO ⊥平面ABCD ,点O 在AB 上,EA ∥PO ,四边形ABCD 为直角梯形,BC ⊥AB ,BC =CD =BO =PO ,EA =AO =12CD .
(1)求证:BC ⊥平面ABPE ;
(2)直线PE 上是否存在点M ,使DM ∥平面PBC ,若存在,求出点M ; 若不存在,说明理由.
5.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F
分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥B1-EFC的体积.
6.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离.
1.
22
3
a ∵B 1D 1∥平面ABCD ,平面B 1D 1P ∩平面ABCD =PQ ,∴B 1D 1∥PQ , 又B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ ,设PQ ∩AB =M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ ,
∴
PQ PM =PD
AP
=2,即PQ =2PM , 又△APM ∽△ADP ,∴PM BD =AP AD =13,∴PM =1
3BD ,
又BD =2a ,∴PQ =22
3
a .
2.[答案] 22 ∵DA =DC =DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直,故当点M 使四边形ADCM 为正方形时,D 1M ⊥平面A 1C 1D ,∴DM =2 2.
(2)过A 作AF ⊥PD ,垂足为F .
在Rt P AD 中,P A =2,AD =BC =4,PD =42+22=25,
AF ·PD =P A ·AD ,∴AF =2×425=455,即点B 到平面PCD 的距离为45
5.
4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ,
BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PO ,
又BC ⊥AB ,AB ∩PO =O ,AB ⊂平面ABP ,PO ⊂平面ABP ,∴BC ⊥平面ABP , 又EA ∥PO ,AO ⊂平面ABP ,∴EA ⊂平面ABP ,∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点,即点M 与点E 重合.
取PO 的中点N ,连结EN 并延长交PB 于F ,∵EA =1,PO =2,∴NO =1, 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直,
∴EF ∥AB ,∴F 为PB 的中点,∴NF =1
2
OB =1,∴EF =2,
又CD =2,EF ∥AB ∥CD ,∴四边形DCFE 为平行四边形,∴DE ∥CF , ∵CF ⊂平面PBC ,DE ⊄平面PBC ,∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可. 5. (1)证明:连结BD 1,在△DD 1B 中,E 、F 分别为D 1D ,DB 的中点,则EF ∥D 1B ,又EF ⊄平面ABC 1D 1,D 1B ⊂平面ABC 1D 1,∴EF ∥平面ABC 1D 1.
(2)证明:∵B 1C ⊥AB ,B 1C ⊥BC 1,AB ∩BC 1=B , ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1,
又BD 1⊂平面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1, 又EF ∥BD 1,∴EF ⊥B 1C .
(3)解:∵CF ⊥BD ,CF ⊥BB 1,∴CF ⊥平面BDD 1B 1, 即CF ⊥平面EFB 1,且CF =BF = 2
∵EF =1
2BD 1=3,B 1F =BF 2+BB 12=(2)2+22=6,B 1E =B 1D 12+D 1E 2=
12+(22)2=3,
∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, ∴VB 1-EFC =VC -B 1EF =13·S △B 1EF ·CF
=13×12·EF ·B 1F ·CF =13×12
×3×6×2=1. 6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC .
由∠BCD =90°知,BC ⊥DC ,
∵PD ∩DC =D ,∴BC ⊥平面PDC ,∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h , ∵AB ∥DC ,∠BCD =90°,∴∠ABC =90°, ∵AB =2,BC =1,∴S △ABC =1
2
AB ·BC =1,
∵PD ⊥平面ABCD ,PD =1,∴V P -ABC =13S △ABC ·PD =1
3,
∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥DC ,∵PD =DC =1,∴PC =2, ∵PC ⊥BC ,BC =1,∴S △PBC =12PC ·BC =2
2
,
∵V A -PBC =V P -ABC ,∴13S △PBC ·h =1
3
,∴h =2,∴点A 到平面PBC 的距离为 2.