高中高三立体几何试题及答案

1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱 AD 上一点，且AP ＝a

3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD

于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.

2．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°， 且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ， 当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.

3．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．

(1)求证：平面PDC ⊥平面P AD ； (2)求点B 到平面PCD 的距离；

4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .

(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；

(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ； 若不存在，说明理由．

5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F

分别为DD1、DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)求证：EF⊥B1C；

(3)求三棱锥B1－EFC的体积．

6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离．

1.

22

3

a ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ，

∴

PQ PM ＝PD

AP

＝2，即PQ ＝2PM ， 又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝1

3BD ，

又BD ＝2a ，∴PQ ＝22

3

a .

2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.

(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .

在Rt P AD 中，P A ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25，

AF ·PD ＝P A ·AD ，∴AF ＝2×425＝455，即点B 到平面PCD 的距离为45

5.

4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，

BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，

又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ，∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．

取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，

∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝1

2

OB ＝1，∴EF ＝2，

又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可． 5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.

(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，

又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1， 又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .

(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1， 即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝ 2

∵EF ＝1

2BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝(2)2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝

12＋(22)2＝3，

∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF

＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12

×3×6×2＝1. 6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .

由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，

∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝1

2

AB ·BC ＝1，

∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝1

3，

∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2， ∵PC ⊥BC ，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝2

2

，

∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴13S △PBC ·h ＝1

3

，∴h ＝2，∴点A 到平面PBC 的距离为 2.