等比数列及列中的解题方法

英杰教育学科教师辅导教案

审查组长：

3、 等比数列重要结论

（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n a a =q （q ≠0）｛n a ｝成等比数列⇔n n a a

1+=q （+∈N n ,q ≠0）

“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ，q ≠0) 隐含：任一项00≠≠q a n 且 q= 1时，{a n }为常数

例 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列{}n a 中，12

a a =2,23a a =2；（3）常数列a,a,a,...；

（4）在数列{}n a 中，

1

-n n

a a =q ；其中是等比数列的有 （2）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

（3）等比定理：q=12a a =23a a =34a a =...=1-n n a a =1

321432......-+++++++n n

a a a a a a a a

（4）等比数列基本量的求法：1a 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——m n m n m n m

n a a q a a q

--==

;；q=n

n a a 1+ （5）等比数列与指数函数：11-⋅=n n q a a ，即n

n q q

a a ⋅=1,与指数函数x q y =类似，可借助指数函数的图像和性质来研究

4、 典型例题讲解

例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故022=+q q

.

【练习】1 已知数列，其中，求通项公式。

2数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式

2、构造形如n n n a a b -=+1的数列（累加法）

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例3 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例4 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则