第八章 组合变形1

a
a
2F / a 2 2 8 未开槽前立柱的最大压应力 F / 4a
开槽后立柱的最大压应力
(Combined Deformation) 例题4 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合, F2作用 在 y 轴上.已知:F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截 面只出现压应力,求F2的偏心距e. F1 F2
y
FN M z y A Iz
(Combined Deformation) 3.危险截面的确定（Determine the danger cross section） 作内力图 F1 F2 l/2 F2
x
轴力（axial force）
F2
l/2
FN F2
M 0 F sin 30 2.4 1.2F 0 A NAB
C
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A 发生在该截面的上边缘
(Combined Deformation)
四、处理组合变形的基本方法 （Basic method for solving combined deformation）
1.外力分析（Analysis of external force） 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形, 使之每个力（或力偶）对应一种基本变形 2.内力分析（Analysis of internal force ） 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形 3.应力分析（Stress analysis） 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的 应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
FRAy
FNAB
30°
Fy
B
F
D F x
(Combined Deformation)
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F A A
（3） 最大弯曲正应力
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
1.2FR Ay 0.6F max Wz Wz
（4）危险点的应力
(Combined Deformation)
=
+
=
+
+
(Combined Deformation)
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
（Combined axial loading and bending）
一、受力特点 （Character of external force）
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
(Combined Deformation)
§8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）
一、组合变形的概念（Concepts of combined deformation）
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
四、应力分析（Analysis of stress）
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为 1.拉伸正应力 ( z,y) Mz
O z x
（Axial normal stress）
2.弯曲正应力
FN A
FN
（Bending normal stress）
Mz y Iz
F
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max tmax
F 425 7.5F [ t ] 15 5310
[F] 45.1 kN
(Combined Deformation)
拉 z0 z y z1
F
350
n n 150 50 50
F
F
n
n
二、变形特点（Character of deformation）
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 F2 F1 F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy

F
Fx
(Combined Deformation)
三、内力分析（Analysis of internal force）
FRAy
FNAB
Fy
30°
FRAx A F
B
D F x
c max
0.866F 0.6F 94.37MPa [ ] A Wz
(Combined Deformation) 例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力 [t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压 力机的许可压力F.
tmax
max c
M y z0 425 7.5F MPa ( ) Iy 5310 M y z1 425 12.5 F MPa ( ) Iy 5310
(Combined Deformation)
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150 50 50 150 压
二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法
（Basic method for sloving combined deformationsuperposition method）
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
(Combined Deformation)
三、工程实例 （Engineering examples）
m m
z
e
y
b
h
(Combined Deformation) 解： （1）外力分析 将力 F2 向截面形心简化后, 梁上的外力有 轴向压力 力偶矩 F2
Mz
F1
F F1 F2
M z F2 e
m
m
（2）m-m 横截面上的内力有
z
轴力 弯矩
F F1 F2
M z F2 e
杆件同时承受转矩和横向力作用
变形特点（character of deformation）
发生扭转和弯曲两种基本变形
F
B A C
l
(Combined Deformation)
一、 内力分析 （Analysis of internal force）
设一直径为d 的等直圆杆AB, B 端具有与AB成直角的刚臂. 研究AB 杆的内力. 将力 F 向 AB 杆右端截面的形 心B简化得 横向力 F （引起平面弯曲） 力偶矩 M= Fa （引起扭转） AB 杆为弯曲与扭转组合变形
a
a
a
a
(Combined Deformation) 解： 未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ槽前立柱为轴向压缩 F
1
FN F F F 1 2 A A ( 2a ) 4a 2
开槽后1-1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力 F 向1-1形心简化
F
Fa/2
1
FN M F Fa / 2 2F 2 2 A W 2a a 1 2a a 2 a 6
(Combined Deformation)
Chapter8 Combined deformation
(Combined Deformation)
第八章 组合变形 （Combined deformation）
§8-1 组合变形和叠加原理 （Combined deformation and superposition method） §8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 （Combined axial and flexural loads） §8-3 偏心拉（压）•截面核心(Eccentric loads &the kern（or core）of a section) §8-4 扭转与弯曲的组合 （Combined torque and flexural loads）
( F1 F2 ) / A bh2 得 e F2 6
z
e
y
b
h
(Combined Deformation)
§8-4 扭转与弯曲的组合 （Combined bending and torsion）
研究对象（research object） 圆截面杆（circular bars） 受力特点（character of external force）
b h
e y
(Combined Deformation) 轴力产生压应力
FN F1 F2 A A
Ｍz
F2 F1
弯矩产生的最大正应力
Mz F2 e 2 Wz bh / 6
（3）依题的要求,整个截面只有压应力
m
m
F1 F2 F2 e 2 0 A bh / 6
A B A
F
C
l
M
x B
F
(Combined Deformation)
画内力图确定危险截面
M
A A
F
Fl
M
固定端A截面为危险截面
y
z0
z1
F F
350 n n 150 z 50 150
F
n
n
50
FN My
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
FN F MPa A 15
(Combined Deformation)
拉 z0 z 150
y
z1
F F
350 n n 150 50 50
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
弯矩（bending moment）
M max
F1l 4
FN图
所以跨中截面是杆的危险截面
F1l/4
x
M图
(Combined Deformation) 4.计算危险点的应力（Calculating stress of the danger point） F1 F2 l/2 l/2
F2
F2 A
z0 y
z1
F F
350 n n 150
z 50 50 150
F
n
n
FN My
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
FN F M y [( 35 7.5) 10 2 ]F 42.5 10 2 F
(Combined Deformation)
横截面上内力（internal force on cross section） FS Mz
O
z x
FN
1.拉(压) :轴力 FN （axial force）
2.弯曲
剪力F （shear force）
s
弯矩 Mz （bending moment）
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
(Combined Deformation)
五、强度条件（Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
t max [ t ]
c max [ c ]
(Combined Deformation) 例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许 用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度. 解：（1） 分析AB的受力情况
z0
y
z1
F
350
F
z
150 50 150 50
(Combined Deformation)
z0
y z1
F F
350
z
150 50 150 50
解：（1）确定形心位置
A=1510-3 m2
z0 =7.5 cm
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
Iy = 5310 cm4
(Combined Deformation)

M max W
F2 A

拉伸正应力
M max F1l 最大弯曲正应力 max W 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
t max
F2 F1l max A 4W
(Combined Deformation)
150
压
FN My
在截面外侧有最大压应力
max c max c
F 425 12.5F [ c ] A 5310
[F] 171.3 kN
所以取 [F] 45.1 kN
(Combined Deformation)
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截 面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几 倍. F F